RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 12 वृत्त Exercise 12.2

Exercise 12.2

Question 1. निम्न में सत्य/असत्य लिखिए और अपने उत्तर का कारण सम्भव हो तो बताइए।
1. एक वृत्त की AB व CD क्रमशः 3 सेमी, एवं 4 सेमी. माप की जीवाएँ हैं जिनके द्वारा केन्द्र पर क्रमशः 70° एवं 50° के कोण निर्मित हैं।
2. एक वृत्त की जीवाएँ जिनकी लम्बाइयाँ 10 सेमी. और 8 सेमी. हैं, केन्द्र से क्रमशः 8 सेमी. और 5 सेमी. दूरियों पर स्थित हैं।
3. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB व CD में से प्रत्येक केन्द्र से 4 सेमी. दूरी पर हैं तब AB = CD है।
4. O और O' केन्द्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त A और B दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तब \( \angle AOB = \angle AO'B \) है।
5. तीन संरेख बिन्दुओं से होकर एक वृत्त खींचा जा सकता है।
6. दो बिन्दुओं A और B से होकर 4 सेमी, त्रिज्या का वृत्त खींचा जा सकता है, यदि AB = 8 सेमी. है।
Answer:
1. दिया गया कथन असत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि छोटी जीवा की अपेक्षा बड़ी जीवा केन्द्र पर बड़ा कोण अन्तरित करती है। वृत्त की जीवा जितनी बड़ी होती है, वह केंद्र पर उतना ही बड़ा कोण बनाती है।
2. दिया गया कथन असत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि बड़ी जीवा केन्द्र से कम दूरी पर स्थित होती है। केंद्र से जीवा की दूरी उसकी लंबाई पर निर्भर करती है।
3. यह कथन सत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि केन्द्र से दोनों जीवाओं की दूरियाँ बराबर हैं। अतः AB = CD होगा। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय प्रमेय है।
4. यह कथन सत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ संगत केन्द्रों पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं। यह सर्वांगसमता का एक नियम है।
5. यह कथन असत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि तीन संरेख बिन्दुओं से होकर कोई वृत्त खींचा नहीं जा सकता। वृत्त खींचने के लिए बिंदु सीधी रेखा में नहीं होने चाहिए।
6. यह कथन सत्य है क्योंकि AB व्यास है। यदि जीवा की लंबाई त्रिज्या के दुगनी हो, तो वह हमेशा व्यास कहलाती है।
In simple words: प्रत्येक कथन को पढ़कर यह बताना है कि वह सही है या गलत, और फिर उसका कारण समझाना है। वृत्त की ज्यामिति के नियमों का उपयोग करना होगा।

🎯 Exam Tip: ज्यामिति के कथनों का उत्तर देते समय हमेशा संबंधित प्रमेय और उनके निष्कर्षों का उल्लेख करें ताकि आपका जवाब सटीक और पूर्ण लगे।

Question 2. यदि वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी. है और इसकी एक जीवा की लम्बाई 10 सेमी. हो, तो इस जीवा की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
यहां \( \triangle OPB \) में \( OB = 13 \) सेमी (यह वृत्त की त्रिज्या है)।
\( AB = 10 \) सेमी (यह जीवा की लंबाई है)।
OP जीवा AB पर लंबवत खींचा गया है।
जब केंद्र से जीवा पर लंब डाला जाता है, तो वह जीवा को दो बराबर भागों में बांट देता है।
तो, \( PB = \frac { AB }{ 2 } = \frac { 10 }{ 2 } = 5 \) सेमी।
अब, \( \triangle OPB \) एक समकोण त्रिभुज है। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:
\( OB^2 = OP^2 + PB^2 \)
\( 13^2 = OP^2 + 5^2 \)
\( 169 = OP^2 + 25 \)
\( OP^2 = 169 - 25 \)
\( OP^2 = 144 \)
\( OP = \sqrt{144} \)
\( OP = 12 \) सेमी।
अतः जीवा की केन्द्र से दूरी \( = 12 \) सेमी है।
In simple words: हमें एक वृत्त की त्रिज्या और जीवा की लंबाई दी गई है। हमें यह पता करना है कि केंद्र से जीवा कितनी दूर है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम यह दूरी निकाल सकते हैं क्योंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे दो बराबर भागों में बांटता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में हमेशा केंद्र से जीवा पर एक लंब खींचें। यह लंब जीवा को समद्विभाजित करता है और केंद्र, जीवा के सिरे और लंब के पाद बिंदु के बीच एक समकोण त्रिभुज बनाता है, जिससे पाइथागोरस प्रमेय लागू की जा सकती है।

