GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 9 બૈજિક પદાવલિઓ અને નિત્યસમ Exercise 9.3

Question 1. નીચેની પદાવલિઓની દરેક જોડ માટે ગુણાકાર મેળવો:
(i) \( 4p, q + r \)
(ii) \( ab, a - b \)
(iii) \( a + b, 7a^2b^2 \)
(iv) \( a^2 – 9, 4a \)
(v) \( pq + qr + rp, 0 \)
Answer:
(i) \( 4p \times (q + r) \)
\( = (4p \times q) + (4p \times r) \)
\( = 4pq + 4pr \)
(ii) \( ab \times (a - b) \)
\( = (ab \times a) - (ab \times b) \)
\( = a^2b - ab^2 \)
(iii) \( (a + b) \times 7a^2b^2 \)
\( = (a \times 7a^2b^2) + (b \times 7a^2b^2) \)
\( = 7a^3b^2 + 7a^2b^3 \)
(iv) \( (a^2 – 9) \times 4a \)
\( = (a^2 \times 4a) – (9 \times 4a) \)
\( = 4a^3 - 36a \)
(v) \( (pq + qr + rp) \times 0 \)
\( = 0 \)
In simple words: આપેલ દરેક જોડીમાં, આપણે પ્રથમ પદાવલિને બીજી પદાવલિના દરેક પદ સાથે ગુણીએ છીએ. આ રીતે કૌંસ ખોલીને ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને જો કોઈ પદ શૂન્ય વડે ગુણાય, તો તેનો જવાબ શૂન્ય જ આવે છે.

Exam Tip: Remember to apply the distributive property correctly for each term inside the bracket. Also, any expression multiplied by zero always results in zero.

 

Question 2. કોષ્ટક પૂર્ણ કરો:

Answer:
(i) \( a \times (b + c + d) \)
\( = ab + ac + ad \)
(ii) \( (x + y - 5) \times 5xy \)
\( = (x \times 5xy) + (y \times 5xy) + [(-5) \times 5xy] \)
\( = 5x^2y + 5xy^2 – 25xy \)
(iii) \( p \times (6p^2 – 7p + 5) \)
\( = (p \times 6p^2) + [p \times (-7p)] + (p \times 5) \)
\( = 6p^3 - 7p^2 + 5p \)
(iv) \( 4p^2q^2 \times (p^2 – q^2) \)
\( = (4p^2q^2 \times p^2) + [4p^2q^2 \times (-q^2)] \)
\( = 4p^4q^2 – 4p^2q^4 \)
(v) \( (a + b + c) \times abc \)
\( = (a \times abc) + (b \times abc) + (c \times abc) \)
\( = a^2bc + ab^2c + abc^2 \)
In simple words: કોષ્ટક પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે દરેક પંક્તિમાં આપેલ પ્રથમ પદાવલિને બીજી પદાવલિના દરેક પદ સાથે ગુણીએ છીએ. આ રીતે કૌંસ ખોલીને વિસ્તૃત ગુણાકાર કરીએ છીએ અને સમાન પદોને ભેગા કરીએ છીએ.

Exam Tip: When multiplying polynomials, distribute each term from the first polynomial to every term in the second polynomial. Pay close attention to signs and exponents.

 

Question 3. ગુણાકાર શોધોઃ
(i) \( (a^2) \times (2a^{22}) \times (4a^{26}) \)
(ii) \( (\frac {2}{3}xy) \times (\frac {-9}{10}x^2y^2) \)
(iii) \( (-\frac {10}{3}pq^3) \times (\frac {6}{5}p^3q) \)
(iv) \( x \times x \times x^2 \times x \times x \times x^4 \)
Answer:
(i) \( (a^2) \times (2a^{22}) \times (4a^{26}) \)
\( = (1 \times 2 \times 4) \times (a^2 \times a^{22} \times a^{26}) \)
\( = 8 \times a^{(2+22+26)} \)
\( = 8a^{50} \)
(ii) \( (\frac {2}{3}xy) \times (\frac {-9}{10}x^2y^2) \)
\( = (\frac {2}{3} \times \frac {-9}{10}) \times (x \times x^2) \times (y \times y^2) \)
\( = (\frac {-18}{30}) \times x^{(1+2)} \times y^{(1+2)} \)
\( = -\frac {3}{5}x^3y^3 \)
(iii) \( (-\frac {10}{3}pq^3) \times (\frac {6}{5}p^3q) \)
\( = (\frac {-10}{3} \times \frac {6}{5}) \times (p \times p^3) \times (q^3 \times q) \)
\( = (\frac {-60}{15}) \times p^{(1+3)} \times q^{(3+1)} \)
\( = -4p^4q^4 \)
(iv) \( x \times x \times x^2 \times x \times x \times x^4 \)
\( = x^{(1+1+2+1+1+4)} \)
\( = x^{10} \)
In simple words: ગુણાકાર શોધવા માટે, આપણે ગુણાકારના નિયમો લાગુ પાડીએ છીએ. સંખ્યાઓને ગુણીએ છીએ અને સમાન આધારવાળા ચલોની ઘાતાંકોનો સરવાળો કરીએ છીએ. અપૂર્ણાંકના કિસ્સામાં, અંશને અંશ સાથે અને છેદને છેદ સાથે ગુણીએ છીએ.

