GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 6 વર્ગ અને વર્ગમૂળ Exercise 6.3

Question 1. નીચે આપેલ સંખ્યાઓના વર્ગમૂળમાં એકમનો અંક કયો હશે?
Answer:
(i) 9801: 9801ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 થશે. કેમ કે: \( 1 \times 1 = 1 \) અને \( 9 \times 9 = 81 \).
(ii) 99956: 99856ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 4 અથવા 6 થશે. કેમ કે: \( 4 \times 4 = 16 \) અને \( 6 \times 6 = 36 \).
(iii) 998001: 998001ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 થશે. કેમ કે: \( 1 \times 1 = 1 \) અને \( 9 \times 9 = 81 \).
(iv) 657666025: 657666025ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 5 થશે. કેમ કે: \( 5 \times 5 = 25 \).
In simple words: સંખ્યાના એકમના અંકને જોઈને તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક શોધી શકાય છે. જો સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 1 હોય, તો વર્ગમૂળનો છેલ્લો અંક 1 અથવા 9 હોય છે. જો 6 હોય, તો 4 અથવા 6 હોય, અને જો 5 હોય, તો 5 જ હોય.

Exam Tip: To quickly find the unit digit of a square root, just look at the unit digit of the original number. For example, if it ends in 4, the square root's unit digit will be 2 or 8.

 

Question 2. કોઈ પણ પ્રકારની ગણતરી કર્યા વિના જ જણાવો કે નીચેના પૈકી કઈ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ નથી?
Answer:[નોંધ: જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 0, 1, 4, 5, 6 અને 9 હોય, તે જ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોઈ શકે છે. આથી જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 2, 3, 7 કે 8 હોય, તે કદાપિ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા ન હોય.]
(i) 153: આ ચોક્કસ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. એકમનો અંક 3 છે.
(ii) 257: આ ચોક્કસ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. એકમનો અંક 7 છે.
(iii) 408: આ ચોક્કસ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. એકમનો અંક 8 છે.
(iv) 441: પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોઈ શકે છે. એકમનો અંક 1 છે. \( \sqrt{441} = 21 \) છે.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યાના એકમનો અંક 2, 3, 7 અથવા 8 હોય, તો તે ક્યારેય પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા બની શકતી નથી. બાકીના અંકો (0, 1, 4, 5, 6, 9) હોય તો તે પૂર્ણવર્ગ હોઈ શકે છે.

Exam Tip: Remember the basic rule: numbers ending in 2, 3, 7, or 8 can never be perfect squares. This helps in quickly eliminating options in MCQs.

 

Question 3. પુનરાવર્તિત બાદબાકીની રીતે 100 અને 169નું વર્ગમૂળ શોધો.
Answer:
(i) 100:
\( 100 - 1 = 99 \)
\( 99 - 3 = 96 \)
\( 96 - 5 = 91 \)
\( 91 - 7 = 84 \)
\( 84 - 9 = 75 \)
\( 75 - 11 = 64 \)
\( 64 - 13 = 51 \)
\( 51 - 15 = 36 \)
\( 36 - 17 = 19 \)
\( 19 - 19 = 0 \)
આમ, 100 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે. તેથી, \( \sqrt{100} = 10 \).
(ii) 169:
\( 169 - 1 = 168 \)
\( 168 - 3 = 165 \)
\( 165 - 5 = 160 \)
\( 160 - 7 = 153 \)
\( 153 - 9 = 144 \)
\( 144 - 11 = 133 \)
\( 133 - 13 = 120 \)
\( 120 - 15 = 105 \)
\( 105 - 17 = 88 \)
\( 88 - 19 = 69 \)
\( 69 - 21 = 48 \)
\( 48 - 23 = 25 \)
\( 25 - 25 = 0 \)
આમ, 169 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે. તેથી, \( \sqrt{169} = 13 \).
In simple words: પુનરાવર્તિત બાદબાકીની રીતમાં, આપણે સંખ્યામાંથી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ (1, 3, 5, 7...) બાદ કરીએ છીએ. જ્યાં સુધી શૂન્ય ન આવે ત્યાં સુધી આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખવામાં આવે છે. જેટલા પગલાં (સ્ટેપ્સ) લીધા હોય, તે સંખ્યા જ વર્ગમૂળ છે.

