GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 13 સમપ્રમાણ અને વ્યસ્ત પ્રમાણ Exercise 13.2

 

Question 1. નીચેનામાંથી કયાં વિધાનો વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે?
પ્રશ્ન (i) કોઈ એક કામમાં કારીગરોની સંખ્યા અને કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય.
Answer: જો કારીગરોની સંખ્યા વધે છે, તો કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય ઘટે છે. તેથી, આ વિધાન વ્યસ્ત પ્રમાણ દર્શાવે છે.
In simple words: More workers mean less time to finish a job. Less time means more workers. This is an inverse relationship.

Exam Tip: Remember that in inverse proportion, as one quantity increases, the other quantity decreases, and vice-versa.

 

Question 1.
પ્રશ્ન (ii) યાત્રા કરવા માટેનો કુલ સમય અને અચળ ઝડપથી કાપેલું અંતર.
Answer: અહીં ઝડપ સ્થિર છે. તેથી, મુસાફરી કરવા માટેનો કુલ સમય કાપેલા અંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે. આ વિધાન વ્યસ્ત પ્રમાણ દર્શાવતું નથી.
In simple words: If speed stays the same, more distance means more travel time. This is a direct relationship, not inverse.

Exam Tip: Direct proportion means both quantities increase or decrease together, while inverse proportion means one increases as the other decreases.

 

Question 1.
પ્રશ્ન (iii) ત્રફળ અને તેમાંથી લીધેલ પાકનો જથ્થો.
Answer: જો ખેતરનું ક્ષેત્રફળ વધુ હોય, તો તેમાંથી લીધેલો પાક પણ વધુ હોય છે. જો ક્ષેત્રફળ ઓછું હોય, તો લીધેલો પાક ઓછો હોય છે. આથી, આ સમપ્રમાણ દર્શાવે છે. તેથી, આ વિધાન વ્યસ્ત પ્રમાણ દર્શાવતું નથી.
In simple words: Bigger farm fields generally give more crops. Smaller fields give fewer crops. This is a direct relationship, not inverse.

Exam Tip: Understand the difference: a larger area producing more crop is direct, whereas more workers reducing work time is inverse.

 

Question 1.
પ્રશ્ન (iv) એક નિશ્ચિત યાત્રા માટે લાગતો સમય અને વાહનની ઝડપ.
Answer: અહીં જો વાહનની ઝડપ વધારવામાં આવે, તો તે યાત્રા પૂર્ણ કરવામાં લાગતો સમય ઘટે. તેથી, આ વિધાન વ્યસ્ત પ્રમાણ દર્શાવે છે.
In simple words: Driving faster makes your trip shorter. Driving slower makes it longer. This is an inverse relationship.

Exam Tip: For distance, time, and speed problems, time and speed are inversely proportional when distance is constant.

 

Question 1.
પ્રશ્ન (v) કોઈ એક દેશની કુલ જનસંખ્યા અને વ્યક્તિ દીઠ જમીનનું ક્ષેત્રફળ.
Answer: જો જનસંખ્યા વધે, તો વ્યક્તિ દીઠ જમીનનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે. તેવી જ રીતે, જો જનસંખ્યા ઘટે, તો વ્યક્તિ દીઠ જમીનનું ક્ષેત્રફળ વધે છે. તેથી, આ વિધાન વ્યસ્ત પ્રમાણ દર્શાવે છે.
In simple words: More people mean less land for each person. Fewer people mean more land for each person. This is an inverse relationship.

Exam Tip: Population density is a good example of inverse proportion: more people in the same area means less space per person.

 

Question 2. એક ટેલિવિઝન ગેમ શો (game show)માં પુરસ્કારની રકમ \( Rs. 1,00,000 \) દરેક વિજેતાને સરખા ભાગે વહેંચવામાં આવે છે. નીચે દર્શાવેલા કોષ્ટકને પૂર્ણ કરો અને જણાવો કે કોઈ એક વ્યક્તિગત વિજેતાને મળેલી પુરસ્કારની રકમ કુલ વિજેતાઓની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં છે કે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે?
Answer: અહીં જણાય છે કે જેમ વિજેતાઓની સંખ્યા વધે છે, તેમ દરેકને મળતી પુરસ્કારની રકમ ઘટે છે. આથી, આ વિગત વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
\( x_1y_1 = x_2y_2 = x_3y_3 = x_4y_4 = \dots \)
\( \therefore 1 \times 100000 = 4 \times x_1 \)
\( x_1 = \frac{1 \times 100000}{4} = 25000 \)
\( \therefore 1 \times 100000 = 5 \times x_2 \)
\( x_2 = \frac{1 \times 100000}{5} = 20000 \)
\( \therefore 1 \times 100000 = 8 \times x_3 \)
\( x_3 = \frac{1 \times 100000}{8} = 12500 \)
\( \therefore 1 \times 100000 = 10 \times x_4 \)
\( x_4 = \frac{1 \times 100000}{10} = 10000 \)
\( \therefore 1 \times 100000 = 20 \times x_5 \)
\( x_5 = \frac{1 \times 100000}{20} = 5000 \)
હવે, કોષ્ટક નીચે પ્રમાણે થાય:

In simple words: As more winners share the prize money, each person gets a smaller amount. This shows that the prize money per winner is inversely proportional to the number of winners.

