GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 8 રાશિઓની તુલના Exercise 8.3

Question 1. વ્યાજમુદ્દલ (Amount) અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરોઃ
(a) Rs 10,800; 3 વર્ષ માટે; \( 12\frac {1}{2}\% \) વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે.
Answer:
અહીં વ્યાજની ગણતરી વાર્ષિક ધોરણે કરવાની છે.
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 10,800 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 12\frac {1}{2}\% = \frac {25}{2}\% \); મુદત \( (T) = 3 \) વર્ષ,
\( \therefore n = 3 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 10,800 \left(1+\frac{\frac{25}{2}}{100}\right)^3 \)
\( = 10,800 \left(1+\frac{25}{200}\right)^3 \)
\( = 10,800 \left(\frac{200+25}{200}\right)^3 \)
\( = 10,800 \left(\frac{225}{200}\right)^3 \)
\( = 10,800 \times \frac{9}{8} \times \frac{9}{8} \times \frac{9}{8} \)
\( = \frac{675 \times 9 \times 9 \times 9}{4 \times 8} \)
\( = 15377.34 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( = Rs \ 15,377.34 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = \) વ્યાજમુદ્દલ \( – \) મુદ્દલ
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = Rs \ 15,377.34 - Rs \ 10,800 \)
\( = Rs \ 4577.34 \)
In simple words: પહેલા વ્યાજમુદ્દલ શોધો, પછી કુલ રકમમાંથી મૂળ પૈસા બાદ કરીને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ શોધી શકાય છે.

Exam Tip: ખાતરી કરો કે તમે યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરો છો અને ગણતરીમાં અપૂર્ણાંકોનું યોગ્ય રીતે સંચાલન કરો છો.

Question 1. વ્યાજમુદ્દલ (Amount) અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરોઃ
(b) 18,000; \( 2\frac {1}{2} \) વર્ષ માટે \( 10 \% \) વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે.
Answer:
અહીં વ્યાજની ગણતરી વાર્ષિક ધોરણે કરવાની છે.
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 18,000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 10 \% \); મુદત \( (T) = 2\frac {1}{2} \) વર્ષ
\( \therefore n = 2 + \frac {1}{2} \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 18,000 \left(1+\frac{10}{100}\right)^2 \times \left(1+\frac{\frac{10}{2}}{100}\right)^1 \)
\( = 18,000 \left(\frac{100+10}{100}\right)^2 \times \left(\frac{100+5}{100}\right)^1 \)
\( = 18,000 \left(\frac{110}{100}\right)^2 \times \left(\frac{105}{100}\right) \)
\( = 18,000 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \times \frac{21}{20} \)
\( = 9 \times 11 \times 11 \times 21 \)
\( = 22,869 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( = Rs \ 22,869 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = \) વ્યાજમુદ્દલ \( – \) મુદ્દલ
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = Rs \ (22,869 - 18,000) \)
\( = Rs \ 4869 \)
In simple words: જ્યારે સમય અપૂર્ણાંકમાં હોય, ત્યારે આખા વર્ષો માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ અને બાકીના અપૂર્ણાંક ભાગ માટે સાદા વ્યાજનું ગણતરી કરો.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક વર્ષ માટે વ્યાજની ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાન રાખો કે વાર્ષિક દરને તે અપૂર્ણાંક સમયગાળા માટે સમાયોજિત કરવો.

Question 1. વ્યાજમુદ્દલ (Amount) અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરોઃ
(c) Rs 62,500; \( 1\frac {1}{2} \) વર્ષ માટે; \( 8\% \) અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે.
Answer:
વ્યાજની ગણતરી દર 6 માસે કરવાની છે.
અહીં મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 62,500 \); વ્યાજનો દર \( (R) = \frac {8}{2} = 4\% \); મુદત \( (T) = 1\frac {1}{2} \) વર્ષ
\( \therefore n = \frac {3}{2} \times 2 = 3 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 62,500 \left(1+\frac{4}{100}\right)^3 \)
\( = 62,500 \left(\frac{100+4}{100}\right)^3 \)
\( = 62,500 \left(\frac{104}{100}\right)^3 \)
\( = 62,500 \times \frac{104}{100} \times \frac{104}{100} \times \frac{104}{100} \)
\( = 26 \times 26 \times 104 \)
\( = 70,304 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( = Rs \ 70,304 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = \) વ્યાજમુદ્દલ \( – \) મુદ્દલ
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = Rs \ (70,304 - 62,500) \)
\( = Rs \ 7804 \)
In simple words: જ્યારે વ્યાજ અર્ધવાર્ષિક ધોરણે હોય, ત્યારે દરને અડધો કરો અને સમયગાળાને બમણો કરો.