Exam Tip: The repeated subtraction method works by subtracting consecutive odd numbers starting from 1. The number of subtractions required to reach zero is the square root of the original number.

 

Question 4. નીચે આપેલી સંખ્યાઓનું વર્ગમૂળ અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે શોધોઃ
Answer:
(i) 729:

\( 729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
\( = 3^2 \times 3^2 \times 3^2 \)
આથી, \( \sqrt{729} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \).
(ii) 400:
\( 400 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)
\( = 2^2 \times 2^2 \times 5^2 \)
આથી, \( \sqrt{400} = 2 \times 2 \times 5 = 20 \).
(iii) 1764:
\( 1764 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \)
\( = 2^2 \times 3^2 \times 7^2 \)
આથી, \( \sqrt{1764} = 2 \times 3 \times 7 = 42 \).
(iv) 4096:
\( 4096 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
\( = 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \)
આથી, \( \sqrt{4096} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \).
(v) 7744:
\( 7744 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11 \)
\( = 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 11^2 \)
આથી, \( \sqrt{7744} = 2 \times 2 \times 2 \times 11 = 88 \).
(vi) 9604:
\( 9604 = 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \)
\( = 2^2 \times 7^2 \times 7^2 \)
આથી, \( \sqrt{9604} = 2 \times 7 \times 7 = 98 \).
(vii) 5929:
\( 5929 = 7 \times 7 \times 11 \times 11 \)
\( = 7^2 \times 11^2 \)
આથી, \( \sqrt{5929} = 7 \times 11 = 77 \).
(viii) 9216:
\( 9216 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
\( = 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 3^2 \)
આથી, \( \sqrt{9216} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 96 \).
(ix) 529:
\( 529 = 23 \times 23 \)
\( = 23^2 \)
આથી, \( \sqrt{529} = 23 \).
(x) 8100:
\( 8100 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
\( = 2^2 \times 3^2 \times 3^2 \times 5^2 \)
આથી, \( \sqrt{8100} = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90 \).
In simple words: અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતમાં, આપણે સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ છીએ. પછી, દરેક અવયવની જોડી બનાવીએ છીએ અને દરેક જોડીમાંથી એક અવયવ લઈને ગુણાકાર કરીએ છીએ. આ આપણને વર્ગમૂળ આપે છે.

Exam Tip: When using prime factorization, ensure all prime factors are correctly identified. Group them into pairs, then multiply one factor from each pair to get the square root. Missing a pair or making a calculation error will lead to an incorrect result.

 

Question 5. નીચે આપેલી દરેક સંખ્યા માટે નાનામાં નાની એવી સંખ્યા શોધો કે જેના વડે ગુણવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત મળતી આ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધો:
Answer:
(i) 252:

