RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 15 समान्तर श्रेढ़ी Exercise 15.2

समान्तर श्रेढ़ी Ex 15.2

Question 1. एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी. है तथा केन्द्र पर अन्तरित कोण 60° है। चाप की लम्बाई ज्ञात करो।
Answer: दिए गए वृत्त में,
त्रिज्या \( r = 7 \) सेमी.
केन्द्र पर अन्तरित कोण \( \theta = 60^\circ \)
चाप की लम्बाई (L) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करेंगे:
\( L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \)

यहां \( \pi = \frac{22}{7} \) का उपयोग करते हुए,
\( L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \)

पहले \( \frac{60}{360} \) को सरल करें:
\( L = \frac{1}{6} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \)

अब गुणा करें:
\( L = \frac{1}{6} \times 2 \times 22 \)
\( L = \frac{1}{3} \times 22 \)
\( L = \frac{22}{3} \)
\( L \approx 7.33 \) सेमी.
अतः, वृत्त के चाप की लम्बाई लगभग 7.3 सेमी. है। चाप की लम्बाई हमेशा त्रिज्या के साथ कोण पर निर्भर करती है।
In simple words: वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी. है और कोण 60° है। चाप की लम्बाई निकालने के लिए सूत्र में मान रखें, जिससे लगभग 7.3 सेमी. उत्तर आता है।

🎯 Exam Tip: चाप की लम्बाई के सूत्र में कोण हमेशा डिग्री में होना चाहिए। \( \pi \) के मान का सही उपयोग करें, जैसे \( \frac{22}{7} \) या 3.14, जैसा प्रश्न में दिया गया हो।

Question 2. एक वृत्त की त्रिज्या 10.5 सेमी. और त्रिज्यखण्ड का योग 45° है। लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वृत्त में,
वृत्त की त्रिज्या \( r = 10.5 \) सेमी.
त्रिज्यखण्ड का कोण \( \theta = 45^\circ \)
लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करेंगे:
लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)

यहां \( \pi = \frac{22}{7} \) का उपयोग करते हुए,
क्षेत्रफल \( = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^2 \)

पहले \( \frac{45}{360} \) को सरल करें, जो \( \frac{1}{8} \) होता है:
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \)

गुणा करें:
क्षेत्रफल \( = \frac{22 \times 10.5 \times 10.5}{8 \times 7} \)
क्षेत्रफल \( = \frac{22 \times 110.25}{56} \)
क्षेत्रफल \( = \frac{2425.5}{56} \)
क्षेत्रफल \( \approx 43.3125 \) वर्ग सेमी.
अतः, लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल लगभग 43.31 वर्ग सेमी. है। त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल वृत्त के कुल क्षेत्रफल का एक हिस्सा होता है।
In simple words: वृत्त की त्रिज्या 10.5 सेमी. और कोण 45° है। लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल निकालने के लिए सूत्र का इस्तेमाल करें, जिससे लगभग 43.31 वर्ग सेमी. का उत्तर मिलता है।

🎯 Exam Tip: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय \( \pi r^2 \) का उपयोग करना याद रखें और कोण को हमेशा डिग्री में ही रखें। गणना करते समय दशमलव संख्याओं को ध्यान से गुणा और भाग करें।

Question 3. एवं 12 सेमी. और त्रिज्या 7 सेमी. है। वृत्त के लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए लघु त्रिज्यखण्ड में,
चाप की लम्बाई \( L = 12 \) सेमी.
त्रिज्या \( r = 7 \) सेमी.
जब चाप की लम्बाई और त्रिज्या दी गई हो, तो लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
क्षेत्रफल \( A = \frac{1}{2} L \times r \)

मान रखने पर:
\( A = \frac{1}{2} \times 12 \times 7 \)

गुणा करें:
\( A = 6 \times 7 \)
\( A = 42 \) वर्ग सेमी.
अतः, लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 42 वर्ग सेमी. है। यह सूत्र विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब कोण नहीं दिया गया हो।
In simple words: चाप की लम्बाई 12 सेमी. और त्रिज्या 7 सेमी. है। त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल निकालने के लिए \( \frac{1}{2} \times L \times r \) का सूत्र लगाएं, जिससे 42 वर्ग सेमी. आता है।

