GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 16 સંખ્યા સાથે રમત InText Questions

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 250)

Question 1. નીચે આપેલી સંખ્યાઓને તેમનાં વ્યાપક સ્વરૂપમાં લખો
(i) 25
(ii) 73
(iii) 129
(iv) 302
Answer:
(i) 25: આપેલ સંખ્યાને આપણે વ્યાપક સ્વરૂપમાં \( 10 \times 2 + 5 \) તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ. આનો અર્થ થાય છે કે દસના સ્થાને 2 અને એકમના સ્થાને 5 છે, જે \( 10a + b \) ના રૂપમાં છે.
(ii) 73: આપેલ સંખ્યાને આપણે વ્યાપક સ્વરૂપમાં \( 10 \times 7 + 3 \) તરીકે લખી શકીએ છીએ. અહીં, દસના સ્થાને 7 અને એકમના સ્થાને 3 છે, જે \( 10a + b \) ના રૂપમાં છે.
(iii) 129: આપેલ સંખ્યાને આપણે વ્યાપક સ્વરૂપમાં \( 100 \times 1 + 2 \times 10 + 9 \) તરીકે દર્શાવીએ છીએ. આ સંખ્યા સો, દસ અને એકમના સ્થાનો ધરાવે છે, જે \( 100a + 10b + c \) ના રૂપમાં છે.
(iv) 302: આપેલ સંખ્યાને આપણે વ્યાપક સ્વરૂપમાં \( 100 \times 3 + 10 \times 0 + 2 \) તરીકે લખી શકીએ છીએ. અહીં, સોના સ્થાને 3, દસના સ્થાને 0 અને એકમના સ્થાને 2 છે, જે \( 100a + 10b + c \) ના રૂપમાં છે.
In simple words: સંખ્યાના અંકોને તેમના સ્થાન પ્રમાણે લખો, જેમ કે 25 એટલે \( 10 \times 2 + 5 \). 129 એટલે \( 100 \times 1 + 10 \times 2 + 9 \).

Exam Tip: સંખ્યાને તેના વ્યાપક સ્વરૂપમાં લખવા માટે, દરેક અંકને તેના સ્થાન કિંમત (એકમ, દશક, સો, વગેરે) વડે ગુણીને સરવાળો કરો.

Question 2. નીચે આપેલી સંખ્યાઓના સ્વરૂપને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખો:
(i) \( 10 \times 5 + 6 \)
(ii) \( 100 \times 7 + 10 \times 1 + 8 \)
(iii) \( 100 \times a + 10 \times c + b = 100a + 10c + b = abc \)
Answer:
(i) \( 10 \times 5 + 6 = 50 + 6 = 56 \). આ વ્યાપક સ્વરૂપને સામાન્ય સંખ્યા 56 તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
(ii) \( 100 \times 7 + 10 \times 1 + 8 = 700 + 10 + 8 = 718 \). આ વ્યાપક સ્વરૂપને સામાન્ય સંખ્યા 718 તરીકે લખવામાં આવે છે.
(iii) \( 100 \times a + 10 \times c + b = 100a + 10c + b \). અહીં, આપેલ સ્વરૂપમાં સોના સ્થાને \( a \), દસના સ્થાને \( c \) અને એકમના સ્થાને \( b \) છે. જો આપણે તેને સામાન્ય રૂપમાં લખીએ, તો તે \( acb \) થશે. દા.ત. જો \( a=1, c=2, b=3 \) હોય તો \( 100 \times 1 + 10 \times 2 + 3 = 100 + 20 + 3 = 123 \).
In simple words: આપેલી ગણતરી કરો અને તમને જે સંખ્યા મળે તે લખો. જેમ કે, \( 10 \times 5 + 6 = 56 \).

Exam Tip: વ્યાપક સ્વરૂપમાંથી સામાન્ય સંખ્યા મેળવવા માટે, ગુણાકાર અને સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરીને દરેક પદની ગણતરી કરો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 251)

