GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 9 બૈજિક પદાવલિઓ અને નિત્યસમ Exercise 9.4

1. દ્વિપદીનો ગુણાકાર કરોઃ

પ્રશ્ન (i) \( (2x + 5) \) અને \( (4x - 3) \)
Answer:
\( (2x + 5) (4x - 3) \)
\( = 2x (4x - 3) + 5 (4x - 3) \)
\( = 8x^2 - 6x + 20x - 15 \)
\( = 8x^2 + 14x - 15 \)
In simple words: આ સમીકરણને વિસ્તૃત કરવા માટે, આપણે દરેક પદને એકબીજા સાથે ગુણીએ છીએ. પહેલાં, 2x નો 4x અને -3 સાથે ગુણાકાર થાય છે. પછી, 5 નો 4x અને -3 સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ. છેલ્લે, સરખા પદોને ભેગા કરીને સરળ સ્વરૂપ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: દ્વિપદીઓના ગુણાકાર કરતી વખતે, દરેક પદનો બીજા કૌંસના દરેક પદ સાથે ગુણાકાર થાય તેની ખાતરી રાખો.

પ્રશ્ન (ii) \( (y - 8) \) અને \( (3y - 4) \)
Answer:
\( = (y - 8) (3y - 4) \)
\( = y(3y - 4) - 8(3y - 4) \)
\( = 3y^2 - 4y - 24y + 32 \)
\( = 3y^2 - 28y + 32 \)
In simple words: આ દ્વિપદીઓને ગુણવા માટે, પહેલા કૌંસના દરેક પદને બીજા કૌંસના દરેક પદ સાથે ગુણીએ છીએ. ત્યારબાદ, સમાન ચલવાળા પદોને એકસાથે જોડીને સમીકરણને સરળ બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: ગુણાકાર કર્યા પછી, હંમેશા સમાન પદોને (જેમ કે \( -4y \) અને \( -24y \)) ભેગા કરવાનું યાદ રાખો જેથી સરળતમ સ્વરૂપ મળે.

પ્રશ્ન (iii) \( (2.5l - 0.5m) \) અને \( (2.5l + 0.5m) \)
Answer:
\( = (2.5l - 0.5m) (2.5l + 0.5m) \)
\( = 2.5l (2.5l + 0.5m) - 0.5m (2.5l + 0.5m) \)
\( = 6.25l^2 + 1.25lm - 1.25lm - 0.25m^2 \)
\( = 6.25l^2 - 0.25m^2 \)
In simple words: અહીં, આપણે \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. ગુણાકાર કરતા, મધ્યમ પદો \( (+1.25lm) \) અને \( (-1.25lm) \) એકબીજાને દૂર કરે છે, તેથી ફક્ત પ્રથમ અને છેલ્લા પદના વર્ગ જ બાકી રહે છે.

Exam Tip: જ્યારે તમે \( (A-B)(A+B) \) જેવા સ્વરૂપ જુઓ, ત્યારે સીધા \( A^2 - B^2 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો; આનાથી સમય બચશે અને ગણતરી સરળ બનશે.

પ્રશ્ન (iv) \( (a + 3b) \) અને \( (x + 5) \)
Answer:
\( = (a + 3b) (x + 5) \)
\( = a (x + 5) + 3b (x + 5) \)
\( = ax + 5a + 3bx + 15b \)
In simple words: આ બે દ્વિપદીઓને ગુણવા માટે, આપણે પહેલા કૌંસના દરેક પદને બીજા કૌંસના દરેક પદ સાથે ગુણીએ છીએ. આ કરવાથી, આપણે ચાર નવા પદ મેળવીએ છીએ: \( ax \), \( 5a \), \( 3bx \), અને \( 15b \). આ પદો જુદા જુદા હોવાથી, તેમને વધુ સરળ બનાવી શકાતા નથી.

Exam Tip: જુદા જુદા ચલવાળા પદોને સમાન પદો તરીકે ભેગા કરવાનો પ્રયાસ કરશો નહીં; દરેક પદને અલગથી રાખવો જોઈએ.

