GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 14 અવયવીકરણ Exercise 14.2

1. નીચેની પદાવલિઓના અવયવ મેળવો.

Question 1. (i) \(a^2 + 8a + 16\)
Answer:
\( = (a)^2 + 2(a)(4) + (4)^2 \)
\( = (a + 4)^2 \)
In simple words: અહીં, આપણે ત્રિપદીને પૂર્ણવર્ગ સ્વરૂપમાં બદલીએ છીએ. પ્રથમ પદનો વર્ગમૂળ \(a\) છે અને છેલ્લા પદનો વર્ગમૂળ \(4\) છે. મધ્યમ પદ \(2 \times a \times 4 = 8a\) હોવાથી, આ એક સંપૂર્ણ ચોરસ ત્રિપદી છે.

Exam Tip: પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદીને ઓળખવા માટે, પ્રથમ અને અંતિમ પદ પૂર્ણવર્ગ હોવા જોઈએ અને મધ્યમ પદ પ્રથમ અને અંતિમ પદના વર્ગમૂળના ગુણાકારના બમણા બરાબર હોવું જોઈએ.

Question 1. (ii) \(p^2 - 10p + 25\)
Answer:
\( = (p)^2 - 2(p)(5) + (5)^2 \)
\( = (p - 5)^2 \)
In simple words: આ પદાવલિને આપણે \((a-b)^2\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અવયવીકરણ કરી શકીએ છીએ. અહીં \(a=p\) અને \(b=5\) છે.

Exam Tip: જો મધ્યમ પદ ઋણ હોય, તો \((a-b)^2\) સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે. ખાતરી કરો કે બધા પદો યોગ્ય રીતે ગોઠવાયેલા છે.

Question 1. (iii) \(25m^2 + 30m + 9\)
Answer:
\( = (5m)^2 + 2(5m)(3) + (3)^2 \)
\( = (5m + 3)^2 \)
In simple words: અહીં, પ્રથમ પદ \((5m)^2\) અને અંતિમ પદ \((3)^2\) છે. મધ્યમ પદ \((2 \times 5m \times 3 = 30m)\) હોવાથી, આ એક સંપૂર્ણ ચોરસ ત્રિપદી છે જેને \((a+b)^2\) ના રૂપમાં લખી શકાય.

Exam Tip: જ્યારે પ્રથમ પદ ગુણાંક સાથે પૂર્ણવર્ગ હોય, ત્યારે ગુણાંક અને ચલ બંનેને કૌંસમાં રાખીને વર્ગ કરવો જોઈએ, જેમ કે \((5m)^2\).

Question 1. (iv) \(49y^2 + 84yz + 36z^2\)
Answer:
\( = (7y)^2 + 2(7y)(6z) + (6z)^2 \)
\( = (7y + 6z)^2 \)
In simple words: આ દાખલામાં, આપણે બે ચલવાળી પદાવલિનું અવયવીકરણ કરીએ છીએ. અહીં પણ \((a+b)^2\) નું સૂત્ર લાગુ પડે છે, જ્યાં \(a=7y\) અને \(b=6z\) છે.

Exam Tip: બે કે તેથી વધુ ચલવાળી પદાવલિઓમાં પણ પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદીના નિયમો સમાન જ રહે છે. યોગ્ય પદોને ઓળખવા પર ધ્યાન આપો.

Question 1. (v) \(4x^2 - 8x + 4\)
Answer:
\( = 4(x^2 - 2x + 1) \)
\( = 4[(x)^2 - 2(x)(1) + (1)^2] \)
\( = 4(x - 1)^2 \)
In simple words: પહેલાં, આપણે સામાન્ય અવયવ \(4\) ને બહાર કાઢીએ છીએ. પછી, કૌંસની અંદરની પદાવલિ \((x^2 - 2x + 1)\) એક સંપૂર્ણ ચોરસ ત્રિપદી બને છે, જેને \((x-1)^2\) તરીકે લખી શકાય છે.