Exam Tip: અર્ધવાર્ષિક સંયોજન માટે, વાર્ષિક દરને 2 વડે ભાગો અને વર્ષોની સંખ્યાને 2 વડે ગુણો.

Question 1. વ્યાજમુદ્દલ (Amount) અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરોઃ
(d) Rs 8000, 1 વર્ષ માટે, \( 9 \% \) અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે.
Answer:
અહીં વ્યાજની ગણતરી અર્ધવાર્ષિક ધોરણે કરવાની છે.
મુદ્દલ \( (P) = 8000 \); મુદત \( (T) = 1 \) વર્ષ,
\( \therefore n = 2 \),
વ્યાજનો દર \( (R) = \frac {9}{2}\% \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 8000\left(1+\frac{\frac{9}{2}}{100}\right)^2 \)
\( = 8000 \left(1+\frac{9}{200}\right)^2 \)
\( = 8000 \left(\frac{200+9}{200}\right)^2 \)
\( = 8000 \left(\frac{209}{200}\right)^2 \)
\( = 8000 \times \frac{209}{200} \times \frac{209}{200} \)
\( = 2 \times 209 \times \frac{209}{10} \)
\( = \frac{87362}{10} \)
\( = 8736.20 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( = Rs \ 8736.20 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = \) વ્યાજમુદ્દલ \( – \) મુદ્દલ
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = Rs \ (8736.20 - 8000) \)
\( = Rs \ 736.20 \)
In simple words: અર્ધવાર્ષિક વ્યાજની ગણતરી કરતી વખતે, વ્યાજદરને અડધો કરો અને સમયગાળાને બમણો ગણો.

Note: Simple Interest Method
Answer:
સાદું વ્યાજ \( (SI) = \frac{\text { PRT }}{100} \)
\( = \frac{8000 \times 9 \times 1}{2 \times 100} \)
\( = Rs \ 360 \) પહેલા 6 માસનું વ્યાજ
હવે, \( P = Rs \ (8000 + 360) \)
\( = Rs \ 8360 \)
\( SI = \frac{\text { PRT }}{100} \)
\( = \frac{8360 \times 9 \times 1}{2 \times 100} \)
\( = Rs \ 376.20 \)
આમ, 1 વર્ષનું કુલ વ્યાજ \( = Rs \ (360 + 376.20) \)
\( = Rs \ 736.20 \)
In simple words: મૂળધન પર 6 મહિના માટે વ્યાજની ગણતરી કરો, પછી તે વ્યાજને મૂળધનમાં ઉમેરો અને પછીના 6 મહિના માટે ફરીથી વ્યાજની ગણતરી કરો.

Exam Tip: સાદા વ્યાજ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, દરેક સમયગાળા માટેના મુખ્યને અપડેટ કરવાનું યાદ રાખો.

Question 1. વ્યાજમુદ્દલ (Amount) અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરોઃ
(e) Rs 10,000; 1 વર્ષ માટે, \( 8\% \) અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે.
Answer:
અહીં વ્યાજની ગણતરી અર્ધવાર્ષિક ધોરણે કરવાની છે.
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 10,000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = \frac {8}{2} = 4 \% \); મુદત \( (T) = 1 \) વર્ષ
\( \therefore n = 1 \times 2 = 2 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 10,000 \left(1+\frac{4}{100}\right)^2 \)
\( = 10,000 \left(\frac{100+4}{100}\right)^2 \)
\( = 10,000 \left(\frac{104}{100}\right)^2 \)
\( = 10,000 \times \frac{104}{100} \times \frac{104}{100} \)
\( = 104 \times 104 \)
\( = 10,816 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( = Rs \ 10,816 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = \) વ્યાજમુદ્દલ \( – \) મુદ્દલ
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = Rs \ (10,816 - 10,000) \)
\( = Rs \ 816 \)
In simple words: અર્ધવાર્ષિક વ્યાજ એટલે વર્ષમાં બે વાર વ્યાજ મળે છે. તેથી વ્યાજ દર અડધો અને સમયગાળા બમણા થાય છે.

Exam Tip: અર્ધવાર્ષિક સંયોજનના કિસ્સામાં હંમેશા દરને 2 વડે ભાગો અને સમયને 2 વડે ગુણો.

