GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 14 અવયવીકરણ Exercise 14.1

Gujarat Board Textbook Solutions Chapter 14 અવયવીકરણ Ex 14.1

Question 1. આપેલાં પદોમાં સામાન્ય અવયવ મેળવોઃ
(i) 12x, 36
Answer:
(i) 12x, 36
\( 12x = 2 \times 2 \times 3 \times x \)
\( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
\( \therefore \) 12x અને 36ના સામાન્ય અવયવ \( = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
In simple words: સામાન્ય અવયવો શોધવા માટે, પહેલાં દરેક પદને તેના નાનામાં નાના ભાગો (અવિભાજ્ય અવયવો) માં વિભાજીત કરો. પછી, દરેક પદમાં દેખાતા બધા સામાન્ય ભાગો શોધો. આ સામાન્ય ભાગોને ગુણાકાર કરવાથી સામાન્ય અવયવ મળે છે.

Exam Tip: કોઈપણ સામાન્ય અવયવને ચૂકી ન જવા માટે, દરેક પદના અવિભાજ્ય અવયવોને સ્પષ્ટપણે લખો.

Question 1. (ii) 2y, 22xy
Answer:
(ii) 2y, 22xy
\( 2y = 2 \times y \)
\( 22xy = 2 \times 11 \times x \times y \)
\( \therefore \) 2y અને 22xyના સામાન્ય અવયવ \( = 2 \times y = 2y \)
In simple words: પહેલાં દરેક પદના ગુણાકારના ભાગો અલગ કરો. પછી, બંને પદોમાં જે ભાગો સરખા હોય, તેમને શોધો અને ગુણાકાર કરો.

Exam Tip: જ્યારે ચલ (variable) અને સંખ્યા બંને સામાન્ય હોય, ત્યારે બંનેને અવયવ તરીકે શામેલ કરો.

Question 1. (iii) 14pq, 28p\(^{2}\)q\(^{2}\)
Answer:
(iii) 14pq, 28p\(^{2}\)q\(^{2}\)
\( 14pq = 2 \times 7 \times p \times q \)
\( 28p^{2}q^{2} = 2 \times 2 \times 7 \times p \times p \times q \times q \)
\( \therefore \) 14pq અને 28p\(^{2}\)q\(^{2}\) ના સામાન્ય અવયવ \( = 2 \times 7 \times p \times q = 14pq \)
In simple words: દરેક પદના અવિભાજ્ય અવયવોને વિભાજીત કરો. પછી, બંને પદોમાં સામાન્ય હોય તેવા તમામ અવયવો (સંખ્યાઓ અને ચલ) ને ગુણાકાર કરો.

Exam Tip: ચલના ઘાતાંકમાં (power) સૌથી નાની ઘાતવાળા ચલને સામાન્ય અવયવ તરીકે લો.

Question 1. (iv) 2x, 3x\(^{2}\), 4
Answer:
(iv) 2x, 3x\(^{2}\), 4
\( 2x = 2 \times x \)
\( 3x^{2} = 3 \times x \times x \)
\( 4 = 2 \times 2 \)
\( \therefore \) 2x, 3x\(^{2}\) અને 4નો સામાન્ય અવયવ \( = 1 \)
(નોંધ: 1 એ તમામ પદોનો સામાન્ય અવયવ છે.)
In simple words: જો પદોમાં કોઈ સંખ્યાત્મક અથવા ચલવાળા સામાન્ય અવયવો ન હોય, તો 1 ને હંમેશા સામાન્ય અવયવ માનવામાં આવે છે.

Exam Tip: જો કોઈ પણ પદમાં કોઈ દૃશ્યમાન સામાન્ય અવયવ ન હોય, તો હંમેશા 1 ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લખો.

Question 1. (v) 6abc, 24ab\(^{2}\), 12a\(^{2}\)b
Answer:
(v) 6abc, 24ab\(^{2}\), 12a\(^{2}\)b
\( 6abc = 2 \times 3 \times a \times b \times c \)
\( 24ab^{2} = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times a \times b \times b \)
\( 12a^{2}b = 2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b \)
\( \therefore \) 6abc, 24ab\(^{2}\) અને 12a\(^{2}\)b ના સામાન્ય અવયવ \( = 2 \times 3 \times a \times b = 6ab \)
In simple words: બધા પદોને તેમના નાનામાં નાના ભાગોમાં વિભાજીત કરો. પછી, તે બધા ભાગો શોધો જે દરેક પદમાં હાજર હોય. આ સામાન્ય ભાગોને એકસાથે ગુણાકાર કરો.