Exam Tip: હંમેશા યાદ રાખો કે અવયવીકરણ શરૂ કરતા પહેલા સામાન્ય અવયવો (જો કોઈ હોય તો) બહાર કાઢવા. આનાથી ગણતરી સરળ બને છે.

Question 1. (vi) \(121b^2 - 88bc + 16c^2\)
Answer:
\( = (11b)^2 - 2(11b)(4c) + (4c)^2 \)
\( = (11b - 4c)^2 \)
In simple words: આ પદાવલિ \((a-b)^2\) સૂત્ર પ્રમાણે છે. \((11b)^2\) પ્રથમ પદ છે અને \((4c)^2\) છેલ્લું પદ છે. મધ્યમ પદ \((2 \times 11b \times 4c = 88bc)\) છે, જે સૂત્રને અનુસરે છે.

Exam Tip: મોટા ગુણાંકોવાળા પદોમાં, દરેક પદના વર્ગમૂળને યોગ્ય રીતે ઓળખવા અને સૂત્રમાં મૂકવા માટે કાળજી લો.

Question 1. (vii) \((l + m)^2 - 4lm\) [સૂચનઃ \((l + m)^2\)નું વિસ્તરણ કરો.]
Answer:
\( = l^2 + 2lm + m^2 - 4lm \)
\( = l^2 + (2lm - 4lm) + m^2 \)
\( = l^2 - 2lm + m^2 \)
\( = (l)^2 - 2(l)(m) + (m)^2 \)
\( = (l - m)^2 \)
In simple words: સૌ પ્રથમ, \((l+m)^2\) ને વિસ્તૃત કરો. પછી, સમાન પદોને ભેગા કરો. આનાથી આપણને \((l-m)^2\) નું સૂત્ર મળે છે.

Exam Tip: જો હિન્ટ આપેલી હોય તો તેનું પાલન કરો. \((a+b)^2\) અને \((a-b)^2\) ના વિસ્તરણ સૂત્રો યાદ રાખવાથી આવા દાખલા સરળ બને છે.

Question 1. (viii) \(a^4 + 2a^2b^2 + b^4\)
Answer:
\( = (a^2)^2 + 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2 \)
\( = (a^2 + b^2)^2 \)
In simple words: આ એક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે જ્યાં પ્રથમ પદ \(a^2\) અને છેલ્લું પદ \(b^2\) છે. તેથી, આપણે તેને \((a^2 + b^2)^2\) તરીકે લખી શકીએ છીએ.

Exam Tip: ઘાતાંકવાળા પદોમાં, ચલને એક પદ તરીકે ગણો. દાખલા તરીકે, \(a^4\) ને \((a^2)^2\) તરીકે કલ્પના કરો.

2. અવયય મેળવો:

Question 2. (i) \(4p^2 - 9q^2\)
Answer:
\( = (2p)^2 - (3q)^2 \)
\( = (2p - 3q) (2p + 3q) \)
In simple words: આ પદાવલિ \((a^2 - b^2)\) સ્વરૂપમાં છે, જેને \((a-b)(a+b)\) તરીકે અવયવીકરણ કરી શકાય છે. અહીં \(a=2p\) અને \(b=3q\) છે.

Exam Tip: બે પૂર્ણવર્ગના તફાવતનું સૂત્ર \((a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)\) અવયવીકરણ માટે ખૂબ ઉપયોગી છે અને તેને સારી રીતે યાદ રાખવું જોઈએ.

Question 2. (ii) \(63a^2 - 112b^2\)
Answer:
\( = 7(9a^2 - 16b^2) \)
\( = 7[(3a)^2 - (4b)^2] \)
\( = 7(3a - 4b)(3a + 4b) \)
In simple words: પ્રથમ, બંને પદોમાંથી સામાન્ય અવયવ \(7\) ને બહાર કાઢો. પછી, કૌંસની અંદરની પદાવલિ \((9a^2 - 16b^2)\) બે પૂર્ણવર્ગના તફાવતનું સૂત્ર બને છે, જેને \((3a-4b)(3a+4b)\) તરીકે વિભાજીત કરી શકાય.