Question 2. કમલાએ સ્કૂટર ખરીદવા બૅન્કમાંથી Rs 26,400 પ્રતિ વર્ષ \( 15\% \)ના દરે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે લીધા. 2 વર્ષ અને 4 મહિના પછી ઉધાર ચૂકતે કરવા માટે તેણે કેટલી રકમ ચૂકવવી પડશે?
(સૂચન: 2 વર્ષ માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની રીતે વ્યાજમુદ્દલ શોધો. આને ત્રીજા વર્ષનું મુદ્દલ ગણી \( \frac {4}{12} \) વર્ષ માટે સાદું વ્યાજ શોધો.)
Answer:
નોંધ: અહીં આપણે Rs 26,400નું 2 વર્ષનું \( 15\% \) લેખે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ શોધીશું. તે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ પર \( 15 \% \) લેખે 4 માસનું સાદું વ્યાજ શોધીશું.
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 26,400 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 15 \% \); મુદત \( (T) = 2 \) વર્ષ
\( \therefore n = 2 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( \therefore A = 26,400 \left(1+\frac{15}{100}\right)^2 \)
\( = 26,400 \left(\frac{100+15}{100}\right)^2 \)
\( = 26,400 \left(\frac{115}{100}\right)^2 \)
\( = 26,400 \times \frac{115}{100} \times \frac{115}{100} \)
\( = 34,914 \)
હવે, બાકીના 4 માસનું વ્યાજ શોધવા Rs 34,914 મુદ્દલ બનશે.
હવે, \( P = Rs \ 34,914 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 15 \% \); મુદત \( (T) = \frac {4}{12} \) વર્ષ
\( SI = \frac{\text { PRT }}{100} \)
\( = \frac{34914 \times 15 \times 4}{100 \times 12} \)
\( = \frac{174570}{100} \)
\( = Rs \ 1745.70 \)
આમ, કમલાએ વ્યાજસહિત ચૂકવવાની કુલ રકમ
\( = Rs \ (34,914 + 1745.70) \)
\( = Rs \ 36,659.70 \)
આમ, કમલા વ્યાજસહિત Rs 36,659.70 ચૂકવશે.
In simple words: પહેલાં 2 વર્ષનું ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ ગણો. પછી તે રકમ પર બાકીના 4 મહિના માટે સાદું વ્યાજ ગણો. બંને વ્યાજ ઉમેરીને કુલ રકમ શોધો.

Exam Tip: જ્યારે સમયગાળો સંપૂર્ણ વર્ષો અને મહિનાઓમાં હોય, ત્યારે સંપૂર્ણ વર્ષો માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ અને બાકીના મહિનાઓ માટે સાદું વ્યાજ ગણવું વધુ સારું છે.

Question 3. ફેબીનાએ Rs 12500 ત્રણ વર્ષ માટે \( 12 \% \)ના દરે સાદા વ્યાજે ઉધાર લીધા અને રાધાએ એ જ રકમ એ જ સમય માટે \( 10 \% \)ના દરે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે ઉધાર લીધી. કોણ વધારે વ્યાજ ચૂકવશે? કેટલું?
Answer:
ફેબીના માટે:
ફેબીના Rs 12,500 સાદા વ્યાજે \( 12 \% \) લેખે 3 વર્ષ માટે ઉધાર લે છે.
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 12,500 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 12 \% \); મુદત \( (T) = 3 \) વર્ષ
સાદું વ્યાજ \( = \frac{\mathrm{P} \times \mathrm{R} \times \mathrm{T}}{100} \)
\( = \frac{12500 \times 12 \times 3}{100} \)
\( = 125 \times 12 \times 3 = 4500 \)
સાદું વ્યાજ \( Rs \ 4500 \) થાય.
રાધિકા માટે:
રાધિકા Rs 12,500 ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે \( 10 \% \) લેખે 3 વર્ષ માટે ઉધાર લે છે.
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 12,500 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 10 \% \); મુદત \( (T) = 3 \) વર્ષ
\( \therefore n = 3 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 12,500 \left(1+\frac{10}{100}\right)^3 \)
\( = 12,500 \left(\frac{100+10}{100}\right)^3 \)
\( = 12,500 \left(\frac{110}{100}\right)^3 \)
\( = 12,500 \times \frac{110}{100} \times \frac{110}{100} \times \frac{110}{100} \)
\( = \frac{25 \times 11 \times 11 \times 11}{2} \)
\( = 16,637.50 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( = Rs \ 16,637.50 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = \) વ્યાજમુદ્દલ \( – \) મુદ્દલ
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = Rs \ (16,637.50 - 12,500) = Rs \ 4137.50 \)
આમ, ફેબીનાએ વધુ વ્યાજ ચૂકવવું પડશે.
ફેબીનાએ ચૂકવવાનું વધુ વ્યાજ \( = Rs \ (4500 - 4137.50) = Rs \ 362.50 \)
આમ, ફેબીનાએ Rs 362.50 વધુ વ્યાજ ચૂકવવું પડે.
In simple words: ફેબીના સાદા વ્યાજથી અને રાધા ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજથી પૈસા લે છે. બંનેના વ્યાજની ગણતરી કરો અને જુઓ કે કોણે વધારે પૈસા ચૂકવ્યા.

