GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 16 સંખ્યા સાથે રમત Exercise 16.1

નીચે આપેલ સરવાળા કે ગુણાકારની કૂટપ્રશ્નોમાં મૂળાક્ષરોની કિંમત મેળવો. તમે જે પગલાં લીધાં તેનું કારણ જણાવો?

Question 1.
\( \begin{array}{r} 3A \\ +25 \\ \hline B2 \end{array} \)
Answer: અહીં બે અજ્ઞાત અંકો A અને B છે, જેમની કિંમતો શોધવી છે. બંને સંખ્યાના એકમના સ્થાનમાં \( A \) અને \( 5 \) છે, જેના સરવાળાનો એકમનો અંક \( 2 \) છે. તેથી, \( A + 5 \) નો સરવાળો \( 12 \) થવો જોઈએ. આના આધારે, \( A = 7 \) થશે. હવે, દશકના સ્થાનમાં \( 1 \) વદ્દી (carry-over) છે. તેથી, દશકના સ્થાનનો સરવાળો \( 1 + 3 + 2 = 6 \) થાય છે. આથી, \( B = 6 \) મળે છે. આમ, \( A = 7 \) અને \( B = 6 \) છે, અને આપણે આ પ્રમાણે મેળવીએ છીએ:
\( \begin{array}{r} 37 \\ +25 \\ \hline 62 \end{array} \)
In simple words: અહીં A અને B શોધવાના છે. જો એકમનો અંક 2 હોય તો, A + 5 = 12 થાય, તેથી A = 7. દશકના સ્થાન પર 1 કેરી આવશે, તેથી 1 + 3 + 2 = 6, એટલે B = 6.

Exam Tip: આવા કોયડાઓમાં હંમેશા એકમના સ્થાનથી ગણતરી શરૂ કરો અને વદ્દીને (carry-over) આગળના સ્થાનમાં ઉમેરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 2.
\( \begin{array}{r} 4A \\ +98 \\ \hline CB3 \end{array} \)
Answer: અહીં ત્રણ અજ્ઞાત અંકો A, B અને C છે, જેમની કિંમતો મેળવવી છે. બંને સંખ્યાના એકમના સ્થાનમાં \( A \) અને \( 8 \) છે, જેમના સરવાળાનો એકમનો અંક \( 3 \) છે. તેથી, \( A + 8 \) નો સરવાળો \( 13 \) થવો જોઈએ. આના આધારે, \( A = 5 \) થશે. હવે, દશકના સ્થાનમાં \( 1 \) વદ્દી છે. દશકના સ્થાનનો સરવાળો \( 1 + 4 + 9 = 14 \) થાય છે. આથી, \( C = 1 \) અને \( B = 4 \) મળે છે. આમ, \( A = 5, B = 4 \) અને \( C = 1 \) છે, અને આપણે આ પ્રમાણે મેળવીએ છીએ:
\( \begin{array}{r} 45 \\ +98 \\ \hline 143 \end{array} \)
In simple words: A + 8 નો સરવાળો 3 આવે છે, તેથી A = 5 અને 1 વદ્દી. પછી 1 + 4 + 9 નો સરવાળો 14 થાય છે, તેથી C = 1 અને B = 4.

Exam Tip: ત્રણેય અજ્ઞાત અંકોને યોગ્ય રીતે શોધવા માટે એકમના સ્થાનથી શરૂ કરીને ક્રમશઃ દરેક સ્થાનના અંકોનો વિચાર કરો.