Exam Tip: મોટા ગુણાંકોવાળા પદોમાં, હંમેશા પહેલા સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢવાનો પ્રયાસ કરો. આનાથી દાખલો વધુ સરળ બને છે અને ભૂલો થતી નથી.

Question 2. (iii) \(49x^2 - 36\)
Answer:
\( = (7x)^2 - (6)^2 \)
\( = (7x - 6) (7x + 6) \)
In simple words: અહીં, \((49x^2)\) એટલે \((7x)^2\) અને \((36)\) એટલે \((6)^2\). આ બે પૂર્ણવર્ગનો તફાવત છે, જેને \((a-b)(a+b)\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અવયવીકરણ કરી શકાય.

Exam Tip: જ્યારે એક પદ અચલ હોય, ત્યારે તેને પૂર્ણવર્ગ તરીકે ઓળખવા માટે સામાન્ય વર્ગમૂળ યાદ રાખો (દા.ત., \(36 = 6^2\)).

Question 2. (iv) \(16x^5 - 144x^3\)
Answer:
\( = 16x^3(x^2 - 9) \)
\( = 16x^3[(x)^2 - (3)^2] \)
\( = 16x^3(x - 3)(x + 3) \)
In simple words: પહેલાં, બંને પદોમાંથી \(16x^3\) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢીએ છીએ. પછી, કૌંસમાં રહેલી પદાવલિ \((x^2 - 9)\) એ બે પૂર્ણવર્ગના તફાવતનું સૂત્ર બને છે, જેને \((x-3)(x+3)\) તરીકે લખી શકાય.

Exam Tip: ચલના મોટા ઘાતાંક હોય ત્યારે, નાના ઘાતાંકવાળા ચલને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢો. ઉદાહરણ તરીકે, \(x^5\) અને \(x^3\) માંથી \(x^3\) ને બહાર કાઢી શકાય.

Question 2. (v) \((l + m)^2 - (l - m)^2\)
Answer:
\( = [(l + m) + (l - m)][(l + m) - (l - m)] \)
\( = [l + m + l - m][l + m - l + m] \)
\( = (2l)(2m) \)
\( = 4lm \)
In simple words: આ પદાવલિ બે પૂર્ણવર્ગના તફાવતના સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં પ્રથમ પદ \((l+m)\) અને બીજું પદ \((l-m)\) છે. તેને \((A-B)(A+B)\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અવયવીકરણ કરી શકાય.

Exam Tip: જ્યારે પદોમાં કૌંસનો સમાવેશ થતો હોય, ત્યારે કૌંસ ખોલતી વખતે ચિહ્નો (ખાસ કરીને ઋણ ચિહ્ન) બદલવા પર ધ્યાન આપો.

Question 2. (vi) \(9x^2y^2 - 16\)
Answer:
\( = (3xy)^2 - (4)^2 \)
\( = (3xy - 4) (3xy + 4) \)
In simple words: અહીં, \((9x^2y^2)\) ને \((3xy)^2\) તરીકે અને \((16)\) ને \((4)^2\) તરીકે લખી શકાય. આ બે પૂર્ણવર્ગનો તફાવત છે, જેને સરળતાથી અવયવીકરણ કરી શકાય.

Exam Tip: એકથી વધુ ચલવાળા પદોમાં, બધા ચલોને સાથે રાખીને પૂર્ણવર્ગ બનાવો, જેમ કે \((3xy)\).