Exam Tip: સાદા વ્યાજ અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રો સ્પષ્ટપણે યાદ રાખો.

Question 4. મેં જમશેદ પાસેથી Rs 12,000 સાદા વ્યાજે \( 8\% \)ના દરે 2 વર્ષ માટે ઉધાર લીધા. જો મેં આ જ રકમ \( 6 \% \)ના દરે પ્રતિ વર્ષના ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે લીધી હોત, તો કેટલી વધારાની કિંમત ચૂકવવી પડી હોત?
Answer:
જમશેદના સાદા વ્યાજ માટે ગણતરીઃ
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 12,000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 6 \% \); મુદત \( (T) = 2 \) વર્ષ
સાદું વ્યાજ \( = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{12000 \times 6 \times 2}{100} \)
\( = 120 \times 6 \times 2 \)
\( = 1440 \)
સાદું વ્યાજ \( Rs \ 1440 \) થાય.
મારી ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટે ગણતરીઃ
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 12,000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 6 \% \); મુદત \( (T) = 2 \) વર્ષ
\( \therefore n = 2 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 12,000 \left(1+\frac{6}{100}\right)^2 \)
\( = 12,000 \left(\frac{100+6}{100}\right)^2 \)
\( = 12,000 \left(\frac{106}{100}\right)^2 \)
\( = 12,000 \times \frac{106}{100} \times \frac{106}{100} \)
\( = \frac{12 \times 106 \times 106}{10} \)
\( = 13,483.20 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( = Rs \ 13,483.20 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = \) વ્યાજમુદ્દલ \( – \) મુદ્દલ
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = Rs \ (13,483.20 - 12,000) = Rs \ 1483.20 \)
\( \therefore \) મારે વધુ ચૂકવવાની રકમ \( = Rs \ (1483.20 - 1440) = Rs \ 43.20 \)
In simple words: સાદા વ્યાજ અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ બંનેની ગણતરી કરો. પછી બંને વ્યાજ વચ્ચેનો તફાવત શોધો.

Exam Tip: જ્યારે વિવિધ વ્યાજ દરો અને પ્રકારોની તુલના કરતા હોય, ત્યારે દરેક પદ્ધતિ માટે અલગ-અલગ ગણતરી કરવી અને પછી પરિણામોની તુલના કરવી શ્રેષ્ઠ છે.

Question 5. વાસુદેવન Rs 60,000ને \( 12\% \)ના દરે પ્રતિ વર્ષ અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે રોકે છે, તો તેને
(i) 6 મહિના પછી?
(ii) એક વર્ષ પછી કેટલી રકમ મળશે?
Answer:
(i) 6 માસના અંતે વ્યાજની ગણતરી :
અહીં વ્યાજ 6 માસે ગણવાનું છે.
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 60,000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = \frac {12}{2} = 6 \% \); મુદત \( (T) = 6 \) માસ
\( \therefore n = 1 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 60,000 \left(1+\frac{6}{100}\right)^1 \)
\( = 60,000 \left(\frac{100+6}{100}\right) \)
\( = 60,000 \times \frac{106}{100} \)
\( = 63,600 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( = Rs \ 63,600 \)
(ii) 1 વર્ષના અંતે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી :
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 60,000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = \frac {12}{2} = 6 \% \); મુદત \( (T) = 1 \) વર્ષ
\( \therefore n = 2 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 60,000 \left(1+\frac{6}{100}\right)^2 \)
\( = 60,000 \left(\frac{100+6}{100}\right)^2 \)
\( = 60,000 \times \frac{106}{100} \times \frac{106}{100} \)
\( = 24 \times 53 \times 53 \)
\( = 67,416 \)
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( Rs \ 67,416 \)
આમ, વાસુદેવનને 6 માસ પછી રકમ Rs 63,600 અને 1 વર્ષ પછી Rs 67,416 મળશે.
In simple words: અર્ધવાર્ષિક વ્યાજની ગણતરી માટે, 6 મહિનાના સમયગાળા માટે દરને અડધો કરો અને વર્ષ માટે બમણો કરો.

