RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 15 समान्तर श्रेढ़ी Exercise 15.3

समान्तर श्रेढ़ी Ex 15.3

Question 1. 14 सेमी. भुजा के वर्ग में बने अन्तःवृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए।
Answer: वर्ग की भुजा \( = 14 \) सेमी.
अन्तःवृत्त की त्रिज्या, जो वर्ग के अंदर बनता है, वर्ग की भुजा की आधी होती है.
\( \implies \) वृत्त की त्रिज्या \( = \frac {14}{2} = 7 \) सेमी.
वृत्त की परिधि का सूत्र \( = 2\pi r \)
\( = 2 \times \frac {22}{7} \times 7 \)
\( = 44 \) सेमी.
अतः, वर्ग के अंदर बने अन्तःवृत्त की परिधि \( = 44 \) सेमी. है.
In simple words: एक वर्ग के अंदर बने सबसे बड़े वृत्त की परिधि निकालने के लिए, पहले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करते हैं. वृत्त की त्रिज्या वर्ग की भुजा की आधी होती है. फिर, इस त्रिज्या का उपयोग करके वृत्त की परिधि का सूत्र \( 2\pi r \) लगाकर परिधि निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: Remember that for an incircle (अन्तःवृत्त) in a square, the diameter of the circle is equal to the side length of the square. This relationship is key to solving such problems.

Question 2. किसी वृत्त की परिधि व त्रिज्या का अन्तर 74 सेमी. है। उस वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि वृत्त की त्रिज्या \( r \) है.
तब वृत्त की परिधि \( = 2\pi r \)
प्रश्नानुसार, वृत्त की परिधि और त्रिज्या का अंतर \( 74 \) सेमी. है.
\( \implies 2\pi r - r = 74 \)
\( \implies r(2\pi - 1) = 74 \)
\( \implies r \left(2 \times \frac {22}{7} - 1\right) = 74 \)
\( \implies r \left(\frac {44}{7} - 1\right) = 74 \)
\( \implies r \left(\frac {44 - 7}{7}\right) = 74 \)
\( \implies r \left(\frac {37}{7}\right) = 74 \)
\( \implies r = \frac {74 \times 7}{37} \)
\( \implies r = 2 \times 7 \)
\( \implies r = 14 \) सेमी.
वृत्त का क्षेत्रफल का सूत्र \( = \pi r^2 \)
\( = \frac {22}{7} \times (14)^2 \)
\( = \frac {22}{7} \times 14 \times 14 \)
\( = 22 \times 2 \times 14 \)
\( = 44 \times 14 \)
\( = 616 \) वर्ग सेमी.
अतः वृत्त का क्षेत्रफल \( 616 \) वर्ग सेमी. है.
In simple words: पहले वृत्त की त्रिज्या \( r \) निकालने के लिए, हमें परिधि और त्रिज्या के अंतर का उपयोग करना होगा. जब \( r \) मिल जाए, तो वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र \( \pi r^2 \) लगाकर क्षेत्रफल निकाल सकते हैं. यह तरीका हमें अज्ञात माप को हल करने में मदद करता है.

🎯 Exam Tip: Always clearly state the formulas used for circumference and area. Be careful with calculations involving fractions and simplifying terms for accuracy.

Question 3. दी गई आकृति में वृत्त का केन्द्र 0 है। \( \angle \text{AOB} = 90^\circ \) तथा OA = 3 सेमी. है तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: (आकृति उपलब्ध न होने के कारण, दिए गए पाठ के अनुसार केवल उत्तर का प्रारूप प्रस्तुत किया गया है।)
यहां छायांकित भाग का क्षेत्रफल संबंधित वृत्तखंड का क्षेत्रफल है.
त्रिज्या (OA) \( = 3 \) सेमी.
कोण \( \theta \) ( \( \angle \text{AOB} \)) \( = 90^\circ \)
वृत्तखंड (sector) का क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi (3)^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times 9\pi \)
\( = \frac{9\pi}{4} \) वर्ग सेमी.
यह उत्तर \( \frac{9\pi}{4} \) वर्ग सेमी. होगा, यदि छायांकित भाग केवल त्रिज्याखंड को दर्शाता है. यदि आकृति में कोई अन्य विवरण होता, तो गणना भिन्न हो सकती थी.
In simple words: जब एक वृत्त के केंद्र पर \( 90^\circ \) का कोण बनता है और त्रिज्या \( 3 \) सेमी. है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल निकालने के लिए त्रिज्याखंड के क्षेत्रफल का सूत्र इस्तेमाल करते हैं. इससे हमें वृत्त के उस छोटे हिस्से का क्षेत्रफल मिल जाता है जो कोण बनाता है.