પ્રશ્ન (v) \( (2pq + 3q^2) \) અને \( (3pq - 2q^2) \)
Answer:
\( = (2pq + 3q^2) (3pq - 2q^2) \)
\( = 2pq (3pq - 2q^2) + 3q^2 (3pq - 2q^2) \)
\( = 6p^2q^2 - 4pq^3 + 9pq^3 - 6q^4 \)
\( = 6p^2q^2 + 5pq^3 - 6q^4 \)
In simple words: અહીં પણ, આપણે પ્રથમ કૌંસના દરેક પદને બીજા કૌંસના દરેક પદ સાથે ગુણીએ છીએ. \( 2pq \) ને \( 3pq \) અને \( -2q^2 \) સાથે ગુણીએ. પછી, \( 3q^2 \) ને \( 3pq \) અને \( -2q^2 \) સાથે ગુણીએ. છેલ્લે, સમાન પદો, ખાસ કરીને \( pq^3 \) વાળા, ભેગા કરીએ છીએ.

Exam Tip: ઘાતાંકના નિયમોનો કાળજીપૂર્વક ઉપયોગ કરો, જેમ કે \( q \times q^2 = q^3 \) અને \( q^2 \times q^2 = q^4 \).

પ્રશ્ન (vi) \( (\frac {3}{4}a^2 + 3b^2) \) અને \( 4(a^2 - \frac {2}{3}b^2) \)
Answer:
\( = (\frac {3}{4}a^2 + 3b^2) \times (4a^2 - \frac {8}{3}b^2) \)
\( = \frac {3}{4}a^2(4a^2 - \frac {8}{3}b^2) + 3b^2 (4a^2 - \frac {8}{3}b^2) \)
\( = 3a^4 - 2a^2b^2 + 12a^2b^2 - 8b^4 \)
\( = 3a^4 + 10a^2b^2 - 8b^4 \)
In simple words: પહેલા, બીજા કૌંસમાં 4 ને ગુણીએ. પછી, પહેલા કૌંસના દરેક પદને બીજા કૌંસના દરેક પદ સાથે ગુણીએ. ગુણાકાર કર્યા પછી, \( a^2b^2 \) જેવા સમાન પદોને ભેગા કરીને સરળ જવાબ મેળવીએ.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક અને પૂર્ણાંકના ગુણાકાર કરતી વખતે, ગુણાકારને સાચી રીતે કરવા માટે કાળજી લો.

2. ગુણાકાર શોધોઃ

પ્રશ્ન (i) \( (5 - 2x)(3 + x) \)
Answer:
\( = 5(3 + x) - 2x(3 + x) \)
\( = 15 + 5x - 6x - 2x^2 \)
\( = 15 - x - 2x^2 \)
In simple words: આ બે દ્વિપદીઓને ગુણવા માટે, પહેલા \( 5 \) ને \( (3+x) \) સાથે ગુણીએ અને પછી \( -2x \) ને \( (3+x) \) સાથે ગુણીએ. પછી, \( 5x \) અને \( -6x \) જેવા સમાન પદોને જોડીને સમીકરણને સરળ બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: ઋણ ચિહ્નો (જેમ કે \( -2x \)) ને ગુણતી વખતે ખાસ ધ્યાન રાખો, કારણ કે તે ભૂલોનું કારણ બની શકે છે.

પ્રશ્ન (ii) \( (x + 7y) (7x - y) \)
Answer:
\( = x (7x - y) + 7y(7x - y) \)
\( = 7x^2 - xy + 49xy - 7y^2 \)
\( = 7x^2 + 48xy - 7y^2 \)
In simple words: પહેલા કૌંસના દરેક પદને બીજા કૌંસના દરેક પદ સાથે ગુણીએ છીએ. \( x \) ને \( 7x \) અને \( -y \) સાથે ગુણીએ, અને પછી \( 7y \) ને \( 7x \) અને \( -y \) સાથે ગુણીએ. ત્યારબાદ, \( -xy \) અને \( 49xy \) જેવા સમાન પદોને ભેગા કરીને સરળ જવાબ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: ચલોના ગુણાકારમાં ઘાતાંકના નિયમોનો સાચી રીતે ઉપયોગ કરો (જેમ કે \( x \times x = x^2 \)).

