GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 8 રાશિઓની તુલના InText Questions

પ્રયત્ન કરો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 119)

એક પ્રાથમિક શાળાના વિદ્યાર્થીઓના વાલીઓને પૂછવામાં આવ્યું કે તેઓ એક દિવસમાં કેટલા કલાક તેઓનાં બાળકોને ગૃહકાર્યમાં મદદ કરે છે? 90 વાલીઓ એવા હતા કે જેઓ પોતાનાં બાળકને \( \frac {1}{2} \) થી \( 1\frac {1}{2} \) કલાક મદદ કરે છે. નીચેની આકૃતિમાં વાલીઓ પોતાનાં બાળકને મદદ કરવા જે સમય ફાળવે છે, તેના પરથી તેઓનું (વાલીની સંખ્યાનું) વિભાજન કરેલ છે. 20 % વાલીઓ \( 1\frac {1}{2} \) કલાકથી વધારે સમય મદદ કરે છે, 30 % વાલીઓ \( \frac {1}{2} \) થી \( 1\frac {1}{2} \) કલાક મદદ કરે છે અને 50 % વાલીઓ મદદ નથી કરતા.

Question (i). કુલ કેટલા વાલીઓને પૂછવામાં આવ્યું હતું?
Answer: 90 વાલીઓ પોતાના બાળકને \( \frac {1}{2} \) કલાકથી \( 1\frac {1}{2} \) કલાક સુધી ગૃહકાર્યમાં મદદ કરે છે. પાઈ-ચાર્ટમાં આપેલી ટકાવારી 30 % છે. ધારો કે સર્વે કરવામાં આવેલી વ્યક્તિઓની કુલ સંખ્યા \( x \) છે. આમ, \( x \) ના 30 % વાલીઓ પોતાના બાળકને \( \frac {1}{2} \) કલાકથી \( 1\frac {1}{2} \) કલાક ગૃહકાર્યમાં મદદ કરે છે.
\( \therefore x \) ના 30 % = 90
\( \therefore x \times \frac {30}{100} = 90 \)
\( x = \frac{90 \times 100}{30} \)
\( \therefore x = 300 \)
આમ, કુલ 300 વાલીઓને આ પ્રશ્ન પૂછવામાં આવ્યો હતો.
In simple words: 90 parents helped their child for \( \frac {1}{2} \) to \( 1\frac {1}{2} \) hours, which is 30% of all parents. To find the total parents asked, we divide 90 by 30% and multiply by 100. So, 300 parents were asked in total.

Exam Tip: When a percentage and its corresponding count are given, you can always find the total by setting up a proportion (Part/Whole = Percent/100).

Question (ii). કેટલા વાલીઓ મદદ જ નહોતા કરતા?
Answer: 50 % વાલીઓ પોતાના બાળકને ગૃહકાર્યમાં મદદ કરતા નથી. તેથી, 300 માંથી 50 % વાલીઓ પોતાના બાળકને ગૃહકાર્યમાં મદદ કરતા ન હતા. વાલીઓની કુલ સંખ્યા \( = 300 \times \frac {50}{100} \)
\( = 3 \times 50 = 150 \)
આમ, 150 વાલીઓ પોતાના બાળકને ગૃહકાર્યમાં મદદ નહોતા કરતા.
In simple words: Half of the parents, which is 50%, did not help their children. Since there are 300 parents in total, half of them means 150 parents did not help with homework.

Exam Tip: Always make sure to calculate the percentage of the *total* number when finding the count for a specific category.

Question (iii). કેટલા વાલીઓ \( 1\frac {1}{2} \) કલાકથી વધારે સમય મદદ કરતા હતા?
Answer: 20 % વાલીઓ પોતાના બાળકને \( 1\frac {1}{2} \) કલાકથી વધારે સમય ગૃહકાર્યમાં મદદ કરતા હતા. તેથી, 300 માંથી 20 % વાલીઓ પોતાના બાળકને \( 1\frac {1}{2} \) કલાકથી વધારે સમય ગૃહકાર્યમાં મદદ કરતા હતા. વાલીઓની કુલ સંખ્યા \( = 300 \times \frac {20}{100} \)
\( = 3 \times 20 = 60 \)
આમ, 60 વાલીઓ પોતાના બાળકને \( 1\frac {1}{2} \) કલાકથી વધારે સમય ગૃહકાર્યમાં મદદ કરતા હતા.
In simple words: 20% of the parents helped their child for more than \( 1\frac {1}{2} \) hours. Out of the 300 total parents, 20% means 60 parents helped for a longer time.