Question 1. જો નીચે આપેલી સંખ્યા સુંદરમે ધારેલી હોય, તો પરિણામ શું મળશે તે ચકાસોઃ
(i) 27
(ii) 39
(iii) 64
(iv) 17
Answer:
(i) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 27 \). આ આંકડાઓનાં સ્થાન બદલતાં મળતો નંબર \( = 72 \). આ બંને નંબરોનો કુલ સરવાળો \( = 27 + 72 = 99 \). હવે, \( 99 = 11 \times 9 = 11 \times (2 + 7) \). આથી, \( 99 \) એ ધારેલી સંખ્યાના અંકોના સરવાળાના \( 11 \) ગણા છે.
(ii) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 39 \). આ આંકડાઓનાં સ્થાન બદલતાં મળતો નંબર \( = 93 \). આ બંને નંબરોનો કુલ સરવાળો \( = 39 + 93 = 132 \). હવે, \( 132 = 11 \times 12 = 11 \times (3 + 9) \). આથી, \( 132 \) એ ધારેલી સંખ્યાના અંકોના સરવાળાના \( 11 \) ગણા છે.
(iii) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 64 \). આ આંકડાઓનાં સ્થાન બદલતાં મળતો નંબર \( = 46 \). આ બંને નંબરોનો કુલ સરવાળો \( = 64 + 46 = 110 \). હવે, \( 110 = 11 \times 10 = 11 \times (6 + 4) \). આથી, \( 110 \) એ ધારેલી સંખ્યાના અંકોના સરવાળાના \( 11 \) ગણા છે.
(iv) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 17 \). આ આંકડાઓનાં સ્થાન બદલતાં મળતો નંબર \( = 71 \). આ બંને નંબરોનો કુલ સરવાળો \( = 17 + 71 = 88 \). હવે, \( 88 = 11 \times 8 = 11 \times (1 + 7) \). આથી, \( 88 \) એ ધારેલી સંખ્યાના અંકોના સરવાળાના \( 11 \) ગણા છે.
નોંધ: ઉપરોક્ત પરિણામો સ્પષ્ટ કરે છે કે બે અંકોની સંખ્યા અને તેના અંકોનાં સ્થાન બદલવાથી મળતી સંખ્યાનો સરવાળો હંમેશા \( 11 \) નો ગુણક હોય છે, એટલે કે તે સરવાળાને \( 11 \) વડે પૂરેપૂરો ભાગી શકાય છે.
In simple words: એક નંબર લો, તેના અંકો ઉલટાવી દો અને બંને નંબરોનો સરવાળો કરો. જુઓ કે શું સરવાળો \( 11 \) થી ભાગી શકાય છે કે નહીં. તમને જાણવા મળશે કે તે હંમેશા \( 11 \) થી ભાગી શકાય છે.

Exam Tip: જ્યારે બે-અંકોની સંખ્યા અને તેના ઉલટાવેલા અંકોવાળી સંખ્યાનો સરવાળો કરવામાં આવે, ત્યારે તે સરવાળો હંમેશા 11 વડે વિભાજ્ય હોય છે. આ નિયમ યાદ રાખો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 251)

Question 1. જો સુંદરમે ધારેલ રકમ નીચે આપેલી સંખ્યામાંથી હોય, તો તેનું પરિણામ શું મળે તે ચકાસોઃ
(i) 17
(ii) 21
(iii) 96
(iv) 37
Answer:
(i) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 17 \). આ સંખ્યાના અંકોનાં સ્થાન બદલવાથી મળતી સંખ્યા \( = 71 \). આ બંને સંખ્યાઓની બાદબાકી \( = 71 - 17 = 54 \). હવે, \( 54 = 9 \times 6 = 9 \times (7 - 1) \). આનો અર્થ એ થાય કે \( 54 \) એ ધારેલી સંખ્યાના અંકોના તફાવતના \( 9 \) ગણા છે.
(ii) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 21 \). આ સંખ્યાના અંકોનાં સ્થાન બદલવાથી મળતી સંખ્યા \( = 12 \). આ બંને સંખ્યાઓની બાદબાકી \( = 21 - 12 = 9 \). હવે, \( 9 = 9 \times 1 = 9 \times (2 - 1) \). આનો અર્થ એ થાય કે \( 9 \) એ ધારેલી સંખ્યાના અંકોના તફાવતના \( 9 \) ગણા છે.
(iii) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 96 \). આ સંખ્યાના અંકોનાં સ્થાન બદલવાથી મળતી સંખ્યા \( = 69 \). આ બંને સંખ્યાઓની બાદબાકી \( = 96 - 69 = 27 \). હવે, \( 27 = 9 \times 3 = 9 \times (9 - 6) \). આનો અર્થ એ થાય કે \( 27 \) એ ધારેલી સંખ્યાના અંકોના તફાવતના \( 9 \) ગણા છે.
(iv) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 37 \). આ સંખ્યાના અંકોનાં સ્થાન બદલવાથી મળતી સંખ્યા \( = 73 \). આ બંને સંખ્યાઓની બાદબાકી \( = 73 - 37 = 36 \). હવે, \( 36 = 9 \times 4 = 9 \times (7 - 3) \). આનો અર્થ એ થાય કે \( 36 \) એ ધારેલી સંખ્યાના અંકોના તફાવતના \( 9 \) ગણા છે.
નોંધ: બે અંકોની સંખ્યા અને તેના અંકોનાં સ્થાન બદલવાથી મળતી સંખ્યાની બાદબાકી હંમેશા \( 9 \) નો ગુણક હોય છે, એટલે કે તે બાદબાકીને \( 9 \) વડે પૂરેપૂરો ભાગી શકાય છે.
In simple words: એક નંબર લો, તેના અંકો ઉલટાવી દો અને બંને નંબરોની બાદબાકી કરો. જુઓ કે શું બાદબાકી \( 9 \) થી ભાગી શકાય છે કે નહીં. તમને જાણવા મળશે કે તે હંમેશા \( 9 \) થી ભાગી શકાય છે.