Question 2. (vii) \((x^2 - 2xy + y^2) - z^2\)
Answer:
\( = (x - y)^2 - (z)^2 \)
\( = [(x - y) - z][(x - y) + z] \)
\( = (x - y - z)(x - y + z) \)
In simple words: પહેલાં, પ્રથમ ત્રણ પદો \((x^2 - 2xy + y^2)\) ને \((x-y)^2\) તરીકે અવયવીકરણ કરો. પછી, તે \((x-y)^2 - z^2\) બનશે, જે બે પૂર્ણવર્ગના તફાવતનું સૂત્ર છે.

Exam Tip: ક્યારેક પદાવલિના એક ભાગને પહેલાં અવયવીકરણ કરવાની જરૂર પડે છે, જેથી આખી પદાવલિ જાણીતા સૂત્રમાં ફિટ થાય.

Question 2. (viii) \(25a^2 - 4b^2 + 28bc - 49c^2\)
Answer:
\( = (25a^2) - (4b^2 - 28bc + 49c^2) \)
\( = (5a)^2 - [(2b)^2 - 2(2b)(7c) + (7c)^2] \)
\( = (5a)^2 - (2b - 7c)^2 \)
\( = [(5a) - (2b - 7c)][(5a) + (2b - 7c)] \)
\( = (5a - 2b + 7c)(5a + 2b - 7c) \)
In simple words: આ દાખલામાં, આપણે બીજા ત્રણ પદોને એકસાથે લઈએ છીએ અને તેમને સંપૂર્ણ ચોરસ ત્રિપદી \((2b-7c)^2\) માં બદલીએ છીએ. પછી, તે \((5a)^2 - (2b-7c)^2\) બને છે, જે બે પૂર્ણવર્ગનો તફાવત છે.

Exam Tip: જ્યારે પદોની સંખ્યા ચાર હોય, ત્યારે કેટલીકવાર ત્રણ પદોને ભેગા કરીને પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી બનાવવાની અને પછી બે પૂર્ણવર્ગના તફાવતનું સૂત્ર વાપરવાની યુક્તિ કામ આવે છે.

3. પદાવલિઓના અવયવ મેળવો:

Question 3. (i) \(ax^2 + bx\)
Answer:
\( = x(ax + b) \)
In simple words: અહીં, આપણે બંને પદોમાંથી સામાન્ય અવયવ \(x\) ને બહાર કાઢીએ છીએ.

Exam Tip: અવયવીકરણનું સૌથી મૂળભૂત પગલું એ છે કે પદાવલિમાં રહેલા તમામ સામાન્ય અવયવોને બહાર કાઢવા.

Question 3. (ii) \(7p^2 + 21q^2\)
Answer:
\( = 7(p^2 + 3q^2) \)
In simple words: બંને પદોમાંથી \(7\) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢવામાં આવે છે.

Exam Tip: સામાન્ય અવયવ કાઢતી વખતે, સંખ્યાત્મક ગુણાંકો અને ચલો બંનેનો વિચાર કરો.

Question 3. (iii) \(2x^2 + 2xy^2 + 2xz^2\)
Answer:
\( = 2x(x^2 + y^2 + z^2) \)
In simple words: આપેલા ત્રણેય પદોમાંથી \(2x\) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે ઘણા પદો હોય, ત્યારે દરેક પદમાંથી કયો સામાન્ય અવયવ બહાર નીકળી શકે તે ધ્યાનથી તપાસો.

Question 3. (iv) \(am^2 + bm^2 + bn^2 + an^2\)
Answer:
\( = am^2 + bm^2 + an^2 + bn^2 \)
\( = m^2(a + b) + n^2(a + b) \)
\( = (a + b)(m^2 + n^2) \)
In simple words: આ પદાવલિમાં ચાર પદો છે. આપણે પદોને જૂથ બનાવીને અવયવીકરણ કરીએ છીએ. પ્રથમ બે પદોમાંથી \(m^2\) અને છેલ્લા બે પદોમાંથી \(n^2\) ને બહાર કાઢીએ છીએ, પછી \((a+b)\) સામાન્ય મળે છે.

