Official RBSE Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 12 वृत्त
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 12 वृत्त
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Exercise 12.3
Question 1. प्रत्येक के लिए सत्य/असत्य लिखिए और अपने उत्तर का कारण भी लिखिए।
(i) किसी जीवा द्वारा वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिन्दुओं पर अन्तरित कोण बराबर होते हैं।
(ii) आकृति में, AB एक वृत्त का व्यास, है और C वृत्त पर कोई बिन्दु है। तब \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \) है।
(iii) आकृति में, यदि \( \angle ADE = 120^\circ \) है तो \( \angle EAB = 30^\circ \) है।
(iv) आकृति में, \( \angle CAD = \angle CED \) है।
Answer:
(i) यह कथन असत्य है। ऐसा इसलिए क्योंकि वृत्त के एक ही खण्ड (जैसे दीर्घ या लघु खण्ड) में बनी जीवा द्वारा परिधि पर बने कोण ही बराबर होते हैं। यदि बिंदु अलग-अलग खंडों में हों, तो कोण बराबर नहीं होते। यह वृत्त की एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय विशेषता है।
(ii) यह कथन सत्य है। वृत्त के अर्धवृत्त में बना कोण हमेशा \( 90^\circ \) (समकोण) होता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में लंब और आधार के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है, जो यहाँ लागू होता है क्योंकि \( \triangle ACB \) एक समकोण त्रिभुज है।
(iii) यह कथन सत्य है। आकृति में, \( \angle BDE \) का मान \( 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ \) है। हम जानते हैं कि एक ही चापखण्ड में बने कोण बराबर होते हैं, इसलिए \( \angle BDE \) और \( \angle EAB \) बराबर होंगे, यानी \( \angle EAB = 30^\circ \)। चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है, जो ऐसे कोणों की गणना में सहायक होता है।
(iv) यह कथन सत्य है। आकृति में, \( \angle CAD \) और \( \angle CED \) एक ही चापखण्ड में बने कोण हैं। वृत्त में एक ही चापखण्ड में बने सभी कोण बराबर होते हैं। यह वृत्त की एक बुनियादी ज्यामितीय पहचान है।
In simple words: वृत्त में, एक ही हिस्से में बने कोण बराबर होते हैं, अर्धवृत्त में बना कोण \( 90^\circ \) होता है, और चक्रीय चतुर्भुज के नियम कोणों को खोजने में मदद करते हैं।
🎯 Exam Tip: वृत्त के ज्यामिति प्रश्नों को हल करते समय, "एक ही वृत्तखंड में कोण", "अर्धवृत्त में कोण" और "चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्म" जैसे प्रमुख प्रमेय हमेशा याद रखें।
Question 2. आकृति में, \( \angle ABC = 45^\circ \) है तो सिद्ध कीजिए \( OA \perp OC \) है।
Answer: हमें दिया गया है कि \( \angle ABC = 45^\circ \)। वृत्त के एक ही चाप (AC) द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण ( \( \angle AOC \) ) उसी चाप द्वारा परिधि के किसी अन्य बिंदु पर बनाए गए कोण ( \( \angle ABC \) ) का दोगुना होता है।
\( \implies \angle AOC = 2 \times \angle ABC \)
\( \implies \angle AOC = 2 \times 45^\circ \)
\( \implies \angle AOC = 90^\circ \)
इसका मतलब है कि \( OA \) रेखा \( OC \) पर लंबवत है, यानी उनके बीच \( 90^\circ \) का कोण है। यह वृत्त ज्यामिति का एक मूल प्रमेय है।
In simple words: केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है। यदि परिधि पर कोण \( 45^\circ \) है, तो केंद्र पर \( 90^\circ \) होगा, जिसका मतलब है कि रेखाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं।
🎯 Exam Tip: केंद्र पर कोण और परिधि पर कोण के बीच का संबंध याद रखें, क्योंकि यह वृत्त से संबंधित कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने की कुंजी है।
