RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Exercise 11.4

प्रश्न 1. निम्न के उत्तर सत्य एवं असत्य में देना है। अपने उत्तर का कारण भी लिखिए (यदि सम्भव हो)
(i) दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं को अनुपात 4 : 9 है तो इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 4 : 9 है।
(ii) दो त्रिभजों क्रमशः ABC व DEF में यदि \( \frac{\text{△ABC के क्षेत्रफल}}{\text{△DEF के क्षेत्रफल}} = \frac{A B^{2}}{D E^{2}}=\frac{9}{4} \) है तो △ABC = △DEF होगा।
(iii) दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी भुजाओं के वर्गों के समानुपाती होता है।
(iv) △ABC एवं △AXY समरूप हों और उनके क्षेत्रफलों का मान समान हो तो XY एवं BC सम्पाती भुजाएँ हो सकती है।
Answer:
(i) कथन असत्य है।
कारण: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यदि भुजाओं का अनुपात 4:9 है, तो क्षेत्रफलों का अनुपात \( (\frac{4}{9})^2 = \frac{16}{81} \) होगा। त्रिभुजों का क्षेत्रफल उनकी भुजाओं के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है।
(ii) कथन असत्य है।
कारण: यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात \( \frac{9}{4} \) है, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात \( \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \) होगा। सर्वांगसम त्रिभुजों के लिए भुजाओं का अनुपात 1:1 होना चाहिए। यहाँ भुजाओं का अनुपात 3:2 है, इसलिए त्रिभुज ABC और DEF समरूप होंगे, सर्वांगसम नहीं।
(iii) कथन सत्य है।
कारण: यह समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों से संबंधित एक महत्वपूर्ण प्रमेय है। यह प्रमेय बताती है कि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
(iv) कथन सत्य है।
कारण: यदि दो त्रिभुज समरूप हैं और उनके क्षेत्रफल समान हैं, तो वे सर्वांगसम (congruent) भी होते हैं। सर्वांगसम त्रिभुजों में संगत भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं और वे एक-दूसरे पर पूरी तरह से फिट हो सकती हैं, यानी वे सम्पाती हो सकती हैं। यह तभी संभव है जब उनकी सभी संगत भुजाएं बराबर हों।
In simple words: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी भुजाओं के वर्गों के अनुपात में होता है। यदि क्षेत्रफल समान हैं, तो भुजाएँ भी समान होंगी, जिससे वे एक-दूसरे पर फिट हो सकते हैं।

🎯 Exam Tip: समरूप त्रिभुजों के गुणों को ध्यान से समझें, खासकर क्षेत्रफलों और भुजाओं के बीच के संबंध को। 'समरूप' और 'सर्वांगसम' शब्दों के अर्थ में अंतर को समझना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 2. यदि △ABC ~ △DEF और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 वर्ग सेमी. और 121 वर्ग सेमी. हैं यदि EF = 15.4 सेमी. हो तो BC ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है:
△ABC ~ △DEF
क्षेत्रफल (△ABC) \( = 64 \text{ सेमी.}^2 \)
क्षेत्रफल (△DEF) \( = 121 \text{ सेमी.}^2 \)
EF \( = 15.4 \text{ सेमी.} \)
हमें BC ज्ञात करना है।

चूँकि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है, हम लिख सकते हैं:
\( \frac{\text{क्षेत्रफल (△ABC)}}{\text{क्षेत्रफल (△DEF)}} = \frac{BC^2}{EF^2} \)
\( \frac{64}{121} = \frac{BC^2}{(15.4)^2} \)

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \sqrt{\frac{64}{121}} = \frac{BC}{15.4} \)
\( \frac{8}{11} = \frac{BC}{15.4} \)

अब BC के लिए हल करें:
\( BC = \frac{8 \times 15.4}{11} \)
\( BC = 8 \times 1.4 \)
\( BC = 11.2 \text{ सेमी.} \)
इसलिए, भुजा BC की लंबाई 11.2 सेमी है।
In simple words: समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। इस नियम का उपयोग करके, हम दी गई भुजा और क्षेत्रफलों से अज्ञात भुजा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप संगत भुजाओं का सही अनुपात लें और वर्गमूल निकालते समय दोनों पक्षों पर सही ढंग से वर्गमूल लागू करें।

