RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 15 वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल Exercise 15.1

प्रश्नमाला 15.1

Question 1. एक वृत्त की त्रिज्या 3.5 सेमी. है। वृत्त की परिधि तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक वृत्त की त्रिज्या \( r = 3.5 \) सेमी. दी गई है। हमें इसकी परिधि और क्षेत्रफल निकालना है।
वृत्त की परिधि का सूत्र \( 2\pi r \) होता है। मान रखने पर, हमें मिलता है:
परिधि \( = 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \)
\( = 2 \times 22 \times 0.5 \)
\( = 22 \) सेमी.
वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र \( \pi r^2 \) होता है। मान रखने पर, हमें मिलता है:
क्षेत्रफल \( = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \)
\( = 22 \times 0.5 \times 3.5 \)
\( = 38.5 \) वर्ग सेमी.
In simple words: एक वृत्त की त्रिज्या 3.5 सेमी है। इसकी परिधि 22 सेमी है, और इसका क्षेत्रफल 38.5 वर्ग सेमी है। वृत्त की परिधि उसकी बाहरी सीमा की लंबाई होती है, जबकि क्षेत्रफल वह जगह है जो वह अंदर घेरता है।

🎯 Exam Tip: पाई \( (\pi) \) का मान \( \frac{22}{7} \) या 3.14 इस्तेमाल करें, जैसा प्रश्न में दिया गया हो। उत्तर में सही इकाई (सेमी, मीटर, वर्ग सेमी, वर्ग मीटर) लिखना न भूलें।

Question 2. एक वृत्त की परिधि 44 मीटर है। वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक वृत्त की परिधि 44 मीटर दी गई है। हमें वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
पहले हमें वृत्त की त्रिज्या \( r \) ज्ञात करनी होगी। वृत्त की परिधि का सूत्र \( 2\pi r \) होता है।
इसलिए,
\( 2\pi r = 44 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r = 44 \)
\( \frac{44}{7} \times r = 44 \)
\( r = \frac{44 \times 7}{44} \)
\( \implies r = 7 \) मीटर
अब, वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र \( \pi r^2 \) का उपयोग करें:
क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \)
\( = 22 \times 7 \)
\( = 154 \) वर्ग मीटर
In simple words: जब वृत्त की परिधि 44 मीटर होती है, तो उसकी त्रिज्या 7 मीटर निकलती है। फिर इस त्रिज्या का उपयोग करके, वृत्त का क्षेत्रफल 154 वर्ग मीटर होता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले दी गई जानकारी (जैसे परिधि) से अज्ञात राशि (जैसे त्रिज्या) निकालें, फिर उस अज्ञात राशि का उपयोग करके वांछित मान (जैसे क्षेत्रफल) ज्ञात करें।

Question 3. एक अर्धवृत्ताकार प्लाट की त्रिज्या 21 मीटर है। इसका क्षेत्रफल व परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक अर्धवृत्ताकार प्लाट की त्रिज्या \( r = 21 \) मीटर दी गई है। हमें इसका क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात करना है।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का आधा होता है, इसलिए सूत्र \( \frac{1}{2}\pi r^2 \) है।
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \)
\( = 11 \times 3 \times 21 \)
\( = 693 \) वर्ग मीटर
अर्धवृत्त का परिमाप \( (\pi r + 2r) \) होता है, जिसमें अर्धवृत्त की चाप की लंबाई (\(\pi r\)) और व्यास (\(2r\)) शामिल होता है।
परिमाप \( = \pi r + 2r \)
\( = \frac{22}{7} \times 21 + 2 \times 21 \)
\( = 22 \times 3 + 42 \)
\( = 66 + 42 \)
\( = 108 \) मीटर
In simple words: एक आधा-गोलाकार प्लाट, जिसकी त्रिज्या 21 मीटर है, का कुल क्षेत्रफल 693 वर्ग मीटर है। इसकी बाहरी सीमा (परिमाप) 108 मीटर लंबी है।

