GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 6 વર્ગ અને વર્ગમૂળ Exercise 6.2

Question 1. નીચે આપેલી સંખ્યાઓના વર્ગ શોધોઃ
આ બધા દાખલાઓમાં આપણે \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
Answer:
(i) 32
ઉત્તરઃ
\( (32)^2 = (30 + 2)^2 \)
\( = 30^2 + 2 (30) (2) + (2)^2 \)
\( = 900 + 120 + 4 \)
\( = 1024 \)
(ii) 35
ઉત્તરઃ
\( (35)^2 = (30 + 5)^2 \)
\( = (30)^2 + 2 (30) (5) + (5)^2 \)
\( = 900 + 300 + 25 \)
\( = 1200 + 25 \)
\( = 1225 \)
આ રીતે પણ વર્ગ શોધી શકાય છે: (જેનો છેલ્લો અંક 5 હોય તેવી સંખ્યાઓને જ આ રીત લાગુ પડે છે.)
\( (35)^2 = 3 \times (3 + 1) \times 100 + 25 \)
\( = 3 \times (4) \times 100 + 25 \)
\( = 1200 + 25 \)
\( = 1225 \)
(iii) 86
ઉત્તરઃ
\( (86)^2 = (80 + 6)^2 \)
\( = (80)^2 + 2 (80) (6) + (6)^2 \)
\( = 6400 + 960 + 36 \)
\( = 7396 \)
(iv) 93
ઉત્તરઃ
\( (93)^2 = (90 + 3)^2 \)
\( = (90)^2 + 2 (90) (3) + (3)^2 \)
\( = 8100 + 540 + 9 \)
\( = 8849 \)
(v) 71
ઉત્તરઃ
\( (71)^2 = (70 + 1)^2 \)
\( = (70)^2 + 2 (70) (1) + (1)^2 \)
\( = 4900 + 140 + 1 \)
\( = 5041 \)
(vi) 46
ઉત્તરઃ
\( (46)^2 = (40 + 6)^2 \)
\( = (40)^2 + 2 (40) (6) + (6)^2 \)
\( = 1600 + 480 + 36 \)
\( = 2116 \)
In simple words: સંખ્યાને બે ભાગમાં વહેંચો, જેમ કે 32 ને 30 + 2. પછી, તેને \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરો. દરેક ભાગની ગણતરી કરો, પછી તેમનો સરવાળો કરીને વર્ગ મેળવો.

Exam Tip: આલ્જીબ્રિક ઓળખ \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) ને બરાબર લાગુ પાડવાનું યાદ રાખો. દરેક પદના ચિહ્નો અને ગણતરી પર ધ્યાન આપો.

 

Question 2. નીચે આપેલી સંખ્યા ધરાવતી પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી લખો:

Answer:
(i) 6
ઉત્તરઃ
અહીં \( 2n = 6 \)
\( \implies n = 3 \)
હવે, \( n^2 - 1 = 3^2 - 1 \)
\( = 9 - 1 \)
\( = 8 \)
અને \( n^2 + 1 = 3^2 + 1 \)
\( = 9 + 1 \)
\( = 10 \)
આમ, ઇચ્છિત પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 6, 8, 10 મળે છે.
(ii) 14
ઉત્તરઃ
અહીં \( 2n = 14 \)
\( \implies n = 7 \)
હવે, \( n^2 - 1 = 7^2 - 1 \)
\( = 49 - 1 \)
\( = 48 \)
અને \( n^2 + 1 = 7^2 + 1 \)
\( = 49 + 1 \)
\( = 50 \)
આમ, ઇચ્છિત પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 14, 48, 50 મળે છે.
(iii) 16
ઉત્તરઃ
અહીં \( 2n = 16 \)
\( \implies n = 8 \)
હવે, \( n^2 - 1 = 8^2 - 1 \)
\( = 64 - 1 \)
\( = 63 \)
અને \( n^2 + 1 = 8^2 + 1 \)
\( = 64 + 1 \)
\( = 65 \)
આમ, ઇચ્છિત પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 16, 63, 65 મળે છે.
(iv) 18
ઉત્તરઃ
અહીં \( 2n = 18 \)
\( \implies n = 9 \)
હવે, \( n^2 - 1 = 9^2 - 1 \)
\( = 81 - 1 \)
\( = 80 \)
અને \( n^2 + 1 = 9^2 + 1 \)
\( = 81 + 1 \)
\( = 82 \)
આમ, ઇચ્છિત પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 18, 80, 82 મળે છે.
In simple words: પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી શોધવા માટે, આપેલ સંખ્યાને \( 2n \) તરીકે લો. પછી \( n \) નું મૂલ્ય શોધો. એકવાર \( n \) મળી જાય, પછી \( n^2 - 1 \) અને \( n^2 + 1 \) સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને બાકીની બે સંખ્યાઓ શોધો. આ ત્રણ સંખ્યાઓ મળીને પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી બનાવે છે.

Exam Tip: પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી હંમેશા \( (2n, n^2-1, n^2+1) \) સ્વરૂપમાં હોય છે. ખાતરી કરો કે તમે \( n \) નું મૂલ્ય યોગ્ય રીતે શોધી રહ્યા છો અને બધા પગલાં બરાબર ગણો છો.