RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Exercise 11.2

Question 1. △ABC की भुजाएँ AB व AC पर क्रमशः D व E बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि DE || BC हो तो
(i) यदि AD = 6 सेमी., DB = 9 सेमी. और AE = 8 सेमी. हो तो AC का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि \( \frac{A D}{D B}=\frac{4}{13} \) और AC = 20.4 सेमी. हो तो EC का मान ज्ञात कीजिए।
(iii) यदि \( \frac{AD}{D B}=\frac{7}{4} \) और AE = 6.3 सेमी. हो तो AC का मान ज्ञात कीजिए।
(iv) यदि AD = 4x - 3, AE = 8x - 7, BD = 3x - 1 और CE = 5x - 3 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) △ABC में DE || BC दिया गया है।
अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) से:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \)
दिए गए मानों को रखने पर:
\( \frac{6}{9}=\frac{8}{E C} \)
तिर्यक गुणा करने पर:
\( 6 \times \mathrm{EC} = 9 \times 8 \)
\( \mathrm{EC} = \frac{72}{6} \)
\( \mathrm{EC} = 12 \) सेमी.
अब, AC की लम्बाई ज्ञात करने के लिए:
\( \mathrm{AC} = \mathrm{AE} + \mathrm{EC} \)
\( \mathrm{AC} = 8 + 12 \)
\( \mathrm{AC} = 20 \) सेमी.

(ii) △ABC में DE || BC दिया गया है।
अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \)
हम जानते हैं कि \( \mathrm{EC} = \mathrm{AC} - \mathrm{AE} \)
तो समीकरण को ऐसे लिख सकते हैं:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}-\mathrm{AE}} \)
दिए गए मानों को रखने पर:
\( \frac{4}{13}=\frac{\mathrm{AE}}{20.4-\mathrm{AE}} \)
तिर्यक गुणा करने पर:
\( 4(20.4 - \mathrm{AE}) = 13 \mathrm{AE} \)
\( 81.6 - 4 \mathrm{AE} = 13 \mathrm{AE} \)
\( 81.6 = 13 \mathrm{AE} + 4 \mathrm{AE} \)
\( 81.6 = 17 \mathrm{AE} \)
\( \mathrm{AE} = \frac{81.6}{17} \)
\( \mathrm{AE} = 4.8 \) सेमी.
अब, EC की लम्बाई ज्ञात करने के लिए:
\( \mathrm{EC} = \mathrm{AC} - \mathrm{AE} \)
\( \mathrm{EC} = 20.4 - 4.8 \)
\( \mathrm{EC} = 15.6 \) सेमी.

(iii) △ABC में DE || BC दिया गया है।
अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \)
हम जानते हैं कि \( \mathrm{AC} = \mathrm{AE} + \mathrm{EC} \), तो \( \mathrm{EC} = \mathrm{AC} - \mathrm{AE} \)
दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर:
\( \frac{7}{4}=\frac{6.3}{\mathrm{EC}} \)
तिर्यक गुणा करने पर:
\( 7 \times \mathrm{EC} = 4 \times 6.3 \)
\( 7 \times \mathrm{EC} = 25.2 \)
\( \mathrm{EC} = \frac{25.2}{7} \)
\( \mathrm{EC} = 3.6 \) सेमी.
अब, AC की लम्बाई ज्ञात करने के लिए:
\( \mathrm{AC} = \mathrm{AE} + \mathrm{EC} \)
\( \mathrm{AC} = 6.3 + 3.6 \)
\( \mathrm{AC} = 9.9 \) सेमी.

