RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 12 वृत्त Exercise 12.4

Exercise 12.4

Question 1. एक चक्रीय चतुर्भुज का एक कोण दिया गया है। सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए।
(i) 70°
(ii) 135°
(iii) \( 112 \frac{1^{\circ}}{2} \)
(iv) \( \frac{3}{5} \) समकोण
(v) 165°
Answer:
(i) चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। इसलिए, यदि एक कोण \( 70^\circ \) है, तो उसका सम्मुख कोण \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \) होगा। चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हमेशा एक दूसरे के पूरक होते हैं।
(ii) यदि एक कोण \( 135^\circ \) है, तो चक्रीय चतुर्भुज के नियम के अनुसार, उसका सम्मुख कोण \( 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \) होगा। यह गुणधर्म चक्रीय चतुर्भुजों की एक महत्वपूर्ण विशेषता है।
(iii) यदि एक कोण \( 112 \frac{1^\circ}{2} \) है, तो उसका सम्मुख कोण निकालने के लिए \( 180^\circ \) में से इसे घटाएंगे।
\( 180^\circ - 112 \frac{1^\circ}{2} = 180^\circ - 112.5^\circ = 67.5^\circ \) या \( 67 \frac{1^\circ}{2} \)। भिन्नात्मक डिग्री को दशमलव में बदलना गणना को आसान बनाता है।
(iv) पहले दिए गए कोण को डिग्री में बदलते हैं। एक समकोण \( 90^\circ \) के बराबर होता है, इसलिए \( \frac{3}{5} \) समकोण \( = \frac{3}{5} \times 90^\circ = 3 \times 18^\circ = 54^\circ \) होगा। अब, इस \( 54^\circ \) का सम्मुख कोण \( 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ \) होगा। समकोण को अंश में बदलने से आगे की गणना सरल हो जाती है।
(v) यदि एक कोण \( 165^\circ \) है, तो चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के योग के नियम से, उसका सम्मुख कोण \( 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ \) होगा। हमेशा सुनिश्चित करें कि कोणों का योग \( 180^\circ \) हो।
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज में, सामने के कोणों का जोड़ \( 180^\circ \) होता है। दिए गए कोण को \( 180^\circ \) में से घटाकर उसका सम्मुख कोण ज्ञात करते हैं। भिन्नात्मक समकोण को पहले डिग्री में बदलें।

🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग हमेशा \( 180^\circ \) होता है। इस गुणधर्म को याद रखने से ऐसे प्रश्नों को हल करना आसान हो जाता है।

Question 2. चक्रीय चतुर्भुज का सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए यदि उसमें से एक कोण
(i) दूसरे का \( = \frac{2}{7} x \) हो
(ii) दूसरे का \( = \frac{11}{4} x \) हो।
Answer:
(i) माना कि चक्रीय चतुर्भुज का एक कोण \( x \) है। प्रश्न के अनुसार, दूसरा सम्मुख कोण \( \frac{2}{7}x \) है। हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
\( x + \frac{2}{7}x = 180^\circ \)
\( \implies \frac{7x + 2x}{7} = 180^\circ \)
\( \implies \frac{9x}{7} = 180^\circ \)
\( \implies x = \frac{180^\circ \times 7}{9} \)
\( \implies x = 20^\circ \times 7 \)
\( \implies x = 140^\circ \) पहला कोण \( 140^\circ \) है। दूसरा कोण \( \frac{2}{7}x = \frac{2}{7} \times 140^\circ = 2 \times 20^\circ = 40^\circ \) होगा। अतः, चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण \( 140^\circ \) और \( 40^\circ \) हैं। यह अनुपात-आधारित प्रश्नों में कोणों को खोजने की एक सामान्य विधि है।
(ii) माना कि चक्रीय चतुर्भुज का एक कोण \( x \) है। प्रश्न के अनुसार, दूसरा सम्मुख कोण \( \frac{11}{4}x \) है। हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
\( x + \frac{11}{4}x = 180^\circ \)
\( \implies \frac{4x + 11x}{4} = 180^\circ \)
\( \implies \frac{15x}{4} = 180^\circ \)
\( \implies x = \frac{180^\circ \times 4}{15} \)
\( \implies x = 12^\circ \times 4 \)
\( \implies x = 48^\circ \) पहला कोण \( 48^\circ \) है। दूसरा सम्मुख कोण \( 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ \) होगा। अतः, चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण \( 48^\circ \) और \( 132^\circ \) हैं। इस प्रकार के प्रश्न में, दोनों कोणों का अनुपात दिया जाता है, जिससे उनकी सटीक माप निकाली जा सकती है।
In simple words: दोनों भागों में, एक कोण को \( x \) मानें और दूसरे को दिए गए अनुपात में व्यक्त करें। चूंकि सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है, आप \( x \) के लिए समीकरण हल कर सकते हैं और फिर दोनों कोणों को ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: जब कोण अनुपात में दिए हों, तो हमेशा उन्हें एक चर (जैसे \( x \)) के पदों में व्यक्त करें और फिर चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्म का उपयोग करें।