Exam Tip: બે અંકોની સંખ્યા અને તેના અંકોને ઉલટાવવાથી મળતી સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા 9 વડે વિભાજ્ય હોય છે.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 252)

Question 1. જો મિનાક્ષીએ ધારેલી ત્રણ અંકોની સંખ્યાઓ નીચે મુજબની હોય, તો મળતાં પરિણામો જુઓઃ
(i) 132
(ii) 469
(iii) 787
(iv) 901
Answer:
(i) મિનાક્ષીએ ધારેલી સંખ્યા \( = 132 \). એકમ અને સોના સ્થાનોના અંકો બદલવાથી મળતી સંખ્યા \( = 231 \). આ બંને સંખ્યાઓનો તફાવત \( = 231 - 132 = 99 \). હવે, \( 99 \div 99 = 1 \) અને શેષ \( = 0 \).
(ii) મિનાક્ષીએ ધારેલી સંખ્યા \( = 469 \). એકમ અને સોના સ્થાનોના અંકો બદલવાથી મળતી સંખ્યા \( = 964 \). આ બંને સંખ્યાઓનો તફાવત \( = 964 - 469 = 495 \). હવે, \( 495 \div 99 = 5 \) અને શેષ \( = 0 \).
(iii) મિનાક્ષીએ ધારેલી સંખ્યા \( = 787 \). એકમ અને સોના સ્થાનોના અંકો બદલવાથી મળતી સંખ્યા \( = 787 \). આ બંને સંખ્યાઓનો તફાવત \( = 787 - 787 = 0 \). હવે, \( 0 \div 99 = 0 \) અને શેષ \( = 0 \).
(iv) મિનાક્ષીએ ધારેલી સંખ્યા \( = 901 \). એકમ અને સોના સ્થાનોના અંકો બદલવાથી મળતી સંખ્યા \( = 109 \). આ બંને સંખ્યાઓનો તફાવત \( = 901 - 109 = 792 \). હવે, \( 792 \div 99 = 8 \) અને શેષ \( = 0 \).
નોંધ: ત્રણ અંકોની સંખ્યા અને તેના એકમ તથા સોના સ્થાનોના અંકો બદલવાથી મળતી સંખ્યાનો તફાવત હંમેશા \( 99 \) નો ગુણક હોય છે, એટલે કે તે તફાવતને \( 99 \) વડે પૂરેપૂરો ભાગી શકાય છે.
In simple words: ત્રણ અંકોવાળી સંખ્યા લો, તેના પહેલા અને છેલ્લા અંકો બદલો. પછી બંને સંખ્યાઓની બાદબાકી કરો. તમને મળશે કે આ બાદબાકી હંમેશા \( 99 \) થી ભાગી શકાય છે.

Exam Tip: ત્રણ અંકોની સંખ્યા અને તેના એકમ તથા સોના સ્થાનોના અંકો બદલવાથી મળતી સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા 99 વડે વિભાજ્ય હોય છે.

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 258)

