GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 14 અવયવીકરણ Exercise 14.4

નીચેનાં ગાણિતિક વિધાનોમાંથી ભૂલ શોધો અને તેને સુધારોઃ

Question 1. \( 4 (x - 5) = 4x - 5 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે \( 4 \times -5 \) નો ગુણાકાર \( -20 \) થાય છે. સાચું વિધાન આ પ્રમાણે છે: \( 4 (x - 5) = 4x - 20 \). અહીં, \( 4 \) ને કૌંસમાં રહેલી બંને સંખ્યાઓ સાથે ગુણવું પડે.
In simple words: અહીં, \( 4 \) ને કૌંસમાં રહેલા \( x \) અને \( -5 \) બંને સાથે ગુણવામાં ભૂલ છે. સાચો જવાબ \( 4x - 20 \) હોવો જોઈએ, કારણ કે \( 4 \times -5 = -20 \).

Exam Tip: જ્યારે કોઈ સંખ્યા કૌંસની બહાર હોય, ત્યારે તેને કૌંસની અંદરની દરેક પદ સાથે ગુણવાનું યાદ રાખો. આને વિભાજનનો ગુણધર્મ કહેવાય છે.

Question 2. \( x (3x + 2) = 3x^2 + 2 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે \( x \) ને માત્ર \( 3x \) સાથે ગુણવામાં આવ્યો છે, પરંતુ \( 2 \) સાથે ગુણવાનું ભૂલી ગયા છે. \( x \times 2 = 2x \) થાય છે. સાચું વિધાન આ રીતે છે: \( x (3x + 2) = 3x^2 + 2x \).
In simple words: અહીં, \( x \) ને કૌંસમાં રહેલી દરેક સંખ્યા સાથે ગુણવાની જરૂર છે. \( x \) ને \( 2 \) સાથે ગુણતા \( 2x \) મળે, તેથી સાચું વિધાન \( 3x^2 + 2x \) છે.

Exam Tip: કૌંસ ખોલતી વખતે, બહારનું પદ કૌંસની અંદરના દરેક પદ સાથે ગુણાય છે. આ નિયમને અવગણશો નહીં.

Question 3. \( 2x + 3y = 5xy \)
Answer: ભૂલ એ છે કે \( 2x \) અને \( 3y \) એ વિજાતીય પદો છે, એટલે કે તેમના ચલ જુદા જુદા છે. વિજાતીય પદોનો સરવાળો કરી શકાતો નથી અને તેઓનો સરવાળો એનો એ જ રહે છે. સાચું વિધાન: \( 2x + 3y = 2x + 3y \).
In simple words: \( 2x \) અને \( 3y \) ને સીધા ઉમેરી શકાય નહીં, કારણ કે તેમના ચલ (આલ્ફાબેટ્સ) અલગ-અલગ છે. તેઓને તેમ જ રાખવા પડે છે.

Exam Tip: બીજગણિતમાં, માત્ર સજાતીય પદો (જેના ચલ અને ઘાત સમાન હોય) નો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.

Question 4. \( x + 2x + 3x = 6x \)
Answer: અહીં કોઈ ભૂલ નથી. \( x + 2x + 3x \) નો સરવાળો \( (1 + 2 + 3)x = 6x \) થાય છે. આ વિધાન સાચું છે, કારણ કે આ બધા સજાતીય પદો છે. સાચું વિધાન: \( x + 2x + 3x = 6x \).
In simple words: આ ગણિતની રજૂઆત એકદમ સાચી છે. જ્યારે સરખા પ્રકારના પદો હોય, ત્યારે આપણે તેમના સહગુણકોને (આગળના આંકડાને) સરળતાથી ઉમેરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: સજાતીય પદોને ઉમેરતી વખતે, ફક્ત તેમના સહગુણકોનો સરવાળો કરો અને ચલ તે જ રાખો.

Question 5. \( 5y + 2y + y - 7y = 0 \)
Answer: આ વિધાનમાં ગણતરીની ભૂલ છે. સાચું રૂપ \( (5 + 2 + 1 - 7)y = (8 - 7)y = y \) થાય છે. તેથી, સાચું વિધાન છે: \( 5y + 2y + y - 7y = y \).
In simple words: બધા \( y \) વાળા પદોને ભેગા કરતા, \( 5+2+1-7 \) કરવાથી \( 1 \) મળે છે, તેથી તેનો જવાબ \( y \) થાય, નહીં કે \( 0 \).