Question 3.
\( \begin{array}{r} 1A \\ \times A \\ \hline 9A \end{array} \)
Answer: અહીં એક અજ્ઞાત અંક \( A \) છે, જેની કિંમત શોધવી છે. \( 1A \) માં \( A \) એકમનો અંક છે, જેને એક અંકની સંખ્યા \( A \) વડે ગુણવાનું છે. જવાબની સંખ્યાનો એકમનો અંક પણ \( A \) છે. શક્યતાઓ જુઓ: \( 1 \times 1 = 1 \), \( 5 \times 5 = 25 \), \( 6 \times 6 = 36 \). તેથી, \( A \) ની કિંમત \( 1 \), \( 5 \) અથવા \( 6 \) હોઈ શકે છે. જો \( A = 1 \) હોય, તો ગુણાકાર \( 11 \times 1 = 11 \) થાય, જે \( 9A \) સાથે બંધ બેસતો નથી (કારણ કે \( 91 \) થવો જોઈએ). તેથી \( A = 1 \) ન હોઈ શકે. જો \( A = 5 \) હોય, તો ગુણાકાર \( 15 \times 5 = 75 \) થાય, જે \( 9A \) સાથે બંધ બેસતો નથી (કારણ કે \( 95 \) થવો જોઈએ). તેથી \( A = 5 \) ન હોઈ શકે. જો \( A = 6 \) હોય, તો ગુણાકાર \( 16 \times 6 = 96 \) થાય, જે \( 9A \) સાથે બંધ બેસતો નથી (કારણ કે \( 96 \) થવો જોઈએ). તેથી \( A = 6 \) છે. આમ, \( A = 6 \) છે, અને આપણે આ પ્રમાણે મેળવીએ છીએ:
\( \begin{array}{r} 16 \\ \times 6 \\ \hline 96 \end{array} \)
In simple words: A શોધવાનો છે. A ને A વડે ગુણતા એકમનો અંક A જ રહે છે. શક્યતા 1, 5, 6 છે. ગણતરી કરતાં, A = 6 હોય ત્યારે 16 × 6 = 96 મળે છે, જે નિયમ પ્રમાણે સાચું છે.

Exam Tip: આવા ગુણાકારના કોયડાઓમાં, એકમનો અંક કયો હશે તેની શક્યતાઓ ચકાસીને જવાબ ઝડપથી મેળવી શકાય છે.

Question 4.
\( \begin{array}{r} AB \\ +37 \\ \hline 6A \end{array} \)
Answer: અહીં બે અજ્ઞાત અંકો \( A \) અને \( B \) છે, જેમની કિંમતો શોધવી છે. બંને સંખ્યાના એકમના સ્થાનનો સરવાળો \( B + 7 \) છે, જેનો એકમનો અંક \( A \) મળે છે. દશકના સ્થાનનો સરવાળો \( A + 3 \) કરતાં તેના દશકના સ્થાને \( 6 \) મળે છે. વદ્દી \( 1 \) લેવાની છે તે ધ્યાનમાં લેતા, \( A \) ની કિંમત \( 0, 1 \) અને \( 2 \) હોઈ શકે છે. જો \( A = 0 \) હોય, તો તે શક્ય નથી, કારણ કે \( AB \) એ બે અંકની સંખ્યા છે. જો \( A = 1 \) હોય, તો \( B + 7 = 11 \) થવું જોઈએ (એકમનો અંક \( 1 \) આવે તે માટે), જેથી \( B = 4 \) મળે છે. હવે દશકના સ્થાનનો સરવાળો \( 1 + 1 + 3 = 5 \) થાય. પરંતુ આપણને \( 6 \) જોઈએ છે. તેથી \( A = 1 \) શક્ય નથી. જો \( A = 2 \) હોય, તો \( B + 7 = 12 \) થવું જોઈએ, જેથી \( B = 5 \) મળે છે. હવે દશકના સ્થાનનો સરવાળો \( 1 + 2 + 3 = 6 \) થાય, જે નિયમ પ્રમાણે છે. આમ, \( A = 2 \) અને \( B = 5 \) છે, અને આપણે આ પ્રમાણે મેળવીએ છીએ:
\( \begin{array}{r} 25 \\ +37 \\ \hline 62 \end{array} \)
In simple words: A અને B શોધવા છે. B + 7 નો એકમનો અંક A આવે છે. જો A = 2 હોય, તો B = 5 (કારણ કે 5+7=12). પછી દશકમાં 1 વદ્દી ઉમેરતા 1 + 2 + 3 = 6 મળે છે, જે સાચું છે.