Question 1. જો સુંદરમે ધારેલ ત્રણ અંકોથી બનતી સંખ્યા નીચે મુજબ હોય, તો મળતાં પરિણામની ચકાસણી કરોઃ
(i) 417
(ii) 632
(iii) 117
(iv) 937
Answer:
(i) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 417 \). સંખ્યાના અંકોના સ્થાન બદલવાથી મળતી બીજી બે સંખ્યાઓ \( 741 \) અને \( 174 \) છે. આ ત્રણેય સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો \( = 417 + 741 + 174 = 1332 \). આ સરવાળાને \( 37 \) વડે ભાગતાં \( 1332 \div 37 = 36 \) અને શેષ \( = 0 \).
(ii) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 632 \). સંખ્યાના અંકોના સ્થાન બદલવાથી મળતી બીજી બે સંખ્યાઓ \( 263 \) અને \( 326 \) છે. આ ત્રણેય સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો \( = 632 + 263 + 326 = 1221 \). આ સરવાળાને \( 37 \) વડે ભાગતાં \( 1221 \div 37 = 33 \) અને શેષ \( = 0 \).
(iii) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 117 \). સંખ્યાના અંકોના સ્થાન બદલવાથી મળતી બીજી બે સંખ્યાઓ \( 711 \) અને \( 171 \) છે. આ ત્રણેય સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો \( = 117 + 711 + 171 = 999 \). આ સરવાળાને \( 37 \) વડે ભાગતાં \( 999 \div 37 = 27 \) અને શેષ \( = 0 \).
(iv) સુંદરમે ધારેલી સંખ્યા \( = 937 \). સંખ્યાના અંકોના સ્થાન બદલવાથી મળતી બીજી બે સંખ્યાઓ \( 793 \) અને \( 379 \) છે. આ ત્રણેય સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો \( = 937 + 793 + 379 = 2109 \). આ સરવાળાને \( 37 \) વડે ભાગતાં \( 2109 \div 37 = 57 \) અને શેષ \( = 0 \).
નોંધ: ત્રણ અંકોની સંખ્યા અને તેના ત્રણેય અંકોનાં સ્થાન બદલવાથી મળતી બીજી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા \( 37 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય હોય છે.
In simple words: ત્રણ અંકોવાળી સંખ્યા લો. પછી તેના અંકોને અલગ-અલગ રીતે ગોઠવીને વધુ બે સંખ્યાઓ બનાવો. આ ત્રણેય સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો. તમને જાણવા મળશે કે આ સરવાળો હંમેશા \( 37 \) થી ભાગી શકાય છે.

Exam Tip: ત્રણ અંકોની સંખ્યા અને તેના અંકોની ફેરબદલીથી બનતી અન્ય બે સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા 37 વડે વિભાજ્ય હોય છે. આ એક રસપ્રદ પેટર્ન છે.

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 257) (પ્રથમ ઉદાહરણ તમને ગણીને આપેલ છે.)

Question 1. જો \( N \div 5 \) માં શેષ \( 3 \) વધે છે, તો \( N \) નો એકમનો અંક શું હોય? (જ્યારે કોઈ એક સંખ્યાને \( 5 \) વડે ભાગીએ અને શેષ \( 3 \) વધે, તો તે સંખ્યાનો એકમનો અંક \( 3 \) અથવા \( 8 \) હોય.)
Answer: જો \( N \div 5 \) માં શેષ \( 3 \) વધે છે, તો \( N \) નો એકમનો અંક \( 3 \) અથવા \( 8 \) હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે:
જો \( N = 13 \): \( 13 \div 5 = 2 \) અને શેષ \( 3 \) રહે. અહીં, \( 13 \) નો એકમનો અંક \( 3 \) છે.
જો \( N = 28 \): \( 28 \div 5 = 5 \) અને શેષ \( 3 \) રહે. અહીં, \( 28 \) નો એકમનો અંક \( 8 \) છે.
આમ, \( N \) નો એકમનો અંક \( 3 \) અથવા \( 8 \) હોઈ શકે છે.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યાને \( 5 \) વડે ભાગવામાં આવે અને \( 3 \) શેષ રહે, તો તે સંખ્યાનો છેલ્લો અંક \( 3 \) અથવા \( 8 \) જ હોય છે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ સંખ્યાને 5 વડે ભાગવામાં આવે અને કોઈ શેષ વધે, ત્યારે સંખ્યાનો એકમનો અંક શેષ અથવા શેષ + 5 હોય છે.

Question 2. જો \( N \div 5 \) માં શેષ \( 1 \) વધે છે, તો \( N \) નો એકમનો અંક શું હોય?
Answer: જો \( N \div 5 \) માં શેષ \( 1 \) વધે છે, તો \( N \) નો એકમનો અંક \( 1 \) અથવા \( 6 \) હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે:
જો \( N = 21 \): \( 21 \div 5 = 4 \) અને શેષ \( 1 \) રહે. અહીં, \( 21 \) નો એકમનો અંક \( 1 \) છે.
જો \( N = 36 \): \( 36 \div 5 = 7 \) અને શેષ \( 1 \) રહે. અહીં, \( 36 \) નો એકમનો અંક \( 6 \) છે.
આમ, \( N \) નો એકમનો અંક \( 1 \) અથવા \( 6 \) હોઈ શકે છે.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યાને \( 5 \) વડે ભાગવામાં આવે અને \( 1 \) શેષ રહે, તો તે સંખ્યાનો છેલ્લો અંક \( 1 \) અથવા \( 6 \) જ હોય છે.