🎯 Exam Tip: यदि प्रश्न में चाप की लम्बाई और त्रिज्या दी गई है, तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} Lr \) सूत्र से सीधे ज्ञात किया जा सकता है। यह सूत्र त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल की गणना का एक वैकल्पिक तरीका है।

Question 4. त्रिज्या 21 सेमी. वाले वृत्त का चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए
(i) चाप की लम्बाई :
(ii) चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
Answer: दिए गए वृत्त में,
त्रिज्या \( r = 21 \) सेमी.
केन्द्र पर अन्तरित कोण \( \theta = 60^\circ \)

(i) **चाप की लम्बाई (L):**
चाप की लम्बाई का सूत्र है: \( L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \)
मान रखने पर:
\( L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \)
\( L = \frac{1}{6} \times 2 \times 22 \times 3 \)
\( L = \frac{1}{6} \times 132 \)
\( L = 22 \) सेमी.
चाप की लम्बाई 22 सेमी. है। यह वह दूरी है जो वृत्त की परिधि पर कोण द्वारा बनाई जाती है।

(ii) **चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल:**
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल का सूत्र है: क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
हम चाप की लम्बाई और त्रिज्या का उपयोग करके भी इसका पता लगा सकते हैं: क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} L \times r \)
मान रखने पर:
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 22 \times 21 \)
क्षेत्रफल \( = 11 \times 21 \)
क्षेत्रफल \( = 231 \) वर्ग सेमी.
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 231 वर्ग सेमी. है। यह वृत्त के एक टुकड़े का क्षेत्रफल है जो दो त्रिज्याओं और चाप से घिरा होता है।

(iii) **संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल:**
वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल \( = \) त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( - \) संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = 231 \) वर्ग सेमी. (भाग ii से)
त्रिभुज का क्षेत्रफल (जब \( \theta = 60^\circ \)) \( = \frac{1}{2} r^2 \sin\theta \)
\( = \frac{1}{2} \times (21)^2 \times \sin(60^\circ) \)
\( = \frac{1}{2} \times 441 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( = \frac{441\sqrt{3}}{4} \)
\( = \frac{441 \times 1.732}{4} \)
\( = \frac{763.812}{4} \)
\( \approx 190.953 \) वर्ग सेमी.
इसलिए, वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल \( = 231 - 190.953 \)
\( = 40.047 \) वर्ग सेमी.
संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल लगभग 40.047 वर्ग सेमी. है। यह जीवा और चाप के बीच का क्षेत्र है।
In simple words: वृत्त की त्रिज्या 21 सेमी. और कोण 60° है। (i) चाप की लम्बाई 22 सेमी. है। (ii) त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 231 वर्ग सेमी. है। (iii) वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल त्रिज्यखण्ड में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर लगभग 40.047 वर्ग सेमी. आता है।

🎯 Exam Tip: \( \theta = 60^\circ \) होने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय \( \frac{1}{2} r^2 \sin\theta \) सूत्र का उपयोग करें। यदि कोण 60 डिग्री है, तो बनने वाला त्रिभुज समबाहु त्रिभुज होता है।

Question 5. एक घडी की मिनट की सुई 10.5 सेमी. लम्बी है। मिनट की सुई द्वारा 10 मिनट में बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए प्रश्न में,
मिनट की सुई की लम्बाई \( r = 10.5 \) सेमी. (यह वृत्त की त्रिज्या है)
हम जानते हैं कि एक मिनट की सुई 60 मिनट में \( 360^\circ \) का कोण बनाती है।
तो, 1 मिनट में बनाया गया कोण \( = \frac{360^\circ}{60} = 6^\circ \)
इसलिए, 10 मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण \( \theta = 10 \times 6^\circ = 60^\circ \)
अब, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
मान रखने पर:
क्षेत्रफल \( = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^2 \)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \)
क्षेत्रफल \( = \frac{22 \times 10.5 \times 10.5}{6 \times 7} \)
क्षेत्रफल \( = \frac{22 \times 110.25}{42} \)
क्षेत्रफल \( = \frac{2425.5}{42} \)
क्षेत्रफल \( \approx 57.75 \) वर्ग सेमी.
अतः, मिनट की सुई द्वारा 10 मिनट में बनाया गया त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल लगभग 57.75 वर्ग सेमी. है। मिनट की सुई हर मिनट में एक निश्चित कोण चलती है।
In simple words: मिनट की सुई 10.5 सेमी. लंबी है। 10 मिनट में यह 60° का कोण बनाती है। त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल निकालने पर, यह लगभग 57.75 वर्ग सेमी. आता है।