Exam Tip: અર્ધવાર્ષિક સંયોજનમાં, સમયગાળાની સંખ્યા અને વ્યાજ દરમાં યોગ્ય ફેરફારો કરવાનું યાદ રાખો.

Question 6. આરીફે બૅન્કમાંથી Rs 80,000ની લોન લીધી. જો વ્યાજનો દર \( 10\% \) પ્રતિ વર્ષ હોય, તો \( 1\frac {1}{2} \) વર્ષ પછી ચૂકવવાની થતી રકમનો તફાવત નીચે મુજબ શોધોઃ
(i) વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ
(ii) અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ
Answer:
(i) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી વાર્ષિક હોય, તો :
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 80,000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 10 \% \); મુદત \( (T) = 1\frac {1}{2} \) વર્ષ
પહેલા વર્ષ માટે વ્યાજની ગણતરી:
અહીં \( R = 10 \% \) અને \( n = 1 \) લેવાશે.
\( A = \mathrm{P}\left(1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right)^{n} \)
\( = 80,000 \left(1+\frac{10}{100}\right)^{1} \)
\( = 80,000 \times \frac {110}{100} \)
\( = 88,000 \)
પહેલા વર્ષને અંતે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( Rs \ 88,000 \)
હવે, બાકીના 6 માસ માટે \( Rs \ 88,000 \)નું સાદા વ્યાજની રીતે ગણતરી થાય.
\( P = Rs \ 88,000 \); \( R = 10 \% \) અને \( T = 6 \) માસ \( = \frac {1}{2} \) વર્ષ
\( \therefore \) વ્યાજ \( = \frac{\mathrm{P} \times \mathrm{R} \times \mathrm{T}}{100} \)
\( = \frac{88000 \times 10 \times 1}{100 \times 2} \)
\( = 4400 \)
\( \therefore \) 6 માસનું વ્યાજ \( Rs \ 4400 \) થાય.
આમ, વ્યાજસહિત કુલ રકમ \( = Rs \ 88,000 + Rs \ 4400 \)
\( = Rs \ 92,400 \)
આમ, આરીફને વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ પ્રમાણે Rs 92,400 ચૂકવવા પડશે.
(ii) વ્યાજની ગણતરી પહેલેથી જ દર છ માસે હોય તો :
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 80,000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = \frac {10}{2} = 5\% \); મુદત \( (T) = 1\frac {1}{2} \) વર્ષ
\( \therefore n = 3 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 80,000 \left(1+\frac{5}{100}\right)^3 \)
\( = 80,000 \left(\frac{100+5}{100}\right)^3 \)
\( = 80,000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \)
\( = 80,000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \)
\( = 92,610 \)
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( Rs \ 92,610 \)
આમ, અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ પ્રમાણે Rs 92,610 ચૂકવવા પડે.
આરીફને બંને પદ્ધતિમાં ચૂકવવાની રકમનો તફાવત \( = Rs \ 92,610 - Rs \ 92,400 \)
\( = Rs \ 210 \)
In simple words: વાર્ષિક અને અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની અલગ-અલગ ગણતરી કરો. પછી બંને રકમનો તફાવત શોધો.