प्रश्न 3. एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC एवं DBC बने हैं। यदि AD व BC परस्पर O पर प्रतिच्छेद करें तो सिद्ध कीजिए \( \frac{\text{△ABC का क्षेत्रफल}}{\text{△DBC का क्षेत्रफल}} = \frac{AO}{DO} \)
Answer:
दिया है:
एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज △ABC और △DBC बने हैं। AD और BC एक दूसरे को O पर काटते हैं।

सिद्ध करना है:
\( \frac{\text{क्षेत्रफल (△ABC)}}{\text{क्षेत्रफल (△DBC)}} = \frac{AO}{DO} \)

रचना:
भुजा BC पर A से एक लम्ब AL खींचिए, और भुजा BC पर D से एक लम्ब DM खींचिए।

उपपत्ति:

त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई

क्षेत्रफल (△ABC) \( = \frac{1}{2} \times BC \times AL \)
क्षेत्रफल (△DBC) \( = \frac{1}{2} \times BC \times DM \)

\( \frac{\text{क्षेत्रफल (△ABC)}}{\text{क्षेत्रफल (△DBC)}} = \frac{\frac{1}{2} \times BC \times AL}{\frac{1}{2} \times BC \times DM} \)

\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल (△ABC)}}{\text{क्षेत्रफल (△DBC)}} = \frac{AL}{DM} \).........(1)

अब, △ALO और △DMO में:
\( \angle ALO = \angle DMO = 90^\circ \) (रचना द्वारा)
\( \angle AOL = \angle DOM \) (शीर्षाभिमुख कोण)

इसलिए, AA समरूपता कसौटी से, △ALO ~ △DMO है। त्रिभुजों की समरूपता बताती है कि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा।

\( \implies \frac{AL}{DM} = \frac{AO}{DO} = \frac{LO}{MO} \)........(2)

समीकरण (1) और (2) से:
\( \frac{\text{क्षेत्रफल (△ABC)}}{\text{क्षेत्रफल (△DBC)}} = \frac{AO}{DO} \)
यह सिद्ध हुआ।
In simple words: हमने दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को उनके आधार और ऊंचाई के रूप में लिखा। फिर, हमने दो छोटे त्रिभुजों की समानता का उपयोग करके ऊँचाई के अनुपात को रेखाखंडों के अनुपात से जोड़ा। इससे वह संबंध सिद्ध हो गया जो हमें चाहिए था।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, एक अच्छी आरेख बनाना और लम्ब खींचकर ऊँचाइयों को स्पष्ट रूप से दिखाना सहायक होता है। समरूपता के नियमों को याद रखें।

प्रश्न 4. निम्न प्रश्नों के हल ज्ञात कीजिए
(i) △ABC में DE || BC एवं AD: DB = 2: 3 हो तो △ADE एवं △ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
(ii) रेखाखण्ड AB के बिन्दु A व B पर PB और QA लम्ब है। यदि P व Q, AB के दोनों ओर स्थित हों और P व Q को मिलाने पर वह AB को O पर प्रतिच्छेद करे तथा PO= 5 सेमी., QO = 7 सेमी., △РОВ का क्षेत्रफल 150 सेमी. हो तो △QOA का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(iii) आकृति में x का मान a, b एवं c के पदों में ज्ञात ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) दिया है:
△ABC में, DE || BC
AD : DB \( = 2 : 3 \)
इसका मतलब है कि \( \frac{AD}{DB} = \frac{2}{3} \)
अब, \( \frac{DB}{AD} = \frac{3}{2} \)
दोनों ओर 1 जोड़ने पर:
\( \frac{DB}{AD} + 1 = \frac{3}{2} + 1 \)
\( \implies \frac{DB + AD}{AD} = \frac{3 + 2}{2} \)
\( \implies \frac{AB}{AD} = \frac{5}{2} \)
तो, \( \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5} \)

चूँकि DE || BC है, इसलिए △ADE ~ △ABC (AA समरूपता कसौटी से, क्योंकि \( \angle A \) उभयनिष्ठ है, और \( \angle ADE = \angle ABC \), \( \angle AED = \angle ACB \) संगत कोण हैं)।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल (△ADE)}}{\text{क्षेत्रफल (△ABC)}} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 \)
\( = \left(\frac{2}{5}\right)^2 \)
\( = \frac{4}{25} \)
इसलिए, △ADE और △ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात 4:25 है। यह दर्शाता है कि बड़ा त्रिभुज छोटे त्रिभुज से कितना गुना बड़ा है।