Exam Tip: Remember to calculate the percentage of the *total* number found in question (i) to get the actual count for each category.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 121)

Question 1. એક દુકાનદાર 20 % વળતર આપે છે, તો નીચે આપેલી વસ્તુઓની વેચાણકિંમત શું હશે?
(a) એક ડ્રેસ જેની છાપેલી કિંમત Rs 120 છે.
Answer: ડ્રેસની છાપેલી કિંમત \( = \) Rs 120. વળતરની ટકાવારી \( = \) 20 %. તેથી, ડ્રેસની ખરીદીમાં મળતું વળતર \( = \) 120 ના 20 %
\( = (120 \times \frac {20}{100}) = \) Rs 24
ડ્રેસની વેચાણકિંમત \( = \) ડ્રેસની છાપેલી કિંમત \( - \) વળતર
\( = \) Rs \( (120 - 24) = \) Rs 96
આમ, ડ્રેસની વેચાણકિંમત Rs 96 છે.
In simple words: The dress costs Rs 120. There is a 20% discount. So, the discount is Rs 24. The selling price will be Rs 120 minus Rs 24, which is Rs 96.

Exam Tip: To calculate the discount amount, multiply the marked price by the discount percentage. Then, subtract the discount from the marked price to find the selling price.

Question 1. (b) એક જોડી બૂટ જેની છાપેલી કિંમત Rs 750 છે.
Answer: બૂટની છાપેલી કિંમત \( = \) Rs 750. વળતરની ટકાવારી \( = \) 20 %. તેથી, બૂટની ખરીદીમાં મળતું વળતર \( = \) 750 ના 20 %
\( = \) Rs \( (750 \times \frac {20}{100}) = \) Rs 150
બૂટની વેચાણકિંમત \( = \) બૂટની છાપેલી કિંમત \( - \) વળતર
\( = \) Rs \( (750 - 150) = \) Rs 600
આમ, બૂટની વેચાણકિંમત Rs 600 છે.
In simple words: The shoes are Rs 750. A 20% discount means you save Rs 150. So, you will buy the shoes for Rs 750 minus Rs 150, which is Rs 600.

Exam Tip: Always make sure to convert the percentage to a decimal or fraction before multiplying it by the original price to find the discount amount.

Question 1. (c) એક થેલો જેની છાપેલી કિંમત 250 છે.
Answer: થેલાની છાપેલી કિંમત \( = \) Rs 250. વળતરની ટકાવારી \( = \) 20 %. તેથી, થેલાની ખરીદીમાં મળતું વળતર \( = \) 250 ના 20 %
\( = \) Rs \( (250 \times \frac {20}{100}) = \) Rs 50
થેલાની વેચાણકિંમત \( = \) થેલાની છાપેલી કિંમત \( - \) વળતર
\( = \) Rs \( (250 - 50) = \) Rs 200
આમ, થેલાની વેચાણકિંમત Rs 200 છે.
In simple words: The bag costs Rs 250. With a 20% discount, the saving is Rs 50. So, the selling price of the bag is Rs 250 minus Rs 50, which is Rs 200.

Exam Tip: Pay attention to the units (Rs in this case) and ensure they are consistent throughout your calculations.