🎯 Exam Tip: घड़ी की सुइयों द्वारा बनाए गए कोणों की गणना करते समय, मिनट की सुई 1 मिनट में 6° का कोण बनाती है, और घंटे की सुई 1 मिनट में 0.5° का कोण बनाती है। इन मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है।

Question 6. 3.5 सेमी. त्रिज्या के वृत्त में एक जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण 90° है। इस जीवा द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वृत्त में,
त्रिज्या \( r = 3.5 \) सेमी.
केन्द्र पर अन्तरित कोण \( \theta = 90^\circ \)
लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करेंगे:
लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल \( = \) त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( - \) संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल

पहले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \)
\( = \frac{1}{4} \times 22 \times 0.5 \times 3.5 \)
\( = \frac{1}{4} \times 38.5 \)
\( = 9.625 \) वर्ग सेमी.

अब संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
चूंकि कोण \( \theta = 90^\circ \) है, त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times r^2 \sin\theta \)
\( = \frac{1}{2} \times (3.5)^2 \times \sin(90^\circ) \)
\( = \frac{1}{2} \times 12.25 \times 1 \) (क्योंकि \( \sin(90^\circ) = 1 \))
\( = 6.125 \) वर्ग सेमी.

लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल \( = 9.625 - 6.125 \)
\( = 3.5 \) वर्ग सेमी.
अतः, इस जीवा द्वारा बनाए गए लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल 3.5 वर्ग सेमी. है। वृत्तखण्ड वह क्षेत्र होता है जो एक जीवा और उसके चाप से घिरा होता है।
In simple words: वृत्त की त्रिज्या 3.5 सेमी. है और कोण 90° है। लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल निकालने के लिए त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटा दें। इससे 3.5 वर्ग सेमी. उत्तर आता है।

🎯 Exam Tip: जब केंद्र पर बना कोण 90° हो, तो संगत त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है। ऐसी स्थिति में, त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} \) या \( \frac{1}{2} r^2 \sin\theta \) सूत्र से आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।

Question 7. एक वृत्तं के चतुर्थाश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 सेमी. है।
Answer: दिए गए वृत्त में,
वृत्त की परिधि \( = 22 \) सेमी.
हम जानते हैं कि वृत्त की परिधि का सूत्र \( 2\pi r \) होता है।
तो, \( 2\pi r = 22 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r = 22 \)
\( \frac{44}{7} \times r = 22 \)
\( r = \frac{22 \times 7}{44} \)
\( r = \frac{7}{2} \)
\( r = 3.5 \) सेमी.

अब, वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात करें। चतुर्थांश एक वृत्त का एक-चौथाई हिस्सा होता है, जिसका कोण \( 90^\circ \) होता है।
चतुर्थांश का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{4} \times \pi r^2 \)
मान रखने पर:
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{4} \times 22 \times 0.5 \times 3.5 \)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{4} \times 38.5 \)
क्षेत्रफल \( = 9.625 \) वर्ग सेमी.
अतः, वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल 9.625 वर्ग सेमी. है। चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए त्रिज्या को पहले निकालना जरूरी होता है।
In simple words: वृत्त की परिधि 22 सेमी. है, जिससे त्रिज्या 3.5 सेमी. निकलती है। वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल, जो वृत्त का एक चौथाई हिस्सा होता है, 9.625 वर्ग सेमी. है।

🎯 Exam Tip: चतुर्थांश का अर्थ है एक-चौथाई (या 90 डिग्री का कोण)। जब वृत्त की परिधि दी गई हो, तो हमेशा पहले त्रिज्या ज्ञात करें, फिर क्षेत्रफल के लिए गणना करें।