Question 3. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD जिनकी लम्बाइयाँ क्रमशः 6 सेमी. और 12 सेमी. हैं, एक-दूसरे के समान्तर हैं तथा वे वृत्त के केन्द्र के एक ही ओर स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच 3 सेमी. की दूरी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है:
जीवा \( AB = 6 \) सेमी।
जीवा \( CD = 12 \) सेमी।
जीवाओं AB और CD के बीच की दूरी \( PQ = 3 \) सेमी।
माना वृत्त की त्रिज्या \( = x \) सेमी।
माना \( OP = y \) सेमी।
केंद्र O से जीवा CD पर लंब OQ खींचने पर, \( CQ = \frac{CD}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) सेमी।
केंद्र O से जीवा AB पर लंब OP खींचने पर, \( AP = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) सेमी।
यहाँ \( OQ = OP + PQ \). इसलिए \( OQ = y + 3 \) सेमी।
समकोण त्रिभुज OQC में (त्रिज्या OQ)
\( (OC)^2 = (OQ)^2 + (CQ)^2 \)
\( x^2 = (y+3)^2 + 6^2 \)
\( x^2 = (y+3)^2 + 36 \) ....(1)
समकोण त्रिभुज OPA में (त्रिज्या OP)
\( (OA)^2 = (OP)^2 + (AP)^2 \)
\( x^2 = y^2 + 3^2 \)
\( x^2 = y^2 + 9 \) ....(2)
समीकरण (1) तथा (2) को बराबर करने पर:
\( y^2 + 9 = (y+3)^2 + 36 \)
\( y^2 + 9 = y^2 + 6y + 9 + 36 \)
\( y^2 + 9 = y^2 + 6y + 45 \)
\( 9 = 6y + 45 \)
\( 6y = 9 - 45 \)
\( 6y = -36 \)
\( y = \frac{-36}{6} = -6 \) सेमी।
चूंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए यह दर्शाता है कि जीवा CD केंद्र के करीब है, और AB केंद्र से दूर है।
Let's re-evaluate the setup with Q closer to O:
If O is the center, then OQ is the distance to CD, and OP is the distance to AB.
Since CD is longer (12 cm) and AB is shorter (6 cm), CD must be closer to the center.
So, let \( OQ = y \) सेमी and \( OP = y + 3 \) सेमी.
From \( \triangle OQC \): \( x^2 = y^2 + 6^2 \)
\( x^2 = y^2 + 36 \) ....(1)
From \( \triangle OPA \): \( x^2 = (y+3)^2 + 3^2 \)
\( x^2 = (y+3)^2 + 9 \) ....(2)
समीकरण (1) तथा (2) को बराबर करने पर:
\( y^2 + 36 = (y+3)^2 + 9 \)
\( y^2 + 36 = y^2 + 6y + 9 + 9 \)
\( y^2 + 36 = y^2 + 6y + 18 \)
\( 36 = 6y + 18 \)
\( 6y = 36 - 18 \)
\( 6y = 18 \)
\( y = \frac{18}{6} = 3 \) सेमी।
तो, \( OQ = 3 \) सेमी।
\( OP = y+3 = 3+3 = 6 \) सेमी।
y का मान समी. (1) में रखने पर:
\( x^2 = (3)^2 + 36 \)
\( x^2 = 9 + 36 \)
\( x^2 = 45 \)
\( x = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \) सेमी।
अतः वृत्त की त्रिज्या \( = 3\sqrt{5} \) सेमी. है।
In simple words: हमें एक वृत्त की दो समांतर जीवाओं की लंबाई और उनके बीच की दूरी दी गई है। हमें वृत्त की त्रिज्या निकालनी है। केंद्र से जीवाओं पर लंब डालने से समकोण त्रिभुज बनते हैं। पाइथागोरस प्रमेय और बीजगणित का उपयोग करके हम त्रिज्या का मान ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: जब दो समांतर जीवाएँ दी गई हों, तो हमेशा केंद्र से दोनों जीवाओं पर लंब खींचें। यदि जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हों, तो छोटी जीवा केंद्र से दूर होगी और बड़ी जीवा केंद्र के करीब होगी। दूरी के संबंध को सही ढंग से स्थापित करना महत्वपूर्ण है।