🎯 Exam Tip: For problems involving sectors or segments, clearly identify the radius and the central angle. Remember the formula for the area of a sector is \( \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \).

Question 4. यदि एक वृत्त का परिमाप एक वर्ग के परिमाप के बराबर है तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि वृत्त की त्रिज्या \( r \) है तथा वर्ग की भुजा \( x \) है.
वृत्त का परिमाप \( = 2\pi r \)
वर्ग का परिमाप \( = 4x \)
प्रश्नानुसार, वृत्त का परिमाप \( = \) वर्ग का परिमाप
\( \implies 2\pi r = 4x \)
दोनों तरफ 2 से भाग देने पर:
\( \implies \pi r = 2x \)
इससे हम \( x \) को \( r \) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:
\( \implies x = \frac{\pi r}{2} \)
वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
वर्ग का क्षेत्रफल \( = x^2 = \left(\frac{\pi r}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4} \)
वृत्त के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात:
\( = \frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{वर्ग का क्षेत्रफल}} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}} \)
\( = \frac{\pi r^2}{1} \times \frac{4}{\pi^2 r^2} \)
\( = \frac{4\pi}{\pi^2} \)
\( = \frac{4}{\pi} \)
अतः, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात \( 4 : \pi \) होगा.
In simple words: जब वृत्त और वर्ग का परिमाप बराबर होता है, तो पहले उनकी भुजा और त्रिज्या के बीच का संबंध निकालते हैं. फिर, दोनों के क्षेत्रफल का सूत्र लगाकर उनका अनुपात ज्ञात करते हैं. इससे पता चलता है कि उनके क्षेत्रफल एक-दूसरे से कैसे जुड़े हुए हैं.

🎯 Exam Tip: Clearly define variables for the radius of the circle and the side of the square. It is crucial to express one variable in terms of the other to find the ratio of their areas.

Question 6. त्रिज्या 8 सेमी. वाले एक वृत्त के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिये कि \( \text{ABCD} \) एक वर्ग है जो \( 8 \) सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त के अंदर खींचा गया है.
इस स्थिति में, वर्ग का विकर्ण (diagonal) वृत्त के व्यास के बराबर होगा. यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय संबंध है.
वृत्त की त्रिज्या \( r = 8 \) सेमी.
वृत्त का व्यास \( = 2 \times r = 2 \times 8 = 16 \) सेमी.
तो, वर्ग का विकर्ण \( = 16 \) सेमी.
वर्ग के लिए, यदि भुजा \( a \) है, तो विकर्ण \( = a\sqrt{2} \)
\( \implies a\sqrt{2} = 16 \)
\( \implies a = \frac{16}{\sqrt{2}} \)
हर का परिमेयकरण करने पर:
\( \implies a = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \) सेमी.
वर्ग का क्षेत्रफल \( = a^2 \)
\( = (8\sqrt{2})^2 \)
\( = 8^2 \times (\sqrt{2})^2 \)
\( = 64 \times 2 \)
\( = 128 \) वर्ग सेमी.
अतः, वृत्त के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वर्ग का क्षेत्रफल \( 128 \) वर्ग सेमी. है.
In simple words: एक वृत्त के अंदर खींचे गए वर्ग का सबसे बड़ा विकर्ण हमेशा वृत्त के व्यास के बराबर होता है. इस जानकारी का उपयोग करके, हम वर्ग की भुजा निकाल सकते हैं और फिर उसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship that the diagonal of a square inscribed in a circle is equal to the circle's diameter. Use Pythagoras theorem or the diagonal formula to find the side of the square.