Exam Tip: 5 વડે ભાગાકારમાં, જો શેષ 1 હોય, તો એકમનો અંક 1 અથવા 6 હોવો જ જોઈએ. આ ઝડપી ચકાસણી માટે ઉપયોગી છે.

Question 3. જો \( N \div 5 \) માં શેષ \( 4 \) વધે છે, તો \( N \) નો એકમનો અંક શું હોય?
Answer: જો \( N \div 5 \) માં શેષ \( 4 \) વધે છે, તો \( N \) નો એકમનો અંક \( 4 \) અથવા \( 9 \) હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે:
જો \( N = 19 \): \( 19 \div 5 = 3 \) અને શેષ \( 4 \) રહે. અહીં, \( 19 \) નો એકમનો અંક \( 9 \) છે.
જો \( N = 34 \): \( 34 \div 5 = 6 \) અને શેષ \( 4 \) રહે. અહીં, \( 34 \) નો એકમનો અંક \( 4 \) છે.
આમ, \( N \) નો એકમનો અંક \( 4 \) અથવા \( 9 \) હોઈ શકે છે.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યાને \( 5 \) વડે ભાગવામાં આવે અને \( 4 \) શેષ રહે, તો તે સંખ્યાનો છેલ્લો અંક \( 4 \) અથવા \( 9 \) જ હોય છે.

Exam Tip: 5 વડે ભાગાકારમાં, જો શેષ 4 હોય, તો એકમનો અંક 4 અથવા 9 હોવો જ જોઈએ. આનાથી ઝડપી નિષ્કર્ષ કાઢી શકાય છે.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 257 – 258) (પ્રથમ ઉદાહરણ ગણતરી સાથે આપેલ છે.)

Question 1. જો \( N \div 2 \) માં શેષ \( 1 \) વધે છે, તો સંખ્યા \( N \) નો એકમનો અંક શું હશે? ( \( N \) એ એકી સંખ્યા છે. તેથી તેનો એકમનો અંક \( 1, 3, 5, 7 \) કે \( 9 \) હશે.)
Answer: જો \( N \) ને \( 2 \) વડે ભાગતાં શેષ \( 1 \) વધે છે, તો તેનો એકમનો અંક એકી સંખ્યા હોય છે. આમ, તેનો એકમનો અંક \( 1, 3, 5, 7 \) કે \( 9 \) હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે:
જો \( N = 11 \): \( 11 \div 2 = 5 \) અને શેષ \( 1 \) રહે. અહીં, \( 11 \) નો એકમનો અંક \( 1 \) છે.
જો \( N = 23 \): \( 23 \div 2 = 11 \) અને શેષ \( 1 \) રહે. અહીં, \( 23 \) નો એકમનો અંક \( 3 \) છે.
આમ, \( N \) નો એકમનો અંક \( 1, 3, 5, 7 \) કે \( 9 \) છે.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યાને \( 2 \) વડે ભાગવામાં આવે અને \( 1 \) શેષ રહે, તો તે સંખ્યા એક વિષમ સંખ્યા હોય છે. તેનો છેલ્લો અંક \( 1, 3, 5, 7 \) કે \( 9 \) હોય છે.

Exam Tip: જો કોઈ સંખ્યાને 2 વડે ભાગવામાં 1 શેષ વધે, તો તે સંખ્યા હંમેશા એકી હોય છે, અને તેનો એકમનો અંક 1, 3, 5, 7, અથવા 9 હોય છે.

Question 2. જો \( N \div 2 \) કરતાં શેષ શૂન્ય વધે છે, તો સંખ્યા \( N \) નો એકમનો અંક શું હશે?
Answer: જો \( N \) ને \( 2 \) વડે ભાગતાં શેષ \( 0 \) વધે છે, તો તેનો એકમનો અંક બેકી સંખ્યા હોય છે. આમ, તેનો એકમનો અંક \( 0, 2, 4, 6 \) કે \( 8 \) હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે:
જો \( N = 20 \): \( 20 \div 2 = 10 \) અને શેષ \( 0 \) રહે. અહીં, \( 20 \) નો એકમનો અંક \( 0 \) છે.
જો \( N = 22 \): \( 22 \div 2 = 11 \) અને શેષ \( 0 \) રહે. અહીં, \( 22 \) નો એકમનો અંક \( 2 \) છે.
આમ, \( N \) નો એકમનો અંક \( 0, 2, 4, 6 \) કે \( 8 \) છે.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યાને \( 2 \) વડે ભાગવામાં આવે અને \( 0 \) શેષ રહે, તો તે સંખ્યા એક સમ સંખ્યા હોય છે. તેનો છેલ્લો અંક \( 0, 2, 4, 6 \) કે \( 8 \) હોય છે.

