GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 16 સંખ્યા સાથે રમત Exercise 16.2

Question 1. જો 21y5 એ 9નો ગુણિત છે, જ્યાં y એ એક અંક છે, તો y ની કિંમત શોધો.
Answer: અહીં, આપેલી સંખ્યા 21y5 છે, જે 9નો ગુણિત છે. સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો \( = 2 + 1 + y + 5 = 8 + y \) છે. y એ એક જ અંક છે.
\( \implies \) આમ, \( (8 + y) \) એ 9 વડે સંપૂર્ણપણે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
\( \implies \) એટલે કે, \( (8 + y) \) એ 0, 9, 18, 27, ... જેવી કોઈ સંખ્યા હોઈ શકે છે.
પરંતુ, \( 8 + y = 0 \) શક્ય નથી, કારણ કે y એક અંક છે અને તેનો સરવાળો 8 સાથે થઈ રહ્યો છે.
\( \implies \) તેથી, \( 8 + 1 = 9 \) થાય તે જ એકમાત્ર શક્યતા છે.
\( \implies \) આમ, \( y = 1 \) છે. (આમ, તે સંખ્યા 2115 છે.)
ચકાસણી: જો આપણે \( y = 1 \) મૂકીએ, તો સંખ્યા 2115 બને.
\( 2 + 1 + 1 + 5 = 9 \) અને \( 9 \div 9 = 1 \) તેમજ શેષ \( = 0 \).
\( \implies \) તેથી, સંખ્યા 9 વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
In simple words: આપેલી સંખ્યા 21y5 છે અને તે 9 વડે ભાગી શકાય છે. આપણે તેના અંકોનો સરવાળો 2 + 1 + y + 5 કરીને 8 + y મેળવીએ છીએ. જો કોઈ સંખ્યા 9 વડે વિભાજ્ય હોય, તો તેના અંકોનો સરવાળો પણ 9 વડે ભાગી શકાય છે. તેથી, 8 + y એ 9 હોવું જોઈએ, કારણ કે y એકલો અંક છે. આમ, y ની કિંમત 1 મળે છે.

Exam Tip: 9 વડે વિભાજ્યતાનો નિયમ યાદ રાખો: જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 વડે ભાગી શકાય, તો તે સંખ્યા પણ 9 વડે વિભાજ્ય છે. આનો ઉપયોગ કરીને અજ્ઞાત અંક શોધો.

Question 2. જો 31z5 એ 9નો ગુણિત છે, જ્યાં z એ એક અંક છે, તો z ની કિંમત શોધો.
Answer: અહીં આપેલી સંખ્યા 31z5 છે, જે 9નો ગુણિત છે.
\( \implies \) તેથી, 31z5 એ 9 વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
31z5 ના અંકોનો સરવાળો \( = 3 + 1 + z + 5 = 9 + z \).
\( \implies \) આમ, \( 9 + z \) એ 9 વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
\( \implies \) એટલે કે, \( 9 + z \) એ 0, 9, 18, 27, ... જેવી કોઈ સંખ્યા હોઈ શકે છે.
કારણ કે z એક જ અંક છે, તેથી \( 9 + z \) ના શક્ય મૂલ્યો 9 અથવા 18 જ હોઈ શકે છે.
જો \( 9 + z = 9 \), તો \( z = 0 \).
જો \( 9 + z = 18 \), તો \( z = 9 \).
આમ, z ની કિંમત 0 અથવા 9 હોઈ શકે છે.
ચકાસણી:
જ્યારે \( z = 9 \) મૂકવામાં આવે, ત્યારે સંખ્યા 3195 બને છે.
\( 3 + 1 + 9 + 5 = 18 \). અને \( 18 \div 9 = 2 \) તથા શેષ \( = 0 \).
\( \implies \) તેથી, સંખ્યા 9 વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
જ્યારે \( z = 0 \) મૂકવામાં આવે, ત્યારે સંખ્યા 3105 બને છે.
\( 3 + 1 + 0 + 5 = 9 \). અને \( 9 \div 9 = 1 \) તથા શેષ \( = 0 \).
\( \implies \) તેથી, સંખ્યા 9 વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
In simple words: સંખ્યા 31z5 એ 9 વડે ભાગી શકાય છે. તેના અંકોનો સરવાળો 9 + z થાય છે. આ સરવાળો પણ 9 વડે ભાગી શકાય તેવો હોવો જોઈએ. કારણ કે z એકલો અંક છે, z ની કિંમત 0 અથવા 9 હોઈ શકે છે. આ બંને મૂલ્યો માટે સંખ્યા 9 વડે ભાગી શકાય છે.

Exam Tip: એક જ અંકની મર્યાદા (0 થી 9) ને ધ્યાનમાં રાખીને અજ્ઞાત અંકના શક્ય મૂલ્યો શોધો. બંને શક્યતાઓને ચકાસવાનું હંમેશા યાદ રાખો.