Exam Tip: When the product of two quantities remains constant (like total prize money), they are in inverse proportion.

 

Question 3. રહેમાન, એક પૈડામાં આરા (Spokes) લગાવે છે. આ માટે તે સમાન લંબાઈના આરાનો ઉપયોગ કરે છે. હવે તે આરા એવી રીતે લગાવે છે કે જેથી બે ક્રમિક આરા વચ્ચે બનતો ખૂણો સમાન હોય. હવે તેને નીચે આપેલ કોષ્ટક પૂર્ણ કરીને મદદ કરો:
Answer:

પ્રશ્ન (i) શું આરાની સંખ્યા અને બે ક્રમિક આરા વચ્ચે બનતો ખૂણો પરસ્પર વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે?
Answer: કોષ્ટક પરથી જોતાં જણાય છે કે જો આરાની સંખ્યા વધે છે, તો બે ક્રમિક આરા વચ્ચે બનતો ખૂણો ઘટે છે. આમ, અહીં વ્યસ્ત પ્રમાણ છે. ચાલો તેની ચકાસણી કરીએ:
અહીં \( x_1 = 4, y_1 = 90 \) અને \( x_2 = 6, y_2 = 60 \)
\( x_1y_1 = 4 \times 90 = 360 \)
અને \( x_2y_2 = 6 \times 60 = 360 \)
હા, આમ, \( x_1y_1 = x_2y_2 \) થતું હોવાથી, અહીં વ્યસ્ત પ્રમાણ ચોક્કસ છે.
In simple words: Yes, as you add more spokes to a wheel, the space (angle) between each pair of spokes gets smaller. This is an inverse relationship, confirmed by multiplying the number of spokes by the angle, which always gives the same total angle \( 360^\circ \).

Exam Tip: For problems involving angles around a central point, the total angle is always \( 360^\circ \). The number of segments (spokes) and the angle of each segment are inversely proportional.

 

Question 3.
પ્રશ્ન (ii) 15 આરાવાળા એક પૈડામાં બે ક્રમિક આરાની જોડ વચ્ચે બનતા ખૂણાનું માપ શોધો.
Answer: ચાલો 15 આરાવાળા એક પૈડામાં બે ક્રમિક આરાની જોડ વચ્ચે બનતા ખૂણાનું માપ શોધીએ. ધારો કે, તે ખૂણાનું માપ \( x^\circ \) છે.
\( \therefore 15 \times x^\circ = 4 \times 90^\circ \)
\( \therefore x^\circ = \frac{4 \times 90^\circ}{15} \)
\( \therefore x^\circ = 24^\circ \)
આમ, તે ખૂણાનું માપ \( 24^\circ \) હોય.
In simple words: We know the total angle in a circle is \( 360^\circ \). If there are 15 spokes, just divide \( 360^\circ \) by 15 to find the angle between each pair of spokes, which is \( 24^\circ \).

Exam Tip: For inverse proportion, \( x_1y_1 = x_2y_2 \). Here, \( x \) is the number of spokes and \( y \) is the angle between them. The product always equals \( 360^\circ \).

 

Question 3.
પ્રશ્ન (iii) બે ક્રમિક આરાની જોડ વચ્ચે બનતા ખૂણાનું માપ \( 40^\circ \) છે, તો આરાની સંખ્યા શોધો.
Answer: ચાલો બે ક્રમિક આરાની જોડ વચ્ચે બનતા ખૂણાનું માપ \( 40^\circ \) હોય, તો આરાની સંખ્યા શોધીએ. ધારો કે, તે આરાની સંખ્યા \( n \) છે.
\( \therefore n \times 40^\circ = 4 \times 90^\circ \)
\( \therefore n = \frac{4 \times 90^\circ}{40^\circ} \)
\( \therefore n = 9 \)
આમ, તે આરાની સંખ્યા 9 હોય.
In simple words: If the angle between spokes is \( 40^\circ \), and a full circle is \( 360^\circ \), then dividing \( 360^\circ \) by \( 40^\circ \) gives you 9 spokes.

Exam Tip: When given the angle between spokes, divide \( 360^\circ \) by that angle to find the number of spokes (if they are equally spaced).

