GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 6 વર્ગ અને વર્ગમૂળ Exercise 6.1

Gujarat Board Textbook Solutions Class 8 Maths Chapter 6 વર્ગ અને વર્ગમુળ Ex 6.1

Question 1. નીચે આપેલ સંખ્યાઓના વર્ગ કરવાથી એકમનો અંક શું મળશે?
(i) 81
(ii) 272
(iii) 799
(iv) 3853
(v) 1234
(vi) 26387
(vii) 52698
(viii) 99980
(ix) 12796
(x) 55555
Answer:
(i) 81નો છેલ્લો અંક 1 છે અને \( 1 \times 1 = 1 \). તેથી, \( (81)^2 \) સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 1 થાય છે.
(ii) 272નો છેલ્લો અંક 2 છે અને \( 2 \times 2 = 4 \). આથી, \( (272)^2 \) સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 4 મળે છે.
(iii) 799નો છેલ્લો અંક 9 છે અને \( 9 \times 9 = 81 \). તેથી, \( (799)^2 \) સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 1 મળે છે.
(iv) 3853નો છેલ્લો અંક 3 છે. \( 3 \times 3 = 9 \) થાય છે, તેથી \( (3853)^2 \) સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 9 જ આવશે.
(v) 1234નો છેલ્લો અંક 4 છે. \( 4 \times 4 = 16 \) થાય, તેથી \( (1234)^2 \) સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 6 મળશે.
(vi) 26387નો છેલ્લો અંક 7 છે. \( 7 \times 7 = 49 \) થાય છે, તેથી \( (26387)^2 \) સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 9 પ્રાપ્ત થશે.
(vii) 52698નો છેલ્લો અંક 8 છે. \( 8 \times 8 = 64 \) થાય છે, આથી \( (52698)^2 \) સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 4 મળે છે.
(viii) 99980નો છેલ્લો અંક 0 છે. \( 0 \times 0 = 0 \) થાય છે, પરિણામે \( (99980)^2 \) સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 0 જ રહેશે.
(ix) 12796નો છેલ્લો અંક 6 છે. \( 6 \times 6 = 36 \) થાય છે, તેથી \( (12796)^2 \) સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 6 પ્રાપ્ત થશે.
(x) 55555નો છેલ્લો અંક 5 છે. \( 5 \times 5 = 25 \) થાય છે, તેથી \( (55555)^2 \) સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 5 મળે છે.
In simple words: કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ કરવાથી એકમનો અંક શોધવા માટે, તે સંખ્યાના એકમના અંકનો વર્ગ કરો. તેના વર્ગનો જે એકમનો અંક હોય, તે જ મૂળ સંખ્યાના વર્ગનો એકમનો અંક હશે.

Exam Tip: To find the unit digit of a square, only consider the unit digit of the original number. Square that unit digit and the unit digit of the result will be your final answer.

Question 2. નીચેની સંખ્યાઓ માટે સ્પષ્ટ છે કે તે પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ નથી. કારણ સહ
(i) 1057
(ii) 23453
(iii) 7928
(iv) 222222
(v) 64000
(vi) 89722
(vii) 222000
(viii) 505050
Answer:
(i) 1057નો છેલ્લો અંક 7 છે, જે 0, 1, 4, 5, 6 કે 9માંનો નથી. આથી, 1057 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(ii) 23453નો છેલ્લો અંક 3 છે, જે 0, 1, 4, 5, 6 કે 9માંનો નથી. પરિણામે, 23453 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(iii) 7928નો છેલ્લો અંક 8 છે, જે 0, 1, 4, 5, 6 કે 9માંનો નથી. આ કારણે, 7928 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા ગણી શકાય નહીં.
(iv) 222222નો છેલ્લો અંક 2 છે, જે 0, 1, 4, 5, 6 કે 9માંનો નથી. તેથી, 222222 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(v) 64000માં શૂન્યની સંખ્યા વિષમ છે. (કારણ કે પૂર્ણવર્ગ સંખ્યામાં શૂન્યની સંખ્યા સમ હોય છે.) તેથી, 64000 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(vi) 89722નો છેલ્લો અંક 2 છે, જે 0, 1, 4, 5, 6 કે 9માંનો નથી. આથી, 89722 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા બની શકતી નથી.
(vii) 222000માં શૂન્યની સંખ્યા વિષમ છે. (જેમ કે, પૂર્ણવર્ગ સંખ્યામાં શૂન્યની સંખ્યા સમ હોય છે.) આથી, 222000 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(viii) 505050માં શૂન્યની સંખ્યા વિષમ છે. (કારણ કે પૂર્ણવર્ગ સંખ્યામાં શૂન્યની સંખ્યા સમ હોય છે.) તેથી, 505050 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
In simple words: કોઈ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ છે કે નહીં તે જાણવા માટે, તેનો છેલ્લો અંક તપાસો. જો છેલ્લો અંક 2, 3, 7 કે 8 હોય, તો તે સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ નથી. ઉપરાંત, જો સંખ્યાના અંતમાં શૂન્યની સંખ્યા એકી (વિષમ) હોય, તો પણ તે પૂર્ણવર્ગ હોતી નથી.

