Step-by-Step Textbook Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 13 वृत्त एवं स्पर्श रेखा
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Question 1. आकृति को देखकर निम्न प्रश्नों के उत्तर लिखिए-
(i) \( \angle BAQ \) का एकान्तर वृत्तखण्ड क्या है?
(ii) \( \angle DAP \) का एकान्तर वृत्तखण्ड क्या है?
(iii) यदि C को B से मिला दें तो बनने वाला \( \angle ACB \) किस कोण के बराबर है?
(iv) \( \angle ABD \) एवं \( \angle ADB \) किन-किन कोणों के बराबर हैं?
Answer:
(i) \( \angle BAQ \) का एकान्तर वृत्तखण्ड \( ADB \) है। जब एक स्पर्श रेखा और एक जीवा वृत्त पर मिलते हैं, तो उनके बीच का कोण उस जीवा द्वारा बनाए गए एकान्तर वृत्तखण्ड में किसी भी कोण के बराबर होता है।
(ii) \( \angle DAP \) का एकान्तर वृत्तखण्ड \( ADCB \) है।
(iii) यदि C को B से मिला दें तो बनने वाला \( \angle ACB \) कोण \( \angle BAP \) के बराबर होगा।
(iv) \( \angle ABD = \angle DAP \) तथा \( \angle ADB = \angle BAQ \)
In simple words: वृत्त में, एक स्पर्श रेखा और एक जीवा के बीच का कोण, वृत्त के दूसरे भाग में उसी जीवा द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है। इससे हम दिए गए कोणों के बराबर वृत्तखण्ड या कोण बता सकते हैं।
🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में आकृति को ध्यान से देखना और 'एकान्तर वृत्तखण्ड प्रमेय' (Alternate Segment Theorem) का सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है।
Question 2. आकृति के अनुसार यदि \( \angle BAC = 80^\circ \) हो तो \( \angle BCP \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाए, तो इस जीवा द्वारा दी गई स्पर्श रेखा के साथ बनाए गए कोण क्रमशः उसी जीवा द्वारा एकान्तर वृत्तखण्डों में बने कोण के बराबर होते हैं। इस प्रमेय को एकान्तर वृत्तखण्ड प्रमेय कहते हैं।
\( \implies \angle BCP = \angle BAP \)
हमें दिया गया है कि \( \angle BAC = 80^\circ \)। क्योंकि \( \angle BAP \) और \( \angle BAC \) एक ही कोण हैं,
\( \implies \angle BCP = 80^\circ \)
In simple words: जब वृत्त पर एक स्पर्श रेखा और एक जीवा मिलती हैं, तो उनके बीच का कोण, वृत्त के अंदर उस जीवा से बने कोण के बराबर होता है। इसलिए, यदि \( \angle BAC \) 80 डिग्री है, तो \( \angle BCP \) भी 80 डिग्री होगा।
🎯 Exam Tip: एकान्तर वृत्तखण्ड प्रमेय को हमेशा याद रखें: स्पर्श रेखा और जीवा द्वारा बनाया गया कोण, वृत्त के एकान्तर वृत्तखण्ड में जीवा द्वारा बने कोण के बराबर होता है।
Question 3. आकृति के अनुसार आकृति में PQ और XY समानान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि \( \angle QRT = 30^\circ \) हो, तो \( \angle TSY \) ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि PQ और XY दो समानान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं। \( \angle QRT = 30^\circ \) है।
हमने मान लिया कि वृत्त का केंद्र O है। बिन्दु R एक स्पर्श बिन्दु है, इसलिए त्रिज्या OR स्पर्श रेखा PQ पर लंबवत होगी।
\( \implies OR \perp PQ \)
यह इसलिए है क्योंकि स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर हमेशा लंबवत होती है।
अब, \( \angle ORQ = 90^\circ \)
हम \( \angle ORQ \) को दो कोणों में बाँट सकते हैं: \( \angle ORT \) और \( \angle TRQ \)।
\( \implies \angle ORT + \angle TRQ = 90^\circ \)
हमें \( \angle TRQ \) का मान \( 30^\circ \) दिया गया है।
\( \implies \angle ORT + 30^\circ = 90^\circ \)
\( \implies \angle ORT = 90^\circ - 30^\circ \)
\( \implies \angle ORT = 60^\circ \)
अब, \( \triangle ORT \) में, \( OR = OT \) (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
इसलिए, \( \triangle ORT \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
\( \implies \angle OTR = \angle ORT = 60^\circ \)
त्रिभुज के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
\( \implies \angle ROT + \angle ORT + \angle OTR = 180^\circ \)
\( \implies \angle ROT + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle ROT + 120^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle ROT = 180^\circ - 120^\circ \)
\( \implies \angle ROT = 60^\circ \)
