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अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न
वस्तुनिष्ठ प्रश्न
प्रश्न 1. △ABC के अन्तर्गत वृत्त का केन्द्र O है तथा भुजा AB, BC, CA क्रमशः वृत्त को बिन्दु P, Q, R पर स्पर्श करती है। यदि ∠POQ= 110°, ∠QOR = 120° है तो ∠CAB का मान है
(A) 50°
(B) 60°
(C) 55°
(D) 65°
Answer: (A) 50°
In simple words: वृत्त के स्पर्शबिंदुओं को केंद्र से जोड़ने वाले त्रिज्या खंडों के बीच के कोणों का उपयोग करके, हम त्रिभुज के शीर्ष कोण को ज्ञात करते हैं।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि वृत्त के केंद्र पर बना कोण स्पर्शरेखाओं द्वारा बने कोण से संबंधित होता है।
प्रश्न 2. वह वृत्त जो किसी त्रिभुज की सब भुजाओं को बिना बढ़ाये स्पर्श करे, कहलाता है
(A) वृत्त
(B) परिगत वृत्त
(C) अन्तर्वृत्त
(D) बहिःवृत्त
Answer: (C) अन्तर्वृत्त
In simple words: एक अन्तर्वृत्त वह वृत्त होता है जो त्रिभुज की सभी तीन भुजाओं को अंदर से छूता है, बिना किसी भुजा को बढ़ाए। यह वृत्त त्रिभुज के अंदर पूरी तरह से फिट होता है।
🎯 Exam Tip: अन्तर्वृत्त हमेशा त्रिभुज के तीनों कोणों के समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु (अंतःकेंद्र) पर स्थित होता है।
प्रश्न 3. दिये गये चित्र में, OA और OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। इनके बीच का कोण 100° का है। यदि बाहरी बिन्दु P से PA और PB वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हों, तो ∠APB का मान है
(A) 80°
(B) 90°
(C) 100°
(D) 40°
Answer: (A) 80°
In simple words: यदि दो त्रिज्याएँ 100 डिग्री का कोण बनाती हैं और बिंदु P से स्पर्शरेखाएँ खींची जाती हैं, तो स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण 80 डिग्री होगा क्योंकि केंद्र पर बना कोण और स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण संपूरक होते हैं (उनका योग 180 डिग्री होता है)।
🎯 Exam Tip: जब वृत्त के बाहर एक बिंदु से दो स्पर्शरेखाएं खींची जाती हैं, तो केंद्र पर बनने वाला कोण और स्पर्शरेखाओं के बीच बनने वाला कोण का योग 180° होता है।
प्रश्न 4. संलग्न आकृति में AT और BT दो स्पर्श रेखाएँ हैं तथा वृत्त का केन्द्र O है। यदि ∠AOT = 55° हो, तो ∠ATB का मान क्या होगा?
(A) 70°
(B) 35°
(C) 55°
(D) 125°
Answer: (A) 70°
In simple words: त्रिभुज OAT में, कोण OAT 90° होता है क्योंकि त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है। फिर, त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, तो कोण OTA 35° होगा। चूंकि AT और BT दोनों स्पर्श रेखाएँ हैं, ∠ATB, ∠OTA का दोगुना होगा, जो कि 70° है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी वृत्त की स्पर्शरेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
प्रश्न 5. संलग्न आकृति में O वृत्त का केन्द्र है तथा AT' व BT दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो T बिन्दु पर एक-दूसरे को CK 65° O काटती हैं। यदि ∠ACI = 65° हो, तो ∠ATB का मान होगा
(D) 50°
Answer: (D) 50°
In simple words: चतुर्भुज AOBT में, कोण OAT और OBT 90° होते हैं। यदि ∠AOB = 130° (180° - 50° से), तो ∠ATB 50° होगा। ∠ACI = 65° सूचना सीधे लागू नहीं होती, हमें केंद्र पर कोण का उपयोग करना होगा।
🎯 Exam Tip: यह एक सामान्य ज्यामितीय प्रमेय है कि एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण और त्रिज्याओं के बीच का कोण, जो स्पर्शरेखा बिंदुओं से जुड़ते हैं, संपूरक होते हैं।
प्रश्न 6. वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की संख्या हो सकती