Question 2. એક ટેબલ જેની છાપેલી કિંમત ₹ 15,000 છે, તે ₹ 14,400માં મળે છે. તેના પર મળેલ વળતર અને વળતરની ટકાવારી શોધો.
Answer: ટેબલની છાપેલી કિંમત \( = \) Rs 15,000. ટેબલની વેચાણકિંમત \( = \) Rs 14,400. ટેબલની ખરીદીમાં મળતું વળતર \( = \) છાપેલી કિંમત \( - \) વેચાણકિંમત
\( = \) Rs \( (15,000 - 14,400) \)
\( = \) Rs 600
વળતરની ટકાવારી \( = \frac {વળતર}{છાપેલી કિંમત} \times 100 \)
\( = \frac {600}{15000} \times 100 = 4% \)
આમ, ટેબલના વેચાણમાં વળતર Rs 600 છે અને વળતરની ટકાવારી 4 % છે.
In simple words: The table was marked at Rs 15,000 but sold for Rs 14,400. This means a discount of Rs 600 was given. To find the discount percentage, we divide the discount amount by the original price and multiply by 100, which gives 4%.

Exam Tip: Remember that discount percentage is always calculated on the marked price, not the selling price.

Question 3. એક કબાટ 5 % વળતર આપી ₹ 5,225માં વેચેલ છે, તો તેની છાપેલા કિંમત શોધો.
Answer: કબાટની વેચાણકિંમત \( = \) Rs 5225. વળતરની ટકાવારી \( = \) 5 %. જો Rs 100ની છાપેલી કિંમત પર મળતું વળતર Rs 5 હોય, તો વેચાણકિંમત \( = \) Rs \( (100 - 5) \)
\( = \) Rs 95
જો Rs 95ની વેચાણકિંમત હોય, તો છાપેલી કિંમત \( = \) Rs 100
તેથી, જો Rs 5225 વેચાણકિંમત હોય, તો છાપેલી કિંમત \( = \) Rs \( (100 \times \frac {5225}{95}) \)
\( = \) Rs 5500
આમ, કબાટની છાપેલી કિંમત Rs 5500 છે.
In simple words: The cabinet was sold for Rs 5225 after a 5% discount. This means the selling price is 95% of the original price. To find the original price, we divide the selling price by 95% and multiply by 100, giving Rs 5500.

Exam Tip: When given the selling price after a discount, remember that the selling price represents (100% - discount %) of the original price. Use this relationship to find the marked price.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 123)

Question. જો 5% નફો થતો હોય, તો નીચેની વિગતો માટે વેચાણકિંમત શોધોઃ
(a) Rs 700ની એક સાઈકલ, Rs 50ના વધારાના ખર્ચ સાથે.
Answer: સાઈકલની કિંમત \( = \) Rs 700. અન્ય ખર્ચ \( = \) Rs 50. તેથી, સાઇકલની પડતર કિંમત \( = \) સાઈકલની કિંમત \( + \) અન્ય ખર્ચ
\( = \) Rs \( (700 + 50) = \) Rs 750
નફાની ટકાવારી \( = \) 5 %. તેથી, નફો \( = \) પડતર કિંમત \( \times \) નફાની ટકાવારી
\( = \) 750 ના 5 %
\( = \) Rs \( (750 \times \frac {5}{100}) \)
\( = \frac {3750}{100} \)
\( = \) Rs 37.50
હવે, સાઇકલની વેચાણકિંમત \( = \) પડતર કિંમત \( + \) નફો
\( = \) Rs \( (750 + 37.50) = \) Rs 787.50
આમ, સાઇકલની વેચાણકિંમત Rs 787.50 છે.
In simple words: The bicycle costs Rs 700, plus Rs 50 extra, making a total cost of Rs 750. A 5% profit means adding Rs 37.50 to the cost. So, the bicycle is sold for Rs 750 plus Rs 37.50, which is Rs 787.50.

Exam Tip: Remember that 'other expenses' are added to the initial cost to find the total cost price. Profit is always calculated on this total cost price.