Exam Tip: જૂથ બનાવીને અવયવીકરણ કરતી વખતે, ખાતરી કરો કે કૌંસની અંદરના પદો સમાન રહે છે, જેથી તેને સામાન્ય અવયવ તરીકે લઈ શકાય.

Question 3. (v) \((lm + l) + (m + 1)\)
Answer:
\( = l(m + 1) + 1(m + 1) \)
\( = (m + 1)(l + 1) \)
In simple words: પહેલાં, પ્રથમ જૂથ \((lm+l)\) માંથી \(l\) ને સામાન્ય કાઢો, અને બીજા જૂથ \((m+1)\) માંથી \(1\) ને સામાન્ય કાઢો. પછી, \((m+1)\) સામાન્ય અવયવ તરીકે મળે છે.

Exam Tip: જો એક જૂથમાંથી કોઈ સ્પષ્ટ સામાન્ય અવયવ ન મળે, તો \(1\) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે ગણી શકાય.

Question 3. (vi) \(y(y + z) + 9(y + z)\)
Answer:
\( = (y + z)(y + 9) \)
In simple words: અહીં, \((y+z)\) એ બંને પદોમાં સામાન્ય અવયવ છે. તેને બહાર કાઢીને બાકીના પદોને બીજા કૌંસમાં મૂકીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે એક આખો કૌંસ સામાન્ય અવયવ તરીકે હોય, ત્યારે તેને બહાર કાઢીને બાકીના પદોને નવા કૌંસમાં મૂકો.

Question 3. (vii) \(5y^2 - 20y - 8z + 2yz\)
Answer:
\( = 5y^2 - 20y + 2yz - 8z \)
\( = 5y(y - 4) + 2z(y - 4) \)
\( = (y - 4)(5y + 2z) \)
In simple words: પદોને ફરીથી ગોઠવો જેથી જૂથ બનાવી શકાય. પછી, પ્રથમ બે પદોમાંથી \(5y\) અને છેલ્લા બે પદોમાંથી \(2z\) ને સામાન્ય કાઢીએ છીએ.

Exam Tip: જૂથ બનાવીને અવયવીકરણ કરતી વખતે, પદોનો ક્રમ બદલી શકાય છે જેથી સામાન્ય અવયવો સ્પષ્ટ થાય.

Question 3. (viii) \(10ab + 4a + 5b + 2\)
Answer:
\( = 2a(5b + 2) + 1(5b + 2) \)
\( = (5b + 2)(2a + 1) \)
In simple words: પ્રથમ બે પદોમાંથી \(2a\) ને સામાન્ય કાઢો, અને છેલ્લા બે પદોમાંથી \(1\) ને સામાન્ય કાઢો. પછી \((5b+2)\) સામાન્ય મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે પદોને જૂથમાં અવયવીકરણ કરો, ત્યારે ખાતરી કરો કે કૌંસની અંદરના પદો સમાન રહે છે. જો ન રહે, તો પદોના જૂથને ફરીથી ગોઠવવાનો પ્રયાસ કરો.

Question 3. (ix) \(6xy - 4y + 6 - 9x\)
Answer:
\( = 6xy - 4y - 9x + 6 \)
\( = 2y(3x - 2) - 3(3x - 2) \)
\( = (3x - 2)(2y - 3) \)
In simple words: પદોને યોગ્ય રીતે ગોઠવીએ છીએ. પછી, પ્રથમ બે પદોમાંથી \(2y\) અને છેલ્લા બે પદોમાંથી \(-3\) ને સામાન્ય કાઢીએ છીએ. આનાથી \((3x-2)\) સામાન્ય અવયવ તરીકે મળે છે.