Exam Tip: વાર્ષિક અને અર્ધવાર્ષિક સંયોજન વચ્ચેના તફાવતને સમજવું અને દરેક માટે યોગ્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 7. મારિયાએ Rs 8000 વ્યવસાયમાં રોક્યા. તેને \( 5\% \) પ્રતિ વર્ષના દરે કેટલું ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ મળશે તે શોધોઃ
(i) બીજા વર્ષના અંતે તેના નામે કેટલી રકમ જમા થશે?
(ii) ત્રીજા વર્ષનું વ્યાજ શોધો.
Answer:
(i) બે વર્ષના અંતે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી :
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 8000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 5 \% \); મુદત \( (T) = 2 \) વર્ષ
\( \therefore n = 2 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 8000 \left(1+\frac{5}{100}\right)^2 \)
\( = 8000 \left(\frac{100+5}{100}\right)^2 \)
\( = 8000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \)
\( = 8000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \)
\( = 8820 \)
આમ, બે વર્ષને અંતે મારિયાના નામે \( Rs \ 8820 \) જમા થશે.
(ii) વ્યાજની ગણતરી 3 વર્ષ માટે :
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 8000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 5 \% \); મુદત \( (T) = 3 \) વર્ષ
\( \therefore n = 3 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 8000 \left(1+\frac{5}{100}\right)^3 \)
\( = 8000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \)
\( = 21 \times 21 \times 21 = 9261 \)
\( \therefore \) ત્રણ વર્ષને અંતે મારિયાના નામે \( Rs \ 9261 \) જમા થશે.
\( \therefore \) ત્રીજા વર્ષનું વ્યાજ \( = \) ત્રણ વર્ષનું વ્યાજમુદ્દલ \( – \) બે વર્ષનું વ્યાજમુદ્દલ
મારિયાને ત્રીજા વર્ષનું મળેલું વ્યાજ \( = Rs \ 9261 - Rs \ 8820 = Rs \ 441 \)
અથવા
ત્રીજા વર્ષને અંતે મળેલું વ્યાજ નીચેની રીતે પણ શોધી શકાય:
ત્રીજા વર્ષ માટે મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 8820 \), વ્યાજનો દર \( (R) = 5 \% \); મુદત \( (T) = 1 \) વર્ષ
સાદું વ્યાજ \( = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{8820 \times 5 \times 1}{100} \)
\( = \frac {882}{2} \)
ત્રીજા વર્ષનું મળેલ વ્યાજ \( Rs \ 441 \)
In simple words: પહેલાં 2 વર્ષ પછીની કુલ રકમ શોધો. પછી 3 વર્ષ પછીની કુલ રકમ શોધીને બંનેનો તફાવત લો, જે ત્રીજા વર્ષનું વ્યાજ હશે.

Exam Tip: એક ચોક્કસ વર્ષ માટે વ્યાજ શોધવા માટે, તે વર્ષના અંતે રકમમાંથી અગાઉના વર્ષના અંતે રકમ બાદ કરો.

Question 8. જો Rs 10,000, \( 1\frac {1}{2} \) વર્ષ માટે \( 10 \% \)ના દરે પ્રતિ વર્ષ અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે મૂકવામાં આવે, તો ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ અને વ્યાજમુદ્દલ શોધો. શું આ વ્યાજ તેના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ કરતાં વધુ હશે?
Answer:
(i) વ્યાજની ગણતરી દર છ માસે થાય છે:
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 10,000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = \frac {10}{2} = 5 \% \); મુદત \( (T) = 1\frac {1}{2} \) વર્ષ
\( \therefore n = 3 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 10,000 \left(1+\frac{5}{100}\right)^3 \)
\( = 10,000 \left(\frac{105}{100}\right)^3 \)
\( = 10,000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \)
\( = \frac{5 \times 21 \times 21 \times 21}{4} \)
\( = \frac{46305}{4} \)
\( = 11,576.25 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( Rs \ 11,576.25 \)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = \) વ્યાજમુદ્દલ \( – \) મુદ્દલ
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = Rs \ 11,576.25 - Rs \ 10,000 = Rs \ 1576.25 \)
(ii) વ્યાજની ગણતરી વાર્ષિક કરવામાં આવે છેઃ
પહેલા 1 વર્ષનું ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ શોધીએ.
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 10,000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 10 \% \); મુદત \( (T) = 1 \) વર્ષ
\( \therefore n = 1 \)
\( A = \mathrm{P}\left(1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right)^{n} \)
\( = 10,000 \left(1+\frac{10}{100}\right)^{1} \)
\( = 10,000 \times \frac {110}{100} \)
\( = 11,000 \)
1 વર્ષને અંતે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( Rs \ 11,000 \)
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = Rs \ (11,000 - 10,000) \)
\( = Rs \ 1000 \)
હવે બાકીના માસનું સાદું વ્યાજ ગણતાં એકંદરે \( 1\frac {1}{2} \) વર્ષનું ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ થાય.
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 11,000 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 10 \% \); મુદત \( (T) = \frac {1}{2} \) વર્ષ
વ્યાજ \( = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{11000 \times 10 \times 1}{100 \times 2} \)
\( = 550 \)
હવે, \( 1\frac {1}{2} \) વર્ષનું કુલ વ્યાજ \( = Rs \ (1000 + 550) = Rs \ 1550 \)
ઉપરના વિભાગ (i) અને વિભાગ (ii) સરખાવતાં –
\( 1576.25 > Rs \ 1550 \)
\( \therefore \) હા, અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી એ વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ કરતાં વધુ છે.
In simple words: અર્ધવાર્ષિક અને વાર્ષિક વ્યાજની ગણતરી કરો. પછી તેમની તુલના કરીને નક્કી કરો કે કયું વ્યાજ વધારે છે.