Question 7. दी गई आकृति में ABMC त्रिज्या 14 सेमी. वाले एक वृत्त को चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: (आकृति उपलब्ध न होने के कारण, दिए गए पाठ के अनुसार केवल उत्तर का प्रारूप प्रस्तुत किया गया है।)
त्रिज्यखण्ड \( \text{ACMB} \) की त्रिज्या \( r = 14 \) सेमी.
त्रिज्यखण्ड कोण \( \theta = 90^\circ \)
समकोण त्रिभुज \( \text{ABC} \) में, \( \text{AB} = \text{AC} = 14 \) सेमी.
समकोण त्रिभुज \( \text{ABC} \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\[ = \frac{1}{2} \times \text{AB} \times \text{AC} \] \[ = \frac{1}{2} \times 14 \times 14 \] \[ = 98 \text{ cm}^2 \] समकोण त्रिभुज \( \text{ABC} \) में, पाइथागोरस प्रमेय से, \( \text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2 \)
\( \implies \text{BC}^2 = 14^2 + 14^2 = 196 + 196 = 392 \)
\( \implies \text{BC} = \sqrt{392} = \sqrt{196 \times 2} = 14\sqrt{2} \) सेमी.
अर्धवृत्त का व्यास \( = \text{BC} = 14\sqrt{2} \) सेमी.
अर्धवृत्त की त्रिज्या \( R = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \) सेमी.
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \pi R^2 \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{2})^2 \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (49 \times 2) \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 98 \)
\( = 22 \times 7 = 154 \) वर्ग सेमी.
वृत्तखंड \( \text{BMC} \) का क्षेत्रफल (अर्धवृत्त के अंदर का भाग) \( = \) अर्धवृत्त का क्षेत्रफल \( - \) त्रिभुज \( \text{ABC} \) का क्षेत्रफल
\( = 154 - 98 = 56 \) वर्ग सेमी.
त्रिज्यखण्ड \( \text{ACMB} \) का क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (14)^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 196 \)
\( = \frac{1}{4} \times 22 \times 28 \)
\( = 22 \times 7 = 154 \) वर्ग सेमी.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \) अर्धवृत्त का क्षेत्रफल \( - \) (त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( - \) त्रिभुज \( \text{ABC} \) का क्षेत्रफल)
(यह \( \text{सेगमेंट} \) \( \text{BMC} \) का क्षेत्रफल है)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \) त्रिभुज \( \text{ABC} \) का क्षेत्रफल \( + \) (अर्धवृत्त \( \text{BC} \) का क्षेत्रफल \( - \) वृत्तखंड \( \text{BMC} \) का क्षेत्रफल)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \) अर्धवृत्त का क्षेत्रफल \( - \) त्रिज्यखण्ड \( \text{ACMB} \) का क्षेत्रफल \( + \) त्रिभुज \( \text{ABC} \) का क्षेत्रफल
(यदि आकृति में यह ऐसा दिखता है कि अर्धवृत्त से त्रिज्यखंड के बाहर का हिस्सा घटाया जा रहा है, और त्रिभुज का हिस्सा जोड़ा जा रहा है.)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = 154 - [154 - 98] \)
\( = 154 - 56 = 98 \) वर्ग सेमी.
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( 98 \) वर्ग सेमी. है.
In simple words: छायांकित भाग का क्षेत्रफल निकालने के लिए, पहले त्रिज्यखण्ड और समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं. फिर, \( \text{BC} \) को व्यास मानकर बनाए गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल निकालते हैं. अंत में, इन सभी क्षेत्रों को मिलाकर सही छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं.

🎯 Exam Tip: For complex figures, break them down into simpler geometric shapes like sectors, triangles, and semi-circles. Carefully identify which areas need to be added or subtracted to find the shaded region.