Question 4. आकृति में दो समान जीवाएँ AB और CD एक-दूसरे को E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि चाप DA = चाप CB।
Answer:
दिया है:
वृत्त \( C(O,r) \) में जीवा \( AB = \) जीवा \( CD \), परस्पर E पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हमें सिद्ध करना है: चाप DA = चाप CB।
उपपत्ति:
चूँकि जीवा \( AB = \) जीवा \( CD \) (यह दिया गया है)।
हमें पता है कि एक ही वृत्त में बराबर जीवाएँ बराबर चाप बनाती हैं।
\( \implies \) चाप AB = चाप CD।
दोनों पक्षों में चाप DB घटाने पर:
चाप AB - चाप DB = चाप CD - चाप DB
\( \implies \) चाप AD = चाप CB।
इतिसिद्धम् (यह सिद्ध हुआ)।
In simple words: इस प्रश्न में दो बराबर जीवाएँ एक वृत्त के अंदर एक-दूसरे को काट रही हैं। हमें यह साबित करना है कि कटने से बने दो छोटे चाप भी बराबर होंगे। हम जानते हैं कि बराबर जीवाएँ बराबर चाप बनाती हैं, और फिर एक सामान्य चाप को दोनों तरफ से घटाकर परिणाम तक पहुँच सकते हैं।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है: "एक वृत्त में, यदि दो जीवाएँ बराबर हों, तो वे बराबर चाप बनाती हैं।" इस तथ्य का उपयोग करके, चापों को जोड़ना या घटाना अक्सर सिद्ध करने वाले प्रश्नों में सहायक होता है।

Question 5. आकृति में, AB और CD एक वृत्त की समान जीवाएँ हैं। वृत्त का केन्द्र O है। OM \( \perp \) AB और ON \( \perp \) CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि \( \angle OMN = \angle ONM \)
Answer:
दिया है:
AB और CD एक वृत्त की समान लम्बाई की दो जीवायें हैं। जिन पर क्रमशः OM और ON वृत्त के केन्द्र O से लम्ब हैं। MN लंब पादों को मिलाने वाला रेखाखण्ड है।
हमें सिद्ध करना है: \( \angle OMN = \angle ONM \)
उपपत्ति:
क्योंकि AB और CD वृत्त की समान जीवाएँ हैं।
हमें पता है कि एक वृत्त में समान लंबाई की जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
\( \implies OM = ON \)
अब, \( \triangle OMN \) में:
\( OM = ON \)
इसलिए, \( \triangle OMN \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है। यह एक त्रिभुज होता है जिसमें दो भुजाएँ समान होती हैं।
पुनः, एक समद्विबाहु त्रिभुज में समान लम्बाई की भुजाओं के सामने वाले कोण बराबर होते हैं।
\( \implies \angle OMN = \angle ONM \)
इतिसिद्धम् (यह सिद्ध हुआ)।
In simple words: इस सवाल में एक वृत्त में दो बराबर जीवाएँ दी गई हैं, और केंद्र से उन पर लंब डाले गए हैं। हमें दिखाना है कि लंबों के पाद-बिंदुओं को केंद्र से जोड़ने पर बनने वाला त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इससे पता चलता है कि दो कोण बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि वृत्त के केंद्र से समान जीवाओं की दूरी हमेशा समान होती है। यह गुण ऐसे ज्यामितीय प्रमाणों के लिए महत्वपूर्ण आधार प्रदान करता है।