\( 252 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી. માટે, આપેલ સંખ્યાને 7 વડે ગુણવી પડશે.
તેથી, \( [252] \times 7 = [2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7] \times 7 = 1764 \).
આથી, 1764 એ \( 2^2 \times 3^2 \times 7^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{1764} = 2 \times 3 \times 7 = 42 \).
આમ, 252ને સૌથી નાની સંખ્યા 7 વડે ગુણવાથી ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
(ii) 180:
\( 180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5ની જોડ બનતી નથી. આથી, આપેલ સંખ્યાને 5 વડે ગુણવી પડશે.
તેથી, \( [180] \times 5 = [2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5] \times 5 = 900 \).
આમ, 900 એ \( 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{900} = 2 \times 3 \times 5 = 30 \).
આથી, 180ને સૌથી નાની સંખ્યા 5 વડે ગુણવાથી ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
(iii) 1008:
\( 1008 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી. માટે, આપેલ સંખ્યાને 7 વડે ગુણવી પડશે.
તેથી, \( [1008] \times 7 = [2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7] \times 7 = 7056 \).
આથી, 7056 એ \( 2^2 \times 2^2 \times 3^2 \times 7^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{7056} = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 84 \).
આમ, 1008ને સૌથી નાની સંખ્યા 7 વડે ગુણવાથી ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
(iv) 2028:
\( 2028 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 \times 13 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3ની જોડ બનતી નથી. આથી, આપેલ સંખ્યાને 3 વડે ગુણવી પડશે.
તેથી, \( [2028] \times 3 = [2 \times 2 \times 3 \times 13 \times 13] \times 3 = 6084 \).
આથી, 6084 એ \( 2^2 \times 3^2 \times 13^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{6084} = 2 \times 3 \times 13 = 78 \).
આમ, 2028ને સૌથી નાની સંખ્યા 3 વડે ગુણવાથી ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
(v) 1458:
\( 1458 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2ની જોડ બનતી નથી. માટે, આપેલ સંખ્યાને 2 વડે ગુણવી પડશે.
તેથી, \( [1458] \times 2 = [2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3] \times 2 = 2916 \).
આથી, 2916 એ \( 2^2 \times 3^2 \times 3^2 \times 3^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{2916} = 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 54 \).
આમ, 1458ને સૌથી નાની સંખ્યા 2 વડે ગુણવાથી ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
(vi) 768:
\( 768 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3ની જોડ બનતી નથી. આથી, આપેલ સંખ્યાને 3 વડે ગુણવી પડશે.
તેથી, \( [768] \times 3 = [2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3] \times 3 = 2304 \).
આમ, 2304 એ \( 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 3^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{2304} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 48 \).
આમ, 768ને સૌથી નાની સંખ્યા 3 વડે ગુણવાથી ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
In simple words: પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે, આપણે સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ છીએ. જે અવયવો જોડીમાં ન હોય, તે અવયવ (અથવા તેમનો ગુણાકાર) એ નાનામાં નાની સંખ્યા છે જેના વડે ગુણવાથી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ બને છે. પછી તે નવી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધો.

Exam Tip: When making a number a perfect square by multiplication, always perform prime factorization. Identify the prime factors that do not form a pair. The product of these unpaired factors is the smallest number by which the original number must be multiplied.

 

Question 6. નીચે આપેલી દરેક સંખ્યા માટે નાનામાં નાની એવી સંખ્યા શોધો કે જેના વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત મળેલી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધોઃ
Answer:
(i) 252:

\( 252 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી. આથી, આપેલ સંખ્યાને 7 વડે ભાગવી પડશે.
તેથી, \( [252] \div 7 = [2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7] \div 7 = 36 \).
આમ, 36 એ \( 2^2 \times 3^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{36} = 2 \times 3 = 6 \).
આથી, 252ને સૌથી નાની સંખ્યા 7 વડે ભાગવાથી ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
(ii) 2925:
\( 2925 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 13 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 13ની જોડ બનતી નથી. આથી, આપેલ સંખ્યાને 13 વડે ભાગવી પડશે.
તેથી, \( [2925] \div 13 = [3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 13] \div 13 = 225 \).
આમ, 225 એ \( 3^2 \times 5^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{225} = 3 \times 5 = 15 \).
આથી, 2925ને સૌથી નાની સંખ્યા 13 વડે ભાગવાથી ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
(iii) 396:
\( 396 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 11ની જોડ બનતી નથી. આથી, આપેલ સંખ્યાને 11 વડે ભાગવી પડશે.
તેથી, \( [396] \div 11 = [2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11] \div 11 = 36 \).
આમ, 36 એ \( 2^2 \times 3^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{36} = 2 \times 3 = 6 \).
આથી, 396ને સૌથી નાની સંખ્યા 11 વડે ભાગવાથી ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
(iv) 2645:
\( 2645 = 5 \times 23 \times 23 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5ની જોડ બનતી નથી. આથી, આપેલ સંખ્યાને 5 વડે ભાગવી પડશે.
તેથી, \( [2645] \div 5 = [5 \times 23 \times 23] \div 5 = 529 \).
આમ, 529 એ \( 23^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{529} = 23 \).
આથી, 2645ને સૌથી નાની સંખ્યા 5 વડે ભાગવાથી ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
(v) 2800:
\( 2800 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી. આથી, આપેલ સંખ્યાને 7 વડે ભાગવી પડશે.
તેથી, \( [2800] \div 7 = [2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7] \div 7 = 400 \).
આમ, 400 એ \( 2^2 \times 2^2 \times 5^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{400} = 2 \times 2 \times 5 = 20 \).
આથી, 2800ને સૌથી નાની સંખ્યા 7 વડે ભાગવાથી ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
(vi) 1620:
\( 1620 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5ની જોડ બનતી નથી. આથી, આપેલ સંખ્યાને 5 વડે ભાગવી પડશે.
તેથી, \( [1620] \div 5 = [2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5] \div 5 = 324 \).
આમ, 324 એ \( 2^2 \times 3^2 \times 3^2 \) થશે.
તેનો વર્ગમૂળ \( \sqrt{324} = 2 \times 3 \times 3 = 18 \).
આથી, 1620ને સૌથી નાની સંખ્યા 5 વડે ભાગવાથી ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બનશે.
In simple words: પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે, આપણે સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ છીએ. જે અવયવો જોડીમાં ન હોય, તે અવયવ (અથવા તેમનો ગુણાકાર) એ નાનામાં નાની સંખ્યા છે જેના વડે ભાગવાથી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ બને છે. પછી તે નવી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધો.