Question 3. O त्रिभुज ABC का परिकेन्द्र है तथा D आधार BC का मध्यबिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि \( \angle BOD = \angle A \) है।
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \angle BOD = \angle A \) है। त्रिभुज OBD और OCD को देखें।
\( OB = OC \) (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
\( OD = OD \) (यह एक उभयनिष्ठ भुजा है)
चूँकि O परिकेन्द्र है और D आधार BC का मध्यबिंदु है, OD, BC पर लंब होता है।
\( \implies \angle ODB = \angle ODC = 90^\circ \) (प्रत्येक कोण समकोण है)
\( \implies \triangle OBD \cong \triangle OCD \) (RHS सर्वांगसमता नियम से)
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।
\( \implies \angle BOD = \angle COD \)
\( \implies \angle BOC = \angle BOD + \angle COD = 2 \angle BOD \)
हम जानते हैं कि किसी चाप द्वारा केंद्र पर अन्तरित कोण ( \( \angle BOC \) ) वृत्त के शेष भाग पर उसी चाप द्वारा अन्तरित कोण ( \( \angle BAC \) या \( \angle A \) ) का दोगुना होता है।
\( \implies \angle BOC = 2 \angle BAC \)
अतः, हम \( 2 \angle BOD = 2 \angle BAC \) लिख सकते हैं।
\( \implies \angle BOD = \angle BAC \) या \( \angle BOD = \angle A \) (इतिसिद्धम्)।
परिकेन्द्र से जीवा के मध्यबिंदु पर खींची गई रेखा जीवा पर लंब होती है, यह भी एक महत्वपूर्ण तथ्य है।
In simple words: त्रिभुज ODB और ODC सर्वांगसम हैं क्योंकि उनकी भुजाएँ और कोण समान हैं। केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है। इन दोनों नियमों का उपयोग करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि \( \angle BOD \) और \( \angle A \) बराबर हैं।
🎯 Exam Tip: ज्यामिति के प्रमाणों में, त्रिभुजों की सर्वांगसमता सिद्ध करना अक्सर अज्ञात कोणों या भुजाओं को खोजने में मदद करता है। वृत्त के केंद्र और परिधि के कोणों के संबंध को ध्यान में रखें।
Question 4. एक उभयनिष्ठ कर्ण AB पर दो समकोण त्रिभुज ACB और ADB इस प्रकार खींचे गये हैं कि वे विपरीत ओर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि \( \angle BAC = \angle BDC \) है।
Answer: हमें दिया गया है कि \( \triangle ACB \) और \( \triangle ADB \) दोनों समकोण त्रिभुज हैं, जिनमें कर्ण AB उभयनिष्ठ है।
\( \implies \angle ACB = 90^\circ \)
\( \implies \angle ADB = 90^\circ \)
इसका मतलब है कि बिंदु C और D दोनों AB व्यास वाले एक वृत्त पर स्थित हैं, क्योंकि अर्धवृत्त में बना कोण हमेशा समकोण होता है।
अतः, बिंदु A, C, B और D चक्रीय बिंदु हैं (यानी, वे एक ही वृत्त पर स्थित हैं)।
एक ही वृत्तखण्ड में एक ही जीवा (BC) द्वारा परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं।
\( \implies \angle BAC = \angle BDC \) (इतिसिद्धम्)।
यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है कि यदि कोई दो बिंदु एक ही आधार पर समान कोण बनाते हैं, तो वे उस आधार से गुजरने वाले वृत्त पर स्थित होते हैं।
In simple words: चूंकि दोनों त्रिभुज समकोण हैं और उनका एक ही कर्ण AB है, तो C और D दोनों AB व्यास वाले एक ही वृत्त पर स्थित होंगे। इससे A, C, B, D चक्रीय बिंदु बन जाते हैं, और एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण हमेशा बराबर होते हैं।
🎯 Exam Tip: जब दो कोण एक ही आधार पर समकोण होते हैं, तो वे एक अर्धवृत्त में होते हैं, और इससे पता चलता है कि बिंदु चक्रीय हैं। यह चक्रीय चतुर्भुज के गुणों को लागू करने में मदद करता है।
Question 5. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और AC उसके केन्द्र पर क्रमशः \( 90^\circ \) और \( 150^\circ \) के कोण अन्तरित करती हैं। \( \angle BAC \) ज्ञात कीजिए, यदि AB और AC केन्द्र के विपरीत ओर स्थित हैं।