Exam Tip: જૂથ બનાવીને અવયવીકરણ કરતી વખતે, ઋણ ચિહ્નને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢતી વખતે કૌંસની અંદરના ચિહ્નો બદલવાનું યાદ રાખો.

4. અવયય મેળવો:

Question 4. (i) \(a^4 - b^4\)
Answer:
\( = (a^2)^2 - (b^2)^2 \)
\( = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \)
\( = [(a)^2 - (b)^2](a^2 + b^2) \)
\( = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2) \)
In simple words: આ પદાવલિ બે પૂર્ણવર્ગના તફાવતના સ્વરૂપમાં છે, \((a^2)^2 - (b^2)^2\). તેને \((a^2-b^2)(a^2+b^2)\) તરીકે અવયવીકરણ કરી શકાય. પછી, \((a^2-b^2)\) ને ફરીથી \((a-b)(a+b)\) તરીકે અવયવીકરણ કરો.

Exam Tip: જ્યારે ઘાતાંક \(4\) હોય, ત્યારે તેને \((X^2)^2\) તરીકે લખીને બે પૂર્ણવર્ગના તફાવતનું સૂત્ર બે વાર લાગુ પાડી શકાય છે.

Question 4. (ii) \(p^4 - 81\)
Answer:
\( = (p^2)^2 - (9)^2 \)
\( = (p^2 - 9)(p^2 + 9) \)
\( = [(p)^2 - (3)^2](p^2 + 9) \)
\( = (p - 3)(p + 3)(p^2 + 9) \)
In simple words: આપણે \((p^4)\) ને \((p^2)^2\) અને \((81)\) ને \((9)^2\) તરીકે લખીને શરૂ કરીએ છીએ. આનાથી \((p^2-9)(p^2+9)\) મળે છે. પછી, \((p^2-9)\) ને ફરીથી \((p-3)(p+3)\) તરીકે અવયવીકરણ કરીએ છીએ.

Exam Tip: \((p^2 + 9)\) જેવા સરવાળાવાળા પૂર્ણવર્ગ પદોને વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં વધુ અવયવીકરણ કરી શકાતા નથી.

Question 4. (iii) \(x^4 - (y + z)^4\)
Answer:
\( = (x^2)^2 - [(y + z)^2]^2 \)
\( = [x^2 - (y + z)^2][x^2 + (y + z)^2] \)
\( = [x - (y + z)][x + (y + z)][x^2 + (y + z)^2] \)
\( = (x - y - z)(x + y + z)[x^2 + (y + z)^2] \)
In simple words: આને \((A^2 - B^2)\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અવયવીકરણ કરીએ, જ્યાં \(A=x^2\) અને \(B=(y+z)^2\) છે. પછી, \((x^2-(y+z)^2)\) ને ફરીથી \((x-(y+z))(x+(y+z))\) તરીકે અવયવીકરણ કરો.

Exam Tip: જ્યારે એક પદ કૌંસમાં હોય, ત્યારે તેને એક જ એકમ તરીકે ગણો અને સૂત્રો લાગુ પાડો.

Question 4. (iv) \(x^4 - (x - z)^4\)
Answer:
\( = (x^2)^2 - [(x - z)^2]^2 \)
\( = [x^2 - (x - z)^2][x^2 + (x - z)^2] \)
\( = [x - (x - z)][x + (x - z)][x^2 + (x^2 - 2xz + z^2)] \)
\( = [x - x + z][x + x - z][x^2 + x^2 - 2xz + z^2] \)
\( = (z)(2x - z)(2x^2 - 2xz + z^2) \)
In simple words: આ પદાવલિને બે પૂર્ણવર્ગના તફાવત તરીકે અવયવીકરણ કરીએ છીએ. પ્રથમ, \((x^2)^2 - [(x-z)^2]^2\) માં વિભાજીત કરો. પછી, \((x^2 - (x-z)^2)\) ને ફરીથી \((x-(x-z))(x+(x-z))\) તરીકે અવયવીકરણ કરો.