Exam Tip: ત્રણ કે તેથી વધુ પદોમાં સામાન્ય અવયવ શોધતી વખતે, દરેક પદમાં સામાન્ય હોય તેવા ચલ અને સંખ્યાઓને કાળજીપૂર્વક પસંદ કરો.

Question 1. (vi) 16x\(^{3}\), – 4x\(^{2}\), 32x
Answer:
(vi) 16x\(^{3}\), – 4x\(^{2}\), 32x
\( 16x^{3} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times x \times x \times x \)
\( -4x^{2} = - 2 \times 2 \times x \times x \)
\( 32x = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times x \)
\( \therefore \) 16x\(^{3}\), – 4x\(^{2}\) અને 32xના સામાન્ય અવયવ \( = 2 \times 2 \times x = 4x \)
In simple words: દરેક પદના અવયવોને અલગ-અલગ કરો, જેમાં સંખ્યા અને ચલ બંનેનો સમાવેશ થાય છે. પછી, દરેક પદમાં દેખાતા સામાન્ય અવયવોને એકસાથે ગુણાકાર કરો.

Exam Tip: જો કોઈ પદ નકારાત્મક હોય, તો તેની નકારાત્મક નિશાનીને અવયવોમાં શામેલ કરો, પરંતુ સામાન્ય અવયવ શોધતી વખતે માત્ર સકારાત્મક સામાન્ય અવયવો પર ધ્યાન આપો.

Question 1. (vii) 10pq, 20qr, 30rp
Answer:
(vii) 10pq, 20qr, 30rp
\( 10pq = 2 \times 5 \times p \times q \)
\( 20qr = 2 \times 2 \times 5 \times q \times r \)
\( 30rp = 2 \times 3 \times 5 \times r \times p \)
\( \therefore \) 10pq, 20qr અને 30rp ના સામાન્ય અવયવ \( = 2 \times 5 = 10 \)
In simple words: દરેક પદના અવિભાજ્ય અવયવોને શોધો. પછી, તે સંખ્યાઓ અને ચલોને ઓળખો જે દરેક પદમાં સામાન્ય હોય, અને તેમને ગુણાકાર કરો.

Exam Tip: ત્રણેય પદોમાં સામાન્ય હોય તેવા જ અવયવોને સામાન્ય અવયવ તરીકે ગણો.

Question 1. (viii) 3x\(^{2}\)y\(^{3}\), 10x\(^{3}\)y\(^{2}\), 6x\(^{2}\)y\(^{2}\)z
Answer:
(viii) 3x\(^{2}\)y\(^{3}\), 10x\(^{3}\)y\(^{2}\), 6x\(^{2}\)y\(^{2}\)z
\( 3x^{2}y^{3} = 3 \times x \times x \times y \times y \times y \)
\( 10x^{3}y^{2} = 2 \times 5 \times x \times x \times x \times y \times y \)
\( 6x^{2}y^{2}z = 2 \times 3 \times x \times x \times y \times y \times z \)
\( \therefore \) 3x\(^{2}\)y\(^{3}\), 10x\(^{3}\)y\(^{2}\) અને 6x\(^{2}\)y\(^{2}\)z ના સામાન્ય અવયવ \( = x \times x \times y \times y = x^{2}y^{2} \)
In simple words: દરેક પદના અવયવોને જુદા પાડો. પછી, બધા પદોમાં જે સંખ્યાઓ અને ચલ સૌથી ઓછી ઘાત સાથે સામાન્ય હોય, તેમને એકસાથે ગુણાકાર કરો.

Exam Tip: બહુપદીઓમાં સામાન્ય અવયવ શોધતી વખતે, દરેક ચલની સૌથી નાની ઘાતને સામાન્ય અવયવ તરીકે પસંદ કરો.

Question 2. આપેલી પદાવલિઓના અવયવ મેળવોઃ
(i) 7x – 42
Answer:
(i) 7x – 42
\( 7x = 7 \times x \)
\( 42 = 2 \times 3 \times 7 \)
\( \therefore \) બંને પદોમાં 7 સામાન્ય છે.
\( \implies 7x – 42 = 7 (x – 6) \)
In simple words: પદાવલિમાંથી સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢો. અહીં, 7 બંને પદોમાં છે, તેથી તેને કૌંસની બહાર મૂકી શકાય છે.

Exam Tip: પદાવલિઓના અવયવ પાડતી વખતે, હંમેશા સામાન્ય અવયવ શોધીને તેને કૌંસની બહાર કાઢવાનો પ્રયાસ કરો.