Exam Tip: જો કોઈ સંખ્યાને 2 વડે ભાગવામાં 0 શેષ વધે, તો તે સંખ્યા હંમેશા બેકી હોય છે, અને તેનો એકમનો અંક 0, 2, 4, 6, અથવા 8 હોય છે.

Question 3. ધારો કે સંખ્યા \( N \) માટે \( N \div 5 \) કરતાં શેષ \( 4 \) મળે છે અને \( N \div 2 \) કરવાથી શેષ \( 1 \) મળે છે, તો સંખ્યા \( N \) નો એકમનો અંક શું હશે?
Answer: જો \( N \) ને \( 5 \) વડે ભાગતાં શેષ \( 4 \) મળે છે, તો \( N \) નો એકમનો અંક \( 4 \) અથવા \( 9 \) હોય છે.
હવે, આ જ સંખ્યાને \( 2 \) વડે ભાગતાં શેષ \( 1 \) મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે \( N \) એક એકી સંખ્યા જ હોય. બેકી સંખ્યાને \( 2 \) વડે ભાગતા \( 0 \) શેષ રહે. આથી, \( N \) નો એકમનો અંક \( 9 \) જ હોય (કારણ કે \( 4 \) એ બેકી છે અને \( 9 \) એ એકી છે).
In simple words: એક સંખ્યાને \( 5 \) વડે ભાગતા \( 4 \) શેષ રહે, તેથી તેનો છેલ્લો અંક \( 4 \) અથવા \( 9 \) હોવો જોઈએ. તે જ સંખ્યાને \( 2 \) વડે ભાગતા \( 1 \) શેષ રહે, એટલે તે વિષમ સંખ્યા છે. તેથી, સંખ્યાનો છેલ્લો અંક \( 9 \) જ હોવો જોઈએ.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, આપેલી દરેક શરતનો ઉપયોગ કરીને એકમનો અંક શોધવા માટે શક્યતાઓને મર્યાદિત કરો. વિભાજ્યતાના નિયમો યાદ રાખો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 259)

Question 1. નીચેની સંખ્યાઓ 9 વડે વિભાજ્ય છે કે નહિ? તે ચકાસોઃ
(i) 108
(ii) 616
(iii) 294
(iv) 432
(v) 927
Answer:
(i) 108: 108 સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો \( = 1 + 0 + 8 = 9 \). હવે, \( 9 \) એ \( 9 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે ( \( 9 \div 9 = 1 \) અને શેષ \( = 0 \) ). આથી, \( 108 \) એ \( 9 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે.
(ii) 616: 616 સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો \( = 6 + 1 + 6 = 13 \). હવે, \( 13 \) એ \( 9 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય નથી ( \( 13 \div 9 = 1 \) અને શેષ \( = 4 \) ). આથી, \( 616 \) એ \( 9 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય નથી.
(iii) 294: 294 સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો \( = 2 + 9 + 4 = 15 \). હવે, \( 15 \) એ \( 9 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય નથી ( \( 15 \div 9 = 1 \) અને શેષ \( = 6 \) ). આથી, \( 294 \) એ \( 9 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય નથી.
(iv) 432: 432 સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો \( = 4 + 3 + 2 = 9 \). હવે, \( 9 \) એ \( 9 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે ( \( 9 \div 9 = 1 \) અને શેષ \( = 0 \) ). આથી, \( 432 \) એ \( 9 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે.
(v) 927: 927 સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો \( = 9 + 2 + 7 = 18 \). હવે, \( 18 \) એ \( 9 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે ( \( 18 \div 9 = 2 \) અને શેષ \( = 0 \) ). આથી, \( 927 \) એ \( 9 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે.
In simple words: કોઈ સંખ્યા \( 9 \) વડે ભાગી શકાય છે કે નહીં તે જાણવા માટે, તે સંખ્યાના બધા અંકોનો સરવાળો કરો. જો તે સરવાળો \( 9 \) થી ભાગી શકાય, તો મૂળ સંખ્યા પણ \( 9 \) થી ભાગી શકાય.