પ્રશ્ન (iii) \( (a^2 + b) (a + b^2) \)
Answer:
\( = a^2(a + b^2) + b(a + b^2) \)
\( = a^3 + a^2b^2 + ab + b^3 \)
In simple words: આ દ્વિપદીઓને ગુણવા માટે, આપણે \( a^2 \) ને \( (a+b^2) \) સાથે ગુણીએ અને \( b \) ને પણ \( (a+b^2) \) સાથે ગુણીએ. આનાથી \( a^3 \), \( a^2b^2 \), \( ab \), અને \( b^3 \) જેવા પદો મળે છે, જે બધા જ જુદા હોવાથી તેમને ભેગા કરી શકાતા નથી.

Exam Tip: જ્યારે ઘાતાંકો સાથે ચલોને ગુણતા હો, ત્યારે ઘાતાંકો ઉમેરવાનું યાદ રાખો (જેમ કે \( a^2 \times a = a^3 \)).

પ્રશ્ન (iv) \( (p^2 - q^2) (2p + q) \)
Answer:
\( = p^2(2p + q) - q^2(2p + q) \)
\( = 2p^3 + p^2q - 2pq^2 - q^3 \)
In simple words: આ દ્વિપદીઓને ગુણવા માટે, આપણે \( p^2 \) ને \( (2p+q) \) સાથે ગુણીએ અને \( -q^2 \) ને પણ \( (2p+q) \) સાથે ગુણીએ. પરિણામે \( 2p^3 \), \( p^2q \), \( -2pq^2 \), અને \( -q^3 \) પદો મળે છે. આ પદો જુદા હોવાથી, તેમને વધુ સરળ બનાવી શકાતા નથી.

Exam Tip: ઋણ ચિહ્નોની ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાન રાખો, ખાસ કરીને જ્યારે \( -q^2 \) ને ગુણી રહ્યા હો.

3. સાદું રૂપ આપો:

પ્રશ્ન (i) \( (x^2 - 5) (x + 5) + 25 \)
Answer:
\( = x^2(x + 5) - 5 (x + 5) + 25 \)
\( = x^3 + 5x^2 - 5x - 25 + 25 \)
\( = x^3 + 5x^2 - 5x \)
In simple words: પહેલા \( (x^2 - 5)(x + 5) \) ભાગનો ગુણાકાર કરીએ. આ \( x^3 + 5x^2 - 5x - 25 \) આપે છે. પછી, મૂળ સમીકરણમાં રહેલા \( +25 \) ને આમાં ઉમેરીએ. \( -25 \) અને \( +25 \) એકબીજાને દૂર કરે છે, તેથી અંતિમ સરળ જવાબ \( x^3 + 5x^2 - 5x \) મળે છે.

Exam Tip: \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( (x^2-5)(x+5) \) ને \( (x^4-25) \) તરીકે ભૂલ કરશો નહીં, કારણ કે અહીં \( x^2 \) છે, ખાલી \( x \) નથી.

પ્રશ્ન (ii) \( (a^2 + 5)(b^3 + 3) + 5 \)
Answer:
\( = a^2(b^3 + 3) + 5 (b^3 + 3) + 5 \)
\( = a^2b^3 + 3a^2 + 5b^3 + 15 + 5 \)
\( = a^2b^3 + 3a^2 + 5b^3 + 20 \)
In simple words: પહેલા \( (a^2 + 5)(b^3 + 3) \) નો ગુણાકાર કરીએ. આ \( a^2b^3 + 3a^2 + 5b^3 + 15 \) આપે છે. પછી, \( +5 \) ઉમેરીએ. \( 15 + 5 \) ભેગા થઈને \( 20 \) બને છે, અને બાકીના પદો એવા જ રહે છે.