Exam Tip: When making a number a perfect square by division, first perform prime factorization. Identify the prime factors that do not form a pair. The product of these unpaired factors is the smallest number by which the original number must be divided to get a perfect square.

 

Question 7. એક નિશાળના ધોરણ 8ના તમામ વિદ્યાર્થીઓ મળીને Rs. 2401 પ્રધાનમંત્રી રાષ્ટ્રીય રાહત ફંડમાં ફાળો આપે છે. વર્ગમાં જેટલી સંખ્યા છે તેટલા રૂપિયા દરેક વિદ્યાર્થી દાનમાં આપે છે, તો વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા કેટલી હશે?
Answer:
ધારો કે, વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા \( x \) છે.
દરેક વિદ્યાર્થીએ દાનમાં આપેલી રકમ = Rs. \( x \).
વર્ગમાં એકત્ર થયેલો કુલ ફાળો = દરેક વિદ્યાર્થીએ આપેલી રકમ \( \times \) વર્ગના કુલ વિદ્યાર્થીઓ \( = x \times x = x^2 \).
પણ વર્ગનો કુલ ફાળો Rs. 2401 છે.
તેથી, \( x^2 = 2401 \).
આથી, \( \sqrt{x^2} = \sqrt{2401} \).

\( x = \sqrt{7 \times 7 \times 7 \times 7} \)
\( = \sqrt{7^2 \times 7^2} \)
આથી, \( x = 7 \times 7 = 49 \).
આમ, વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા 49 છે.
In simple words: જો વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અને દાનની રકમ સરખી હોય, તો કુલ દાન એ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો વર્ગ છે. વર્ગમૂળ શોધીને આપણે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા જાણી શકીએ છીએ.

Exam Tip: In word problems involving equal numbers for rows/columns or contributions, always set up an equation where the total is the square of the unknown quantity. The solution will involve finding the square root of the total.

 

Question 8. એક બગીચામાં 2025 છોડ એવી રીતે રોપેલ છે કે પ્રત્યેક હારમાં રોપેલા છોડની સંખ્યા કુલ હારની સંખ્યા બરાબર થાય, તો પ્રત્યેક હારમાં રોપેલ છોડ અને કુલ હારની સંખ્યા શોધો.
Answer:
ધારો કે, બગીચામાં છોડના હારની સંખ્યા \( x \) છે.
તેથી, દરેક હારમાંના છોડની સંખ્યા = \( x \).
આથી, કુલ રોપેલા છોડની સંખ્યા = \( x \times x = x^2 \).
પણ બગીચામાં આ છોડની સંખ્યા 2025 છે.
તેથી, \( x^2 = 2025 \).
આથી, \( \sqrt{x^2} = \sqrt{2025} \).