(A) 2
(B) 3
(C) 0
(D) 4
Answer: (A) 2
In simple words: वृत्त के बाहर किसी एक बिंदु से उस वृत्त पर हमेशा दो स्पर्शरेखाएं खींची जा सकती हैं। ये दोनों स्पर्शरेखाएं लंबाई में बराबर होती हैं और एक ही बिंदु पर मिलती हैं।
🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है जिसे हमेशा याद रखना चाहिए।
प्रश्न 7. दिए गए चित्र में स्पर्श रेखाओं की संख्या है
(A) PQ
(B) ST
(C) PM
(D) KN
Answer: (B) ST
In simple words: चित्र को ध्यान से देखने पर पता चलता है कि रेखा ST वृत्त को केवल एक बिंदु पर छू रही है, इसलिए यह एक स्पर्श रेखा है। अन्य रेखाएं वृत्त को या तो काट रही हैं या छू नहीं रही हैं।
🎯 Exam Tip: एक स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है, जिसे स्पर्श बिंदु कहा जाता है।
प्रश्न 8. दिए गए चित्र में स्पर्श रेखाओं की संख्या है
(A) 4
Answer: (A) 4
In simple words: दिए गए चित्र में, वृत्त के बाहर स्थित प्रत्येक कोने से दो स्पर्शरेखाएं खींची जा सकती हैं, जिससे कुल चार स्पर्शरेखाएं बनती हैं।
🎯 Exam Tip: यदि एक बहुभुज एक वृत्त को परिगत करता है, तो प्रत्येक शीर्ष से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएं होती हैं, और विपरीत शीर्षों के बीच स्पर्शरेखाओं की लंबाई का योग समान होता है।
अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न
प्रश्न 1. दो वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं। यदि दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 5 सेमी. तथा 3 सेमी. हों, तो उनके केन्द्रों के बीच की दूरी लिखिये।
Answer: जब दो वृत्त बाहर से एक-दूसरे को छूते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है। इस स्थिति में, त्रिज्याएँ 5 सेमी. और 3 सेमी. हैं, इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी \( 5 + 3 = 8 \) सेमी. होगी। यह एक सीधा योग है।
In simple words: जब दो गोले एक-दूसरे को बाहर से छूते हैं, तो उनके बीच की दूरी उनकी गोलाई (त्रिज्या) को जोड़कर मिलती है।
🎯 Exam Tip: बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए, केंद्रों के बीच की दूरी \( r_1 + r_2 \) होती है, जबकि आंतरिक रूप से स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए, यह \( |r_1 - r_2| \) होती है।
प्रश्न 2. दो वृत्त एक-दूसरे को अन्तः स्पर्श करते हैं, तो उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या लिखिये
Answer: जब दो वृत्त अंदर से एक-दूसरे को छूते हैं, तो उनके पास केवल एक ही रेखा होती है जो दोनों को एक साथ छूती है। इसे उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा कहा जाता है।
In simple words: अगर दो गोले अंदर से एक-दूसरे से चिपके हों, तो उन्हें छूने वाली एक ही सीधी रेखा खींची जा सकती है।
🎯 Exam Tip: आंतरिक रूप से स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा होती है, जबकि बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए तीन उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
प्रश्न 3. किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखा की लम्बाई 12 सेमी. है, यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी. है तो केन्द्र से बाह्य बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: स्पर्शरेखा और त्रिज्या के बीच हमेशा 90 डिग्री का कोण बनता है, इसलिए हम एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी ज्ञात कर सकते हैं।
दूरी \( = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} \)
\( = \sqrt{144 + 25} \)
\( = \sqrt{169} \)
\( = 13 \) सेमी.