(ii) दिया है:
PB \( \perp \) AB और QA \( \perp \) AB
PO \( = 5 \text{ सेमी.} \)
QO \( = 7 \text{ सेमी.} \)
क्षेत्रफल (△POB) \( = 150 \text{ सेमी.}^2 \)
हमें क्षेत्रफल (△QOA) ज्ञात करना है।

△POB और △QOA में:
\( \angle QOA = \angle POB \) (शीर्षाभिमुख कोण)
\( \angle QAO = \angle PBO = 90^\circ \) (क्योंकि QA \( \perp \) AB और PB \( \perp \) AB है)
इसलिए, AA समरूपता कसौटी से, △QOA ~ △POB है।

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल (△QOA)}}{\text{क्षेत्रफल (△POB)}} = \left(\frac{QO}{PO}\right)^2 \)
\( \frac{\text{क्षेत्रफल (△QOA)}}{150} = \left(\frac{7}{5}\right)^2 \)
\( \frac{\text{क्षेत्रफल (△QOA)}}{150} = \frac{49}{25} \)

अब क्षेत्रफल (△QOA) के लिए हल करें:
\( \text{क्षेत्रफल (△QOA)} = 150 \times \frac{49}{25} \)
\( = 6 \times 49 \)
\( = 294 \text{ सेमी.}^2 \)
इसलिए, △QOA का क्षेत्रफल 294 वर्ग सेमी है। जब रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं और लम्ब होते हैं, तो वे समान रूप से आकार बदलने वाले त्रिभुज बनाते हैं।

(iii) आकृति में x का मान a, b एवं c के पदों में ज्ञात कीजिए।
(नोट: इस हल में त्रिभुजों की लेबलिंग (ACBD और ACAE) पाठ्यपुस्तक के अनुसार ली गई है, जो आरेख से भिन्न दिख सकती है। यह विशिष्ट नामकरण प्रणाली का पालन करता है।) दिया है: \( \angle CBD = \angle CAE = 50^\circ \) (दिया गया कोण)
\( \angle C = \angle C \) (उभयनिष्ठ कोण)
इसलिए, AA समरूपता कसौटी से, △CBD ~ △CAE है।

समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
\( \frac{CB}{CA} = \frac{BD}{AE} \)
हल में दिए गए मानों को यहाँ प्रतिस्थापित करने पर (जहाँ \( CB = b+c \), \( CA = x \), \( BD = a \), \( AE = c \))
\( \frac{b+c}{x} = \frac{a}{c} \)

अब x के लिए हल करें:
\( x \times a = (b+c) \times c \)
\( x = \frac{c(b+c)}{a} \)
यह \( x \) का मान \( a, b \) और \( c \) के पदों में है। यह सूत्र भुजाओं की लंबाई के बीच का संबंध दिखाता है जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं।
In simple words: यदि दो त्रिभुज समरूप हों, तो उनकी भुजाओं का अनुपात हमेशा बराबर रहता है। इस नियम का उपयोग करके, हम एक अज्ञात भुजा की लंबाई को दूसरी भुजाओं की लंबाई के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: समरूप त्रिभुजों से जुड़े प्रश्नों में, पहले संगत कोणों और भुजाओं की पहचान करें। सुनिश्चित करें कि आप भुजाओं का अनुपात सही ढंग से लिख रहे हैं, जिससे कोई गणना त्रुटि न हो।

प्रश्न 5. △ABC में \( \angle B = 90^\circ \) हो एवं BD कर्ण AC पर लम्बे हो तो सिद्ध कीजिए △ADB ~ △BDC
Answer:
दिया है:
एक समकोण त्रिभुज ABC है जिसमें \( \angle ABC = 90^\circ \) है और BD कर्ण AC पर लंब है (अर्थात् BD \( \perp \) AC)।

सिद्ध करना है:
△ADB ~ △BDC

उपपत्ति:
त्रिभुज ABC में, \( \angle ABC = 90^\circ \)
हमें पता है कि एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
\( \angle A + 90^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( \implies \angle A + \angle C = 90^\circ \) ............(1)

अब, △ABD में:
\( \angle ADB = 90^\circ \) (क्योंकि BD \( \perp \) AC)
\( \angle DAB + \angle ABD + \angle BDA = 180^\circ \)
\( \angle DAB + \angle ABD + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle DAB + \angle ABD = 90^\circ \) ............(2)

समीकरण (1) और (2) से:
\( \angle A + \angle C = \angle DAB + \angle ABD \)
चूँकि \( \angle DAB \) वही है जो \( \angle A \) है, हम लिख सकते हैं:
\( \angle A + \angle C = \angle A + \angle ABD \)
\( \implies \angle C = \angle ABD \) ............(3)