Question 3. आकृति में, चक्रीय चतुर्भुज ABCD के चारों कोण ज्ञात कीजिए।
Answer:

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। सबसे पहले, कोण A और C को देखते हैं:
\( \angle A + \angle C = 180^\circ \) दिए गए मानों को रखने पर:
\( y^\circ + 2y^\circ = 180^\circ \)
\( 3y^\circ = 180^\circ \)
\( \implies y^\circ = \frac{180^\circ}{3} \)
\( \implies y^\circ = 60^\circ \) तो, कोण A \( = y^\circ = 60^\circ \) है। और कोण C \( = 2y^\circ = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \) है। इसी प्रकार, कोण B और D को देखते हैं:
\( \angle B + \angle D = 180^\circ \) दिए गए मानों को रखने पर:
\( 3x^\circ + 2x^\circ = 180^\circ \)
\( 5x^\circ = 180^\circ \)
\( \implies x^\circ = \frac{180^\circ}{5} \)
\( \implies x^\circ = 36^\circ \) तो, कोण B \( = 3x^\circ = 3 \times 36^\circ = 108^\circ \) है। और कोण D \( = 2x^\circ = 2 \times 36^\circ = 72^\circ \) है। अतः, चक्रीय चतुर्भुज ABCD के चारों कोण हैं: \( \angle A = 60^\circ, \angle B = 108^\circ, \angle C = 120^\circ, \angle D = 72^\circ \)। यह सिद्ध करता है कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों की जोड़ी हमेशा \( 180^\circ \) तक जोड़ती है।
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज में, सामने वाले कोणों का जोड़ \( 180^\circ \) होता है। इस नियम का उपयोग करके, हम \( y \) और \( x \) का मान पाते हैं, जिससे सभी कोण \( 60^\circ, 108^\circ, 120^\circ, 72^\circ \) निकल जाते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करते समय, हमेशा पहले सम्मुख कोणों के जोड़ों की पहचान करें और फिर समीकरण बनाकर \( x \) और \( y \) के मान ज्ञात करें।

Question 4. आकृति में, कुछ कोणों को a, b, c और d से चिह्नित किया गया है। इन कोणों के माप ज्ञात कीजिए।
Answer:

दिए गए चित्र में, ABEF एक चक्रीय चतुर्भुज है। चक्रीय चतुर्भुज ABEF में, सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है:
\( \angle BAF + \angle BEF = 180^\circ \) हम यह भी जानते हैं कि \( \angle BEF \) और \( \angle BED \) एक सीधी रेखा पर बने कोण हैं (रैखिक युग्म), इसलिए:
\( \angle BEF + \angle BED = 180^\circ \) इन दोनों समीकरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:
\( \angle BAF = \angle BED \) चित्र में, \( \angle BAF = 65^\circ \) दिया गया है। तो, \( a = \angle BED = 65^\circ \)। अब, चतुर्भुज BCDE को देखते हैं। यह भी एक चक्रीय चतुर्भुज है। चक्रीय चतुर्भुज BCDE में, सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है:
\( \angle BED + \angle BCD = 180^\circ \) चूंकि हमने \( \angle BED = a = 65^\circ \) पाया है, हम \( d \) का मान ज्ञात कर सकते हैं:
\( 65^\circ + d = 180^\circ \)
\( \implies d = 180^\circ - 65^\circ \)
\( \implies d = 115^\circ \) अतः, कोण \( a = 65^\circ \) और कोण \( d = 115^\circ \)। चक्रीय चतुर्भुज के गुणों का उपयोग करके अज्ञात कोणों को आसानी से हल किया जा सकता है।
In simple words: सबसे पहले, चक्रीय चतुर्भुज ABEF के गुण का उपयोग करके \( a \) का मान \( 65^\circ \) ज्ञात करते हैं। फिर, चक्रीय चतुर्भुज BCDE के गुण का उपयोग करके \( d \) का मान \( 115^\circ \) ज्ञात करते हैं।