In simple words: यदि वृत्त पर खींची गई रेखा 12 सेमी. और वृत्त की गोलाई 5 सेमी. है, तो वृत्त के बीच से बाहरी बिंदु तक की दूरी 13 सेमी. होगी।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि वृत्त की स्पर्शरेखा और स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या एक-दूसरे के लंबवत होती हैं, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जिस पर पाइथागोरस प्रमेय लागू किया जा सकता है।
प्रश्न 4. किसी वृत्त की जीवा AB द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण 140° है तो A तथा B बिन्दुओं पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: वृत्त के केंद्र पर बना कोण और बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण हमेशा एक साथ 180 डिग्री बनाते हैं। यदि केंद्र पर कोण 140 डिग्री है, तो स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण \( 180° - 140° = 40° \) होगा।
स्पर्श रेखा के मध्य का कोण \( = 180° - 140° = 40° \)
In simple words: यदि वृत्त के बीच में 140 डिग्री का कोण बनता है, तो बाहर खींची गई रेखाओं के बीच 40 डिग्री का कोण बनेगा।
🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि एक चतुर्भुज में, एक बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण और केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण संपूरक होते हैं।
प्रश्न 5. वृत्त की छेदन रेखा PQ है। छेदन रेखा PQ के स्पर्श रेखा बनने का प्रतिबन्ध लिखिए।
Answer: एक छेदन रेखा तब एक स्पर्श रेखा बन जाती है जब वह वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है। यह तब होता है जब छेदन रेखा के दो प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही जगह पर मिल जाते हैं।
जब बिन्दु P व Q सम्पाती हों अर्थात् दोनों एक ही बिन्दु हों तो। छेदन रेखा PQ स्पर्श रेखा कहलाएगी।
In simple words: एक छेदन रेखा तभी स्पर्श रेखा बनती है जब वह वृत्त को सिर्फ एक जगह पर छूती है, मतलब उसके दोनों छोर एक ही बिंदु पर मिल जाएं।
🎯 Exam Tip: छेदन रेखा एक वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है, जबकि स्पर्शरेखा केवल एक बिंदु पर छूती है।
प्रश्न 6. 7.6 सेमी. लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए तथा इस पर एक ऐसा बिन्दु N ज्ञात कीजिए कि \( \mathrm{MN}=\frac{4}{5} \mathrm{ML} \) हो।
Answer: यह रचना एक रेखाखण्ड को एक दिए गए अनुपात में विभाजित करने की प्रक्रिया है।
रचना के चरण:
• एक न्यून कोण LMX की रचना कीजिए।
• एक सुविधाजनक त्रिज्या लेकर MX पर 5 चाप A1, A2, A3, A4, A5 इस प्रकार के लेते हैं कि \( \mathrm{MA_1} = \mathrm{A_1A_2} = \dots = \mathrm{A_4A_5} \) हो।
• A5L को मिलाइए।
• बिन्दु A4 पर A5L के समानांतर एक रेखा A4N खींचिए (इसके लिए \( \angle \mathrm{MA_4N} = \angle \mathrm{MA_5L} \) की रचना कीजिए)।
• इस प्रकार N रेखाखण्ड ML पर प्राप्त होता है, जहाँ \( \mathrm{MN}=\frac{4}{5} \mathrm{ML} \)।
In simple words: आपको एक रेखा को ऐसे बांटना है कि एक टुकड़ा दूसरे का \( \frac{4}{5} \) हो। इसके लिए, एक कोण बनाकर, बराबर निशान लगाकर और समानांतर रेखाएँ खींचकर रेखा को सही अनुपात में बांटा जाता है।
🎯 Exam Tip: रेखाखण्ड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने के लिए हमेशा आधार रेखा से एक न्यून कोण बनाना और समान दूरी पर चाप लगाना महत्वपूर्ण है।
प्रश्न 7. एक 4 सेमी. त्रिज्या का वृत्त खींचिए। उस पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि वे परस्पर 70° का कोण बनाती हों। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18)