Exam Tip: અર્ધવાર્ષિક અને વાર્ષિક સંયોજન વચ્ચેના તફાવતને કાળજીપૂર્વક સમજો અને દરેક માટે યોગ્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો.

Question 9. જો રામ Rs 4096, \( 12\frac {1}{2} \% \) પ્રતિ વર્ષના દરે વ્યાજે આપશે, તો તેને 18 મહિનાના અંતે કુલ કેટલી રકમ મળશે? (અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ છે.)
Answer:
અહીં વ્યાજની ગણતરી અર્ધવાર્ષિક કરવાની છે.
મુદ્દલ \( (P) = Rs \ 4096 \); વ્યાજનો દર \( (R) = 12\frac {1}{2} \times \frac {1}{2} = \frac {25}{4}\% \); મુદત \( (T) = 18 \) માસ \( = 1\frac {1}{2} \) વર્ષ
\( \therefore n = 3 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 4096 \left(1+\frac{\frac{25}{4}}{100}\right)^3 \)
\( = 4096 \left(1+\frac{25}{400}\right)^3 \)
\( = 4096 \left(\frac{400+25}{400}\right)^3 \)
\( = 4096 \left(\frac{425}{400}\right)^3 \)
\( = 4096 \times \frac{425}{400} \times \frac{425}{400} \times \frac{425}{400} \)
\( = 4096 \times \frac{17}{16} \times \frac{17}{16} \times \frac{17}{16} \)
\( = 17 \times 17 \times 17 \)
\( = 4913 \)
\( \therefore \) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ \( Rs \ 4913 \)
રામને મુદતના અંતે \( Rs \ 4913 \) મળશે.
In simple words: અર્ધવાર્ષિક વ્યાજ માટે, વ્યાજ દરને અડધો કરો અને સમયગાળાને બમણો કરો, પછી કુલ રકમની ગણતરી કરો.

Exam Tip: જ્યારે વ્યાજ દર મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં આપવામાં આવે, ત્યારે તેને દશાંશ અથવા અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું ગણતરીને સરળ બનાવે છે.

Question 10. એક સ્થળની જનસંખ્યા વર્ષ 2003માં \( 5 \% \) પ્રતિ વર્ષના દરે વધીને 54,000 થાય છે:
(i) 2001ની જનસંખ્યા શોધો.
(ii) 2005માં જનસંખ્યા શું હશે?
Answer:
(i) અહીં 2003ના વર્ષની જનસંખ્યા \( = 54,000 \); 2001 વર્ષની જનસંખ્યા શોધવી છે. જનસંખ્યા વધારાનો દર \( = 5 \% \), સમય 2 વર્ષ
\( \therefore A = 54,000 \); \( R = 5 \% \) અને \( T = 2 \) વર્ષ
\( \therefore n = 2 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( \therefore 54,000 = P\left(1+\frac{5}{100}\right)^2 \)
\( \therefore 54,000 = P\left(\frac{105}{100}\right)^2 \)
\( \therefore 54,000 = P \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \)
\( \therefore P = 54,000 \times \frac{100}{105} \times \frac{100}{105} \)
\( \therefore P = 48,979.59 \) (આશરે)
આશરે \( P = 48,980 \)
આમ, વર્ષ 2001માં જનસંખ્યા આશરે 48,980 હશે.
(ii) અહીં 2003ના વર્ષની જનસંખ્યા \( = 54,000 \); વર્ષ 2005ના વર્ષની જનસંખ્યા શોધવી છે. જનસંખ્યા વધારાનો દર \( = 5 \% \), સમય 2 વર્ષ
\( P = 54,000 \); \( R = 5 \% \); \( T = 2 \) વર્ષ
\( \therefore n = 2 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 54,000 \left(1+\frac{5}{100}\right)^2 \)
\( = 54,000 \left(\frac{105}{100}\right)^2 \)
\( = 54,000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \)
\( = 27 \times 105 \times 21 \)
\( = 59,535 \)
આમ, વર્ષ 2005માં જનસંખ્યા 59,535 થશે.
In simple words: જનસંખ્યા વૃદ્ધિ માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર વાપરો. ભૂતકાળની જનસંખ્યા શોધવા માટે સૂત્રને ઊલટું કરો અને ભવિષ્યની જનસંખ્યા શોધવા માટે સીધું જ ગણતરી કરો.