Question. (b) Rs 1150 માં ખરીદેલ ઘાસ કાપવાનું મશીન Rs 50ના પરિવહન ખર્ચ સાથે.
Answer: ઘાસ કાપવાના મશીનની કિંમત \( = \) Rs 1150. પરિવહન ખર્ચ \( = \) Rs 50. તેથી, ઘાસ કાપવાના મશીનની પડતર કિંમત \( = \) Rs \( (1150 + 50) \)
\( = \) Rs 1200
નફાની ટકાવારી \( = \) 5 %. તેથી, નફો \( = \) પડતર કિંમતના 5 %
\( = \) 1200 ના 5 %
\( = \) Rs \( (1200 \times \frac {5}{100}) = \) Rs 60
ઘાસ કાપવાના મશીનની વેચાણકિંમત \( = \) પડતર કિંમત \( + \) નફો
\( = \) Rs \( (1200 + 60) = \) Rs 1260
આમ, ઘાસ કાપવાના મશીનની વેચાણકિંમત Rs 1260 છે.
In simple words: The lawnmower cost Rs 1150, plus Rs 50 for transport, so the total cost is Rs 1200. With a 5% profit, this adds Rs 60. So, the lawnmower is sold for Rs 1200 plus Rs 60, which totals Rs 1260.

Exam Tip: Always include all additional costs (like transportation, repair) in the calculation of the total cost price before determining profit or loss.

Question. (c) ₹ 560માં ખરીદેલ પંખો, ₹ 40ના સમારકામના વધારાના ખર્ચ સાથે.
Answer: સમારકામનો ખર્ચ \( = \) Rs 40. તેથી, પંખાની પડતર કિંમત \( = \) Rs \( (560 + 40) = \) Rs 600
નફાની ટકાવારી \( = \) 5 %. તેથી, નફો \( = \) પડતર કિંમતના 5 %
\( = \) 600 ના 5 %
\( = \) Rs \( (600 \times \frac {5}{100}) \)
\( = \) 30
પંખાની વેચાણકિંમત \( = \) પડતર કિંમત \( + \) નફો
\( = \) Rs \( (600 + 30) = \) Rs 630
આમ, પંખાની વેચાણકિંમત Rs 630 છે.
In simple words: The fan was bought for Rs 560 and Rs 40 was spent on repairs, making its total cost Rs 600. A 5% profit means an extra Rs 30. So, the fan is sold for Rs 600 plus Rs 30, which comes to Rs 630.

Exam Tip: Remember to calculate the profit amount based on the total cost price (purchase price + repair cost) before adding it to find the selling price.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 123)

Question. એક દુકાનદારે દરેકના ₹10,000 લેખે બે ટીવી (TV) ખરીદ્યાં. તે પૈકી એક 10%ના નફા સાથે અને બીજું 10%ની ખોટ સાથે વેચે છે. તેને સમગ્ર રીતે નફો થયો કે ખોટ તે શોધો.
Answer: દુકાનદારે બે ટીવી ખરીદ્યાં છે. દરેક ટીવીની ખરીદ કિંમત \( = \) Rs 10,000. તેથી, દુકાનદારની કુલ પડતર કિંમત \( = 2 \times \) Rs 10,000 \( = \) Rs 20,000.
દુકાનદારે પહેલું ટીવી 10 % નફાથી વેચ્યું છે. તેથી, નફો \( = \) 10,000 ના 10 %
\( = \) Rs \( (10000 \times \frac {10}{100}) = \) Rs 1000
પહેલા ટીવીની વેચાણકિંમત \( = \) પડતર કિંમત \( + \) નફો
\( = \) Rs \( (10,000 + 1000) = \) Rs 11,000
દુકાનદારે બીજું ટીવી 10 % ખોટ સાથે વેચ્યું છે. તેથી, ખોટ \( = \) 10,000 ના 10 %
\( = \) Rs \( (10000 \times \frac {10}{100}) = \) Rs 1000
બીજા ટીવીની વેચાણકિંમત \( = \) પડતર કિંમત \( - \) ખોટ
\( = \) Rs \( (10,000 - 1000) = \) Rs 9000
બંને ટીવીની કુલ વેચાણકિંમત \( = \) Rs \( (11,000 + 9000) \)
\( = \) Rs 20,000
આમ, બંને ટીવીની પડતર કિંમત \( = \) બંને ટીવીની વેચાણકિંમત છે. તેથી, વેપારીને એકંદરે નફો કે ખોટ થતા નથી.
In simple words: Two TVs were bought for Rs 10,000 each, making the total cost Rs 20,000. One TV was sold for a 10% profit (Rs 11,000), and the other for a 10% loss (Rs 9,000). The total selling price for both TVs is Rs 11,000 + Rs 9,000 = Rs 20,000. Since the total cost price equals the total selling price, there is no overall profit or loss.