Answer: स्पर्श रेखाएं बनाने के लिए हमें पहले केंद्र पर एक कोण बनाना होगा, क्योंकि केंद्र पर बना कोण और स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण संपूरक होते हैं।
रचना के चरण:
• O को केन्द्र मानकर 4 सेमी. त्रिज्या का वृत्त खींचा। OA एक त्रिज्या खींची।
• OA से \( 180 - 70 = 110° \) का कोण बनाते हुए दूसरी त्रिज्या OB खींची, अर्थात् \( \angle \mathrm{AOB} = 110° \) का होना चाहिए।
• अब A व B पर स्पर्श रेखाएँ खींचीं जो कि परस्पर एक दूसरे को 70° कोण पर काटेंगी।
स्पष्टीकरण: \( \angle \mathrm{A} = \angle \mathrm{B} = 90° \) (त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है)।
अतः चतुर्भुज AOBP का चौथा कोण
\( \angle \mathrm{AOB} = 360° - (\angle \mathrm{OAP} + \angle \mathrm{OBP} + \angle \mathrm{APB}) \)
\( 360° - (90° + 90° + 70°) = 360° - 250° = 110° \)
इसलिए, केंद्र पर 110° का कोण बनाते हुए त्रिज्याएं खींचें और उनके सिरों पर स्पर्शरेखाएं खींचें, जो बाहरी बिंदु पर 70° के कोण पर मिलेंगी।
In simple words: वृत्त के बीच में 110 डिग्री का कोण बनाएं, फिर उन बिंदुओं से सीधी रेखाएँ खींचें जो बाहर 70 डिग्री पर मिलेंगी।
🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है कि केंद्र पर बना कोण (त्रिज्याओं के बीच) और वृत्त के बाहर स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण संपूरक होते हैं (उनका योग 180° होता है)।
निबन्धात्मक प्रश्न
प्रश्न 1. दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ 4 सेमी. और 3 सेमी. हैं तथा दोनों के केन्द्रों की मध्य दूरी 6.5 सेमी. है की रचना कर उन पर एक उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
Answer: उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा खींचने के लिए, हमें त्रिज्याओं के अंतर का उपयोग करना होगा।
रचना के चरण:
• एक रेखाखण्ड \( \mathrm{C_1C_2} = 6.5 \) सेमी. खींचें। \( \mathrm{C_1} \) पर 4 सेमी. त्रिज्या का वृत्त और \( \mathrm{C_2} \) पर 3 सेमी. त्रिज्या का वृत्त बनाएँ।
• त्रिज्याओं का अंतर \( \mathrm{r_1} - \mathrm{r_2} = 4 - 3 = 1 \) सेमी. है। \( \mathrm{C_1} \) को केंद्र मानकर बड़े वृत्त के अंदर 1 सेमी. त्रिज्या का एक और वृत्त बनाएँ।
• \( \mathrm{C_1C_2} \) का लंब समद्विभाजक खींचें, जो इसे M पर काटता है। M को केंद्र मानकर \( \mathrm{MC_1} \) त्रिज्या का एक वृत्त बनाएँ, जो अंतर त्रिज्या वाले वृत्त को P पर काटता है।
• \( \mathrm{C_1P} \) को मिलाएँ और \( \mathrm{C_1P} \) को \( \mathrm{C_1} \) केंद्र वाले बड़े वृत्त को Q पर काटने के लिए बढ़ाएँ।
• \( \mathrm{C_2R} \) को \( \mathrm{C_1P} \) के समानांतर खींचें। R बिंदु \( \mathrm{C_2} \) केंद्र वाले वृत्त पर होना चाहिए।
• QR को मिलाएँ। QR ही अभीष्ट उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा है।
In simple words: दो वृत्त खींचे, उनके बीच की दूरी 6.5 सेमी. रखें। बड़े वृत्त के केंद्र से 1 सेमी. त्रिज्या का एक और वृत्त खींचे। फिर एक रेखा खींचे जो दोनों वृत्तों को बाहर से छुए।
🎯 Exam Tip: उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखाओं की रचना करते समय, त्रिज्याओं का अंतर या योग विधि का उपयोग किया जाता है। अनुस्पर्श रेखाओं के लिए त्रिज्याओं का अंतर प्रयोग करें।
प्रश्न 2. दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 2.5 सेमी. एवं 1.5 सेमी. हैं, जिनके केन्द्र 8 सेमी. दूरी पर स्थित हैं, पर एक उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