इसी प्रकार, △BDC में:
\( \angle BDC = 90^\circ \) (क्योंकि BD \( \perp \) AC)
\( \angle DBC + \angle BCD + \angle CDB = 180^\circ \)
\( \angle DBC + \angle BCD + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle DBC + \angle BCD = 90^\circ \) ............(4)

समीकरण (1) और (4) से:
\( \angle A + \angle C = \angle DBC + \angle BCD \)
चूँकि \( \angle BCD \) वही है जो \( \angle C \) है, हम लिख सकते हैं:
\( \angle A + \angle C = \angle DBC + \angle C \)
\( \implies \angle A = \angle DBC \) ............(5)

अब, △ADB और △BDC में, समीकरण (3) और (5) का उपयोग करते हुए:
\( \angle DAB = \angle DBC \) (समीकरण 5 से, दोनों \( \angle A \) के बराबर)
\( \angle ABD = \angle BCD \) (समीकरण 3 से, दोनों \( \angle C \) के बराबर)
\( \angle ADB = \angle BDC = 90^\circ \) (प्रत्येक 90 डिग्री)

इसलिए, AAA समरूपता कसौटी से, △ADB ~ △BDC है। यह एक समकोण त्रिभुज में लम्ब डालने पर बनने वाले त्रिभुजों के बीच का एक सामान्य संबंध है।
In simple words: एक बड़े समकोण त्रिभुज के अंदर, जब समकोण वाले कोने से कर्ण पर एक सीधी रेखा (लम्ब) खींचते हैं, तो यह दो छोटे समकोण त्रिभुज बनाता है। ये दोनों छोटे त्रिभुज आपस में और बड़े त्रिभुज के समरूप होते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे ज्यामिति प्रमाणों के लिए, प्रत्येक कोण संबंध को स्पष्ट रूप से लिखें और दिखाएँ कि कौन से कोण समान हैं। 'AAA' या 'AA' समरूपता कसौटी का उपयोग करके निष्कर्ष पर पहुँचें।

प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि वर्ग की एक भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
Answer:
दिया है:
एक वर्ग ABCD है।
भुजा BC पर एक समबाहु त्रिभुज BCE बनाया गया है।
विकर्ण AC पर एक समबाहु त्रिभुज ACF बनाया गया है।

सिद्ध करना है:
क्षेत्रफल (△BCE) \( = \frac{1}{2} \) क्षेत्रफल (△ACF)

उपपत्ति:
मान लीजिए वर्ग ABCD की प्रत्येक भुजा की लंबाई 's' है।

तो, समबाहु त्रिभुज BCE की भुजा \( = BC = s \)
हम जानते हैं कि वर्ग का विकर्ण भुजा \( \times \sqrt{2} \) होता है।
तो, वर्ग ABCD का विकर्ण \( = AC = s\sqrt{2} \)

समबाहु त्रिभुज ACF की भुजा \( = AC = s\sqrt{2} \)

चूँकि सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं, इसलिए △BCE और △ACF दोनों समरूप त्रिभुज हैं (△BCE ~ △ACF)। समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएं समान होती हैं, जिससे वे स्वाभाविक रूप से समरूप होते हैं।

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल (△BCE)}}{\text{क्षेत्रफल (△ACF)}} = \left(\frac{\text{भुजा (△BCE)}}{\text{भुजा (△ACF)}}\right)^2 \)
\( = \left(\frac{BC}{AC}\right)^2 \)
\( = \left(\frac{s}{s\sqrt{2}}\right)^2 \)
\( = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \)
\( = \frac{1}{2} \)

इसलिए,
\( \text{क्षेत्रफल (△BCE)} = \frac{1}{2} \times \text{क्षेत्रफल (△ACF)} \)
यह सिद्ध हुआ।
In simple words: एक वर्ग की भुजा पर बना समबाहु त्रिभुज, विकर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज के आधे क्षेत्रफल का होता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि विकर्ण की लंबाई भुजा से \( \sqrt{2} \) गुना अधिक होती है, और क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के वर्गों के अनुपात में होता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रमाण के लिए, वर्ग की भुजा और विकर्ण के बीच के संबंध को स्पष्ट रूप से स्थापित करें। समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात का प्रमेय यहां मुख्य बिंदु है, इसे ठीक से लागू करें।