Answer: हमें दिया गया है कि जीवा AB केंद्र पर \( 90^\circ \) का कोण बनाती है, यानी \( \angle BOA = 90^\circ \)।
और जीवा AC केंद्र पर \( 150^\circ \) का कोण बनाती है, यानी \( \angle AOC = 150^\circ \)।
केंद्र पर पूरा कोण \( 360^\circ \) का होता है।
\( \implies \angle BOC = 360^\circ - (\angle BOA + \angle AOC) \)
\( \implies \angle BOC = 360^\circ - (90^\circ + 150^\circ) \)
\( \implies \angle BOC = 360^\circ - 240^\circ \)
\( \implies \angle BOC = 120^\circ \)
हम जानते हैं कि किसी चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण ( \( \angle BOC \) ) उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर बने कोण ( \( \angle BAC \) ) का दोगुना होता है।
\( \implies \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC \)
\( \implies \angle BAC = \frac{1}{2} \times 120^\circ \)
\( \implies \angle BAC = 60^\circ \)
अतः, कोण BAC का मान \( 60^\circ \) है। केंद्र के चारों ओर कोणों का योग हमेशा \( 360^\circ \) होता है।
In simple words: केंद्र के चारों ओर सभी कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है। दो दिए गए कोणों को घटाकर तीसरा कोण प्राप्त करें। फिर, परिधि पर बना कोण केंद्र पर बने कोण का आधा होता है।
🎯 Exam Tip: केंद्रीय कोण के सूत्र को याद रखें और यह भी कि केंद्र के चारों ओर का कुल कोण \( 360^\circ \) होता है। यह अक्सर अज्ञात कोणों को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।
Question 6. एक त्रिभुज ABC का परिकेन्द्र O है। सिद्ध कीजिए कि \( \angle OBC + \angle BAC = 90^\circ \) है।
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \angle OBC + \angle BAC = 90^\circ \) है।
माना \( \angle BOC = z \) और \( \angle BAC = x \)।
हम जानते हैं कि केंद्र पर बना कोण ( \( \angle BOC \) ) परिधि पर बने कोण ( \( \angle BAC \) ) का दोगुना होता है।
\( \implies z = 2x \)
त्रिभुज OBC में, \( OB = OC \) (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)।
इसलिए, \( \triangle OBC \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
\( \implies \angle OBC = \angle OCB \) (बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं)।
माना \( \angle OBC = y \)। तो \( \angle OCB = y \) होगा।
त्रिभुज OBC के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है:
\( \angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ \)
\( \implies z + y + y = 180^\circ \)
\( \implies z + 2y = 180^\circ \)
अब \( z = 2x \) का मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( \implies 2x + 2y = 180^\circ \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( \implies x + y = 90^\circ \)
\( x \) और \( y \) के मूल मानों को वापस रखने पर:
\( \implies \angle BAC + \angle OBC = 90^\circ \) (इतिसिद्धम्)।
इस प्रकार, हम केंद्र पर कोण के प्रमेय और समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों को मिलाकर यह सिद्ध कर सकते हैं।
In simple words: केंद्र पर का कोण परिधि पर के कोण का दोगुना होता है, और परिकेन्द्र से बनी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं। इन गुणों का उपयोग करके, हम कोणों का योग \( 90^\circ \) सिद्ध कर सकते हैं।
🎯 Exam Tip: यह सिद्ध करने वाले प्रश्न अक्सर समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों और केंद्र पर बने कोण तथा परिधि पर बने कोण के बीच संबंध को जोड़ते हैं। दोनों अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से समझें।