Exam Tip: સમાન ચલવાળા પદોનો સરવાળો કે બાદબાકી કરતી વખતે, તેમના સહગુણકોની કાળજીપૂર્વક ગણતરી કરો.

Question 6. \( 3x + 2x = 5x^2 \)
Answer: અહીં ઘાતમાં ભૂલ થઈ છે. \( 3x + 2x \) નું સાદું રૂપ \( (3 + 2)x = 5x \) થાય છે, \( 5x^2 \) નહીં. જ્યારે આપણે સજાતીય પદોનો સરવાળો કરીએ છીએ, ત્યારે ચલની ઘાત બદલાતી નથી. સાચું વિધાન: \( 3x + 2x = 5x \).
In simple words: સરખા પદોને ઉમેરતી વખતે, \( x \) ની ઉપરની ઘાત બદલાતી નથી, તે ફક્ત \( 5x \) જ રહે છે, \( 5x^2 \) નહીં.

Exam Tip: સજાતીય પદોના સરવાળા કે બાદબાકીમાં ચલની ઘાત અપરિવર્તિત રહે છે. ગુણાકારમાં જ ઘાતનો સરવાળો થાય છે.

Question 7. \( (2x)^2 + 4 (2x) + 7 = 2x^2 + 8x + 7 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે \( (2x)^2 \) ને \( 2x^2 \) તરીકે ખોટી રીતે લખવામાં આવ્યું છે. \( (2x)^2 = (2x \times 2x) = 4x^2 \) થાય છે. સાચું વિધાન: \( (2x)^2 + 4 (2x) + 7 = 4x^2 + 8x + 7 \).
In simple words: \( (2x)^2 \) એટલે \( 2x \) નો \( 2x \) સાથે ગુણાકાર કરવો. આનો જવાબ \( 4x^2 \) આવે, \( 2x^2 \) નહીં.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ પદ કૌંસમાં હોય અને તેની ઘાત હોય, ત્યારે ઘાત કૌંસની અંદરના દરેક અવયવને લાગુ પડે છે.

Question 8. \( (2x)^2 + 5x = 4x + 5x = 9x \)
Answer: ભૂલ એ છે કે \( (2x)^2 \) ને ખોટી રીતે ગણવામાં આવ્યું છે અને તેને અન્ય પદો સાથે ઉમેરવામાં પણ ભૂલ છે. \( (2x)^2 = (2x \times 2x) = 4x^2 \) થાય છે. સાચું વિધાન: \( (2x)^2 + 5x = 4x^2 + 5x \). અહીં, \( 4x^2 \) અને \( 5x \) વિજાતીય પદો હોવાથી તેમનો સરવાળો થઈ શકતો નથી.
In simple words: \( (2x)^2 \) નો જવાબ \( 4x^2 \) થાય. પછી \( 4x^2 \) અને \( 5x \) જુદા પ્રકારના પદો હોવાથી તેમને ભેગા કરી શકાતા નથી.

Exam Tip: હંમેશા યાદ રાખો કે ઘાતાંકને પહેલા ગણવામાં આવે છે અને પછી જ સજાતીય પદોનો સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.

Question 9. \( (3x + 2)^2 = 3x + 6x + 4 \)
Answer: અહીં વર્ગના વિસ્તરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં ભૂલ છે. \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) સૂત્ર મુજબ, \( (3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(2) + (2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 \) થાય. સાચું વિધાન: \( (3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 \).
In simple words: \( (3x+2)^2 \) એટલે પહેલા પદનો વર્ગ, વત્તા \( 2 \) ગુણ્યા બંને પદોનો ગુણાકાર, વત્તા બીજા પદનો વર્ગ. તેથી, \( 9x^2 + 12x + 4 \) સાચો જવાબ છે.

Exam Tip: દ્વિપદીના વર્ગનું વિસ્તરણ કરતી વખતે \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) અને \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) જેવા સૂત્રોને કાળજીપૂર્વક લાગુ કરો.

10. \( x = -3 \) લઈએ, તો

Question (a) \( x^2 + 5x + 4 \) એટલે \( (-3)^2 + 5(-3) + 4 = 9 + 2 + 4 = 15 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે \( 5(-3) \) ની ગણતરી ખોટી કરવામાં આવી છે. \( 5(-3) = -15 \) થાય. તેથી, સાચું વિધાન: \( x^2 + 5x + 4 \) માં \( x = -3 \) મૂકતાં, \( (-3)^2 + 5(-3) + 4 = 9 - 15 + 4 = -2 \).
In simple words: અહીં, \( 5 \) ને \( -3 \) વડે ગુણતા \( -15 \) મળે છે, \( +2 \) નહીં. તેથી, સાચો જવાબ \( -2 \) આવે.