Question 7. AB और CD वृत्त की दो जीवाएँ इस प्रकार हैं कि AB = 10 सेमी., CD = 24 सेमी. और AB \( || \) CD है। AB एवं CD के बीच की दूरी 17 सेमी. है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
माना O वृत्त का केन्द्र है। इसमें AB = 10 सेमी., CD = 24 सेमी. वृत्त की दो जीवायें हैं।
इनके बीच की दूरी 17 सेमी. है।
माना वृत्त की त्रिज्या \( = r \) सेमी।
माना \( OP = x \) सेमी।
चूंकि जीवाएँ AB और CD समांतर हैं, और उनके बीच की दूरी 17 सेमी है, तो केंद्र O उनके बीच में स्थित होगा।
केंद्र O से जीवा AB पर OP और जीवा CD पर OQ लंबवत खींचते हैं।
लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
\( AP = PB = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) सेमी।
\( CQ = QD = \frac{CD}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) सेमी।
AB और CD के बीच की दूरी \( PQ = 17 \) सेमी।
यहाँ \( PQ = OP + OQ \).
तो, \( OQ = PQ - OP = 17 - x \) सेमी।
समकोण त्रिभुज OPA में:
\( (OA)^2 = (OP)^2 + (AP)^2 \)
\( r^2 = x^2 + 5^2 \)
\( r^2 = x^2 + 25 \) ....(1)
समकोण त्रिभुज OQC में:
\( (OC)^2 = (OQ)^2 + (CQ)^2 \)
\( r^2 = (17 - x)^2 + 12^2 \)
\( r^2 = (17 - x)^2 + 144 \) ....(2)
समीकरण (1) तथा (2) को बराबर करने पर:
\( x^2 + 25 = (17 - x)^2 + 144 \)
\( x^2 + 25 = 17^2 - 2 \times 17 \times x + x^2 + 144 \)
\( x^2 + 25 = 289 - 34x + x^2 + 144 \)
दोनों तरफ से \( x^2 \) को रद्द करने पर:
\( 25 = 289 - 34x + 144 \)
\( 25 = 433 - 34x \)
\( 34x = 433 - 25 \)
\( 34x = 408 \)
\( x = \frac{408}{34} \)
\( x = 12 \) सेमी।
\( OP = 12 \) सेमी।
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( r^2 = 12^2 + 25 \)
\( r^2 = 144 + 25 \)
\( r^2 = 169 \)
\( r = \sqrt{169} \)
\( r = 13 \) सेमी।
अतः वृत्त की त्रिज्या \( = 13 \) सेमी. है।
In simple words: हमें दो समांतर जीवाओं की लंबाई और उनके बीच की दूरी दी गई है। हमें वृत्त की त्रिज्या निकालनी है। केंद्र से जीवाओं पर लंब खींचने पर समकोण त्रिभुज बनते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: जब दो समांतर जीवाएँ केंद्र के विपरीत हों, तो उनके बीच की दूरी केंद्र से प्रत्येक जीवा तक की दूरी का योग होती है। यदि जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हों, तो दूरी का अंतर लिया जाता है। इस अंतर को समझना समाधान के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 8. 10 सेमी. त्रिज्या के एक वृत्त में, दो समान्तर जीवाओं की लम्बाई क्रमशः 12 सेमी. एवं 16 सेमी. है। AB और CD के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए, यदि जीवाएँ
(क) केन्द्र के एक ही ओर हो,
(ख) केन्द्र के विपरीत ओर हो।
Answer:
दिया गया है:
वृत्त की त्रिज्या \( r = 10 \) सेमी।
जीवा AB की लम्बाई \( = 12 \) सेमी।
जीवा CD की लम्बाई \( = 16 \) सेमी।
केंद्र O से जीवा AB पर OQ लंबवत खींचते हैं, तो \( AQ = QB = \frac{12}{2} = 6 \) सेमी।
केंद्र O से जीवा CD पर OP लंबवत खींचते हैं, तो \( CP = PD = \frac{16}{2} = 8 \) सेमी।
समकोण त्रिभुज AQO में (OA त्रिज्या है):
\( (OA)^2 = (AQ)^2 + (OQ)^2 \)
\( 10^2 = 6^2 + (OQ)^2 \)
\( 100 = 36 + (OQ)^2 \)
\( (OQ)^2 = 100 - 36 \)
\( (OQ)^2 = 64 \)
\( OQ = \sqrt{64} = 8 \) सेमी।
समकोण त्रिभुज OPC में (OC त्रिज्या है):
\( (OC)^2 = (CP)^2 + (OP)^2 \)
\( 10^2 = 8^2 + (OP)^2 \)
\( 100 = 64 + (OP)^2 \)
\( (OP)^2 = 100 - 64 \)
\( (OP)^2 = 36 \)
\( OP = \sqrt{36} = 6 \) सेमी।
(क) जब जीवायें केन्द्र के एक ही ओर स्थित हों:
जीवाओं AB और CD के मध्य की दूरी \( = OQ - OP \)
\( = 8 - 6 = 2 \) सेमी।
वृत्त के अंदर दो समांतर जीवाएँ एक ही तरफ हों तो उनके बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए केंद्र से उनकी अलग-अलग दूरियों का अंतर लेते हैं।
(ख) जब जीवायें केन्द्र के विपरीत ओर हों:
जीवाओं AB और CD के मध्य की दूरी \( = OP + OQ \)
\( = 6 + 8 = 14 \) सेमी।
वृत्त के अंदर दो समांतर जीवाएँ केंद्र के विपरीत तरफ हों तो उनके बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए केंद्र से उनकी अलग-अलग दूरियों का योग करते हैं।
In simple words: एक वृत्त में दो जीवाएँ हैं जिनकी लंबाई अलग-अलग है, और वृत्त की त्रिज्या भी दी गई है। हमें यह पता करना है कि ये जीवाएँ एक-दूसरे से कितनी दूर हैं, खासकर जब वे केंद्र के एक ही तरफ हों या विपरीत तरफ हों। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके केंद्र से प्रत्येक जीवा की दूरी निकालकर, हम उनके बीच की कुल दूरी ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: केंद्र से जीवा पर लंब हमेशा जीवा को दो बराबर भागों में बांटता है। इस तथ्य का उपयोग करके, आप जीवा की आधी लंबाई, त्रिज्या और केंद्र से जीवा की दूरी के साथ एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं और पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।