(iv) △ABC में DE || BC दिया गया है।
अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \)
दिए गए मानों को रखने पर:
\( \frac{4x - 3}{3x - 1}=\frac{8x - 7}{5x - 3} \)
तिर्यक गुणा करने पर:
\( (4x - 3)(5x - 3) = (3x - 1)(8x - 7) \)
दोनों पक्षों में गुणा करें:
\( 20x^2 - 12x - 15x + 9 = 24x^2 - 21x - 8x + 7 \)
\( 20x^2 - 27x + 9 = 24x^2 - 29x + 7 \)
सभी पदों को एक तरफ ले जाने पर:
\( 0 = 24x^2 - 20x^2 - 29x + 27x + 7 - 9 \)
\( 0 = 4x^2 - 2x - 2 \)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\( 0 = 2x^2 - x - 1 \)
यह एक द्विघात समीकरण है, जिसे गुणनखंड विधि से हल किया जा सकता है:
\( 0 = 2x^2 - 2x + x - 1 \)
\( 0 = 2x(x - 1) + 1(x - 1) \)
\( 0 = (x - 1)(2x + 1) \)
दो संभावनाएं हैं:
या तो \( x - 1 = 0 \implies x = 1 \)
या \( 2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \)
चूंकि भुजाओं की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \( x = -\frac{1}{2} \) मान्य नहीं होगा।
इसलिए, \( x = 1 \).
In simple words: जब किसी त्रिभुज में एक रेखा किसी एक भुजा के समांतर होती है और बाकी दो भुजाओं को काटती है, तो वह उन दो भुजाओं को समान अनुपात में बांटती है। हम इसी नियम का उपयोग करके अज्ञात मान (जैसे EC, AE, या x) निकालते हैं। समीकरणों को हल करते समय ऋणात्मक लम्बाई वाले उत्तरों को अनदेखा कर दें।

🎯 Exam Tip: आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुप्रयोग में, संगत भुजाओं के अनुपातों को सही ढंग से लिखना महत्वपूर्ण है। द्विघात समीकरणों को हल करते समय, सुनिश्चित करें कि भुजाओं की लम्बाई के लिए प्राप्त x के मान धनात्मक हों।

Question 2. △ABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित हैं, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
(ii) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी. तथा AE = 1.8 सेमी.
(iii) AD = 10.5 सेमी., BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.
(iv) AD = 5.7 सेमी., BD = 9.5 सेमी., AE = 3.3 सेमी. तथा EC = 5.5 सेमी.
Answer:
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम (Converse of BPT) के अनुसार, यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है। हमें बस अनुपात की जांच करनी है।

(i) दिया है कि △ABC की भुजाओं AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित हैं।
AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
पहले DB और EC की लम्बाई ज्ञात करें:
\( \mathrm{DB} = \mathrm{AB} - \mathrm{AD} = 12 - 8 = 4 \) सेमी.
\( \mathrm{EC} = \mathrm{AC} - \mathrm{AE} = 18 - 12 = 6 \) सेमी.
अब अनुपातों की गणना करें:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} = \frac{8}{4} = 2 \)
\( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} = \frac{12}{6} = 2 \)
चूंकि \( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \), इसलिए आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से, DE || BC.

(ii) दिया है: AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी. तथा AE = 1.8 सेमी.
पहले DB और EC की लम्बाई ज्ञात करें:
\( \mathrm{DB} = \mathrm{AB} - \mathrm{AD} = 5.6 - 1.4 = 4.2 \) सेमी.
\( \mathrm{EC} = \mathrm{AC} - \mathrm{AE} = 9.0 - 1.8 = 7.2 \) सेमी.
अब अनुपातों की गणना करें:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} = \frac{1.4}{4.2} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} = \frac{1.8}{7.2} = \frac{1}{4} \)
चूंकि \( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} \neq \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \), इसलिए DE, BC के समांतर नहीं है।

(iii) दिया है: AD = 10.5 सेमी., BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.
पहले EC की लम्बाई ज्ञात करें:
\( \mathrm{EC} = \mathrm{AC} - \mathrm{AE} = 4.8 - 2.8 = 2 \) सेमी.
अब अनुपातों की गणना करें:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}} = \frac{10.5}{4.5} = \frac{105}{45} = \frac{7}{3} \)
\( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} = \frac{2.8}{2} = \frac{28}{20} = \frac{7}{5} \)
चूंकि \( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}} \neq \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \), इसलिए DE, BC के समांतर नहीं है।

(iv) दिया है: AD = 5.7 सेमी., BD = 9.5 सेमी., AE = 3.3 सेमी. तथा EC = 5.5 सेमी.
अनुपातों की गणना करें:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}} = \frac{5.7}{9.5} = \frac{57}{95} = \frac{3}{5} \)
\( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} = \frac{3.3}{5.5} = \frac{33}{55} = \frac{3}{5} \)
चूंकि \( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \), इसलिए आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से, DE || BC.
In simple words: यह जांचने के लिए कि एक रेखा त्रिभुज की तीसरी भुजा के समांतर है या नहीं, हम उस रेखा द्वारा अन्य दो भुजाओं को बांटे गए भागों के अनुपात की तुलना करते हैं। यदि अनुपात बराबर आते हैं, तो रेखा समांतर होती है, अन्यथा नहीं।