Exam Tip: When calculating overall profit or loss, always compare the total cost price of all items with the total selling price of all items. Individual item profits/losses can balance each other out.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 125)

Question 1. કોઈ સંખ્યાની બમણી સંખ્યા એ 100 %નો વધારો છે. જો આપણે તે સંખ્યાનો અડધો ભાગ લઈએ, તો ટકાવારીમાં કેટલો ઘટાડો હશે?
Answer: ધારો કે તે સંખ્યા \( x \) છે. આ સંખ્યાનો અડધો ભાગ \( \frac{x}{2} \) થાય. સંખ્યામાં થતો ઘટાડો \( = x - \frac{x}{2} \)
\( = \frac{2x - x}{2} \)
\( = \frac{x}{2} \)
આ ઘટાડાની ટકાવારી \( = (\frac{ઘટાડો}{મૂળ કિંમત} \times 100) \% \)
\( = (\frac{\frac{x}{2}}{x} \times 100) \% \)
\( = (\frac{1}{2} \times 100) \% \)
\( = 50 \% \)
આમ, ટકાવારીમાં 50 %નો ઘટાડો થશે.
In simple words: If we have a number \( x \), its double is \( 2x \), which is a 100% increase. If we take half of the number, which is \( \frac{x}{2} \), the decrease from \( x \) to \( \frac{x}{2} \) is \( \frac{x}{2} \). When we calculate this as a percentage of the original number \( x \), it is a 50% decrease.

Exam Tip: When dealing with percentage change, always specify the "base" or "original" value against which the change is being calculated.

Question 2. ₹ 2000 એ ₹ 2400 કરતાં કેટલા ટકા ઓછા છે? ₹ 2400 એ ₹ 2000 કરતાં ટકાવારીમાં કેટલા વધારે છે? શું બંને ફેરફાર સમાન છે?
Answer:
(a) અહીં Rs 2400 કિંમતને ઘટાડીને 2000 કરવામાં આવે છે. મૂળ કિંમત \( = \) Rs 2400, નવી કિંમત \( = \) Rs 2000. તેથી, થયેલો ઘટાડો \( = \) Rs \( (2400 - 2000) = \) Rs 400.
ઘટાડાના ટકા \( = (\frac{ઘટાડો}{મૂળ કિંમત} \times 100) \% \)
\( = (\frac{400}{2400} \times 100) \% \)
\( = (\frac{1}{6} \times 100) \% \)
\( = \frac{100}{6} \% = \frac{50}{3} \% = 16\frac{2}{3}\% \)
આમ, ઘટાડો \( 16\frac{2}{3} \% \) છે.
(b) અહીં Rs 2000 કિંમતને વધારીને Rs 2400 કરવામાં આવે છે. મૂળ કિંમત \( = \) Rs 2000, નવી કિંમત \( = \) Rs 2400. તેથી, થયેલો વધારો \( = \) Rs \( (2400 - 2000) = \) Rs 400.
વધારાના ટકા \( = (\frac{વધારો}{મૂળ કિંમત} \times 100) \% \)
\( = (\frac{400}{2000} \times 100) \% \)
\( = (\frac{1}{5} \times 100) \% \)
\( = 20 \% \)
ટૂંકમાં, ઘટાડાની ટકાવારી અને વધારાની ટકાવારી સરખી નથી.
In simple words: First, to see how much less Rs 2000 is than Rs 2400, we find the difference (Rs 400) and divide it by Rs 2400, which gives about 16.67%. Second, to see how much more Rs 2400 is than Rs 2000, we find the same difference (Rs 400) but divide it by Rs 2000, which gives 20%. The percentages are not the same because the starting numbers for comparison are different.