🎯 Exam Tip: अर्धवृत्त का परिमाप ज्ञात करते समय, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि इसमें अर्धवृत्त की चाप की लंबाई के साथ-साथ व्यास की लंबाई भी शामिल होती है।

Question 4. 100 चक्कर में एक स्कूटर का पहिया 88 मीटर की दूरी तय करता है। इस पहिये की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें बताया गया है कि एक स्कूटर का पहिया 100 चक्कर में 88 मीटर की दूरी तय करता है। हमें पहिये की त्रिज्या ज्ञात करनी है।
एक चक्कर में पहिये द्वारा तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है, जिसका सूत्र \( 2\pi r \) है।
इसलिए, 100 चक्कर में तय की गई कुल दूरी \( = 100 \times 2\pi r \) होगी।
यह दूरी 88 मीटर के बराबर दी गई है।
प्रश्नानुसार:
\( 100 \times 2\pi r = 88 \)
\( 200 \pi r = 88 \)
\( 200 \times \frac{22}{7} \times r = 88 \)
\( r = \frac{88 \times 7}{200 \times 22} \)
\( r = \frac{4 \times 7}{200} \)
\( r = \frac{28}{200} \)
\( r = 0.14 \) मीटर
त्रिज्या को सेमी. में बदलने के लिए 100 से गुणा करें:
\( r = 0.14 \times 100 \)
\( r = 14 \) सेमी.
In simple words: एक स्कूटर का पहिया 100 बार घूमने पर 88 मीटर चलता है। इसका मतलब है कि एक बार घूमने पर पहिया 0.88 मीटर चलता है, जो उसकी परिधि है। इस जानकारी का उपयोग करके, पहिये की त्रिज्या 14 सेमी है।

🎯 Exam Tip: दूरी को मीटर से सेंटीमीटर में बदलते समय 100 से गुणा करना याद रखें, क्योंकि 1 मीटर में 100 सेंटीमीटर होते हैं।

Question 5. एक वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. है। इसकी परिधि ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. दिया गया है। हमें इसकी परिधि ज्ञात करनी है।
पहले हमें वृत्त की त्रिज्या \( r \) ज्ञात करनी होगी। वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र \( \pi r^2 \) होता है।
इसलिए,
\( \pi r^2 = 154 \)
\( \frac{22}{7} \times r^2 = 154 \)
\( r^2 = \frac{154 \times 7}{22} \)
\( r^2 = 7 \times 7 \)
\( r^2 = 49 \)
\( \implies r = \sqrt{49} \)
\( \implies r = 7 \) सेमी.
अब, वृत्त की परिधि का सूत्र \( 2\pi r \) का उपयोग करें:
परिधि \( = 2\pi r \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \)
\( = 2 \times 22 \)
\( = 44 \) सेमी.
In simple words: यदि एक गोल प्लेट का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है, तो उसकी त्रिज्या 7 सेमी है। इस त्रिज्या से उसकी परिधि 44 सेमी निकलती है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप क्षेत्रफल से त्रिज्या और फिर त्रिज्या से परिधि निकालने के लिए सही सूत्र लागू करें। चरण-दर-चरण गणना करें।

Question 6. एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त की परिधि एक वर्ग के परिमाप के बराबर है, और उस वर्ग का क्षेत्रफल 484 वर्गमीटर है।
Answer: हमें वर्ग का क्षेत्रफल 484 वर्गमीटर दिया गया है।
हम जानते हैं कि वर्ग का क्षेत्रफल \( = (\text{भुजा})^2 \)।
\( (\text{भुजा})^2 = 484 \)
\( \implies \text{भुजा} = \sqrt{484} \)
\( \implies \text{भुजा} = 22 \) मीटर
वर्ग का परिमाप \( = 4 \times \text{भुजा} \)
\( = 4 \times 22 \)
\( = 88 \) मीटर
प्रश्नानुसार, वृत्त की परिधि वर्ग के परिमाप के बराबर है।
इसलिए, वृत्त की परिधि \( = 88 \) मीटर
वृत्त की परिधि का सूत्र \( 2\pi r \) होता है।
\( 2\pi r = 88 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r = 88 \)
\( \frac{44}{7} \times r = 88 \)
\( r = \frac{88 \times 7}{44} \)
\( \implies r = 2 \times 7 \)
\( \implies r = 14 \) मीटर
अब, वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \)
\( = 22 \times 2 \times 14 \)
\( = 44 \times 14 \)
\( = 616 \) वर्गमीटर
In simple words: सबसे पहले, वर्ग के क्षेत्रफल से उसकी भुजा की लंबाई ज्ञात करें। फिर, वर्ग का परिमाप निकालें। चूंकि वृत्त की परिधि वर्ग के परिमाप के बराबर है, इस परिधि का उपयोग करके वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें। अंत में, इस त्रिज्या से वृत्त का क्षेत्रफल निकालें।