Exam Tip: આવા સરવાળાના કોયડામાં, અજ્ઞાત અંકોની શક્ય કિંમતોને ધારીને ચકાસવાથી (Trial and Error) સાચો જવાબ ઝડપથી મેળવી શકાય છે.

Question 5.
\( \begin{array}{r} AB \\ \times 3 \\ \hline CAB \end{array} \)
Answer: અહીં ત્રણ અજ્ઞાત અંકો C, A અને B છે, જેમની કિંમતો શોધવી છે. સંખ્યાના એકમના સ્થાનમાં \( 3 \times B \) છે, જેનો ગુણાકાર \( B \) જેટલો છે. આ ફક્ત ત્યારે જ શક્ય બને છે જો \( B = 0 \) અથવા \( B = 5 \) હોય. (વદ્દી \( 1 \) લેવાની છે તે ધ્યાનમાં લેતાં) જો \( B = 0 \) હોય, તો ગુણાકાર \( A0 \times 3 = CA0 \) થાય. દશકના અંકોનો ગુણાકાર \( 3 \times A = CA \) છે. તેથી, \( A = 0 \) અથવા \( A = 5 \) હોઈ શકે. જો \( A = 0 \) હોય, તો સંખ્યા એક અંકની થઈ જાય (કારણ કે \( 00 \times 3 \) એ બે અંકની સંખ્યા નથી), તેથી \( A = 0 \) ન હોઈ શકે. તેથી \( A = 5 \) જ હોય. આમ, ગુણાકાર \( 50 \times 3 \) અથવા \( 55 \times 3 \) હોઈ શકે. જો \( 55 \times 3 \) હોય, તો \( 55 \times 3 = 165 \) થાય. અહીં \( A = 6 \) થાય છે, જે \( A = 5 \) સાથે મેળ ખાતો નથી. તેથી \( 55 \times 3 \) ન હોઈ શકે. તેથી, \( 50 \times 3 \) જ હોઈ શકે. આમ, \( A = 5, B = 0 \) અને \( C = 1 \) છે, અને આપણે આ પ્રમાણે મેળવીએ છીએ:
\( \begin{array}{r} 50 \\ \times 3 \\ \hline 150 \end{array} \)
In simple words: B ગુણ્યા 3 નો એકમનો અંક B જ હોવાથી B = 0 અથવા 5. જો B = 0, તો A ગુણ્યા 3 નો એકમનો અંક A હોવો જોઈએ. એટલે A = 0 અથવા 5. A ≠ 0, તેથી A = 5. આમ, 50 × 3 = 150 થાય છે.

Exam Tip: ગુણાકારના દાખલામાં એકમનો અંક અને દશકના અંકની શક્યતાઓનો કાળજીપૂર્વક વિચાર કરવાથી સાચો જવાબ મળી શકે છે.

Question 6.
\( \begin{array}{r} AB \\ \times 5 \\ \hline CAB \end{array} \)
Answer: અહીં ત્રણ અજ્ઞાત અંકો C, A અને B છે, જેમની કિંમતો શોધવી છે. એકમના સ્થાનના અંકોનો ગુણાકાર \( 5 \times B \) છે, જેનો ગુણાકાર \( B \) છે. આ ફક્ત ત્યારે જ શક્ય બને છે જો \( B = 0 \) અથવા \( B = 5 \) હોય. જો \( B = 0 \) હોય, તો ગુણાકાર \( A0 \times 5 = CA0 \) થાય. દશકના સ્થાનના અંકોનો ગુણાકાર \( 5 \times A = CA \) છે. તેથી, \( A = 0 \) અથવા \( A = 5 \) હોઈ શકે. પણ \( A \neq 0 \) કારણ કે ગુણાકાર ત્રણ અંકનો છે. તેથી \( A = 5 \) જ હોય. આમ, રકમ \( 50 \times 5 \) અથવા \( 55 \times 5 \) હોઈ શકે. જો \( 55 \times 5 \) હોય, તો ગુણાકાર \( 275 \) થાય, જે રકમ પ્રમાણે બંધ બેસતો નથી (કારણ કે \( A \) 5 હોવો જોઈએ). તેથી, \( 50 \times 5 = 250 \) જ હોય. આમ, \( A = 5, B = 0 \) અને \( C = 2 \) છે, અને આપણે આ પ્રમાણે મેળવીએ છીએ:
\( \begin{array}{r} 50 \\ \times 5 \\ \hline 250 \end{array} \)
In simple words: B ગુણ્યા 5 નો એકમનો અંક B જ હોવાથી B = 0 અથવા 5. જો B = 0 હોય, તો A ગુણ્યા 5 નો એકમનો અંક A હોવો જોઈએ, તેથી A = 5. આમ, 50 × 5 = 250 મળે છે.