Question 9. एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष वृत्त पर इस प्रकार स्थित है कि AB = CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि AC = BD
Answer:
दिया है:
चतुर्भुज ABCD के शीर्ष वृत्त पर इस प्रकार स्थित हैं कि \( AB = CD \).
हमें सिद्ध करना है: \( AC = BD \).
उपपत्ति:
क्योंकि \( AB = CD \) (यह दिया गया है)।
एक ही वृत्त में बराबर जीवाएँ बराबर चाप बनाती हैं।
\( \implies \) चाप AB = चाप CD।
दोनों पक्षों में चाप BC जोड़ने पर (चाप BC उभयनिष्ठ है):
चाप AB + चाप BC = चाप CD + चाप BC
\( \implies \) चाप AC = चाप BD।
हमें पता है कि एक ही वृत्त में बराबर चाप बराबर जीवाएँ बनाते हैं।
\( \implies AC = BD \).
इतिसिद्धम् (यह सिद्ध हुआ)।
In simple words: हमें एक वृत्त के अंदर एक चतुर्भुज दिया गया है जिसकी दो भुजाएँ बराबर हैं। हमें दिखाना है कि इसके विकर्ण भी बराबर होंगे। हम जानते हैं कि बराबर जीवाएँ बराबर चाप बनाती हैं, और फिर एक सामान्य चाप को जोड़कर यह साबित कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: वृत्त के ज्यामिति के प्रश्नों में, यदि जीवाएँ बराबर हों तो उनके द्वारा बनाए गए चाप भी बराबर होते हैं, और इसका विलोम भी सत्य है। इस प्रमेय का उपयोग करके कई प्रकार के प्रमाणों को आसानी से हल किया जा सकता है।