Question 7. किसी वृत्त की एक जीवा उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस जीवा द्वारा दीर्घ वृत्तखण्ड में किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए AB वह जीवा है जो वृत्त की त्रिज्या OA या OB के बराबर है।
\( \implies OA = OB = AB \)
इसका मतलब है कि \( \triangle AOB \) एक समबाहु त्रिभुज है।
एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण \( 60^\circ \) के होते हैं।
\( \implies \angle AOB = 60^\circ \)
केंद्र पर बना कोण ( \( \angle AOB \) ) वृत्त के शेष भाग (दीर्घ वृत्तखण्ड) में बने कोण ( \( \angle ACB \) ) का दोगुना होता है।
\( \implies \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB \)
\( \implies \angle ACB = \frac{1}{2} \times 60^\circ \)
\( \implies \angle ACB = 30^\circ \)
अतः, जीवा AB द्वारा दीर्घ वृत्तखण्ड में किसी बिंदु पर अंतरित कोण का मान \( 30^\circ \) है। एक समबाहु त्रिभुज के गुणों का उपयोग करने से केंद्रीय कोण को जल्दी से पता लगाने में मदद मिलती है।
In simple words: जीवा त्रिज्या के बराबर है, इसलिए केंद्र में एक समबाहु त्रिभुज बनता है और केंद्र पर कोण \( 60^\circ \) होता है। दीर्घ वृत्तखण्ड में बना कोण केंद्रीय कोण का आधा होता है, इसलिए यह \( 30^\circ \) होगा।
🎯 Exam Tip: जब कोई जीवा त्रिज्या के बराबर होती है, तो वह केंद्र पर \( 60^\circ \) का कोण बनाती है क्योंकि यह एक समबाहु त्रिभुज बनाती है। इस तथ्य का उपयोग दीर्घ या लघु वृत्तखण्ड में कोणों को खोजने के लिए किया जा सकता है।
Question 8. आकृति में, \( \angle ADC = 130^\circ \) और जीवा \( BC = \) जीवा \( BE \) है। \( \angle CBE \) ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \angle ADC = 130^\circ \) दिया गया है।
चूंकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए इसके सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
\( \implies \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \)
\( \implies \angle ABC + 130^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle ABC = 50^\circ \)
हमें यह भी दिया गया है कि जीवा \( BC = \) जीवा \( BE \)।
O वृत्त का केंद्र है, इसलिए \( OB = OC = OE \) (सभी त्रिज्याएँ हैं)।
त्रिभुज OBC और त्रिभुज OBE को भुजा-भुजा-भुजा (SSS) सर्वांगसमता नियम से सर्वांगसम सिद्ध किया जा सकता है:
\( OB = OB \) (उभयनिष्ठ भुजा)
\( OC = OE \) (त्रिज्याएँ)
\( BC = BE \) (दिया गया है)
\( \implies \triangle OBC \cong \triangle OBE \) (SSS सर्वांगसमता से)
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं, इसलिए \( \angle CBO = \angle OBE \)।
अब, यदि \( \angle CBO = 50^\circ \) है (जैसा कि प्रश्न में संकेत दिया गया है), तो \( \angle OBE \) भी \( 50^\circ \) होगा।
तो, \( \angle CBE = \angle CBO + \angle OBE \)
\( \implies \angle CBE = 50^\circ + 50^\circ \)
\( \implies \angle CBE = 100^\circ \)
इस प्रकार, \( \angle CBE \) का मान \( 100^\circ \) है। सर्वांगसम त्रिभुजों का उपयोग करके कोणों को आसानी से निकाला जा सकता है।
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज के नियम से \( \angle ABC = 50^\circ \) है। चूंकि जीवाएँ BC और BE बराबर हैं, त्रिभुज OBC और OBE सर्वांगसम हैं। इससे \( \angle CBO \) और \( \angle OBE \) बराबर होते हैं, इसलिए \( \angle CBE \) इन दोनों कोणों का योग होगा, जो \( 100^\circ \) है।
🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं, और इस तरह समद्विबाहु त्रिभुज या सर्वांगसम त्रिभुज बनते हैं।
Question 9. आकृति में, \( \angle ACB = 40^\circ \) है। \( \angle OAB \) ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि \( \angle ACB = 40^\circ \) है।