Exam Tip: Always pay attention to the base value when calculating percentage increase or decrease. "Percent less than X" means X is the base, while "percent more than Y" means Y is the base.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 126)

Question 1. ₹ 15,000નું 5 % પ્રતિ વર્ષ વ્યાજ લેખે 2 વર્ષનું વ્યાજ અને વ્યાજમુદ્દલ શોધો.
Answer: અહીં મુદ્દલ \( (P) = \) Rs 15,000; વ્યાજનો દર \( (R) = \) 5 %, મુદત \( (T) = \) 2 વર્ષ.
સાદું વ્યાજ \( (SI) = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{15000 \times 5 \times 2}{100} = \) Rs 1500
વ્યાજમુદ્દલ \( = \) મુદ્દલ \( + \) વ્યાજ
\( = \) Rs \( (15,000 + 1500) = \) Rs 16,500
અથવા,
Rs 100નું 1 વર્ષનું વ્યાજ \( = \) Rs 5
તેથી, Rs 15,000નું 2 વર્ષનું વ્યાજ \( = \) Rs \( (\frac{15000}{100} \times \frac{2}{1} \times \frac{5}{1}) \)
\( = \) Rs 1500
વ્યાજમુદ્દલ \( = \) મુદ્દલ \( + \) વ્યાજ
\( = \) Rs \( (15,000 + 1500) = \) Rs 16,500
આમ, વ્યાજ Rs 1500 અને વ્યાજમુદ્દલ Rs 16,500 છે.
In simple words: For a principal of Rs 15,000 at 5% interest over 2 years, the simple interest is calculated as (Principal × Rate × Time) / 100, which gives Rs 1500. The total amount, including interest, is Rs 15,000 + Rs 1500 = Rs 16,500.

Exam Tip: Remember the formula for simple interest: \( SI = \frac{P \times R \times T}{100} \) and for Amount: \( A = P + SI \). Make sure to substitute the correct values for Principal (P), Rate (R), and Time (T).

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 129)

Question 1. ₹ 8000 પર 5% પ્રતિ વર્ષ વ્યાજ દરે 2 વર્ષ માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ શોધો.
Answer: અહીં મુદ્દલ \( (P) = \) Rs 8000; વ્યાજનો દર \( (R) = \) 5 %, મુદત \( (T) = \) 2 વર્ષ. વ્યાજની ગણતરી વાર્ષિક ધોરણે થાય છે.
રકમ \( (A) = P(1+\frac{R}{100})^{n} \)
\( = 8000(1+\frac{5}{100})^{2} \)
\( = 8000(\frac{100+5}{100})^{2} \)
\( = 8000(\frac{105}{100})^{2} \)
\( = 8000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \)
\( = 8820 \)
આમ, વ્યાજમુદ્દલ \( = \) Rs 8820. તેથી, ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( = \) વ્યાજમુદ્દલ \( - \) મુદ્દલ
\( = 8820 - 8000 = \) Rs 820
આમ, ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ \( CI = \) Rs 820 છે.
In simple words: For an initial amount of Rs 8000, with a 5% interest rate per year for 2 years, we calculate the total amount using the compound interest formula. This gives us Rs 8820. Then, to find the compound interest, we subtract the original amount (principal) from this total, which is Rs 820.

Exam Tip: The formula for compound amount is \( A = P(1+\frac{R}{100})^{n} \) and compound interest is \( CI = A - P \). Ensure careful calculation of powers.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 130)

સમયગાળો અને દર શોધોઃ

Question 1. એક રકમ \( 1\frac {1}{2} \) વર્ષ માટે 8%ના દરે અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે લેવામાં આવે છે.
Answer: અહીં મુદત \( (T) = 1\frac {1}{2} \) વર્ષ \( = \frac {3}{2} \) વર્ષ. વ્યાજનો દર \( R = \) 8 %. આમ, સમયગાળો \( n = 1\frac {1}{2} \times 2 = \frac {3}{2} \times 2 = 3 \) (અર્ધવાર્ષિક હોવાથી 2 વડે ગુણવામાં આવે છે). અને વ્યાજનો દર \( (R) = \frac {8}{2}\% = 4\% \).
In simple words: The time period is \( 1\frac {1}{2} \) years and the interest rate is 8%. Since the interest is compounded half-yearly, we multiply the time by 2 to get 3 periods, and divide the rate by 2 to get 4%.