Question 3. જો 24x એ 3નો ગુણિત છે. જ્યાં x એ એક અંક છે, તો x ની કિંમત શોધો. તમને છેલ્લા પ્રશ્નોના બે ઉકેલ મળશે? શા માટે?
Answer: અહીં આપેલી સંખ્યા 24x છે, જે 3નો ગુણિત છે.
\( \implies \) તેથી, 24x એ 3 વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
24x ના અંકોનો સરવાળો \( = 2 + 4 + x = 6 + x \).
\( \implies \) આમ, \( 6 + x \) એ 3 વડે સંપૂર્ણપણે ભાગી શકાય તેવો હોવો જોઈએ.
\( \implies \) એટલે કે, \( 6 + x \) એ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... જેવી કોઈ સંખ્યા હોઈ શકે છે.
પરંતુ x એક જ અંક છે (0 થી 9).
આથી, \( 6 + x \) ના શક્ય મૂલ્યો માટે આપણે નીચે મુજબ ગણતરી કરી શકીએ:
જો \( 6 + x = 0 \), તો \( x = -6 \) (અશક્ય કારણ કે x ઋણ નથી).
જો \( 6 + x = 3 \), તો \( x = -3 \) (અશક્ય).
જો \( 6 + x = 6 \), તો \( x = 0 \).
જો \( 6 + x = 9 \), તો \( x = 3 \).
જો \( 6 + x = 12 \), તો \( x = 6 \).
જો \( 6 + x = 15 \), તો \( x = 9 \).
જો \( 6 + x = 18 \), તો \( x = 12 \) (અશક્ય કારણ કે x એક અંક છે).
આમ, x ની કિંમત 0, 3, 6 કે 9 હોઈ શકે છે.
આ પ્રશ્નમાં, આપણને x માટે એક કરતાં વધુ ઉકેલ મળે છે. આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે 3 વડે વિભાજ્યતાના નિયમમાં, અંકોનો સરવાળો 3 ના ગુણાકારમાં ઘણા મૂલ્યો હોઈ શકે છે જે એક અંકની મર્યાદામાં આવે છે. 9 વડે વિભાજ્યતામાં, 9 નો એક જ ગુણાકાર (જેમ કે 9 અથવા 18) એક અંકની મર્યાદામાં બંધબેસતો હોય છે, જ્યારે 3 માટે 0, 3, 6, 9 જેવા ઘણા મૂલ્યો શક્ય છે જે એક અંકનો સરવાળો આપે છે.
In simple words: સંખ્યા 24x એ 3 વડે ભાગી શકાય છે. તેના અંકોનો સરવાળો 6 + x થાય છે. આ સરવાળો પણ 3 વડે ભાગી શકાય તેવો હોવો જોઈએ. x એ એકલો અંક છે, તેથી x ની કિંમત 0, 3, 6 અથવા 9 હોઈ શકે છે. આ પ્રશ્નમાં એકથી વધુ જવાબો મળે છે કારણ કે 3 ના ગુણાકારમાં આવતી ઘણી સંખ્યાઓ (6, 9, 12, 15) માટે x એ એક અંક જ રહે છે.

Exam Tip: 3 વડે વિભાજ્યતાના નિયમમાં, અંકોના સરવાળાના ઘણા ગુણાકારો શક્ય છે. તેથી, અજ્ઞાત અંક માટે એક કરતાં વધુ ઉકેલ મળી શકે છે. દરેક શક્યતાને ધ્યાનમાં લો જે એક અંકની શરતને પૂર્ણ કરે.

Question 4. જો 31z5 એ 3નો ગુણિત હોય, જ્યાં z એ એક અંક છે, તો z ની કિંમત શું મળે?
Answer: 31z5 એ 3નો ગુણિત છે.
\( \implies \) તેથી, 31z5 એ 3 વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
31z5 ના અંકોનો સરવાળો \( = 3 + 1 + z + 5 = 9 + z \).
\( \implies \) આમ, \( 9 + z \) એ 3 વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
\( \implies \) એટલે કે, \( 9 + z \) ની કિંમત 0, 3, 6, 9, 12, 15 કે 18 જેવી હોઈ શકે.
પણ z એ એક જ અંક છે (0 થી 9).
હવે, આપણે દરેક શક્યતાની તપાસ કરીએ:
જો \( 9 + z = 0 \) હોય, તો \( z = -9 \) જે અશક્ય છે (કારણ કે z ઋણ નથી).
જો \( 9 + z = 3 \) હોય, તો \( z = -6 \) જે અશક્ય છે.
જો \( 9 + z = 6 \) હોય, તો \( z = -3 \) જે અશક્ય છે.
જો \( 9 + z = 9 \) હોય, તો \( z = 0 \) આ શક્ય છે.
જો \( 9 + z = 12 \) હોય, તો \( z = 3 \) આ શક્ય છે.
જો \( 9 + z = 15 \) હોય, તો \( z = 6 \) આ શક્ય છે.
જો \( 9 + z = 18 \) હોય, તો \( z = 9 \) આ શક્ય છે.
જો \( 9 + z = 21 \) હોય, તો \( z = 12 \) જે અશક્ય છે (કારણ કે z એક અંક છે).
આમ, z ની કિંમત 0, 3, 6 કે 9 હોઈ શકે છે.
In simple words: સંખ્યા 31z5 એ 3 વડે ભાગી શકાય છે. તેના અંકોનો સરવાળો 9 + z થાય છે. આ સરવાળો 3 વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ. z એકલો અંક હોવાથી, z ની શક્ય કિંમતો 0, 3, 6 અથવા 9 મળે છે. આ બધી કિંમતો માટે, 9 + z એ 3 વડે ભાગી શકાય છે અને z એક અંક રહે છે.

Exam Tip: જ્યારે 3 વડે વિભાજ્યતાનો પ્રશ્ન હોય, ત્યારે અજ્ઞાત અંક માટે 0, 3, 6, 9 જેવા બહુવિધ ઉકેલો હોઈ શકે છે. ખાતરી કરો કે તમે 0-9 ની શ્રેણીમાં આવતા તમામ ઉકેલો શોધી શકો છો.