Question 8. दी गई आकृति में AB वृत्त का व्यास है AC = 6 सेमी. और BC = 8 सेमी. तो। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: (आकृति उपलब्ध न होने के कारण, दिए गए पाठ के अनुसार केवल उत्तर का प्रारूप प्रस्तुत किया गया है।)
यह \( \text{AACIB} \) एक समकोण त्रिभुज है क्योंकि अर्धवृत्त में बना कोण हमेशा समकोण होता है.
दी गई भुजाएँ \( \text{AC} = 6 \) सेमी. और \( \text{BC} = 8 \) सेमी. हैं.
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम \( \text{AB} \) (व्यास) का मान ज्ञात कर सकते हैं:
\[ (\mathrm {AB})^{2} = ( \mathrm {AC})^{2}+(\mathrm {BC})^{2} \] \[ (\mathrm {AB})^{2}=(6)^{2}+(8)^{2}= 36 + 64 = 100 \] \( \implies \text{AB} = \sqrt{100} = 10 \) सेमी.
तो, वृत्त का व्यास \( \text{AB} = 10 \) सेमी.
वृत्त की त्रिज्या \( r = \frac{10}{2} = 5 \) सेमी.
वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \) वर्ग सेमी.
त्रिभुज \( \text{ABC} \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times \text{AC} \times \text{BC} \)
\( = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \)
\( = 24 \) वर्ग सेमी.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \) वृत्त का क्षेत्रफल \( - \) त्रिभुज का क्षेत्रफल
\( = 25\pi - 24 \)
\( = 25 \times 3.14159 - 24 \) ( \( \pi \) का अनुमानित मान का उपयोग करके)
\( = 78.53975 - 24 \)
\( = 54.53975 \) वर्ग सेमी.
लगभग, छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( 54.54 \) वर्ग सेमी. है.
In simple words: पहले, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज के व्यास का पता लगाते हैं, जो वृत्त का व्यास भी है. फिर, वृत्त का क्षेत्रफल और त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालते हैं. अंत में, वृत्त के क्षेत्रफल में से त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं.

🎯 Exam Tip: Remember that any angle inscribed in a semi-circle is a right angle. Use this property and the Pythagorean theorem to find the diameter, then calculate the areas of the circle and triangle separately before subtracting.

Question 9. दी गई आकृति में छायांकित A डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ ABCD भुजा 10 सेमी. का एक वर्ग है तथा इस वर्ग की प्रत्येक भुजा को व्यास मानकर अर्धवृत्त खींचे गए हैं। ( \( \pi = 3.14 \))
Answer: (आकृति उपलब्ध न होने के कारण, दिए गए पाठ के अनुसार केवल उत्तर का प्रारूप प्रस्तुत किया गया है।)
वर्ग \( \text{ABCD} \) की भुजा \( = 10 \) सेमी.
वर्ग का क्षेत्रफल \( = 10 \times 10 = 100 \) वर्ग सेमी.
प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या \( = \frac{\text{वर्ग की भुजा}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) सेमी.
यहाँ पर हमने अछायांकित क्षेत्रों \( \text{I, II, III} \) और \( \text{IV} \) से अंकित किया है. जैसा कि चित्र में दिखाया गया है (यह वर्णन समझने के लिए है, चित्र अनुपलब्ध है).
क्षेत्र \( \text{I} \) और \( \text{III} \) का क्षेत्रफल \( = \) वर्ग का क्षेत्रफल \( - \) दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल.
प्रत्येक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3.14 \times (5)^2 = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 25 = 39.25 \) वर्ग सेमी.
क्षेत्र \( \text{I} \) और \( \text{III} \) का संयुक्त क्षेत्रफल \( = 100 - (2 \times 39.25) \)
\( = 100 - 78.5 = 21.5 \) वर्ग सेमी.
इसी प्रकार, क्षेत्र \( \text{II} \) और \( \text{IV} \) का संयुक्त क्षेत्रफल \( = 21.5 \) वर्ग सेमी.
छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल (जो आमतौर पर केंद्र में होता है और इन चार क्षेत्रों के अलावा होता है) \( = \) वर्ग का क्षेत्रफल \( - \) (क्षेत्र \( \text{I} + \text{II} + \text{III} + \text{IV} \) का संयुक्त क्षेत्रफल)
\( = 100 - (21.5 + 21.5) \)
\( = 100 - 43 \)
\( = 57 \) वर्ग सेमी.
(दिए गए OCR पाठ में केवल "IV का क्षेत्रफल = 21.5 cm²" दिया गया है जो पूर्ण समाधान नहीं है. यहां एक पूर्ण समाधान प्रदान किया गया है.)
In simple words: एक वर्ग के अंदर चार अर्धवृत्त बनाने पर, बीच में एक सुंदर डिजाइन बनता है. इसका क्षेत्रफल निकालने के लिए, पूरे वर्ग के क्षेत्रफल में से उन हिस्सों का क्षेत्रफल घटाते हैं जो अर्धवृत्तों से ढके नहीं होते.