Exam Tip: ઋણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર અને સરવાળો કરતી વખતે ચિહ્નો (ધન કે ઋણ) નું ખાસ ધ્યાન રાખો.

Question (b) \( x^2 - 5x + 4 \) એટલે \( (-3)^2 + 5(-3) + 4 = 9 - 15 + 4 = -2 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે \( -5(-3) \) ની ગણતરી ખોટી છે. \( -5(-3) = +15 \) થાય. તેમજ, પ્રશ્નમાં \( -5x \) છે, પણ જવાબમાં \( +5(-3) \) લખ્યું છે. સાચું વિધાન: \( x^2 - 5x + 4 \) માં \( x = -3 \) મૂકતાં, \( (-3)^2 - 5(-3) + 4 = 9 + 15 + 4 = 28 \).
In simple words: બે ઋણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા ધન સંખ્યા આપે છે. તેથી, \( -5 \) અને \( -3 \) નો ગુણાકાર \( +15 \) થાય.

Exam Tip: ઋણ સંખ્યાઓની ગણતરી કરતી વખતે, ખાસ કરીને ગુણાકારમાં, ચિહ્નોની ભૂલ ટાળવા માટે ધ્યાન આપવું ખૂબ જ જરૂરી છે.

Question (c) \( x^2 + 5x \) એટલે \( (-3)^2 + 5(-3) = -9 - 15 = -24 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે \( (-3)^2 \) નો વર્ગ ખોટી રીતે ગણવામાં આવ્યો છે. \( (-3)^2 = +9 \) થાય, કારણ કે ઋણ સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા ધન હોય છે. સાચું વિધાન: \( x^2 + 5x \) માં \( x = -3 \) મૂકતાં, \( (-3)^2 + 5(-3) = 9 - 15 = -6 \).
In simple words: \( -3 \) નો વર્ગ \( -9 \) નહીં, પણ \( +9 \) થાય છે. કારણ કે \( -3 \times -3 = +9 \).

Exam Tip: ઋણ પૂર્ણાંકનો વર્ગ હંમેશા ધન હોય છે. આ એક સામાન્ય ભૂલ છે જે ટાળવી જોઈએ.

Question 11. \( (y - 3)^2 = y^2 - 9 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે \( (y - 3)^2 \) નું વિસ્તરણ ખોટી રીતે થયું છે. યોગ્ય રીતે, \( (y - 3)^2 = (y)^2 - 2(y)(3) + (3)^2 = y^2 - 6y + 9 \) થાય. સાચું વિધાન: \( (y - 3)^2 = y^2 - 6y + 9 \).
In simple words: \( (a-b)^2 \) ના સૂત્ર પ્રમાણે, \( y-3 \) નો વર્ગ કરતા \( y^2 - 6y + 9 \) જવાબ મળે છે, માત્ર \( y^2 - 9 \) નહીં.

Exam Tip: \( (a-b)^2 \) ના સૂત્રમાં \( -2ab \) પદનો સમાવેશ કરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 12. \( (z + 5)^2 = z^2 + 25. \)
Answer: ભૂલ એ છે કે \( (z + 5)^2 \) નું વિસ્તરણ કરતી વખતે વચ્ચેનું પદ ( \( 2ab \) ) છોડી દેવામાં આવ્યું છે. સાચા વિસ્તરણ મુજબ, \( (z + 5)^2 = (z)^2 + 2(z)(5) + (5)^2 = z^2 + 10z + 25 \) થાય. સાચું વિધાન: \( (z + 5)^2 = z^2 + 10z + 25 \).
In simple words: \( (z+5)^2 \) નો જવાબ \( z^2 + 10z + 25 \) હોવો જોઈએ, કારણ કે વચ્ચે \( 2 \times z \times 5 = 10z \) પદ પણ આવે છે.

Exam Tip: દ્વિપદીના વર્ગનું વિસ્તરણ હંમેશા ત્રણ પદ આપે છે: પ્રથમ પદનો વર્ગ, બંને પદોના ગુણાકારના બમણા, અને બીજા પદનો વર્ગ.