Exam Tip: જ્યારે બે દ્વિપદીઓનો ગુણાકાર કરો, ત્યારે દરેક પદને એકબીજા સાથે ગુણવાની ખાતરી રાખો અને પછી સ્થિર સંખ્યાઓને ઉમેરો.

પ્રશ્ન (iii) \( (t + s^2) (t^2 - s) \)
Answer:
\( = t(t^2 - s) + s^2(t^2 - s) \)
\( = t^3 - st + s^2t^2 - s^3 \)
In simple words: આ દ્વિપદીઓને ગુણવા માટે, આપણે \( t \) ને \( (t^2-s) \) સાથે ગુણીએ છીએ અને \( s^2 \) ને પણ \( (t^2-s) \) સાથે ગુણીએ છીએ. આ કરવાથી, આપણને \( t^3 \), \( -st \), \( s^2t^2 \), અને \( -s^3 \) જેવા પદો મળે છે. આ પદો એકબીજાથી જુદા હોવાથી તેમને ભેગા કરી શકાતા નથી.

Exam Tip: વિવિધ ચલો (જેમ કે \( s \) અને \( t \)) સાથે કામ કરતી વખતે ઘાતાંકોને યોગ્ય રીતે જોડવાનું યાદ રાખો.

પ્રશ્ન (iv) \( (a + b)(c - d) + (a - b)(c + d) + 2(ac + bd) \)
Answer:
\( = a(c - d) + b(c - d) + a(c + d) - b(c + d) + 2(ac + bd) \)
\( = ac - ad + bc - bd + ac + ad - bc - bd + 2ac + 2bd \)
\( = ac + ac + 2ac - ad + ad + bc - bc - bd - bd + 2bd \)
\( = 4ac \)
In simple words: પહેલા, દરેક કૌંસનો ગુણાકાર કરીને પદોને વિસ્તૃત કરીએ. પછી, બધા પદોને એકસાથે લખીએ. જુઓ કે \( -ad \) અને \( +ad \) જેવા કેટલાક પદો એકબીજાને રદ કરે છે, અને \( +bc \) અને \( -bc \) પણ રદ કરે છે. છેલ્લે, \( ac \) અને \( bd \) પદોને ભેગા કરીએ. બધા \( ac \) પદોનો સરવાળો \( 4ac \) આપે છે, અને બધા \( bd \) પદો પણ રદ થાય છે.

Exam Tip: આવા લાંબા સમીકરણોમાં, પદોને કાળજીપૂર્વક વિસ્તૃત કરો અને પછી સમાન પદોને વ્યવસ્થિત રીતે જોડો અને રદ કરો.

પ્રશ્ન (v) \( (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x - y) \)
Answer:
\( = x(2x + y) + y (2x + y) + x(x - y) + 2y (x - y) \)
\( = 2x^2 + xy + 2xy + y^2 + x^2 - xy + 2xy - 2y^2 \)
\( = 2x^2 + x^2 + xy + 2xy - xy + 2xy + y^2 - 2y^2 \)
\( = 3x^2 + 5xy - xy - y^2 \)
\( = 3x^2 + 4xy - y^2 \)
In simple words: પ્રથમ, \( (x + y)(2x + y) \) નો ગુણાકાર કરીએ, જે \( 2x^2 + 3xy + y^2 \) આપે છે. પછી, \( (x + 2y)(x - y) \) નો ગુણાકાર કરીએ, જે \( x^2 + xy - 2y^2 \) આપે છે. આ બંને પરિણામોને ઉમેરીએ અને \( x^2 \), \( xy \), અને \( y^2 \) જેવા સમાન પદોને ભેગા કરીને સરળ જવાબ મેળવીએ.

Exam Tip: દરેક ગુણાકારને અલગથી કરો અને પછી પરિણામોને ઉમેરતી વખતે કાળજીપૂર્વક સમાન પદોને જોડો.