Exam Tip: When interest is compounded half-yearly, remember to double the number of years (for 'n') and halve the annual interest rate (for 'R').

Question 2. એક રકમ 2 વર્ષ માટે 4%ના દરે અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે લેવામાં આવે છે.
Answer: અહીં મુદત \( (T) = \) 2 વર્ષ. વ્યાજનો દર \( (R) = \) 4 %. આમ, સમયગાળો \( (n) = 2 \times 2 = 4 \) (અર્ધવાર્ષિક હોવાથી 2 વડે ગુણવામાં આવે છે). અને વ્યાજનો દર \( R = \frac {4}{2} \% = 2 \% \).
In simple words: For 2 years at a 4% annual rate, if compounded half-yearly, the number of compounding periods becomes 4 (2 years multiplied by 2). The half-yearly rate is 2% (4% divided by 2).

Exam Tip: This question reinforces the rule for half-yearly compounding. Always adjust 'n' and 'R' correctly based on the compounding frequency.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 130)

Question. એક રકમ એક વર્ષ માટે 16 % પ્રતિ વર્ષના દરે લેવામાં આવેલ છે. ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ દરનો સમય ત્રિમાસિક હોય, તો એક વર્ષમાં કેટલી વખત વ્યાજની ગણતરી કરવામાં આવશે?
Answer: અહીં વ્યાજની ગણતરી ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની રીતે કરવાની છે. વ્યાજની ગણતરી ત્રિમાસિક કરવાની છે, એટલે કે વર્ષમાં 4 વખત થાય. આમ, વ્યાજનો દર \( = \frac {16}{4} \% = 4 \% \). આમ, વ્યાજની ગણતરી ત્રિમાસિક થતી હોઈ એક વર્ષમાં વ્યાજની ગણતરી 4 વખત થાય.
In simple words: The interest is compounded quarterly. Since there are 4 quarters in a year, the interest will be calculated 4 times within one year. The annual rate of 16% becomes 4% per quarter.

Exam Tip: When interest is compounded quarterly, divide the annual rate by 4 and multiply the number of years by 4 to find the effective rate and number of periods, respectively.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 131)

ચૂક્વવાની રકમ શોધોઃ

Question 1. ₹ 2400નું 2 વર્ષના અંતે 5%ના વાર્ષિક દરે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ
Answer: અહીં મુદ્દલ \( (P) = \) Rs 2400, મુદત \( (n) = \) 2 વર્ષ, વ્યાજનો દર \( (R) = \) 5 %. ધ્યાનમાં રાખીશું કે વ્યાજની ગણતરી વાર્ષિક દરે કરવાની છે.
રકમ \( A = P(1+\frac{R}{100})^{n} \)
\( = 2400 (1+\frac{5}{100})^{2} \)
\( = 2400 (\frac{100+5}{100})^{2} \)
\( = 2400 (\frac{105}{100})^{2} \)
\( = 2400 (\frac{21}{20})^{2} \)
\( = 2400 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \)
\( = 2646 \)
આમ, ચૂકવવાની રકમ Rs 2646 છે.
In simple words: To find the total amount for Rs 2400 at 5% annual compound interest for 2 years, we use the formula. This calculation gives a final amount of Rs 2646 that needs to be paid back.

Exam Tip: Simplify the fraction inside the parentheses before squaring it to make calculations easier. \( \frac{105}{100} \) simplifies to \( \frac{21}{20} \).