चूंकि \( \angle ROT = 60^\circ \), और \( \angle OTR = 60^\circ \), \( \angle ORT = 60^\circ \), यह एक समबाहु त्रिभुज है।
अब, रेखा RS, XY पर लंबवत है, और S भी एक स्पर्श बिन्दु है, तथा RS व्यास है।
\( \implies \angle RSY = 90^\circ \)
\( \angle TSR + \angle RSY \) मिलकर \( \angle TSY \) का मान देते हैं।
हम जानते हैं कि \( \angle TSR = \angle OTR \) (एकान्तर कोण, क्योंकि PQ और XY समानान्तर हैं)।
\( \implies \angle TSR = 60^\circ \)
\( \implies \angle TSR + \angle TSY = 90^\circ \) (एक सीधी रेखा पर कोण)
\( \implies 60^\circ + \angle TSY = 90^\circ \)
\( \implies \angle TSY = 90^\circ - 60^\circ \)
\( \implies \angle TSY = 30^\circ \)
In simple words: हमें वृत्त की कुछ जानकारी दी गई है, जैसे दो समानान्तर स्पर्श रेखाएँ और एक कोण का मान। हमने वृत्त के केंद्र से स्पर्श बिन्दु तक एक रेखा खींची, जो हमेशा स्पर्श रेखा पर सीधी होती है। इस जानकारी और त्रिभुजों के नियमों का उपयोग करके, हमने आखिर में \( \angle TSY \) का मान \( 30^\circ \) निकाला।
🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखाओं से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, याद रखें कि त्रिज्या हमेशा स्पर्श बिन्दु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। समानान्तर रेखाओं के एकान्तर और संगत कोणों का भी उपयोग करें।
Question 4. आकृति चक्रीय चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC कोण C को समद्विभाजित करती है, सिद्ध कीजिए कि विकर्ण BD बिन्दु A, B, C और D से गुजरने वाले वृत्त के बिन्दु A पर स्पर्श रेखा के समान्तर है।
Answer: मान लीजिए कि बिन्दु A, B, C तथा D से गुजरने वाले वृत्त के बिन्दु A पर PAQ स्पर्श रेखा है।
दिया है कि AC, \( \angle C \) को समद्विभाजित करता है। इसका मतलब है कि विकर्ण AC कोण \( \angle C \) को दो बराबर भागों में बाँटता है।
\( \implies \angle 1 = \angle 2 \) .........(1)
एकान्तर वृत्तखण्ड प्रमेय के अनुसार, स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, वृत्त के एकान्तर वृत्तखण्ड में जीवा द्वारा बने कोण के बराबर होता है।
इसलिए, \( \angle 3 = \angle 1 \) (स्पर्श रेखा PAQ और जीवा AB के बीच का कोण, एकान्तर वृत्तखण्ड में \( \angle ACB \) के बराबर है)
\( \implies \angle 3 = \angle 1 \) .........(2)
साथ ही, एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण बराबर होते हैं।
\( \implies \angle ADB = \angle ACB \)
\( \implies \angle 4 = \angle 2 \) (दोनों कोण एक ही वृत्तखंड में हैं)
\( \implies \angle 4 = \angle 2 \) .........(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से:
चूंकि \( \angle 1 = \angle 2 \) और \( \angle 3 = \angle 1 \) तथा \( \angle 4 = \angle 2 \), तो
\( \implies \angle 3 = \angle 4 \) .........(4)
हम जानते हैं कि \( \angle ADB \) और \( \angle ACB \) एक ही वृत्तखण्ड में हैं, इसलिए वे बराबर हैं। (यह पहले ही समीकरण (3) में उपयोग किया गया है)।
अब, \( \angle 3 \) और \( \angle 4 \) विकर्ण BD तथा स्पर्श रेखा PAQ को तिर्यक रेखा AB के काटने से बने एकान्तर कोण हैं।
यदि एकान्तर कोण बराबर होते हैं, तो रेखाएँ समानान्तर होती हैं।
चूंकि \( \angle 3 = \angle 4 \), इसका मतलब है कि PAQ, BD के समानान्तर है।
\( \implies PAQ \parallel BD \) (इतिसिद्धम्)
In simple words: हमें यह सिद्ध करना था कि एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा PAQ, वृत्त के विकर्ण BD के समानान्तर है। हमने देखा कि विकर्ण AC कोण C को दो बराबर भागों में बाँटता है। फिर हमने वृत्त के नियमों का उपयोग किया (जैसे एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण बराबर होते हैं और स्पर्श रेखा-जीवा प्रमेय)। इन नियमों से, हमने पाया कि कुछ एकान्तर कोण बराबर हैं, और जब एकान्तर कोण बराबर होते हैं, तो रेखाएँ समानान्तर होती हैं।
🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज और स्पर्श रेखाओं से संबंधित सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, एकान्तर वृत्तखण्ड प्रमेय, एक ही वृत्तखण्ड में बने कोणों की समानता, और समानान्तर रेखाओं के एकान्तर कोणों के गुणों का ध्यान रखें।
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