Answer: उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा बनाने के लिए, हमें त्रिज्याओं के योग का उपयोग करना होगा।
रचना के पद:
1. एक रेखाखण्ड \( \mathrm{C_1C_2} = 7 \) सेमी. खींचकर \( \mathrm{C_1} \) पर 2.5 सेमी. एवं \( \mathrm{C_2} \) पर 1.5 सेमी. त्रिज्या के दो वृत्त बनाएँ।
2. दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं का योग \( \mathrm{r_1} + \mathrm{r_2} = 2.5 + 1.5 = 4 \) सेमी. त्रिज्या का एक डॉटेड वृत्त \( \mathrm{C_2} \) पर (छोटे वृत्त के केंद्र पर) खींचा। \( \mathrm{C_1C_2} \) का समद्विभाजक बिन्दु O प्राप्त कर O को केंद्र मानकर \( \mathrm{OC_1} = \mathrm{OC_2} \) त्रिज्या लेकर एक और डॉटेड वृत्त खींचा जो \( \mathrm{r_1} + \mathrm{r_2} \) त्रिज्या वाले वृत्त को R पर काटता है। \( \mathrm{C_1R} \) को मिलाकर \( \mathrm{r_1} + \mathrm{r_2} \) त्रिज्या वाले वृत्त की स्पर्श रेखा खींची।
3. \( \mathrm{RC_2} \) को मिलाया जो \( \mathrm{r_2} \) त्रिज्या वाले छोटे वृत्त को Q पर काटता है। \( \mathrm{RC} \) त्रिज्या लेकर Q को केंद्र मानकर \( \mathrm{r_1} \) त्रिज्या वाले वृत्त पर चाप काटा जो P पर प्रतिच्छेद करता है।
4. PQ को मिलाया। यही \( \mathrm{r_1} \) व \( \mathrm{r_2} \) त्रिज्या वाले वृत्तों के लिए उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा है।
In simple words: 7 सेमी. दूर दो वृत्त बनाएँ, एक 2.5 सेमी. का और दूसरा 1.5 सेमी. का। फिर उनके केंद्र से त्रिज्याओं के जोड़ (4 सेमी.) के बराबर एक वृत्त खींचे। यह वृत्त पहले वृत्तों को तिरछी रेखा से जोड़ेगा, जो तिर्यक स्पर्श रेखा होगी।
🎯 Exam Tip: उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखाओं के लिए त्रिज्याओं का योग का उपयोग किया जाता है। हमेशा सुनिश्चित करें कि आप त्रिज्याओं को सही ढंग से जोड़ते हैं और केंद्र से केंद्र की दूरी को मापते हैं।
प्रश्न 3. 2.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींच कर इसके केन्द्र Q से 6.5 सेमी. की दूरी पर एक बिन्दु P लिया PQ को मिलाया। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापकर तथा गणना द्वारा ज्ञात कीजिए।
Answer: स्पर्श रेखाओं की लम्बाई मापने और गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जाता है।
रचना के चरण:
(i) 2.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींच कर इसके केंद्र Q से 6.5 सेमी. की दूरी पर एक बिंदु P लिया। PQ को मिलाया।
(ii) PQ रेखा को समद्विभाजित कर L बिंदु प्राप्त किया। L को केंद्र मानकर PQ पर एक वृत्त की रचना की। A व B बिंदुओं पर दोनों वृत्त एक-दूसरे को काटते हैं। P को A से व B से मिलाकर दो स्पर्श रेखाएँ PB व PA प्राप्त की।
नापने से \( \mathrm{PB} = \mathrm{PA} = 6.0 \) सेमी.
गणना द्वारा जाँच:
समकोण त्रिभुज PBQ में, त्रिज्या (BQ) स्पर्शरेखा (PB) पर लंब होती है।
कर्ण\( ^{2} = \) (आधार)\( ^{2} + \) (लंब)\( ^{2} \)
\( (\mathrm{PQ})^{2} = (\mathrm{PB})^{2} + (\mathrm{BQ})^{2} \)
यहाँ \( \mathrm{PQ} = 6.5 \) सेमी., \( \mathrm{QB} = 2.5 \) सेमी. और PB का मान ज्ञात करना है।
\( \implies (\mathrm{PB})^{2} = (\mathrm{PQ})^{2} - (\mathrm{BQ})^{2} \)
\( \implies (\mathrm{PB})^{2} = (6.5)^{2} - (2.5)^{2} \)
\( \implies (\mathrm{PB})^{2} = (6.5 + 2.5) (6.5 - 2.5) \)
\( \implies (\mathrm{PB})^{2} = 9 \times 4 \)
\( \implies (\mathrm{PB})^{2} = 36 \)
\( \implies \mathrm{PB} = \sqrt{36} = 6 \) सेमी.