Question 2. ₹ 1800નું 1 વર્ષના અંતે 8%ના ત્રિમાસિક દરે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ
Answer: અહીં વ્યાજની ગણતરી ત્રિમાસિક એટલે કે વર્ષમાં દર ત્રણ માસે કરવાની છે, તેથી વર્ષમાં ચાર વખત વ્યાજની ગણતરી થાય. મુદ્દલ \( (P) = \) Rs 1800, વ્યાજનો દર \( (R) = \frac {8}{4} = 2 \% \), મુદત \( (T) = \) 1 વર્ષ. તેથી, \( n = 4 \times 1 = 4 \).
રકમ \( A = P(1+\frac{R}{100})^{n} \)
\( = 1800 (1+\frac{2}{100})^{4} \)
\( = 1800 (\frac{100+2}{100})^{4} \)
\( = 1800 (\frac{102}{100})^{4} \)
\( = 1800 \times \frac{51}{50} \times \frac{51}{50} \times \frac{51}{50} \times \frac{51}{50} \)
\( = \frac{18 \times 51 \times 51 \times 51 \times 51}{5 \times 5 \times 50 \times 50} \)
\( = \frac{121773618}{62500} \)
\( = 1948.38 \)
આમ, ચૂકવવાની રકમ Rs 1948.38 છે.
In simple words: For Rs 1800 at an 8% annual rate compounded quarterly for 1 year, we divide the rate by 4 (2%) and multiply the time by 4 (4 periods). Using the compound interest formula, the total amount to be paid is Rs 1948.38.

Exam Tip: Be very careful with calculations involving higher powers like \( (\frac{51}{50})^4 \). Use a calculator or simplify step-by-step to avoid errors.

પ્રયત્ન કરો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 133)

Question 1. ₹ 10,500ની યંત્રસામગ્રીમાં 5%નો ઘટાડો થયો, તો એક વર્ષ પછી તેની કિંમત શોધો.
Answer: અહીં \( P = \) Rs 10,500; \( R = -5 \% \) (ઘટાડો એટલે બાદબાકી), \( T = \) 1 વર્ષ. તેથી, \( n = 1 \).
રકમ \( A = P(1-\frac{R}{100})^{n} \)
\( \therefore A = 10,500 (1-\frac{5}{100})^{1} \)
\( \therefore A = 10,500 (\frac{100-5}{100}) \)
\( = 10,500 \times \frac{95}{100} \)
\( = 9975 \)
આમ, Rs 10,500 કિંમત 1 વર્ષને અંતે Rs 9975 થાય.
In simple words: The machinery costs Rs 10,500. It decreases by 5% in one year. So, the value after one year is 95% of the original cost. This comes out to Rs 9975.

Exam Tip: When there is a depreciation or decrease in value, the formula uses \( (1-\frac{R}{100}) \) instead of \( (1+\frac{R}{100}) \).

Question 2. એક શહેરની હાલની જનસંખ્યા 12 લાખ છે, તેમાં પ્રતિ વર્ષ 4%નો વધારો થાય છે, તો બે વર્ષ પછી શહેરની જનસંખ્યા શોધો.
Answer: અહીં \( P = \) 12,00,000; જનસંખ્યામાં વધારો \( R = \) 4 %, મુદત \( (T) = \) 2 વર્ષ. તેથી, \( n = 2 \).
બે વર્ષને અંતે જનસંખ્યા \( = P (1 + \frac{R}{100})^{n} \)
\( = 12,00,000 (1+\frac{4}{100})^{2} \)
\( = 12,00,000 (\frac{100+4}{100})^{2} \)
\( = 12,00,000 (\frac{104}{100})^{2} \)
\( = 12,00,000 \times \frac{104}{100} \times \frac{104}{100} \)
\( = 120 \times 104 \times 104 \)
\( = 12,97,920 \)
આમ, શહેરની જનસંખ્યા 2 વર્ષ પછી 12,97,920 થાય.
In simple words: A city's population is 12 lakhs and it grows by 4% each year. To find the population after 2 years, we apply the growth rate twice. The calculation shows the population will become 12,97,920.

Exam Tip: Population growth problems use the compound interest formula where the principal is the initial population and the rate is the growth percentage. Ensure you calculate the powers correctly.