Question 8. एक घड़ी के घण्टे की सुई 5 सेमी. लम्बी है। 70 मिनट में इस सुई द्वारा बनाए गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए प्रश्न में,
घण्टे की सुई की लम्बाई \( r = 5 \) सेमी. (यह वृत्त की त्रिज्या है)
हम जानते हैं कि एक घण्टे की सुई 12 घण्टे (या 720 मिनट) में \( 360^\circ \) का कोण बनाती है।
तो, 1 मिनट में बनाया गया कोण \( = \frac{360^\circ}{720} = 0.5^\circ \)
इसलिए, 70 मिनट में घण्टे की सुई द्वारा बनाया गया कोण \( \theta = 70 \times 0.5^\circ = 35^\circ \)
अब, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
मान रखने पर:
क्षेत्रफल \( = \frac{35^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (5)^2 \)
क्षेत्रफल \( = \frac{35}{360} \times \frac{22}{7} \times 25 \)
क्षेत्रफल \( = \frac{7}{72} \times \frac{22}{7} \times 25 \)
क्षेत्रफल \( = \frac{22 \times 25}{72} \)
क्षेत्रफल \( = \frac{550}{72} \)
क्षेत्रफल \( \approx 7.638 \) वर्ग सेमी.
अतः, घण्टे की सुई द्वारा 70 मिनट में बनाया गया त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल लगभग 7.64 वर्ग सेमी. है। घण्टे की सुई मिनट की सुई की तुलना में धीमी चलती है।
In simple words: घण्टे की सुई 5 सेमी. लंबी है। 70 मिनट में यह 35° का कोण बनाती है। त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल निकालने पर, यह लगभग 7.64 वर्ग सेमी. आता है।

🎯 Exam Tip: घण्टे की सुई 1 घंटे में 30° का कोण बनाती है (360°/12 घंटे)। इसे मिनटों में बदलने पर, यह 1 मिनट में 0.5° (30°/60 मिनट) का कोण बनाती है। इस रूपांतरण को याद रखना महत्वपूर्ण है।

Question 9. दी गई आकृति में ABCD एक आयत है। भुजा AB = 10 सेमी., BC = 7 सेमी. है। आयत के प्रत्येक शीर्ष पर 3.5 सेमी. त्रिज्या के वृत्त खींचे गये हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
Answer: दिए गए आयत ABCD में,
लम्बाई \( AB = 10 \) सेमी.
चौड़ाई \( BC = 7 \) सेमी.
आयत का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 10 \times 7 = 70 \) वर्ग सेमी.

आयत के प्रत्येक शीर्ष पर 3.5 सेमी. त्रिज्या के वृत्त खींचे गए हैं। प्रत्येक शीर्ष पर एक चतुर्थांश (क्वार्टर सर्कल) बनता है।
त्रिज्या \( r = 3.5 \) सेमी.
ये चार चतुर्थांश मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं, क्योंकि प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) का होता है और \( 4 \times 90^\circ = 360^\circ \)।
इस पूरे वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \)
\( = 22 \times 0.5 \times 3.5 \)
\( = 11 \times 3.5 \)
\( = 38.5 \) वर्ग सेमी.

छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आयत के क्षेत्रफल में से चार चतुर्थांश (या एक पूरे वृत्त) का क्षेत्रफल घटाया जाता है।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \) आयत का क्षेत्रफल \( - \) चार चतुर्थांश का क्षेत्रफल
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = 70 - 38.5 \)
\( = 31.5 \) वर्ग सेमी.
अतः, छायांकित भाग का क्षेत्रफल 31.5 वर्ग सेमी. है। यह दर्शाती है कि ज्यामितीय आकृतियों को तोड़कर या जोड़कर हम विभिन्न क्षेत्रों की गणना कर सकते हैं।
In simple words: आयत की लंबाई 10 सेमी. और चौड़ाई 7 सेमी. है, जिसका क्षेत्रफल 70 वर्ग सेमी. है। हर कोने पर 3.5 सेमी. त्रिज्या के वृत्त के चतुर्थांश हैं, जो मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं जिसका क्षेत्रफल 38.5 वर्ग सेमी. है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल 70 - 38.5 = 31.5 वर्ग सेमी. है।

🎯 Exam Tip: जब एक आयत के कोनों पर वृत्त के चतुर्थांश बने हों, तो याद रखें कि चार चतुर्थांश मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं। इससे गणना सरल हो जाती है।