Question 2. (ii) 6p - 12q
Answer:
(ii) 6p - 12q
\( 6p = 2 \times 3 \times p \)
\( 12q = 2 \times 2 \times 3 \times q \)
\( \therefore \) બંને પદોમાં \( 2 \times 3 = 6 \) સામાન્ય છે.
\( \implies 6p - 12q = 6 (p - 2q) \)
In simple words: બંને પદોમાંથી 6 ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢો, કારણ કે 6 એ 6p અને 12q બંનેનો ભાગાકાર કરી શકે છે.

Exam Tip: જો પદાવલિમાં બાદબાકીની નિશાની હોય, તો સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતી વખતે નિશાનીનું ધ્યાન રાખો.

Question 2. (iii) 7a\(^{2}\) + 14a
Answer:
(iii) 7a\(^{2}\) + 14a
\( 7a^{2} = 7 \times a \times a \)
\( 14a = 2 \times 7 \times a \)
\( \therefore \) બંને પદોમાં \( 7 \times a = 7a \) સામાન્ય છે.
\( \implies 7a^{2} + 14a = 7a (a + 2) \)
In simple words: 7a એ બંને પદોનો સામાન્ય અવયવ છે. તેને બહાર કાઢવાથી બાકીના પદો કૌંસમાં રહે છે.

Exam Tip: ચલના ઘાતાંકમાં નાની ઘાતને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેવાનું યાદ રાખો.

Question 2. (iv) - 16z + 20z\(^{3}\)
Answer:
(iv) - 16z + 20z\(^{3}\)
\( -16z = - 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times z \)
\( 20z^{3} = 2 \times 2 \times 5 \times z \times z \times z \)
\( \therefore \) બંને પદોમાં \( 2 \times 2 \times z = 4z \) સામાન્ય છે.
\( \implies - 16z + 20z^{3} = 4z (-4 + 5z^{2}) \)
In simple words: સંખ્યાઓ અને ચલ બંનેમાં સામાન્ય અવયવો શોધો. અહીં, 4z સામાન્ય અવયવ છે. તેને બહાર કાઢીને બાકીના પદોને કૌંસમાં લખો.

Exam Tip: જ્યારે નકારાત્મક પદ હોય, ત્યારે તમે નકારાત્મક સામાન્ય અવયવ પણ બહાર કાઢી શકો છો, પરંતુ સકારાત્મક અવયવ બહાર કાઢવો વધુ સામાન્ય છે.

Question 2. (v) 20l\(^{2}\)m + 30alm
Answer:
(v) 20l\(^{2}\)m + 30alm
\( 20l^{2}m = 2 \times 2 \times 5 \times l \times l \times m \)
\( 30alm = 2 \times 3 \times 5 \times a \times l \times m \)
\( \implies 20l^{2}m + 30alm = 10lm (2l + 3a) \)
In simple words: બંને પદોમાંથી સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ 10lm છે. તેને બહાર કાઢ્યા પછી બાકીના પદો કૌંસમાં રહે છે.

Exam Tip: ચલ અને સંખ્યા બંનેના સામાન્ય અવયવોને કાળજીપૂર્વક ઓળખો અને તેમને એકસાથે બહાર કાઢો.

Question 2. (vi) 5x\(^{2}\)y - 15xy\(^{2}\)
Answer:
(vi) 5x\(^{2}\)y - 15xy\(^{2}\)
\( 5x^{2}y = 5 \times x \times x \times y \)
\( 15xy^{2} = 3 \times 5 \times x \times y \times y \)
\( \implies 5x^{2}y - 15xy^{2} = 5xy (x - 3y) \)
In simple words: 5xy એ બંને પદોનો સામાન્ય અવયવ છે. તેને બહાર કાઢીને બાકીના પદોને કૌંસમાં લખો.

Exam Tip: જ્યારે બે પદો વચ્ચે બાદબાકી હોય, ત્યારે સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢ્યા પછી અંદરના પદોની નિશાનીઓ તપાસો.

Question 2. (vii) 100a\(^{2}\) - 15b\(^{2}\) + 20c\(^{2}\)
Answer:
(vii) 100a\(^{2}\) - 15b\(^{2}\) + 20c\(^{2}\)
\( 100a^{2} = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times a \times a \)
\( 15b^{2} = 3 \times 5 \times b \times b \)
\( 20c^{2} = 2 \times 2 \times 5 \times c \times c \)
\( \implies 100a^{2} - 15b^{2} + 20c^{2} = 5 (20a^{2} - 3b^{2} + 4c^{2}) \)
In simple words: ત્રણેય પદોમાંથી 5 ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢો. બાકીના પદો કૌંસમાં રહેશે.