🎯 Exam Tip: बहु-चरणीय समस्याओं में, प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखें और यह सुनिश्चित करें कि आप एक आकृति से दूसरी आकृति में गणना करते समय सही सूत्रों का उपयोग कर रहे हैं।

Question 7. एक वृत्ताकार खेत पर 24 रु. प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय 5280 रु. है। इस क्षेत्र की 0.50 रु. प्रति वर्गमीटर की दर से जुताई कराई जानी है। खेत की जुताई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें वृत्ताकार खेत पर बाड़ लगाने का कुल व्यय 5280 रु. दिया गया है, और बाड़ लगाने की दर 24 रु. प्रति मीटर है।
वृत्ताकार खेत की बाड़ की लंबाई खेत की परिधि के बराबर होगी।
परिधि \( = \frac{\text{कुल व्यय}}{\text{प्रति मीटर दर}} \)
\( = \frac{5280}{24} \)
\( = 220 \) मीटर
अब, हमें वृत्त की त्रिज्या \( r \) ज्ञात करनी होगी। वृत्त की परिधि का सूत्र \( 2\pi r \) होता है।
\( 2\pi r = 220 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r = 220 \)
\( \frac{44}{7} \times r = 220 \)
\( r = \frac{220 \times 7}{44} \)
\( r = 5 \times 7 \)
\( \implies r = 35 \) मीटर
अब, वृत्ताकार खेत का क्षेत्रफल ज्ञात करें। वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र \( \pi r^2 \) होता है।
क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \)
\( = 22 \times 5 \times 35 \)
\( = 110 \times 35 \)
\( = 3850 \) वर्गमीटर
खेत जुताई का व्यय 0.50 रु. प्रति वर्गमीटर है।
खेत की जुताई कराने का कुल व्यय \( = \text{क्षेत्रफल} \times \text{जुताई की दर} \)
\( = 3850 \times 0.50 \)
\( = 1925 \) रु.
In simple words: पहले बाड़ लगाने की कुल लागत और प्रति मीटर दर से खेत की बाहरी लंबाई (परिधि) निकालें। फिर, इस परिधि का उपयोग करके खेत की त्रिज्या और फिर उसका क्षेत्रफल ज्ञात करें। अंत में, खेत के क्षेत्रफल को जुताई की दर से गुणा करके कुल जुताई का खर्च पता करें।

🎯 Exam Tip: यह एक बहु-चरणीय समस्या है। प्रत्येक चरण के लिए सही सूत्र का उपयोग करें और गणना में सावधानी बरतें। परिधि और क्षेत्रफल के बीच का संबंध अक्सर ऐसे प्रश्नों में उपयोग होता है।