Exam Tip: લાંબી પદાવલિઓમાં, દરેક પગલું સ્પષ્ટ રીતે લખો અને કૌંસ ખોલતી વખતે ચિહ્નોની કાળજી રાખો.

Question 4. (v) \(a^4 - 2a^2b^2 + b^4\)
Answer:
\( = (a^2)^2 - 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2 \)
\( = (a^2 - b^2)^2 \)
\( = [(a - b)(a + b)]^2 \)
\( = (a - b)^2 (a + b)^2 \)
In simple words: આ પદાવલિ એક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી \((a^2 - b^2)^2\) છે. પછી, \((a^2-b^2)\) ને \((a-b)(a+b)\) તરીકે અવયવીકરણ કરો અને સમગ્રનો વર્ગ કરો.

Exam Tip: જો આખો કૌંસ વર્ગ હોય, તો કૌંસની અંદરના દરેક અવયવનો વર્ગ થાય છે.

5. નીચેની પદાવલિના અવયવ મેળવો:

Question 5. (i) \(p^2 + 6p + 8\)
Answer:
\( = p^2 + 6p + 9 - 1 \)
\( = (p^2 + 6p + 9) - (1) \)
\( = (p + 3)^2 - (1)^2 \)
\( = (p + 3 + 1)(p + 3 - 1) \)
\( = (p + 4)(p + 2) \)
In simple words: આ ત્રિપદીને અવયવીકરણ કરવા માટે, આપણે મધ્યમ પદને એવી રીતે વિભાજીત કરીએ છીએ કે તેનો ગુણાકાર અંતિમ પદ બરાબર થાય અને સરવાળો મધ્યમ પદ બરાબર થાય. અહીં, \(8\) ને \(4 \times 2\) અને \(6\) ને \(4+2\) તરીકે લખી શકાય.

Exam Tip: મધ્યમ પદને વિભાજીત કરવાની પદ્ધતિમાં, બે સંખ્યાઓ શોધો જેમનો ગુણાકાર છેલ્લા પદ જેટલો હોય અને સરવાળો મધ્યમ પદના ગુણાંક જેટલો હોય.

Question 5. (ii) \(q^2 - 10q + 21\)
Answer:
\( = q^2 - 10q + 25 - 4 \)
\( = (q^2 - 10q + 25) - (4) \)
\( = (q - 5)^2 - (2)^2 \)
\( = (q - 5 + 2)(q - 5 - 2) \)
\( = (q - 3)(q - 7) \)
In simple words: અહીં, આપણે \((21)\) ને \((-7) \times (-3)\) તરીકે અને \((-10)\) ને \((-7) + (-3)\) તરીકે લખી શકીએ છીએ. આનાથી અવયવો \((q-3)(q-7)\) મળે છે.

Exam Tip: જો અંતિમ પદ ધન હોય અને મધ્યમ પદ ઋણ હોય, તો બંને વિભાજીત સંખ્યાઓ ઋણ હશે.

Question 5. (iii) \(p^2 + 6p - 16\)
Answer:
\( = p^2 + 6p + 9 - 25 \)
\( = (p^2 + 6p + 9) - (25) \)
\( = (p + 3)^2 - (5)^2 \)
\( = (p + 3 + 5)(p + 3 - 5) \)
\( = (p + 8)(p - 2) \)
In simple words: આપણે \((-16)\) ને \((8) \times (-2)\) તરીકે અને \((6)\) ને \((8) + (-2)\) તરીકે લખી શકીએ છીએ. આથી, અવયવો \((p+8)(p-2)\) મળે છે.

Exam Tip: જો અંતિમ પદ ઋણ હોય, તો બે વિભાજીત સંખ્યાઓમાંથી એક ધન અને બીજી ઋણ હશે. મોટી સંખ્યાનું ચિહ્ન મધ્યમ પદના ચિહ્ન જેવું હશે.