हम जानते हैं कि किसी चाप द्वारा केंद्र पर अन्तरित कोण ( \( \angle AOB \) ) वृत्त के शेष भाग पर उसी चाप द्वारा अन्तरित कोण ( \( \angle ACB \) ) का दोगुना होता है।
\( \implies \angle AOB = 2 \angle ACB \)
\( \implies \angle AOB = 2 \times 40^\circ \)
\( \implies \angle AOB = 80^\circ \)
त्रिभुज OAB में, \( OA = OB \) (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)।
इसलिए, \( \triangle OAB \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
\( \implies \angle OAB = \angle OBA \) (बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं)।
त्रिभुज OAB के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है:
\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ \)
\( \implies 80^\circ + \angle OAB + \angle OAB = 180^\circ \) (चूंकि \( \angle OAB = \angle OBA \))
\( \implies 2 \angle OAB = 180^\circ - 80^\circ \)
\( \implies 2 \angle OAB = 100^\circ \)
\( \implies \angle OAB = \frac{100^\circ}{2} \)
\( \implies \angle OAB = 50^\circ \)
अतः, \( \angle OAB \) का मान \( 50^\circ \) है। समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों का उपयोग ऐसे प्रश्नों में बहुत आम है।
In simple words: केंद्र पर का कोण परिधि पर के कोण का दोगुना होता है, इसलिए \( \angle AOB = 80^\circ \)। क्योंकि OA और OB त्रिज्याएँ हैं, त्रिभुज OAB एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इसके आधार कोण बराबर होते हैं, इसलिए \( \angle OAB = 50^\circ \)।
🎯 Exam Tip: यह एक सामान्य प्रश्न प्रकार है जो केंद्र पर कोण और समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों को जोड़ता है। पहले केंद्रीय कोण ज्ञात करें, फिर समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों को हल करें।
Question 10. आकृति में, AOB वृत्त का व्यास है तथा C, D और E अर्धवृत्त पर स्थित कोई तीन बिन्दु हैं। \( \angle ACD + \angle BED \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि AOB वृत्त का व्यास है और C, D, E अर्धवृत्त पर स्थित तीन बिंदु हैं।
आकृति में ACDE एक चक्रीय चतुर्भुज है (इसके चारों शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं)।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
\( \implies \angle ACD + \angle AED = 180^\circ \) ......(1)
चूंकि AOB व्यास है और E अर्धवृत्त पर स्थित है, अर्धवृत्त में बना कोण हमेशा समकोण होता है।
\( \implies \angle AEB = 90^\circ \) ......(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( (\angle ACD + \angle AED) + \angle AEB = 180^\circ + 90^\circ \)
\( \implies \angle ACD + (\angle AED + \angle AEB) = 270^\circ \)
ध्यान दें कि \( \angle AED + \angle AEB \) मिलकर \( \angle BED \) बनाते हैं।
\( \implies \angle ACD + \angle BED = 270^\circ \)
अतः, \( \angle ACD + \angle BED \) का मान \( 270^\circ \) है। चक्रीय चतुर्भुज और अर्धवृत्त में कोणों के गुणों को पहचानना ऐसे प्रश्नों को हल करने में पहला कदम है।
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण \( 180^\circ \) बनाते हैं, और अर्धवृत्त में बना कोण हमेशा \( 90^\circ \) होता है। इन दो नियमों को जोड़कर, हम दिए गए कोणों का योग \( 270^\circ \) पाते हैं।
🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज के नियम और अर्धवृत्त में कोण के प्रमेय को जानें। जब एक व्यास दिया जाता है, तो हमेशा \( 90^\circ \) के कोणों की तलाश करें।
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