Exam Tip: ગુણાકારમાં જ્યારે એકમનો અંક પાછો આવે ત્યારે 0 અથવા 5 ની શક્યતાઓ પર ખાસ ધ્યાન આપો.

Question 7.
\( \begin{array}{r} AB \\ \times 6 \\ \hline BBB \end{array} \)
Answer: અહીં બે અજ્ઞાત અંકો A અને B છે, જેમની કિંમતો શોધવી છે. એકમના સ્થાનમાં ગુણાકાર \( B \times 6 \) છે, જેનો ગુણાકાર \( B \) છે. જો \( B = 2, 4, 6 \) કે \( 8 \) હોય, તો \( B \times 6 \) નો એકમનો અંક \( B \) થાય છે. આમ, \( BBB \) ની શક્ય કિંમતો \( 222, 444, 666 \) કે \( 888 \) હોઈ શકે છે. હવે, \( 222 \div 6 = 37 \), \( 444 \div 6 = 74 \), \( 666 \div 6 = 111 \), \( 888 \div 6 = 148 \). આમ, \( 222 \) એ \( AB \) માં બંધ બેસતું નથી (કારણ કે \( A \) અને \( B \) બંને 2 હોય). વળી, \( 666 \) અને \( 888 \) પણ શક્ય નથી, કારણ કે \( AB \) એ બે અંકની સંખ્યા છે. \( 444 \div 6 = 74 \) લેતાં \( AB \) માં બંધ બેસે છે. આમ, \( A = 7 \) અને \( B = 4 \) છે, અને આપણે આ પ્રમાણે મેળવીએ છીએ:
\( \begin{array}{r} 74 \\ \times 6 \\ \hline 444 \end{array} \)
In simple words: B ગુણ્યા 6 નો એકમનો અંક B જ હોવાથી B 2, 4, 6, 8 હોઈ શકે. પછી BBB ની કિંમતો 222, 444, 666, 888 હોઈ શકે. તેમાંથી 444 ÷ 6 = 74 મળે છે, જે AB સાથે બંધ બેસે છે. તેથી A = 7 અને B = 4.

Exam Tip: ગુણાકારના આવા કોયડાઓમાં, ગુણાકારના પરિણામમાંથી મૂળ સંખ્યા શોધીને અજ્ઞાત અંકોની કિંમત ચકાસવી એ સારો અભિગમ છે.

Question 8.
\( \begin{array}{r} A1 \\ +1B \\ \hline B0 \end{array} \)
Answer: અહીં બે અજ્ઞાત અંકો \( A \) અને \( B \) છે, જેમની કિંમતો શોધવી છે. બંને સંખ્યાના એકમના સ્થાનમાં \( 1 + B \) છે, જેનો સરવાળો \( 0 \) છે. આનો અર્થ છે કે \( 1 + B = 10 \), તેથી \( B = 9 \) જ હોય. હવે, દશકના સ્થાનમાં \( 1 \) વદ્દી છે. રકમની સંખ્યાઓના સરવાળાનો જવાબ \( 90 \) થયો છે. વદ્દી \( 1 \) + \( A \) + \( 1 = 9 \). તેથી \( A = 7 \) થાય. આમ, \( A = 7 \) અને \( B = 9 \) છે, અને આપણે આ પ્રમાણે મેળવીએ છીએ:
\( \begin{array}{r} 71 \\ +19 \\ \hline 90 \end{array} \)
In simple words: એકમના સ્થાન પર 1 + B નો સરવાળો 0 આવે છે, તેથી B = 9 (કારણ કે 1+9=10). પછી દશકમાં 1 વદ્દી ઉમેરતા 1 + A + 1 = 9, તેથી A = 7.