Exam Tip: Remember that a number cannot be a perfect square if its unit digit is 2, 3, 7, or 8. Also, perfect squares always have an even number of zeros at the end.

Question 3. નીચે આપેલી સંખ્યાઓમાંથી કઈ સંખ્યાઓનો વર્ગ કરતાં મળતી સંખ્યા એકી સંખ્યા હશે? [નોંધઃ એકી સંખ્યાનો વર્ગ એકી સંખ્યા હોય અને બેકી સંખ્યાનો વર્ગ બેકી સંખ્યા હોય.]
(i) 431
(ii) 2826
(iii) 7779
(iv) 82004
Answer:
(i) 431 એક વિષમ સંખ્યા છે. આથી, \( (431)^2 \) નો વર્ગ પણ એક વિષમ સંખ્યા જ હશે.
(ii) 2826 એક સમ સંખ્યા છે. આથી, \( (2826)^2 \) નો વર્ગ પણ એક સમ સંખ્યા જ થશે.
(iii) 7779 એક વિષમ સંખ્યા છે. આથી, \( (7779)^2 \) નો વર્ગ પણ એક વિષમ સંખ્યા જ મળશે.
(iv) 82004 એક સમ સંખ્યા છે. આથી, \( (82004)^2 \) નો વર્ગ પણ એક સમ સંખ્યા જ બનશે.
In simple words: એકી સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા એકી (વિષમ) સંખ્યા જ હોય છે, અને બેકી સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા બેકી (સમ) સંખ્યા જ હોય છે. તેથી, સંખ્યા પોતે એકી છે કે બેકી તે તપાસીને આપણે તેના વર્ગનો પ્રકાર જાણી શકીએ છીએ.

Exam Tip: A simple rule to remember is that the square of an odd number is always odd, and the square of an even number is always even.

Question 4. નીચેની પૅટર્નમાંથી ખૂટતી સંખ્યાઓ જણાવોઃ
\( 11^2 = 121 \)
\( 101^2 = 10201 \)
\( 1001^2 = 1002001 \)
\( 100001^2 = ... \)
\( 10000001^2 = ... \)
Answer:
ઉપરનો નમૂનો જોતાં તેમાં ખૂટતી વિગતો નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય:
\( 11^2 = 121 \)
\( 101^2 = 10201 \)
\( 1001^2 = 1002001 \)
\( 100001^2 = 10000200001 \)
\( 10000001^2 = 100000020000001 \)
In simple words: જ્યારે સંખ્યામાં 1 અને 1ની વચ્ચે શૂન્ય વધે છે, ત્યારે તેના વર્ગના જવાબમાં 1 અને 2ની વચ્ચે તેમજ 2 અને 1ની વચ્ચે શૂન્યની સંખ્યા પણ તેટલી જ વધે છે.

Exam Tip: For such patterns, count the number of zeros in the base number and observe how that count relates to the number of zeros in the squared result. The 2 in the middle acts as a pivot.

Question 5. નીચે આપેલી પૅટર્નમાં ખૂટતી સંખ્યાઓ જણાવોઃ
\( 11^2 = 121 \)
\( 101^2 = 10201 \)
\( 10101^2 = 102030201 \)
\( 1010101^2 = ... \)
\( (101010101)^2 = ... \)
Answer:
ઉપરનો નમૂનો જોતાં તેમાં ખૂટતી વિગતો નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય:
\( 11^2 = 121 \)
\( 101^2 = 10201 \)
\( 10101^2 = 102030201 \)
\( 1010101^2 = 1020304030201 \)
\( (101010101)^2 = 10203040504030201 \)
In simple words: આ પૅટર્નમાં, 1ની સંખ્યા વધતા, વર્ગના જવાબમાં વચ્ચેના અંકો 1, 2, 3... એમ વધે છે અને પછી પાછા ઘટીને 1 સુધી પહોંચે છે, જે ગણતરીના પિરામિડ જેવું લાગે છે.

Exam Tip: Notice how the highest digit in the square corresponds to the number of '1's in the base number (e.g., three '1's lead to a peak of '3'). The digits then symmetrically decrease.