अतः नापने और गणना द्वारा स्पर्श रेखाओं की लम्बाई 6 सेमी. प्राप्त हुई।
In simple words: 2.5 सेमी. का एक वृत्त बनाएं। केंद्र से 6.5 सेमी. दूर एक बिंदु P से दो स्पर्शरेखाएं खींचें। स्पर्शरेखा की लंबाई 6 सेमी. आएगी, यह आप मापकर और गणित से भी पता कर सकते हैं।
🎯 Exam Tip: स्पर्शरेखा की लंबाई की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग एक समकोण त्रिभुज में करें, जहाँ त्रिज्या एक भुजा और स्पर्शरेखा दूसरी भुजा होती है।
प्रश्न 4. PQ रेखा 6 सेमी. की खींचिए।Q बिन्दु से 3.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। बिन्दु P से इस वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापकर तथा गणना करके ज्ञात कीजिए।
Answer: स्पर्श रेखाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए हमें एक वृत्त और उसके बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखाओं का उपयोग करना होगा, और फिर पाइथागोरस प्रमेय से गणना करनी होगी।
रचना के पद:
• एक रेखा PQ = 6 सेमी. की खींची।
• Q बिंदु पर 3.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त बनाया।
• PQ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्य बिंदु O प्राप्त किया।
• O को केंद्र एवं OP को त्रिज्या मानकर एक दूसरा वृत्त बनाया।
• जहाँ दोनों वृत्त एक-दूसरे को काटते हैं वहाँ बिंदु L और M अंकित किए।
• इन्हें क्रमशः P से मिलाकर PL तथा PM स्पर्श रेखाएँ प्राप्त कीं। नापने पर \( \mathrm{PL} = \mathrm{PM} = 4.87 \) सेमी.।
गणना द्वारा जाँच:
त्रिभुज PQL में \( \angle \mathrm{PLQ} = 90° \) (अर्द्धवृत्त में होने के कारण)
अतः \( \mathrm{PQ}^{2} = \mathrm{PL}^{2} + \mathrm{LQ}^{2} \)
\( \mathrm{PL}^{2} = \mathrm{PQ}^{2} - \mathrm{LQ}^{2} \)
\( \mathrm{PL}^{2} = (6)^{2} - (3.5)^{2} \)
\( \mathrm{PL}^{2} = 36 - 12.25 \)
\( \mathrm{PL}^{2} = 23.75 \)
\( \implies \mathrm{PL} = \sqrt{23.75} \approx 4.87 \) सेमी. (लगभग)
अतः गणना व नापने पर स्पर्श रेखा को लम्बाई 4.75 सेमी. प्राप्त हुई।
In simple words: 6 सेमी. की रेखा PQ खींचें। Q से 3.5 सेमी. का एक वृत्त बनाएं। P से इस वृत्त पर दो रेखाएं खींचें जो उसे छूती हों। इन रेखाओं की लंबाई लगभग 4.87 सेमी. होगी, जिसे आप माप सकते हैं और गणित से भी जांच सकते हैं।
🎯 Exam Tip: स्पर्शरेखाओं की लंबाई की गणना करते समय, हमेशा समकोण त्रिभुज का ध्यान रखें जहाँ त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत होती है।
प्रश्न 6. दो वृत्त 2.5 सेमी. एवं 1 सेमी. त्रिज्याओं के केन्द्र परस्पर 7 सेमी. दूरी पर हैं। एक उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
Answer: रचना के पद:
1. C₁C2 = 7 सेमी. का एक रेखाखण्ड खींचिए। फिर C₁ पर 2.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त और C2 पर 1 सेमी. त्रिज्या का दूसरा वृत्त बनाइए।
2. दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं का योग r1 + r2 = 2.5 + 1.00 = 3.5 सेमी. है। अब C₂ को केंद्र मानकर 3.5 सेमी. त्रिज्या का एक टूटा हुआ वृत्त बनाइए। रेखाखण्ड C₁C2 को बीच से काटिए और केंद्र 0 प्राप्त कीजिए। 0 को केंद्र और OC₁ = OC₂ को त्रिज्या मानकर एक और टूटा हुआ वृत्त बनाइए। यह टूटा हुआ वृत्त r1 + r2 त्रिज्या वाले वृत्त को R पर काटेगा। फिर C₁R को मिलाइए। यह रेखा r1 + r2 त्रिज्या वाले वृत्त की स्पर्श रेखा है।
3. RC2 को मिलाइए। यह रेखा 1 सेमी. त्रिज्या वाले छोटे वृत्त को Q पर काटती है। RC त्रिज्या लेकर Q को केंद्र मानकर C₁ पर 2.5 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त पर चाप काटिए जो P पर प्रतिच्छेद करेगा।
PQ को मिलाइए। यह PQ रेखा ही दोनों वृत्तों के लिए आवश्यक उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा है। यह रचना ज्यामिति के नियमों पर आधारित है जहाँ समान कोणों और त्रिज्याओं का उपयोग किया जाता है।