🎯 Exam Tip: When dealing with designs formed by overlapping shapes, visualize the individual areas clearly. Sometimes, it's easier to find the unshaded areas and subtract them from the total area of the main figure.

Question 10. दी गई आकृति में अर्धवृत्त की त्रिज्या 7 सेमी. है। अर्धवृत्त में बने वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: (आकृति उपलब्ध न होने के कारण, दिए गए पाठ के अनुसार केवल उत्तर का प्रारूप प्रस्तुत किया गया है।)
अर्धवृत्त की त्रिज्या \( R = 7 \) सेमी.
अर्धवृत्त के अंदर बने सबसे बड़े वृत्त का व्यास अर्धवृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है. यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय संबंध है.
तो, अर्धवृत्त में बने वृत्त का व्यास \( = 7 \) सेमी.
इस वृत्त की त्रिज्या \( r = \frac{7}{2} = 3.5 \) सेमी.
वृत्त का अभीष्ट क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
\[ = \pi (3.5)^2 \] \[ = \frac{22}{7} \times (3.5) \times (3.5) \] \( = 22 \times 0.5 \times 3.5 \)
\( = 11 \times 3.5 \)
\( = 38.5 \) वर्ग सेमी.
अतः, अर्धवृत्त में बने वृत्त का क्षेत्रफल \( 38.5 \) वर्ग सेमी. है.
In simple words: एक अर्धवृत्त के अंदर बने सबसे बड़े वृत्त का व्यास, अर्धवृत्त की अपनी त्रिज्या जितना होता है. इस जानकारी का उपयोग करके, हम उस छोटे वृत्त की त्रिज्या और फिर उसका क्षेत्रफल निकाल सकते हैं.

🎯 Exam Tip: For problems involving circles within semi-circles, remember that the diameter of the inscribed circle is equal to the radius of the semi-circle. This relationship simplifies finding the inscribed circle's radius.

Question 11. R, व R, त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की परिधियों का योग R त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि के बराबर हो तो सही विकल्प है
(A) R1 + R2 = R
(B) R1 + R2 > R
(C) R1 + R2 < R
(D) निश्चित कुछ नहीं कहा जा सकता
Answer: (A) R1 + R2 = R
In simple words: यदि दो छोटे वृत्तों की परिधि का योग एक बड़े वृत्त की परिधि के बराबर है, तो उन छोटे वृत्तों की त्रिज्याओं का योग बड़े वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगा. यह परिधि के सूत्र \( (2\pi r) \) पर आधारित एक सीधा संबंध है.

🎯 Exam Tip: This question tests your understanding of the relationship between circumference and radius. Since circumference is directly proportional to the radius (\( C = 2\pi r \)), if \( C_1 + C_2 = C_3 \), then \( 2\pi R_1 + 2\pi R_2 = 2\pi R_3 \), which simplifies to \( R_1 + R_2 = R_3 \).

Question 12. 14 सेमी. भुजा वाले वर्ग में बने अन्त:वृत्त की परिधि होगी
(A) 22 सेमी.
(B) 44 सेमी.
(C) 33 सेमी.
(D) 55 सेमी.
Answer: (B) 44 सेमी.
वर्ग की भुजा \( = 14 \) सेमी.
वर्ग में बने अन्तःवृत्त का व्यास \( = \) वर्ग की भुजा \( = 14 \) सेमी.
अन्तःवृत्त की त्रिज्या \( r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) सेमी.
वृत्त की परिधि \( = 2\pi r \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \)
\( = 2 \times 22 \)
\( = 44 \) सेमी.
In simple words: एक वर्ग के अंदर बने वृत्त का व्यास हमेशा वर्ग की भुजा के बराबर होता है. व्यास पता लगने पर, त्रिज्या और फिर वृत्त की परिधि आसानी से निकाली जा सकती है.

🎯 Exam Tip: Always remember that for an incircle in a square, the diameter of the circle is equal to the side length of the square. This simplifies finding the circle's radius and subsequent calculations.