Exam Tip: જ્યારે ત્રણ કે તેથી વધુ પદો હોય, ત્યારે બધા પદોમાં સામાન્ય હોય તેવા અવયવો જ બહાર કાઢી શકાય છે.

Question 2. (viii) - 4a\(^{2}\) + 4ab - 4ca
Answer:
(viii) - 4a\(^{2}\) + 4ab - 4ca
\( -4a^{2} = -4 \times a \times a \)
\( 4ab = 4 \times a \times b \)
\( -4ca = -4 \times c \times a \)
\( \implies - 4a^{2} + 4ab - 4ca = 4a (-a + b - c) \)
In simple words: 4a એ ત્રણેય પદોનો સામાન્ય અવયવ છે. તેને બહાર કાઢ્યા પછી બાકીના પદોને કૌંસમાં યોગ્ય નિશાનીઓ સાથે લખો.

Exam Tip: નકારાત્મક પદમાંથી સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતી વખતે, કૌંસની અંદરના પદની નિશાની બદલાય છે.

Question 3. અવયવ મેળવો:
(i) x\(^{2}\) + xy + 8x + 8y
Answer:
(i) x\(^{2}\) + xy + 8x + 8y
\( = x (x + y) + 8 (x + y) \)
\( = (x + y) (x + 8) \)
In simple words: આ પદાવલિને બે-બે પદોના જૂથમાં વિભાજીત કરો. દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢો. પછી, તમને એક સામાન્ય કૌંસ મળશે, જેને ફરીથી બહાર કાઢો.

Exam Tip: જૂથ બનાવીને અવયવ પાડતી વખતે, બંને જૂથમાંથી સમાન કૌંસ મળે તે સુનિશ્ચિત કરો.

Question 3. (ii) 15xy - 6x + 5y - 2
Answer:
(ii) 15xy - 6x + 5y - 2
\( = 3x (5y – 2) + 1 (5y – 2) \)
\( = (5y – 2) (3x + 1) \)
In simple words: પ્રથમ બે પદોમાંથી 3x અને પછીના બે પદોમાંથી 1 ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢો. પછી, સામાન્ય કૌંસ (5y – 2) ને ફરીથી બહાર કાઢો.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ દેખીતો સામાન્ય અવયવ ન હોય ત્યારે 1 ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેવાનું યાદ રાખો.

Question 3. (iii) ax + bx – ay – by
Answer:
(iii) ax + bx – ay – by
\( = x (a + b) – y (a + b) \)
\( = (a + b) (x - y) \)
In simple words: પ્રથમ બે પદોમાંથી x અને પછીના બે પદોમાંથી -y ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢો. પછી, સામાન્ય કૌંસ (a + b) ને ફરીથી બહાર કાઢો.

Exam Tip: નકારાત્મક નિશાનીવાળા પદોમાંથી સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતી વખતે, કૌંસની અંદરના પદોની નિશાનીઓ બદલાય છે.

Question 3. (iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
Answer:
(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
\( = 15pq + 9q + 25p + 15 \)
\( = 3q (5p + 3) + 5 (5p + 3) \)
\( = (5p + 3) (3q + 5) \)
In simple words: પદોને યોગ્ય રીતે ગોઠવો જેથી જૂથ બનાવવાનું સરળ બને. પછી, પ્રથમ બે પદોમાંથી 3q અને પછીના બે પદોમાંથી 5 ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢો. અંતે, સામાન્ય કૌંસ (5p + 3) ને બહાર કાઢો.

Exam Tip: જૂથ બનાવવા માટે પદોની ગોઠવણી મહત્વપૂર્ણ છે; જો એક ગોઠવણી કામ ન કરે, તો બીજી ગોઠવણીનો પ્રયાસ કરો.

Question 3. (v) z-7 + 7xy – xyz
Answer:
(v) z-7 + 7xy – xyz
\( = z – 7 – xyz + 7xy \)
\( = 1(z – 7) – xy (z – 7) \)
\( = (z – 7) (1 – xy) \)
In simple words: પદોને ફરીથી ગોઠવો. પ્રથમ બે પદોમાંથી 1 અને પછીના બે પદોમાંથી -xy ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢો. પછી, સામાન્ય કૌંસ (z – 7) ને બહાર કાઢો.

Exam Tip: પદોને ફરીથી ગોઠવીને અને યોગ્ય સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢીને જટિલ પદાવલિઓને સરળતાથી અવયવીકૃત કરી શકાય છે.