In simple words: सबसे पहले, दो वृत्त बनाइए जिनके केंद्र 7 सेमी दूर हों और उनकी त्रिज्याएँ 2.5 सेमी और 1 सेमी हों। फिर दोनों त्रिज्याओं को जोड़कर एक नया वृत्त बनाइए। इसके बाद, कुछ और वृत्त और रेखाएँ खींचिए ताकि अंत में आपको एक ऐसी रेखा मिले जो दोनों वृत्तों को छूती हुई तिरछी निकले।
🎯 Exam Tip: तिर्यक स्पर्श रेखा खींचते समय, हमेशा दोनों त्रिज्याओं को जोड़कर एक सहायक वृत्त बनाया जाता है, जबकि सीधी स्पर्श रेखा के लिए त्रिज्याओं का अंतर लिया जाता है।
प्रश्न 8. 4 cm. त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 cm. त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
Answer: हल: रचना के चरण:
• सबसे पहले, केंद्र O से 4 सेमी. और 6 सेमी. त्रिज्या के दो संकेन्द्रीय वृत्त बनाइए।
• बड़े वृत्त (6 सेमी. त्रिज्या वाले) की परिधि पर कोई एक बिंदु P अंकित कीजिए।
• अब रेखाखण्ड OP को जोड़िए और उसे समद्विभाजित कीजिए। इस मध्य बिंदु को M मान लीजिए।
• M को केंद्र और OM को त्रिज्या मानकर एक नया वृत्त खींचिए। यह नया वृत्त छोटे वाले वृत्त (4 सेमी. त्रिज्या वाले) को दो बिंदुओं Q और R पर काटेगा।
• P को Q और R से मिलाइए। PQ और PR ही आवश्यक स्पर्श रेखाएँ हैं। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई मापने पर PQ = PR = 4.5 सेमी. प्राप्त होती है।
परिकलन:
स्पर्श रेखा \( PQ = \sqrt{(OP)^2 - (OQ)^2} \)
\( = \sqrt{(6)^2 - (4)^2} \)
\( = \sqrt{36-16} \)
\( = \sqrt{20} \)
\( \approx 4.47 \) सेमी.
यहाँ, हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके स्पर्श रेखा की लंबाई की गणना की है, जो इसे समझने में आसान बनाता है।
In simple words: एक ही केंद्र वाले दो गोले बनाओ, एक छोटा और एक बड़ा। बड़े गोले पर एक बिंदु P लो। P से छोटे गोले तक ऐसी रेखाएँ खींचो जो उसे सिर्फ छूकर निकलें। उनकी लंबाई नापो और फिर गणित से भी हल करके देखो कि क्या लंबाई सही आती है।
🎯 Exam Tip: परिकलन के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि त्रिज्या (OQ) और OP (केंद्र से बाहरी बिंदु तक की दूरी) के मान सही हों।
प्रश्न 9. 8 cm. लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 cm. त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 cm. त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
Answer: हल: रचना के चरण:
1. सबसे पहले, 8 सेमी. लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए।
2. अब A को केंद्र मानकर 4 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त बनाइए। फिर B को केंद्र मानकर 3 सेमी. त्रिज्या का दूसरा वृत्त बनाइए। रेखाखण्ड AB को ठीक बीच से काटिए और उसका मध्य बिंदु O ज्ञात कीजिए।
3. यह स्पष्ट है कि O, रेखाखण्ड AB का मध्य-बिंदु है। O को केंद्र और OA या OB को त्रिज्या मानकर एक नया वृत्त बनाइए। यह नया वृत्त B केंद्र वाले वृत्त को T₁ और T2 बिंदुओं पर काटेगा और A केंद्र वाले वृत्त को T3 और T4 बिंदुओं पर काटेगा।
4. AT1, AT2, BT3 और BT4 रेखाओं को मिलाइए। ये ही आवश्यक स्पर्श रेखाएँ होंगी। इस प्रक्रिया से सुनिश्चित होता है कि खींची गई रेखाएँ वास्तव में वृत्तों को स्पर्श करती हैं।
स्पष्टीकरण:
In simple words: एक 8 सेमी लंबी रेखा AB बनाओ। A से 4 सेमी का गोला और B से 3 सेमी का गोला बनाओ। फिर A से दूसरे गोले को छूने वाली रेखाएँ खींचो और B से भी दूसरे गोले को छूने वाली रेखाएँ खींचो।
🎯 Exam Tip: जब एक वृत्त के केंद्र से दूसरे वृत्त पर स्पर्श रेखा खींचते हैं, तो केंद्र से स्पर्श बिंदु तक की रेखा हमेशा त्रिज्या के लंबवत होती है।
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