🎯 Exam Tip: दो प्रतिच्छेदी वृत्तों से बनने वाली आकृतियों में, चक्रीय चतुर्भुजों की पहचान करना महत्वपूर्ण है। रैखिक युग्म और सम्मुख कोणों के गुणों का ध्यान रखें।

Question 5. यदि चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, AD || BC हो, तो सिद्ध कीजिए कि \( \angle A = \angle D \)
Answer:

**दिया गया है:** ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है और AD रेखा BC के समानांतर है (AD || BC)।
**सिद्ध करना है:** \( \angle A = \angle D \)।
**उपपत्ति:**
1. चूंकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
इसलिए, \( \angle BCA \) और \( \angle BDA \) एक ही वृत्तखंड BC में बने कोण हैं, तो \( \angle BCA = \angle BDA \)।
इसी तरह, \( \angle CAB \) और \( \angle CDB \) एक ही वृत्तखंड CD में बने कोण हैं, तो \( \angle CAB = \angle CDB \)।
2. अब, दिया गया है कि AD || BC है और AC एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, एकान्तर अंतः कोण बराबर होंगे: \( \angle CAD = \angle BCA \)।
3. समीकरणों को मिलाएं:
हमारे पास है \( \angle BCA = \angle BDA \) और \( \angle CAD = \angle BCA \)।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि \( \angle CAD = \angle BDA \) (इसे समीकरण 1 मान लें)।
हमारे पास \( \angle CAB = \angle CDB \) (इसे समीकरण 2 मान लें)।
4. अब समीकरण (1) और (2) को जोड़ते हैं:
\( \angle CAD + \angle CAB = \angle BDA + \angle CDB \)
\( \implies \angle DAB = \angle ADC \)
यानी, \( \angle A = \angle D \)। इस प्रकार यह सिद्ध होता है। यह सिद्ध करता है कि एक समलंब चतुर्भुज जो चक्रीय भी हो, उसके गैर-समानांतर भुजाओं के आसन्न कोण बराबर होते हैं।
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, अगर AD और BC समानांतर हैं, तो कोण A और कोण D बराबर होंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक ही वृत्तखंड में बने कोण और समानांतर रेखाओं के एकांतर कोणों का उपयोग करके हम इसे साबित कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्मों के साथ-साथ समानांतर रेखाओं के गुणों (जैसे एकांतर कोण) को भी ध्यान में रखें। सिद्ध करते समय प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 6. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। AB और DC बढ़ाये जाने पर E पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि \( \Delta EBC \sim \Delta EDA \)
Answer:

**दिया गया है:** ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। AB और DC भुजाओं को बढ़ाया जाता है, जो बिंदु E पर मिलती हैं।
**सिद्ध करना है:** \( \Delta EBC \sim \Delta EDA \) (त्रिभुज EBC, त्रिभुज EDA के समरूप है)।
**उपपत्ति:**
चूंकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, तो इसके बहिष्कोण (exterior angle) इसके अन्तःसम्मुख कोण (interior opposite angle) के बराबर होते हैं।
1. \( \angle BCE = \angle A \) (चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण उसके सम्मुख अंतःकोण के बराबर होता है)।
2. \( \angle CBE = \angle D \) (इसी प्रकार, चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण उसके सम्मुख अंतःकोण के बराबर होता है)। अब, त्रिभुज \( \Delta EBC \) और त्रिभुज \( \Delta EDA \) पर विचार करते हैं:
1. \( \angle E = \angle E \) (यह दोनों त्रिभुजों में एक उभयनिष्ठ कोण है)।
2. \( \angle BCE = \angle A \) (जैसा कि ऊपर बताया गया है, चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण गुण)।
3. \( \angle CBE = \angle D \) (यह भी चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण गुण है)। चूंकि दोनों त्रिभुजों में दो संगत कोण बराबर हैं (\( \angle E \) उभयनिष्ठ है, और \( \angle BCE = \angle A \)), तो तीसरे कोण भी स्वतः ही बराबर होंगे (\( \angle CBE = \angle D \))। इसलिए, कोण-कोण-कोण (AAA) समरूपता कसौटी के अनुसार, त्रिभुज \( \Delta EBC \) त्रिभुज \( \Delta EDA \) के समरूप है।
\( \therefore \Delta EBC \sim \Delta EDA \) इस प्रकार यह सिद्ध होता है। चक्रीय चतुर्भुज के बहिष्कोण का गुण समरूपता सिद्ध करने में बहुत उपयोगी होता है।
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, AB और DC को बढ़ाने पर वे E पर मिलती हैं। हमें दिखाना है कि त्रिभुज EBC और EDA एक जैसे (समरूप) हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि कोण E दोनों में है, और चक्रीय चतुर्भुज के बाहरी कोण सामने के अंदरूनी कोण के बराबर होते हैं।

🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज के बहिष्कोण गुणधर्म का प्रयोग समरूपता सिद्ध करने में अक्सर किया जाता है। उभयनिष्ठ कोण और बहिष्कोण की सही पहचान करना महत्वपूर्ण है।

Question 7. सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनाया चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज होता है।
Answer:

**दिया गया है:** ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। इसके कोणों के समद्विभाजक (angle bisectors) AP, BP, CQ, DQ हैं, जो एक नया चतुर्भुज PRQS बनाते हैं।
**सिद्ध करना है:** चतुर्भुज PRQS एक चक्रीय चतुर्भुज है।
**उपपत्ति:**
1. चूंकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, तो इसके सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
\( \angle A + \angle C = 180^\circ \) .....(1)
\( \angle B + \angle D = 180^\circ \) .....(2)
2. त्रिभुज APB में, कोण योग गुणधर्म से:
\( \angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) \)
चूंकि AP और BP कोण समद्विभाजक हैं, तो \( \angle PAB = \frac{1}{2} \angle A \) और \( \angle PBA = \frac{1}{2} \angle B \)।
\( \implies \angle APB = 180^\circ - (\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B) \)
\( \implies \angle APB = 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) \) .....(3)
3. इसी प्रकार, त्रिभुज CRD में:
\( \angle CRD = 180^\circ - (\angle RCD + \angle RDC) \)
चूंकि CR और DR कोण समद्विभाजक हैं, तो \( \angle RCD = \frac{1}{2} \angle C \) और \( \angle RDC = \frac{1}{2} \angle D \)।
\( \implies \angle CRD = 180^\circ - (\frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle D) \)
\( \implies \angle CRD = 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle C + \angle D) \) .....(4)
4. चतुर्भुज PRQS में, कोण \( \angle SPQ \) और \( \angle SRQ \) सम्मुख कोण हैं।
\( \angle SPQ = \angle APB \) (शीर्षाभिमुख कोण हैं)।
\( \angle SRQ = \angle CRD \) (शीर्षाभिमुख कोण हैं)।
तो, हमें यह दिखाना है कि \( \angle SPQ + \angle SRQ = 180^\circ \)।
\( \angle SPQ + \angle SRQ = \angle APB + \angle CRD \)
समीकरण (3) और (4) से मान रखने पर:
\( \angle SPQ + \angle SRQ = [180^\circ - \frac{1}{2} (\angle A + \angle B)] + [180^\circ - \frac{1}{2} (\angle C + \angle D)] \)
\( = 360^\circ - \frac{1}{2} (\angle A + \angle B + \angle C + \angle D) \)
हम जानते हैं कि किसी भी चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है।
\( \implies \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \)
इसलिए, \( \angle SPQ + \angle SRQ = 360^\circ - \frac{1}{2} (360^\circ) \)
\( = 360^\circ - 180^\circ \)
\( = 180^\circ \) चूंकि चतुर्भुज PRQS के सम्मुख कोणों (\( \angle SPQ \) और \( \angle SRQ \)) का योग \( 180^\circ \) है, अतः PRQS एक चक्रीय चतुर्भुज है। इस प्रकार यह सिद्ध होता है। कोण समद्विभाजकों द्वारा बने चतुर्भुज के गुणों को समझना ज्यामिति में महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमें सिद्ध करना है कि अगर एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों को आधा-आधा बांटें, तो बीच में जो नया चतुर्भुज बनेगा, वह भी चक्रीय होगा। हम दिखाते हैं कि नए चतुर्भुज के सामने वाले कोणों का जोड़ \( 180^\circ \) होता है, जिससे यह सिद्ध हो जाता है।

🎯 Exam Tip: यह एक मानक ज्यामिति प्रमेय है। इसे सिद्ध करते समय, चतुर्भुज के कोण योग गुणधर्म और कोण समद्विभाजक की परिभाषा का सही उपयोग करें।