🎯 Exam Tip: आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम को सिद्ध करने के लिए, हमेशा \( \frac{AD}{DB} \) और \( \frac{AE}{EC} \) के अनुपातों की अलग-अलग गणना करें और फिर उनकी तुलना करें।

Question 3. दी गई आकृति में OA, OB और OC पर क्रमशः L, M एवं N बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि LM || AB तथा MN || BC है तो दर्शाइए LN | AC है।
Answer:
दिया है कि △ABC में बिन्दु L, M एवं N क्रमशः OA, OB तथा OC भुजाओं पर इस प्रकार स्थित हैं कि LM || AB तथा MN || BC.
हमें सिद्ध करना है कि LN || AC.

उपपत्ति (Proof):
सबसे पहले △OAB में देखें। हमें दिया गया है कि LM || AB.
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुसार:
\( \frac{\mathrm{OL}}{\mathrm{LA}} = \frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{MB}} \) (समीकरण i)

अब, △OBC में देखें। हमें दिया गया है कि MN || BC.
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुसार:
\( \frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{MB}} = \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{NC}} \) (समीकरण ii)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) से, हम देख सकते हैं कि दोनों में \( \frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{MB}} \) उभयनिष्ठ है:
\( \frac{\mathrm{OL}}{\mathrm{LA}} = \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{NC}} \)

अब, △OAC में देखें। हमने सिद्ध किया है कि \( \frac{\mathrm{OL}}{\mathrm{LA}} = \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{NC}} \).
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम (Converse of BPT) के अनुसार, यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।
इसलिए, △OAC में LN || AC है। (इतिसिद्धम्)
In simple words: यदि एक त्रिभुज की दो भुजाओं पर कोई रेखा खींची जाती है, तो वह उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, और यदि ऐसा होता है तो वह रेखा त्रिभुज की तीसरी भुजा के समांतर होती है। यहाँ, हमने दो छोटे त्रिभुजों में इस नियम को लगाकर दिखाया कि तीसरी रेखा भी समांतर है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सवालों में, हमेशा अलग-अलग त्रिभुजों पर आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) को लागू करें और फिर समीकरणों को मिलाकर अंतिम परिणाम तक पहुँचें।

Question 5. आकृति में DE || BC और CD || EF हो तो सिद्ध कीजिए AD² = AB × AF
Answer:
हमें दिया गया है कि △ABC में DE || BC.
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) से:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \)
इस अनुपात को पलटकर दोनों तरफ 1 जोड़ने पर:
\( \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}} + 1 = \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{AE}} + 1 \)
\( \frac{\mathrm{DB} + \mathrm{AD}}{\mathrm{AD}} = \frac{\mathrm{EC} + \mathrm{AE}}{\mathrm{AE}} \)
\( \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}} \) (समीकरण i)

अब, △ADC में देखें। हमें दिया गया है कि EF || DC.
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) से:
\( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} = \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FD}} \)
इस अनुपात को पलटकर दोनों तरफ 1 जोड़ने पर:
\( \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{AE}} + 1 = \frac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}} + 1 \)
\( \frac{\mathrm{EC} + \mathrm{AE}}{\mathrm{AE}} = \frac{\mathrm{FD} + \mathrm{AF}}{\mathrm{AF}} \)
\( \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}} = \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AF}} \) (समीकरण ii)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) से, दोनों में \( \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}} \) उभयनिष्ठ है:
\( \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}} = \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AF}} \)
तिर्यक गुणा करने पर:
\( \mathrm{AD} \times \mathrm{AD} = \mathrm{AB} \times \mathrm{AF} \)
\( \mathrm{AD}^2 = \mathrm{AB} \times \mathrm{AF} \) (इतिसिद्धम्)
In simple words: इस समस्या में, हमें दो बार आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) का उपयोग करना पड़ा। पहले DE और BC की समांतरता का उपयोग करके एक अनुपात बनाया, फिर EF और DC की समांतरता का उपयोग करके दूसरा अनुपात बनाया। अंत में, हमने इन दोनों अनुपातों को जोड़कर वह सिद्ध किया जो हमें दिखाना था।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करते समय, ध्यान दें कि कौन सी रेखाएं किस त्रिभुज में समांतर हैं। समीकरणों को जोड़ने या बदलने के लिए 'पलटने और 1 जोड़ने' की तकनीक अक्सर उपयोगी होती है।