Question 6. નીચેની રીત મુજબ ખૂટતી સંખ્યાઓ શોધોઃ
\( 1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2 \)
\( 2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2 \)
\( 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2 \)
\( 4^2 + 5^2 + ...^2 = 21^2 \)
\( 5^2 + ...^2 + 30^2 = 31^2 \)
\( 6^2 + 7^2 + ...^2 = ...^2 \)
Answer:
પ્રશ્નમાં આપેલ ખૂટતી સંખ્યાઓ નીચે પ્રમાણે છે:
\( 1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2 \)
\( 2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2 \)
\( 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2 \)
\( 4^2 + 5^2 + 20^2 = 21^2 \)
\( 5^2 + 6^2 + 30^2 = 31^2 \)
\( 6^2 + 7^2 + 42^2 = 43^2 \)
In simple words: આ પૅટર્નમાં, ત્રીજો અંક પહેલા બે અંકોના ગુણાકાર જેટલો હોય છે, અને બરાબર પછીનો (ચોથો) અંક ત્રીજા અંકમાં 1 ઉમેરીને મળે છે.

Exam Tip: Look for relationships between the numbers. In this pattern, the third term squared is the product of the first two terms squared, and the result on the right side is always one more than the third term on the left side.

Question 7. સરવાળાની ક્રિયા વિના સરવાળો મેળવો:
(i) 1+3+5+7+9
(ii) 1+3+8+ 7 + 9 + 10 + 18 + 15 + 17 + 19
(iii) 1+3+5+7+9 +11 +13 + 15 + 17 + 19 + 2 + 23
Answer:
(i) પ્રથમ પાંચ ક્રમિક વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો = \( 5^2 = 25 \) થાય છે.
(ii) પ્રથમ દસ ક્રમિક વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો = \( 10^2 = 100 \) પ્રાપ્ત થાય છે.
(iii) પ્રથમ બાર ક્રમિક વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો = \( 12^2 = 144 \) હોય છે.
In simple words: જ્યારે આપણે ક્રમિક વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરીએ છીએ, ત્યારે જેટલી સંખ્યાઓ હોય (ધારો કે n સંખ્યાઓ), તેનો સરવાળો \( n^2 \) જેટલો થાય છે.

Exam Tip: The sum of the first 'n' consecutive odd natural numbers is always \( n^2 \). Count the number of odd terms (n) in the sequence to find the sum quickly without adding.

Question 8.
(i) 49ને 7 એકી સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવો.
(ii) 121ને 11 એકી સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવો.
Answer:
(i) 49 એ \( 7^2 \) છે. તેથી, 49 ને પ્રથમ સાત ક્રમિક વિષમ સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય: \( 1+3+5+7+9+11+13 \).
(ii) 121 એ \( 11^2 \) છે. આથી, 121 ને પ્રથમ અગિયાર ક્રમિક વિષમ સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય: \( 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21 \).
In simple words: જો કોઈ સંખ્યા nનો વર્ગ હોય, તો તેને n ક્રમિક વિષમ સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે. બસ, પહેલી વિષમ સંખ્યા 1થી શરૂ કરીને n વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો.

Exam Tip: To express a perfect square \( n^2 \) as a sum of odd numbers, simply list the first 'n' consecutive odd numbers and add them up. For example, \( 4^2 = 16 \) can be written as \( 1+3+5+7 \).

Question 9. નીચે આપેલી સંખ્યાઓના વર્ગો વચ્ચે કેટલી સંખ્યાઓ આવશે તે જણાવો? [નોંધઃ સંખ્યા n અને n + 1 હોય, તો \( n^2 \) અને \( (n + 1)^2 \) વચ્ચે 2n પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.]
(i) 12 અને 13
(ii) 25 અને 26
(iii) 99 અને 100
Answer:
(i) 12 અને 13 ના વર્ગો વચ્ચે આવતી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ = \( 2 \times 12 = 24 \) છે.
(ii) 25 અને 26 ના વર્ગો વચ્ચે આવતી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ = \( 2 \times 25 = 50 \) છે.
(iii) 99 અને 100 ના વર્ગો વચ્ચે આવતી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ = \( 2 \times 99 = 198 \) છે.
In simple words: બે ક્રમિક સંખ્યાઓ (n અને n+1)ના વર્ગોની વચ્ચે કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ આવે છે તે શોધવા માટે, નાની સંખ્યા (n) ને 2 વડે ગુણો.

Exam Tip: For any two consecutive natural numbers 'n' and 'n+1', the number of non-perfect square natural numbers between \( n^2 \) and \( (n+1)^2 \) is always \( 2n \). Remember this formula for quick calculations.