Question 8. एक वृत्ताकार घास के मैदान की त्रिज्या 35 मीटर है। इसके चारों ओर 7 मीटर चौडा मार्ग बना हुआ है। मार्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें वृत्ताकार घास के मैदान की त्रिज्या \( r_1 = 35 \) मीटर दी गई है। इसके चारों ओर 7 मीटर चौड़ा मार्ग बना हुआ है।
मार्ग की चौड़ाई \( = 7 \) मीटर
मार्ग सहित मैदान की त्रिज्या (बाहरी त्रिज्या) \( r_2 \) होगी:
\( r_2 = r_1 + \text{मार्ग की चौड़ाई} \)
\( r_2 = 35 + 7 \)
\( r_2 = 42 \) मीटर
मार्ग का क्षेत्रफल दो संकेन्द्रीय वृत्तों के क्षेत्रफल के अंतर के बराबर होता है (एक आंतरिक वृत्त मैदान के लिए और एक बाहरी वृत्त मैदान और मार्ग के लिए)।
मार्ग का क्षेत्रफल \( = \pi r_2^2 - \pi r_1^2 \)
\( = \pi (r_2^2 - r_1^2) \)
हम सूत्र \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \) का उपयोग कर सकते हैं।
\( = \pi (r_2 + r_1) (r_2 - r_1) \)
मान रखने पर:
\( = \frac{22}{7} (42 + 35) (42 - 35) \)
\( = \frac{22}{7} (77) (7) \)
\( = 22 \times 77 \)
\( = 1694 \) वर्ग मीटर
In simple words: घास के मैदान की त्रिज्या 35 मीटर है। जब इसके चारों ओर 7 मीटर का रास्ता बनता है, तो बाहरी किनारे तक की कुल त्रिज्या 42 मीटर हो जाती है। रास्ते का क्षेत्रफल निकालने के लिए, बड़े वृत्त के क्षेत्रफल में से छोटे वृत्त का क्षेत्रफल घटा देते हैं, जिससे 1694 वर्ग मीटर आता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे वलय (annular) क्षेत्रफल के प्रश्नों में, हमेशा आंतरिक और बाहरी दोनों त्रिज्याओं को सही ढंग से पहचानें, फिर बड़े वृत्त के क्षेत्रफल में से छोटे वृत्त के क्षेत्रफल को घटा दें। \( \pi(R^2 - r^2) \) सूत्र बहुत उपयोगी है।

Question 9. दो संकेन्द्रीय वृत्तों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल होगा-
(a) \( \pi R^2 \)
(b) \( \pi (R^2 - r^2) \)
(c) \( \pi r^2 \)
(d) \( \pi (R + r) \)
Answer: (b) \( \pi (R^2 - r^2) \)
In simple words: दो संकेन्द्रीय वृत्त वे होते हैं जिनका केंद्र एक ही होता है। उनके बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल बड़े वृत्त के क्षेत्रफल में से छोटे वृत्त का क्षेत्रफल घटाकर निकाला जाता है।

🎯 Exam Tip: संकेन्द्रीय वृत्तों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र को 'वलय' (annulus) भी कहते हैं। इसका क्षेत्रफल हमेशा \( \pi (R^2 - r^2) \) होता है, जहाँ \( R \) बाहरी वृत्त की त्रिज्या और \( r \) आंतरिक वृत्त की त्रिज्या होती है।

Question 10. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 4 सेमी. व 3 सेमी. हैं। इन वृत्तों से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्न में से होगा
(A) 22 सेमी.
(B) 12 सेमी.
(C) 32 सेमी.
(D) 18 सेमी.
Answer: (A) 22 सेमी.
हमें दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ दी गई हैं:
बाहरी वृत्त की त्रिज्या \( R = 4 \) सेमी.
आंतरिक वृत्त की त्रिज्या \( r = 3 \) सेमी.
संकेन्द्रीय वृत्तों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल का सूत्र \( = \pi (R^2 - r^2) \) होता है।
क्षेत्रफल \( = \pi (4^2 - 3^2) \)
\( = \pi (16 - 9) \)
\( = \pi (7) \)
\( = \frac{22}{7} \times 7 \)
\( = 22 \) वर्ग सेमी.
In simple words: दो वृत्तों के बीच की जगह का क्षेत्रफल निकालने के लिए, बड़े वृत्त के क्षेत्रफल में से छोटे वृत्त का क्षेत्रफल घटाया जाता है। यहाँ, यह गणना करने पर 22 वर्ग सेमी. आता है।

🎯 Exam Tip: विकल्पों में अक्सर इकाई (जैसे सेमी. के बजाय वर्ग सेमी.) की गलती की जाती है। क्षेत्रफल के लिए हमेशा वर्ग इकाई का उपयोग करें।