Exam Tip: When multiplying terms with the same base, add their exponents. For fractions, multiply the numerators and denominators separately. Remember to handle negative signs carefully.

 

Question 4. (a) \( 3x(4x - 5) + 3 \) નું સાદું રૂપ આપો અને (i) \( x = 3 \) (ii) \( x = \frac {1}{2} \) માટે તેની કિંમત શોધો.
Answer:
\( 3x(4x - 5) + 3 \) નું સાદું રૂપ:
\( = (3x \times 4x) - (3x \times 5) + 3 \)
\( = 12x^2 - 15x + 3 \)
(i) હવે, \( x = 3 \) માટે:
\( 12x^2 - 15x + 3 \)
\( = 12(3)^2 - 15(3) + 3 \)
\( = 12(9) - 45 + 3 \)
\( = 108 - 45 + 3 \)
\( = 63 + 3 \)
\( = 66 \)
(ii) \( x = \frac {1}{2} \) માટે:
\( 12x^2 - 15x + 3 \)
\( = 12(\frac {1}{2})^2 - 15(\frac {1}{2}) + 3 \)
\( = 12(\frac {1}{4}) - \frac {15}{2} + 3 \)
\( = 3 - \frac {15}{2} + 3 \)
\( = 6 - \frac {15}{2} \)
\( = \frac {12-15}{2} \)
\( = \frac {-3}{2} \)
In simple words: પહેલા આપેલ પદાવલિને સરળ સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ. પછી, x ના જુદા જુદા મૂલ્યો માટે, આ સરળ કરેલી પદાવલિમાં x ની કિંમત મૂકીને ગણતરી કરીને તેના મૂલ્યો શોધીએ છીએ.

Exam Tip: First, simplify the algebraic expression completely. Then, substitute the given values of the variable into the simplified expression and carefully perform the arithmetic operations.

 

Question 4. (b) \( a(a^2 + a + 1) + 5 \) નું સાદું રૂપ આપો અને (i) \( a = 0 \) (ii) \( a = 1 \) (iii) \( a = (-1) \) માટે તેની કિંમત શોધો.
Answer:
\( a(a^2 + a + 1) + 5 \) નું સાદું રૂપ:
\( = (a \times a^2) + (a \times a) + (a \times 1) + 5 \)
\( = a^3 + a^2 + a + 5 \)
(i) હવે, \( a = 0 \) માટે:
\( a^3 + a^2 + a + 5 \)
\( = (0)^3 + (0)^2 + (0) + 5 \)
\( = 0 + 0 + 0 + 5 \)
\( = 5 \)
(ii) \( a = 1 \) માટે:
\( a^3 + a^2 + a + 5 \)
\( = (1)^3 + (1)^2 + (1) + 5 \)
\( = 1 + 1 + 1 + 5 \)
\( = 8 \)
(iii) \( a = (-1) \) માટે:
\( a^3 + a^2 + a + 5 \)
\( = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 5 \)
\( = -1 + 1 - 1 + 5 \)
\( = 4 \)
In simple words: પહેલા પદાવલિને સરળ સ્વરૂપમાં બદલીએ છીએ. પછી, a ના અલગ અલગ મૂલ્યો માટે, આ સરળ કરેલી પદાવલિમાં a ની કિંમત મૂકીને તેની ગણતરી કરીએ છીએ.

Exam Tip: When evaluating expressions with negative numbers, remember that an odd power of a negative number is negative, and an even power is positive.