Exam Tip: જ્યારે જનસંખ્યા વૃદ્ધિના પ્રશ્નો ઉકેલતા હોય, ત્યારે વ્યાજની ગણતરીનો સિદ્ધાંત લાગુ પડે છે. ભૂતકાળની જનસંખ્યા માટે \( P \) શોધવા માટે \( A \) નો ઉપયોગ કરો અને ભવિષ્યની જનસંખ્યા માટે \( A \) શોધવા માટે \( P \) નો ઉપયોગ કરો.

Question 11. એક પ્રયોગશાળામાં એક પ્રયોગમાં બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા પ્રતિ કલાકે \( 2.5\% \)ના દરે વધતી હતી, જો પહેલાં બૅક્ટરિયાની સંખ્યા 5,06,000 હોય, તો બે કલાક પછી બૅક્ટરિયાની સંખ્યા કેટલી હશે?
Answer:
હાલમાં બૅક્ટરિયા 5,06,000 છે.
બૅક્ટરિયાનો વધારો \( 2.5 \% \) દર કલાકે છે.
2 કલાક પછીના બૅક્ટરિયા શોધવા છે.
\( P = 5,06,000 \); \( R = 2.5 \% = \frac {5}{2} \% \); \( T = 2 \) કલાક
\( \therefore n = 2 \)
\( A = P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \)
\( \therefore A = 5,06,000 \left(1+\frac{\frac{5}{2}}{100}\right)^2 \)
\( = 5,06,000 \left(1+\frac{5}{200}\right)^2 \)
\( = 5,06,000 \left(\frac{205}{200}\right)^2 \)
\( = 5,06,000 \times \frac{41}{40} \times \frac{41}{40} \)
\( = \frac{1265 \times 41 \times 41}{4} \)
\( = 5,31,616.25 \)
આશરે \( 5,31,616 \)
આમ, બે કલાક પછી બૅક્ટરિયાની સંખ્યા \( 5,31,616 \) (અંદાજિત) હશે.
In simple words: બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા દર કલાકે વધે છે, તેથી તેને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની જેમ ગણી શકાય. સૂત્રમાં વર્તમાન સંખ્યાને \( P \), વધારાનો દર \( R \) અને સમયને \( n \) તરીકે મૂકો.

Exam Tip: જ્યારે ટકાવારી વૃદ્ધિ સતત થાય છે, ત્યારે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર જ લાગુ પડે છે.

Question 12. એક સ્કૂટર ₹ 42,000માં ખરીદવામાં આવ્યું. તેની કિંમતમાં 8%ના દરે પ્રતિ વર્ષનો ઘટાડો થાય છે, તો એક વર્ષના અંતે તેની કિંમત શોધો.
Answer: સ્કૂટરની મૂળ કિંમત Rs. 42,000 છે. સ્કૂટરની કિંમતમાં ઘટાડાનો વાર્ષિક દર 8% છે. એક વર્ષ પછી તેની અંતિમ કિંમત શોધવાની છે. અહીં મુદ્દલ \( (P) = \) Rs. 42,000; દર \( (R) = 8 \% \); સમય \( (T) = 1 \) વર્ષ. આથી \( n = 1 \) અને \( R = 8 \% \) ગણવામાં આવશે.
\( A = P(1-\frac{R}{100})^n \)
\( = 42,000 (1-\frac{8}{100})^1 \)
\( = 42,000 (\frac{100-8}{100})^1 \)
\( = 42,000 \times \frac{92}{100} \)
\( = 420 \times 92 \)
\( = 38,640 \)
આમ, એક વર્ષના અંતે સ્કૂટરની કિંમત Rs. 38,640 થશે.
In simple words: સ્કૂટરની કિંમત દર વર્ષે 8% ઓછી થાય છે. જો શરૂઆતમાં તેની કિંમત Rs. 42,000 હોય, તો એક વર્ષ પછી તેની કિંમત કેટલી રહેશે તે શોધવાનું છે. ગણતરી કરતા, તેની કિંમત Rs. 38,640 થશે.

Exam Tip: Remember that depreciation means a decrease in value. Use the formula \( A = P(1-\frac{R}{100})^n \) when the value is reducing, not \( A = P(1+\frac{R}{100})^n \).