Question 13. \( (2a + 3b) (a - b) = 2a^2 - 3b^2 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે કૌંસનો ગુણાકાર કરતી વખતે બધા પદોનો ગુણાકાર થયો નથી. સાચા ગુણાકાર મુજબ, \( (2a + 3b) (a - b) = 2a(a - b) + 3b(a - b) = 2a^2 - 2ab + 3ab - 3b^2 = 2a^2 + ab - 3b^2 \) થાય. સાચું વિધાન: \( (2a + 3b) (a - b) = 2a^2 + ab - 3b^2 \).
In simple words: કૌંસનો ગુણાકાર કરતી વખતે, દરેક પદને બીજા કૌંસના દરેક પદ સાથે ગુણવું પડે છે. તેથી \( ab \) પદ પણ આવવું જોઈએ.

Exam Tip: દ્વિપદીઓના ગુણાકાર માટે, પ્રત્યેક પદનો બીજા કૌંસના પ્રત્યેક પદ સાથે ગુણાકાર કરવો અને પછી સજાતીય પદોનો સરવાળો કરવો.

Question 14. \( (a + 4) (a + 2) = a^2 + 8 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે કૌંસનો ગુણાકાર કરતી વખતે વચ્ચેના પદોનો ગુણાકાર અવગણવામાં આવ્યો છે. સાચા ગુણાકાર મુજબ, \( (a + 4) (a + 2) = a(a + 2) + 4(a + 2) = a^2 + 2a + 4a + 8 = a^2 + 6a + 8 \) થાય. સાચું વિધાન: \( (a + 4) (a + 2) = a^2 + 6a + 8 \).
In simple words: જ્યારે બે કૌંસનો ગુણાકાર કરીએ, ત્યારે \( a \times 2 \) અને \( 4 \times a \) જેવા પદો પણ ઉમેરવા પડે.

Exam Tip: બે દ્વિપદીઓનો ગુણાકાર કરવા માટે FOIL (First, Outer, Inner, Last) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે જેથી કોઈ પદ છૂટી ન જાય.

Question 15. \( (a - 4)(a - 2) = a^2 - 8 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે કૌંસનો ગુણાકાર કરતી વખતે વચ્ચેના પદોનો ગુણાકાર અવગણવામાં આવ્યો છે. સાચા ગુણાકાર મુજબ, \( (a - 4)(a - 2) = a(a - 2) - 4(a - 2) = a^2 - 2a - 4a + 8 = a^2 - 6a + 8 \) થાય. સાચું વિધાન: \( (a - 4)(a - 2) = a^2 - 6a + 8 \).
In simple words: અહીં પણ \( a(-2) \) અને \( -4(a) \) જેવા પદોનો ગુણાકાર ભૂલી જવાથી જવાબ ખોટો આવ્યો છે. સાચો જવાબ \( a^2 - 6a + 8 \) છે.

Exam Tip: ઋણ ચિહ્નો સાથેના ગુણાકારમાં કાળજી રાખવી. \( (-4) \times (-2) \) ધન \( 8 \) આપે છે.

Question 16. \( \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}} = 0 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે સરખી સંખ્યાઓનો ભાગાકાર \( 1 \) આવે છે, \( 0 \) નહીં. જ્યારે તમે કોઈ સંખ્યાને તે જ સંખ્યા વડે ભાગો છો (શૂન્ય સિવાય), ત્યારે જવાબ હંમેશા \( 1 \) મળે છે. સાચું વિધાન: \( \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}} = 1 \).
In simple words: જો ઉપર અને નીચે સરખી રકમ હોય, તો ભાગાકારનો જવાબ હંમેશા \( 1 \) આવે છે. \( 0 \) નહિ.

Exam Tip: શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ સંખ્યાને તે જ સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે ભાગફળ હંમેશા \( 1 \) હોય છે. આ એક મૂળભૂત નિયમ છે.

Question 17. \( \frac{3 x^{2}+1}{3 x^{2}} = 1 + 1 = 2 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે આ પ્રકારનો ભાગાકાર સીધો કરી શકાતો નથી. અંશના દરેક પદને છેદના પદ વડે અલગથી ભાગવું પડે છે. સાચું વિધાન: \( \frac{3 x^{2}+1}{3 x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}} + \frac{1}{3 x^{2}} = 1 + \frac{1}{3 x^{2}} \).
In simple words: તમે ઉપરના \( 3x^2 \) ને નીચેના \( 3x^2 \) સાથે સીધા કાપી શકતા નથી, કારણ કે ઉપર \( +1 \) પણ છે. તેને અલગ-અલગ પદો તરીકે ભાગવું પડે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકમાં, જ્યારે અંશમાં બહુપદી હોય, ત્યારે છેદ અંશના દરેક પદ માટે લાગુ પડે છે, અને દરેક પદને અલગથી સાદું રૂપ આપવું જોઈએ.