 

Question 5. (a) સરવાળો કરો: \( p(p – q), q(q – r) \) અને \( r(r – p) \)
Answer:
\( [p(p - q)] + [q(q – r)] + [r(r – p)] \)
\( = p^2 – pq + q^2 – qr + r^2 – rp \)
In simple words: આપેલ ત્રણ પદાવલિઓનો સરવાળો કરવા માટે, આપણે દરેક પદાવલિને પહેલા વિસ્તૃત કરીએ છીએ. પછી, બધા વિસ્તૃત પદોને ભેગા કરીને ઉમેરીએ છીએ, જેનાથી p², q² અને r² તેમજ -pq, -qr અને -rp જેવા પદો મળે છે.

Exam Tip: Expand each expression individually by distributing the terms. Then, combine all the resulting terms, ensuring that all like terms are properly added or subtracted.

 

Question 5. (b) સરવાળો કરો: \( 2x (z – x − y) \) અને \( 2y (z – y − x) \)
Answer:
\( [2x(z-x-y)] + [2y(z - y - x)] \)
\( = 2xz – 2x^2 – 2xy + 2yz – 2y^2 – 2xy \)
\( = -2x^2 – 2y^2 – 2xy – 2xy + 2yz + 2xz \)
\( = -2x^2 - 2y^2 - 4xy + 2yz + 2xz \)
In simple words: આ બે પદાવલિઓનો સરવાળો કરવા માટે, આપણે પહેલા દરેક પદાવલિને કૌંસ ખોલીને વિસ્તૃત કરીએ છીએ. પછી, સમાન પદોને ભેગા કરીને ઉમેરીએ છીએ. આ રીતે -2x², -2y², -4xy, +2yz અને +2xz જેવા પદો મળે છે.

Exam Tip: Carefully distribute each monomial outside the parenthesis to every term inside. Then, identify and combine all like terms to simplify the expression fully.

 

Question 5. (c) સરવાળો કરો: \( 4l(10n – 3m + 2l) \) અને \( 3l(l – 4m + 5n) \)
Answer:
\( [4l(10n - 3m + 2l)] - [3l(l – 4m + 5n)] \)
\( = [40ln – 12lm + 8l^2] - [3l^2 – 12lm + 15ln] \)
\( = 40ln – 12lm + 8l^2 - 3l^2 + 12lm - 15ln \)
\( = (40ln - 15ln) + (-12lm + 12lm) + (8l^2 - 3l^2) \)
\( = 25ln + 0lm + 5l^2 \)
\( = 25ln + 5l^2 \)
In simple words: આ બે પદાવલિઓને બાદ કરવા માટે, આપણે પહેલા દરેક કૌંસને વિસ્તૃત કરીએ છીએ. પછી, બાદબાકીના ચિહ્નને કારણે બીજા કૌંસના બધા પદોના ચિહ્નો બદલીએ છીએ. છેલ્લે, સમાન પદોને ભેગા કરીને બાદ કરીએ છીએ.

Exam Tip: When simplifying expressions involving subtraction of polynomials, remember to distribute the negative sign to every term within the second polynomial before combining like terms.

 

Question 5. (d) સરવાળો કરો: \( 4c(- a + b + c) \) માંથી \( 3a(a + b + c) – 2b (a − b + c) \)
Answer:
\( [4c(-a + b + c)] – [3a(a + b + c) – 2b(a − b + c)] \)
\( = [-4ac + 4bc + 4c^2] - [3a^2 + 3ab + 3ac – (2ab - 2b^2 + 2bc)] \)
\( = [-4ac + 4bc + 4c^2] - [3a^2 + 3ab + 3ac – 2ab + 2b^2 - 2bc] \)
\( = -4ac + 4bc + 4c^2 – 3a^2 – 3ab – 3ac + 2ab – 2b^2 + 2bc \)
\( = -3a^2 – 2b^2 + 4c^2 + (-3ab + 2ab) + (4bc + 2bc) + (-4ac – 3ac) \)
\( = -3a^2 – 2b^2 + 4c^2 – ab + 6bc – 7ac \)
In simple words: આ પદાવલિઓને બાદ કરવા માટે, આપણે પહેલા દરેક કૌંસને વિસ્તૃત કરીએ છીએ. પછી, બાદબાકીના ચિહ્નને કારણે બીજા કૌંસના બધા પદોના ચિહ્નો બદલીએ છીએ. છેલ્લે, સમાન પદોને ભેગા કરીને બાદ કરીએ છીએ.

Exam Tip: When performing complex subtractions, expand all nested brackets first, then distribute any negative signs, and finally combine all similar terms carefully.