Question 7. ABCD पर समान्तर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा BC पर कोई बिन्दु P स्थित है। यदि DP एवं AB को आगे बढ़ाएँ तो वे L पर मिलते हैं। तो सिद्ध कीजिए
(i) \( \frac{\mathbf{D P}}{\mathbf{P L}}=\frac{\mathbf{D C}}{\mathbf{B L}} \)
(ii) \( \frac{\mathrm{DL}}{\mathrm{DP}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{D} \mathrm{C}} \)
Answer:
दिया है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी भुजा BC पर बिन्दु P इस प्रकार है कि बढ़ाई गई DP भुजा AB को बिन्दु L पर काटती है।

उपपत्ति (Proof):
(i) △ALD में, हमें पता है कि BP || AD (क्योंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AD || BC, और P, BC पर एक बिन्दु है, तो BP भी AD के समांतर होगा)।
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) से:
\( \frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{DP}} \)
चूंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AB = DC.
तो, हम AB की जगह DC रख सकते हैं:
\( \frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{DC}} = \frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{DP}} \)
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:
\( \frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BL}} = \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PL}} \) या \( \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PL}}=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BL}} \) (इतिसिद्धम्)

(ii) हमने (i) में सिद्ध किया है कि \( \frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{DP}} = \frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{DC}} \).
दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर:
\( \frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{DP}} + 1 = \frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{DC}} + 1 \)
\( \frac{\mathrm{PL} + \mathrm{DP}}{\mathrm{DP}} = \frac{\mathrm{BL} + \mathrm{DC}}{\mathrm{DC}} \)
चूंकि \( \mathrm{PL} + \mathrm{DP} = \mathrm{DL} \), और समांतर चतुर्भुज में \( \mathrm{DC} = \mathrm{AB} \).
तो, \( \mathrm{BL} + \mathrm{DC} = \mathrm{BL} + \mathrm{AB} = \mathrm{AL} \).
इसलिए, समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( \frac{\mathrm{DL}}{\mathrm{DP}} = \frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{DC}} \) (इतिसिद्धम्)
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज में, यदि आप एक भुजा को बढ़ाते हैं और उसे एक अन्य रेखा से मिलाते हैं, तो त्रिभुजों की भुजाओं के बीच एक खास अनुपात बन जाता है। इन अनुपातों का उपयोग करके हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि बड़ी रेखाओं के हिस्से भी समान अनुपात में होते हैं।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज के गुणों (जैसे सम्मुख भुजाओं का समांतर और बराबर होना) का उपयोग आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के साथ करना न भूलें। 'दोनों पक्षों में 1 जोड़ने' की तकनीक अक्सर बड़े अनुपातों को सिद्ध करने में काम आती है।

Question 8. △ABC की भुजी AB पर D और E दो ऐसे बिन्दु स्थित हैं कि AD = BE हो। यदि DP || BC तथा EQ || AC हो तो सिद्ध कीजिए PQ || ABI
Answer:
दिया है कि △ABC में भुजा AB पर D और E दो बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि AD = BE. यह भी दिया है कि DP || BC तथा EQ || AC.
हमें सिद्ध करना है कि PQ || AB.

सबसे पहले △ABC में, हमें दिया गया है कि DP || BC.
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) से:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} = \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}} \) (समीकरण i)

पुनः △ABC में, हमें दिया गया है कि EQ || AC.
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) से:
\( \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EA}} = \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \) (समीकरण ii)

हमें दिया गया है कि AD = BE.
इसका मतलब है कि \( \mathrm{DB} = \mathrm{AB} - \mathrm{AD} \) और \( \mathrm{EA} = \mathrm{AB} - \mathrm{BE} \).
चूंकि AD = BE, तो \( \mathrm{AB} - \mathrm{AD} = \mathrm{AB} - \mathrm{BE} \), जिसका अर्थ है \( \mathrm{DB} = \mathrm{EA} \).
अब, हम \( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} \) और \( \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EA}} \) के अनुपातों को देखें।
क्योंकि AD = BE और DB = EA, इसलिए:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} = \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EA}} \)

अब समीकरण (i) और (ii) से, हम पाते हैं कि:
\( \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}} = \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \)

आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम (Converse of BPT) के अनुसार, यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।
यहां, P और Q त्रिभुज ABC की भुजाओं CA और CB को एक ही अनुपात में विभाजित करते हैं।
इसलिए, PQ || AB. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हमने देखा कि एक त्रिभुज की भुजाओं पर दो बिंदु हैं जो एक ही अनुपात में भागों को विभाजित करते हैं। जब ऐसा होता है, तो उन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा त्रिभुज की तीसरी भुजा के समांतर हो जाती है।

🎯 Exam Tip: जब दो अलग-अलग समांतरताओं के कारण अनुपात बनते हैं, तो उन अनुपातों को जोड़कर एक नया संबंध स्थापित करें। अंत में, समांतरता सिद्ध करने के लिए अक्सर BPT के विलोम का उपयोग करना पड़ता है।

Question 9. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी AB || DC है तथा इसके विकर्ण ० पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए \( \frac{A O}{B 0}=\frac{CO}{D 0} \)
Answer:
दिया है कि ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC है। इसके विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें सिद्ध करना है कि \( \frac{A O}{B 0}=\frac{CO}{D 0} \).

रचना (Construction):
बिन्दु O से एक रेखा FO खींचिए जो DC के समांतर हो और AB के भी समांतर हो (FO || DC || AB).

उपपत्ति (Proof):
सबसे पहले △ADC में देखें। हमने रचना की है कि FO || DC.
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुसार:
\( \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FD}} = \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OC}} \) (समीकरण i)

अब △ABD में देखें। हमें पता है कि FO || AB.
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुसार:
\( \frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{FA}} = \frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{OB}} \)
इस अनुपात को पलटकर लिखने पर:
\( \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{DF}} = \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{DO}} \) (समीकरण ii)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) से, दोनों में \( \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{DF}} \) (या \( \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FD}} \)) उभयनिष्ठ है:
\( \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OC}} = \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{DO}} \)
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर (तिर्यक गुणा करके फिर से व्यवस्थित करें):
\( \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}} = \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}} \) (इतिसिद्धम्)
In simple words: एक समलंब चतुर्भुज में, यदि आप एक छोटी सी समांतर रेखा बनाते हैं जो विकर्णों के कटान बिंदु से होकर गुजरती है, तो आप त्रिभुजों में एक विशेष अनुपात का उपयोग कर सकते हैं। यह अनुपात हमें यह सिद्ध करने में मदद करता है कि विकर्ण एक दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।

🎯 Exam Tip: समलंब चतुर्भुज वाले प्रश्नों में, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर समांतर रेखा की रचना करना एक सामान्य और प्रभावी तरीका है। इससे दो अलग-अलग त्रिभुजों में BPT लागू करने का अवसर मिलता है।

Question 10. यदि D और E क्रमशः AB और AC, त्रिभुज ABC की भुजाओं पर स्थित ऐसे बिन्दु हैं कि BD = CE हो तो सिद्ध कीजिए △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
Answer:
दिया है कि त्रिभुज ABC में, D और E क्रमशः AB और AC भुजाओं पर स्थित बिन्दु हैं। हमें यह भी दिया गया है कि DE || BC और BD = CE.
हमें सिद्ध करना है कि △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है (यानी, AB = AC).

चूंकि DE || BC, आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुसार:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \)
दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर:
\( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} + 1 = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} + 1 \)
\( \frac{\mathrm{AD} + \mathrm{DB}}{\mathrm{DB}} = \frac{\mathrm{AE} + \mathrm{EC}}{\mathrm{EC}} \)
\( \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DB}} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{EC}} \)
अब, हमें दिया गया है कि \( \mathrm{DB} = \mathrm{CE} \).
तो, हम समीकरण में EC की जगह DB लिख सकते हैं:
\( \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DB}} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DB}} \)
दोनों पक्षों में DB से गुणा करने पर:
\( \mathrm{AB} = \mathrm{AC} \)
चूंकि त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ (AB और AC) बराबर हैं, इसलिए △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। (इतिसिद्धम्)
In simple words: यदि किसी त्रिभुज में एक रेखा किसी दूसरी भुजा के समांतर होती है और जो हिस्से बनते हैं उनमें से दो बराबर होते हैं, तो इसका मतलब है कि पूरा त्रिभुज भी समद्विबाहु है। इसमें दो भुजाएं बराबर होती हैं।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज सिद्ध करने के लिए, हमेशा दो भुजाओं को बराबर दिखाने का लक्ष्य रखें। आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के साथ दिए गए अतिरिक्त संबंधों का उपयोग करने पर ध्यान दें।