Exam Tip: જ્યારે સરવાળામાં એકમના સ્થાનનો અંક શૂન્ય હોય ત્યારે, તેનો અર્થ છે કે એકમનો સરવાળો 10 અથવા 20 જેવી સંખ્યા થાય છે, જેમાંથી વદ્દી આગળના સ્થાનમાં જાય છે.

Question 9.
\( \begin{array}{r} 2AB \\ +AB1 \\ \hline B18 \end{array} \)
Answer: અહીં બે અજ્ઞાત અંકો \( A \) અને \( B \) છે, જેમની કિંમતો શોધવી છે. બંને સંખ્યાના એકમના સ્થાનમાં \( B + 1 \) છે, જેનો સરવાળો \( 8 \) છે. તેથી \( B = 7 \) જ હોય. હવે, કોયડો આ પ્રમાણે બનશે: \( \begin{array}{r} 2A7 \\ +A71 \\ \hline 718 \end{array} \) દશકના સ્થાનમાં \( A + 7 \) છે, જે \( 1 \) આપે છે (અને \( 1 \) વદ્દી). આનો અર્થ છે કે \( A + 7 = 11 \), તેથી \( A = 4 \) જ હોય. આમ, \( A = 4 \) અને \( B = 7 \) છે, અને આપણે આ પ્રમાણે મેળવીએ છીએ:
\( \begin{array}{r} 247 \\ +471 \\ \hline 718 \end{array} \)
In simple words: B + 1 = 8, તેથી B = 7. દશકના સ્થાન પર A + 7 નો એકમનો અંક 1 છે, તેથી A + 7 = 11, આથી A = 4 અને 1 વદ્દી.

Exam Tip: ત્રણ અંકના સરવાળામાં, દરેક સ્થાનના અંકોનો ક્રમશઃ વિચાર કરવો અને વદ્દીને યોગ્ય રીતે ઉમેરવી મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 10.
\( \begin{array}{r} 12A \\ +6AB \\ \hline A09 \end{array} \)
Answer: અહીં બે અજ્ઞાત અંકો \( A \) અને \( B \) છે, જેમની કિંમતો શોધવી છે. દશકના સ્થાનમાં \( 2 + A \) છે, જે \( 0 \) આપે છે (અને \( 1 \) વદ્દી). આનો અર્થ છે કે \( 2 + A = 10 \), તેથી \( A = 8 \) જ હોય. હવે, કોયડો આ પ્રમાણે બનશે:
\( \begin{array}{r} 128 \\ +68B \\ \hline 809 \end{array} \) એકમના સ્થાનમાં \( 8 + B \) છે, જેનો સરવાળો \( 9 \) છે. તેથી \( B = 1 \) જ હોય. આમ, \( A = 8 \) અને \( B = 1 \) છે, અને આપણે આ પ્રમાણે મેળવીએ છીએ:
\( \begin{array}{r} 128 \\ +681 \\ \hline 809 \end{array} \)
In simple words: દશકના સ્થાન પર 2 + A નો એકમનો અંક 0 છે, તેથી A = 8 (કારણ કે 2+8=10 અને 1 વદ્દી). પછી એકમના સ્થાન પર 8 + B = 9, તેથી B = 1.

Exam Tip: એક જ અજ્ઞાત અંક જ્યારે જુદા જુદા સ્થાન પર હોય ત્યારે, તેની કિંમત શોધતી વખતે બધા સ્થાનોના નિયમોનો એક સાથે વિચાર કરવો જરૂરી છે.