\( x = \sqrt{3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5} \)
\( = \sqrt{3^2 \times 5^2 \times 5} \)
Sorry, the factorization in the source is \( 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \). So, the previous array seems to have 5 as a divisor twice, followed by 3 twice instead of 3 twice, then 5 twice. Let's use the prime factorization shown on page 12 for 2025 as the basis for the calculation. \( x = \sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5} \)
\( = \sqrt{3^2 \times 3^2 \times 5^2} \)
આથી, \( x = 3 \times 3 \times 5 = 45 \).
આમ, બગીચામાં હારની સંખ્યા 45 અને દરેક હારમાં છોડની સંખ્યા પણ 45 છે.
In simple words: જ્યારે બગીચામાં છોડની હાર અને હાર દીઠ છોડની સંખ્યા સરખી હોય, ત્યારે કુલ છોડની સંખ્યા એ હારની સંખ્યાનો વર્ગ હોય છે. તેથી, કુલ છોડની સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધીને આપણે હારની સંખ્યા જાણી શકીએ છીએ.

Exam Tip: For problems where the number of rows and items per row are equal, recognize that the total quantity is a perfect square. Find the square root of the total to get the number of rows or items per row.

 

Question 9. 4, 9 અને 10 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા શોધો.
Answer:
આપણે જાણીએ છીએ કે સંખ્યાનો લ.સા.અ. એ એવી સંખ્યા છે કે જેને તેના બધા જ અવયવો વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય.
આપણે 4, 9 અને 10નો લ.સા.અ. શોધીએ.

તેથી, \( 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 180 \).
હવે, 180 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. કેમ કે, તેના અવિભાજ્ય અવયવોમાં 5ની જોડ બનતી નથી.
આથી, 180ને 5 વડે ગુણવા પડશે જેથી તે પૂર્ણવર્ગ બને.
તેથી, \( [180] \times 5 = [2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5] \times 5 = 900 \).
આમ, 900 એ \( 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \) થશે.
હવે, 900ના બધા અવિભાજ્ય અવયવોની જોડ બને છે.
આથી, 900 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
આમ, 900 એ માગ્યા મુજબની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
In simple words: પહેલા, આપેલી સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. શોધો. પછી, લ.સા.અ.ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં જે અંક જોડીમાં ન હોય, તેના વડે લ.સા.અ.ને ગુણીને તેને પૂર્ણવર્ગ બનાવો.

Exam Tip: To find the smallest perfect square divisible by a set of numbers, first find their LCM. Then, examine the prime factorization of the LCM. Multiply the LCM by any prime factors that are not in pairs to make it a perfect square.

 

Question 10. 8, 15 અને 20 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા શોધો.
Answer:
આપણે જાણીએ છીએ કે સંખ્યાનો લ.સા.અ. એ એવી સંખ્યા છે કે જેને તેના બધા જ અવયવો વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય.
આપણે 8, 15 અને 20નો લ.સા.અ. શોધીએ.

તેથી, \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 120 \).
હવે, 120 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી, કેમ કે, 2, 3 અને 5ની જોડ બનતી નથી.
આથી, 120ને \( 2 \times 3 \times 5 \) વડે ગુણવા પડશે.
તેથી, \( [120] \times 2 \times 3 \times 5 = [2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5] \times 2 \times 3 \times 5 = 3600 \).
આમ, 3600 એ \( 2^2 \times 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \) થશે.
હવે, 3600ના બધા અવયવોની જોડ બને છે.
આથી, 3600 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
આમ, 3600 એ માગ્યા મુજબની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
In simple words: પહેલા, આપેલી સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (LCM) શોધો. પછી, LCMના અવિભાજ્ય અવયવોમાં જે અંકો જોડીમાં ન હોય, તેના વડે LCMને ગુણીને તેને પૂર્ણવર્ગ બનાવો.

Exam Tip: Similar to Question 9, always find the LCM first. Then, conduct prime factorization of the LCM and multiply it by the remaining unpaired prime factors to achieve a perfect square. This ensures divisibility by all original numbers while being the smallest perfect square.