Question 10. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हों, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के क्रमित भाग क्रमशः दूसरी जीवा के संगत भागों के बराबर होते हैं।
Answer:
दिया है: केंद्र O वाले वृत्त में जीवा \( AB = \) जीवा \( CD \), परस्पर E पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हमें सिद्ध करना है: \( AE = CE \) तथा \( BE = DE \)
रचना:
OL \( \perp \) AB और OM \( \perp \) CD खींचा तथा OE को मिलाया।
उपपत्ति:
वृत्त में, \( OL \perp AB \) और \( OM \perp CD \).
चूँकि जीवा \( AB = CD \) (यह दिया गया है)।
हमें पता है कि वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
\( \implies OL = OM \).
केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
\( AL = LB = \frac{1}{2}AB \) और \( CM = MD = \frac{1}{2}CD \).
चूंकि \( AB = CD \), तो \( AL = CM \) और \( LB = MD \).
अब, समकोण त्रिभुज OLE और \( \triangle OME \) पर विचार करें:
कर्ण OE = कर्ण OE (यह उभयनिष्ठ भुजा है)।
\( OL = OM \) (यह पहले ही सिद्ध कर चुके हैं)।
इसलिए, \( \triangle OLE \cong \triangle OME \) (RHS सर्वांगसमता नियम से)।
\( \implies LE = ME \) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
अब, \( AE = AL + LE \) और \( CE = CM + ME \).
चूंकि \( AL = CM \) और \( LE = ME \), तो \( AE = CE \).
इसी प्रकार, \( BE = LB - LE \) और \( DE = MD - ME \).
चूंकि \( LB = MD \) और \( LE = ME \), तो \( BE = DE \).
इतिसिद्धम् (यह सिद्ध हुआ)।
In simple words: जब दो बराबर जीवाएँ एक-दूसरे को वृत्त के अंदर काटती हैं, तो हमें दिखाना है कि कटने वाले बिंदु से हर जीवा के दोनों टुकड़े आपस में बराबर होते हैं। हम केंद्र से जीवाओं पर लंब खींचकर और त्रिभुजों की सर्वांगसमता का उपयोग करके इसे साबित कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए केंद्र से जीवा पर लंब खींचना और फिर परिणामी त्रिभुजों की सर्वांगसमता का उपयोग करना एक सामान्य और प्रभावी तरीका है। समान जीवाओं का केंद्र से समान दूरी पर होना एक महत्वपूर्ण प्रारंभिक बिंदु है।

Question 11. सिद्ध कीजिए कि दो समान्तर जीवाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
Answer:
दिया है:
AB व CD एक वृत्त की दो समान्तर जीवायें हैं। जिसका केन्द्र O पर है और M व N, AB व CD के क्रमशः मध्य बिन्दु हैं।
हमें सिद्ध करना है: रेखाखण्ड MN वृत्त के केन्द्र O से होकर गुजरता है।
रचना:
केंद्र O से AB पर एक लंब OP खींचें।
केंद्र O से CD पर एक लंब OQ खींचें।
हमें पता है कि केंद्र से जीवा के मध्य बिंदु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है।
इसलिए, \( OM \perp AB \) और \( ON \perp CD \).
चूंकि AB \( || \) CD (जीवाएँ समांतर हैं), और OM \( \perp AB \) तथा ON \( \perp CD \).
तो, OM और ON दोनों AB और CD के लिए लंबवत रेखाएँ हैं।
चूंकि AB \( || \) CD और OM \( \perp AB \), इसका मतलब है कि OM, CD पर भी लंबवत है।
इसी प्रकार, ON \( \perp CD \), इसका मतलब है कि ON, AB पर भी लंबवत है।
एक ही बिंदु से एक रेखा पर केवल एक ही लंब खींचा जा सकता है।
अतः OM और ON एक ही रेखा पर स्थित होने चाहिए जो AB और CD दोनों पर लंबवत है और O से होकर गुजरती है।
इससे यह साबित होता है कि बिंदु M, O और N संरेखीय हैं, और रेखाखण्ड MN वृत्त के केंद्र O से होकर जाता है। यह रेखा दोनों जीवाओं पर लंबवत भी होती है।
In simple words: इस प्रश्न में दो समांतर जीवाएँ दी गई हैं। हमें यह साबित करना है कि अगर हम इन जीवाओं के बीच के बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो वह रेखा केंद्र से होकर गुजरेगी। केंद्र से जीवाओं पर लंब खींचकर और समांतर रेखाओं के गुणों का उपयोग करके इसे साबित किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि वृत्त के केंद्र से किसी जीवा पर डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करता है। जब जीवाएँ समांतर होती हैं, तो केंद्र से उन पर डाले गए लंब भी एक ही सीधी रेखा में होते हैं।