પ્રશ્ન (vi) \( (x + y) (x^2 - xy + y^2) \)
Answer:
\( = x (x^2 - xy + y^2) + y (x^2 - xy + y^2) \)
\( = x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3 \)
\( = x^3 - x^2y + x^2y + xy^2 - xy^2 + y^3 \)
\( = x^3 + 0 + 0 + y^3 \)
\( = x^3 + y^3 \)
In simple words: આ એક જાણીતું ગાણિતિક સૂત્ર છે: \( (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \). આપણે \( x \) ને બીજા કૌંસના દરેક પદ સાથે ગુણીએ છીએ, અને પછી \( y \) ને પણ બીજા કૌંસના દરેક પદ સાથે ગુણીએ છીએ. આનાથી \( -x^2y \) અને \( +x^2y \), તેમજ \( +xy^2 \) અને \( -xy^2 \) જેવા પદો રદ થાય છે, અને ફક્ત \( x^3 + y^3 \) બાકી રહે છે.

Exam Tip: \( a^3 + b^3 \) અને \( a^3 - b^3 \) ના સૂત્રો યાદ રાખો, કારણ કે તે ગુણાકારને ઝડપી બનાવવામાં મદદ કરે છે.

પ્રશ્ન (vii) \( (1.5x - 4y) (1.5x + 4y + 3) - 4.5x + 12y \)
Answer:
\( = 1.5x (1.5x + 4y + 3) - 4y (1.5x + 4y + 3) - 4.5x + 12y \)
\( = 2.25x^2 + 6xy + 4.5x - 6xy - 16y^2 - 12y - 4.5x + 12y \)
\( = 2.25x^2 + 6xy - 6xy + 4.5x - 4.5x - 16y^2 - 12y + 12y \)
\( = 2.25x^2 + 0 + 0 - 16y^2 + 0 \)
\( = 2.25x^2 - 16y^2 \)
In simple words: પહેલા, \( (1.5x - 4y)(1.5x + 4y + 3) \) નો ગુણાકાર કરીએ. પછી, આ પરિણામમાં \( -4.5x + 12y \) ઉમેરીએ. ગુણાકાર અને સરવાળા દરમિયાન, ઘણા પદો એકબીજાને રદ કરે છે, જેમ કે \( 6xy \) અને \( -6xy \), \( 4.5x \) અને \( -4.5x \), તેમજ \( -12y \) અને \( +12y \). છેલ્લે, માત્ર \( 2.25x^2 - 16y^2 \) બાકી રહે છે.

Exam Tip: વિસ્તૃત પદોને લખતી વખતે સ્પષ્ટતા રાખો અને સમાન પદોને કાળજીપૂર્વક રદ કરો.

પ્રશ્ન (viii) \( (a + b + c)(a + b - c) \)
Answer:
\( = a (a + b - c) + b (a + b - c) + c(a + b - c) \)
\( = a^2 + ab - ac + ab + b^2 - bc + ac + bc - c^2 \)
\( = a^2 + ab + ab - ac + ac + b^2 - bc + bc - c^2 \)
\( = a^2 + 2ab + 0 + b^2 + 0 - c^2 \)
\( = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab \)
In simple words: આપણે આને \( (A + C)(A - C) = A^2 - C^2 \) ના સ્વરૂપમાં જોઈ શકીએ છીએ, જ્યાં \( A = (a+b) \) અને \( C = c \). તેથી, \( (a+b)^2 - c^2 \) થાય છે. \( (a+b)^2 \) ને વિસ્તૃત કરતા \( a^2 + 2ab + b^2 \) મળે છે. આમ, અંતિમ જવાબ \( a^2 + b^2 - c^2 + 2ab \) છે.

Exam Tip: જ્યારે \( (A+B+C)(A+B-C) \) જેવા સ્વરૂપ હોય, ત્યારે \( A+B \) ને એક પદ તરીકે ગણીને \( (X+C)(X-C) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, જે ગણતરીને સરળ બનાવે છે.