Question 18. \( \frac{3 x}{3 x+2} = \frac {1}{2} \)
Answer: ભૂલ એ છે કે આ પદનું સાદું રૂપ આપી શકાતું નથી. તમે અંશ અને છેદમાંથી \( 3x \) ને રદ કરી શકતા નથી કારણ કે છેદમાં \( +2 \) પણ છે. સાચું વિધાન: \( \frac{3 x}{3 x+2}=\frac{3 x}{3 x+2} \). આને વધુ સરળ બનાવી શકાતું નથી.
In simple words: તમે ઉપરના \( 3x \) ને નીચેના \( 3x+2 \) માંથી કાપી કે રદ કરી શકતા નથી, કારણ કે નીચે \( +2 \) ઉમેરેલા છે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકમાં, તમે ફક્ત ગુણાકારના અવયવોને જ રદ કરી શકો છો, સરવાળા કે બાદબાકીના પદોને નહીં.

Question 19. \( \frac{3}{4 x+3}=\frac{1}{4 x} \)
Answer: ભૂલ એ છે કે આ પદનું સાદું રૂપ આપી શકાતું નથી. તમે \( 3 \) ને \( 3 \) વડે કે \( 4x \) ને \( 4x \) વડે રદ કરી શકતા નથી. સાચું વિધાન: \( \frac{3}{4 x+3}=\frac{3}{4 x+3} \). આને વધુ સરળ બનાવી શકાતું નથી.
In simple words: આ અપૂર્ણાંકને વધુ સરળ બનાવી શકાતો નથી. તમે \( 3 \) ને \( 4x+3 \) માંથી રદ કરી શકતા નથી.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકમાં, તમે ફક્ત ગુણાકારના અવયવોને જ રદ કરી શકો છો. જો પદો સરવાળા કે બાદબાકી દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો તમે તેમને રદ કરી શકતા નથી.

Question 20. \( \frac{4 x+5}{4 x} = 5 \)
Answer: ભૂલ એ છે કે અંશના દરેક પદને છેદના પદ વડે અલગથી ભાગવામાં આવ્યું નથી. અહીં, \( \frac{4 x+5}{4 x} = \frac{4 x}{4 x} + \frac{5}{4 x} = 1 + \frac{5}{4 x} \) થાય. સાચું વિધાન: \( \frac{4 x+5}{4 x} = 1 + \frac{5}{4 x} \).
In simple words: આ અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવતી વખતે, \( 4x \) ને \( 4x \) વડે ભાગો એટલે \( 1 \) મળે, અને \( 5 \) ને \( 4x \) વડે ભાગતા \( \frac{5}{4x} \) મળે. તેથી, સાચો જવાબ \( 1 + \frac{5}{4x} \) છે.

Exam Tip: અંશમાં રહેલા પદોને છેદમાં રહેલા પદ વડે અલગ-અલગ ભાગી શકાય છે, પરંતુ છેદમાં રહેલા પદોને અંશમાં રહેલા પદ વડે અલગ-અલગ ભાગી શકાતા નથી.

Question 21. \( \frac{7 x+5}{5} = 7x \)
Answer: ભૂલ એ છે કે અંશના દરેક પદને છેદના પદ વડે અલગથી ભાગવામાં આવ્યું નથી. અહીં, \( \frac{7 x+5}{5} = \frac{7 x}{5} + \frac{5}{5} = \frac{7 x}{5} + 1 \) થાય. સાચું વિધાન: \( \frac{7 x+5}{5}=\frac{7 x}{5} + 1 \).
In simple words: તમે ફક્ત \( 5 \) ને \( 5 \) વડે ભાગી શકો છો. \( 7x \) ને \( 5 \) વડે ભાગતા \( \frac{7x}{5} \) જ રહે. તેથી, સાચો જવાબ \( \frac{7x}{5} + 1 \) છે.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં એક જ પદ હોય, ત્યારે તેને અંશના દરેક પદના છેદમાં મૂકીને અલગ-અલગ સાદું રૂપ આપી શકાય છે.