Exam Tip: 9 વડે વિભાજ્યતાનો નિયમ યાદ રાખો: જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 વડે વિભાજ્ય હોય, તો તે સંખ્યા પોતે પણ 9 વડે વિભાજ્ય હોય છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 259)

Question 1. તમે જોયું કે 450 એ 10થી વિભાજ્ય છે. તે 2 અને 5થી પણ વિભાજ્ય છે. વળી, 2 અને 5 એ 10ના અવયવો પણ છે. તેવી જ રીતે 135 એ 9થી વિભાજ્ય છે. તે 3 થી પણ વિભાજ્ય છે. ઉપરાંત 3 એ 9નો અવયવ પણ છે. શું તમે એમ કહી શકો કે કોઈ સંખ્યા જો \( m \) થી વિભાજ્ય છે, તો તે સંખ્યા \( m \) ના અવયવોથી પણ વિભાજ્ય હોય?
Answer: હા, આપણે કહી શકીએ કે જો આપેલી સંખ્યાને કોઈ \( m \) વડે પૂરેપૂરો ભાગી શકાય, તો તે સંખ્યાને \( m \) ના દરેક અવયવ વડે પણ પૂરેપૂરો ભાગી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે: \( 12 \) ને \( 6 \) વડે પૂરેપૂરો ભાગી શકાય છે. \( 6 \) ના અવયવો \( 2 \) અને \( 3 \) છે. આથી, \( 12 \) ને \( 2 \) અને \( 3 \) બંને વડે પણ પૂરેપૂરો ભાગી શકાય છે.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યાને એક મોટા નંબરથી ભાગી શકાય, તો તે સંખ્યાને તે મોટા નંબરના નાના ભાગો (અવયવો) થી પણ હંમેશા ભાગી શકાય છે.

Exam Tip: વિભાજ્યતાનો આ મૂળભૂત સિદ્ધાંત યાદ રાખો: જો કોઈ સંખ્યા અન્ય સંખ્યા દ્વારા વિભાજ્ય હોય, તો તે તેના અવયવો દ્વારા પણ વિભાજ્ય હશે.

Question 2. ત્રણ અંકોની સંખ્યા \( abc \) માટે \( abc = 100a + 10b + c = 99a + 11b + (a - b + c) \). જો સંખ્યા \( abc \) એ \( 11 \) વડે વિભાજ્ય હોય, તો \( (a - b + c) \) માટે શું કહી શકાય? શું તે અનિવાર્ય છે કે \( (a + c - b) \) પણ \( 11 \) વડે નિઃશેષ ભાજ્ય હોય? \( (a - b + c) \) એ \( 0 \) અથવા \( 11 \) ની ગુણક હોય.
Answer: જો સંખ્યા \( abc \) એ \( 11 \) વડે વિભાજ્ય હોય, તો \( (a - b + c) \) એ \( 0 \) અથવા \( 11 \) નો ગુણક હોય છે. હા, તે અનિવાર્ય છે કે \( (a - b + c) \) પણ \( 11 \) વડે નિઃશેષ ભાજ્ય હોય. આનો અર્થ થાય છે કે એકી સ્થાનોના અંકોના સરવાળા ( \( a + c \) ) અને બેકી સ્થાનોના અંકોના સરવાળા ( \( b \) ) નો તફાવત \( 11 \) વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
In simple words: જો ત્રણ અંકોનો નંબર \( abc \) એ \( 11 \) થી ભાગી શકાય, તો \( (a - b + c) \) પણ \( 0 \) અથવા \( 11 \) નો ગુણક હોવો જોઈએ.

Exam Tip: 11 વડે વિભાજ્યતાનો નિયમ યાદ રાખો: એકી સ્થાનોના અંકોના સરવાળા અને બેકી સ્થાનોના અંકોના સરવાળાનો તફાવત 0 અથવા 11 વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.

Question 3. 4 અંકોની સંખ્યા \( abcd \) માટે \( abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 1001a + 99b + 11c - (a - b + c - d) = 11 (91a + 9b + c) + [(b + d) - (a + c)] \). જો સંખ્યા \( abcd \) એ \( 11 \) વડે વિભાજ્ય હોય, તો \( [(b + d) - (a + c)] \) માટે શું કહી શકાય? \( [(b + d) - (a + c)] \) એ \( 0 \) અથવા \( 11 \) ની ગુણક હોય.
Answer: જો સંખ્યા \( abcd \) એ \( 11 \) વડે વિભાજ્ય હોય, તો \( [(b + d) - (a + c)] \) એ \( 0 \) અથવા \( 11 \) નો ગુણક હોય છે. આનો અર્થ થાય છે કે એકી સ્થાનોના અંકોના સરવાળા \( (a + c) \) અને બેકી સ્થાનોના અંકોના સરવાળા \( (b + d) \) નો તફાવત \( 11 \) વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
In simple words: જો ચાર અંકોનો નંબર \( abcd \) એ \( 11 \) થી ભાગી શકાય, તો \( [(b + d) - (a + c)] \) પણ \( 0 \) અથવા \( 11 \) નો ગુણક હોવો જોઈએ.

Exam Tip: ચાર અંકોની સંખ્યા માટે 11 વડે વિભાજ્યતાના નિયમમાં, એકી સ્થાનોના અંકોના સરવાળા અને બેકી સ્થાનોના અંકોના સરવાળાનો તફાવત તપાસવામાં આવે છે.

Question 4. ઉપર દર્શાવેલ કિસ્સાઓ (i) અને (ii) પરથી આપણે કહી શકીએ કે, કોઈ પણ સંખ્યા \( 11 \) વડે તો જ નિઃશેષ ભાગી શકાય જો તે સંખ્યાના એકી સ્થાન પર આવેલ સંખ્યાનો સરવાળો અને બેકી સ્થાન પર આવેલ અંકોના સરવાળાના તફાવતને \( 11 \) વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય.
Answer: હા, સંખ્યાને \( 11 \) વડે ત્યારે જ પૂરેપૂરો ભાગી શકાય જ્યારે સંખ્યાના જમણી બાજુથી એકી સ્થાનના અંકોનો સરવાળો અને બેકી સ્થાનના અંકોના સરવાળાનો તફાવત \( 11 \) વડે પૂરેપૂરો ભાગી શકાય.
In simple words: હા, કોઈ પણ સંખ્યા \( 11 \) થી ત્યારે જ ભાગી શકાય જો તેના એકી સ્થાનના અંકોનો સરવાળો અને બેકી સ્થાનના અંકોનો સરવાળો, આ બંનેનો તફાવત \( 11 \) થી ભાગી શકાય.

Exam Tip: 11 ની વિભાજ્યતાનો સામાન્ય નિયમ યાદ રાખો: એકી સ્થાનો પરના અંકોના સરવાળા અને બેકી સ્થાનો પરના અંકોના સરવાળા વચ્ચેનો તફાવત 0 અથવા 11 નો ગુણક હોવો જોઈએ.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 260)

Question 1. નીચેની સંખ્યાઓ માટે 3ની વિભાજ્યતા ચકાસોઃ
(i) 108
(ii) 616
(iii) 294
(iv) 432
(v) 927
Answer:
(i) 108: 108 સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો \( = 1 + 0 + 8 = 9 \). હવે, \( 9 \) એ \( 3 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે ( \( 9 \div 3 = 3 \) અને શેષ \( = 0 \) ). આથી, \( 108 \) એ \( 3 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે.
(ii) 616: 616 સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો \( = 6 + 1 + 6 = 13 \). હવે, \( 13 \) એ \( 3 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય નથી ( \( 13 \div 3 = 4 \) અને શેષ \( = 1 \) ). આથી, \( 616 \) એ \( 3 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય નથી.
(iii) 294: 294 સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો \( = 2 + 9 + 4 = 15 \). હવે, \( 15 \) એ \( 3 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે ( \( 15 \div 3 = 5 \) અને શેષ \( = 0 \) ). આથી, \( 294 \) એ \( 3 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે.
(iv) 432: 432 સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો \( = 4 + 3 + 2 = 9 \). હવે, \( 9 \) એ \( 3 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે ( \( 9 \div 3 = 3 \) અને શેષ \( = 0 \) ). આથી, \( 432 \) એ \( 3 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે.
(v) 927: 927 સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો \( = 9 + 2 + 7 = 18 \). હવે, \( 18 \) એ \( 3 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે ( \( 18 \div 3 = 6 \) અને શેષ \( = 0 \) ). આથી, \( 927 \) એ \( 3 \) વડે પૂરેપૂરો વિભાજ્ય છે.
In simple words: કોઈ સંખ્યા \( 3 \) વડે ભાગી શકાય છે કે નહીં તે જાણવા માટે, તે સંખ્યાના બધા અંકોનો સરવાળો કરો. જો તે સરવાળો \( 3 \) થી ભાગી શકાય, તો મૂળ સંખ્યા પણ \( 3 \) થી ભાગી શકાય.

Exam Tip: 3 વડે વિભાજ્યતાનો નિયમ યાદ રાખો: જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 3 વડે વિભાજ્ય હોય, તો તે સંખ્યા પોતે પણ 3 વડે વિભાજ્ય હોય છે.