 

Question 4. ડબામાં રહેલી મીઠાઈને 24 બાળકો વચ્ચે વહેંચતાં પ્રત્યેક બાળકને મીઠાઈના 5 ટુકડા મળે છે. હવે જો બાળકોની સંખ્યામાં 4નો ઘટાડો થાય, તો પ્રત્યેક બાળકને કેટલી મીઠાઈ મળશે?
Answer: ડબામાં રહેલી મીઠાઈને 24 બાળકો વચ્ચે વહેચવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક બાળકને મીઠાઈના 5 ટુકડા પ્રાપ્ત થાય છે.
અહીં બાળકોની સંખ્યા \( x_1 = 24 \) અને દરેકને મળતા મીઠાઈના ટુકડા \( y_1 = 5 \).
હવે, બાળકોની સંખ્યામાં 4નો ઘટાડો થાય છે.
આથી, નવી બાળકોની સંખ્યા \( x_2 = 24 – 4 = 20 \).
હવે, દરેક બાળકને કેટલા મીઠાઈના ટુકડા મળશે \( y_2 = ? \).
બાળકોની સંખ્યા ઘટે તેમ દરેક બાળકને મળતી મીઠાઈના ટુકડાની સંખ્યા વધે.
તેથી, અહીં વ્યસ્ત પ્રમાણ છે.
\( x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \)
\( \therefore 24 \times 5 = 20 \times y_2 \)
\( \therefore y_2 = \frac{24 \times 5}{20} \)
\( \therefore y_2 = 6 \)
આમ, દરેક બાળકને મીઠાઈના 6 ટુકડા મળશે.
In simple words: When fewer kids share the same amount of sweets, each child gets more. If 24 kids get 5 sweets each, then 20 kids will get 6 sweets each because there's an inverse relationship.

Exam Tip: In distribution problems, if the total quantity is fixed, the number of recipients and the quantity each receives are inversely proportional.

 

Question 5. એક ખેડૂત પાસે 20 પશુઓને 6 દિવસ સુધી ખવડાવી શકાય તેટલો ઘાસચારો છે. હવે જો તેની પાસે 10 પશુઓ વધારે આવે, તો આ ઘાસચારો કેટલા દિવસ ચાલશે?
Answer: ખેડૂત પાસે હાલમાં પશુઓની સંખ્યા \( x_1 = 20 \) છે, અને ઘાસચારો \( y_1 = 6 \) દિવસ ચાલે છે.
હવે, ખેડૂત પાસે 10 પશુઓ વધારે આવે છે.
\( \therefore \) ખેડૂત પાસે પશુઓની કુલ સંખ્યા \( x_2 = 20 + 10 = 30 \).
હવે, ઘાસચારો કેટલા દિવસ ચાલશે તે શોધવાનું છે \( y_2 = ? \).
પશુઓની સંખ્યા જેમ વધે છે, તેમ ઘાસચારો ચાલવાના દિવસો ઘટે છે.
તેથી, અહીં વ્યસ્ત પ્રમાણ છે.
\( x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \)
\( \therefore 20 \times 6 = 30 \times y_2 \)
\( \therefore y_2 = \frac{20 \times 6}{30} \)
\( \therefore y_2 = 4 \)
આમ, પશુઓને ઘાસચારો 4 દિવસ ચાલશે.
In simple words: If you have more animals to feed with the same amount of food, the food will run out faster. So, 30 animals will eat the same amount of fodder in 4 days that 20 animals would eat in 6 days.

Exam Tip: Problems involving a fixed amount of resources (like fodder) and a changing number of consumers are typically examples of inverse proportion.

 

Question 6. એક ઠેકેદાર અંદાજ મૂકે છે કે જશમિંદરના ઘરે ફરીથી વીજતાર લગાવવાનું કામ 3 વ્યક્તિ, 4 દિવસમાં પૂરું કરી શકે છે. હવે જો તે 3ના બદલે 4 વ્યક્તિને આ કામ પર લગાવે તો આ કામ કેટલા દિવસમાં પૂરું થાય?
Answer: વીજતાર લગાવવા માટે આવનાર વ્યક્તિઓની સંખ્યા \( x_1 = 3 \) અને કામ પૂરું કરતાં લાગતા દિવસો \( y_1 = 4 \).
હવે, કામ કરવા માટે 4 વ્યક્તિઓ લગાવાય છે. એટલે કે, 1 વ્યક્તિ કામ પર વધુ આવે છે.
કામ કરનાર વ્યક્તિઓની સંખ્યા \( x_2 = 4 \).
કામ પૂરું કરવા લાગતા દિવસો \( y_2 = ? \).
કામ કરનાર વ્યક્તિઓની સંખ્યા વધે, તેમ કામ પૂરું થવાના દિવસો ઘટે.
અહીં વ્યસ્ત પ્રમાણ છે.
\( x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \)
\( \therefore 3 \times 4 = 4 \times y_2 \)
\( \therefore y_2 = \frac{3 \times 4}{4} \)
\( \therefore y_2 = 3 \)
આમ, કામ 3 દિવસમાં પૂરું થાય.
In simple words: If more people work on a project, it gets finished faster. So, 4 workers will finish the wiring job in 3 days, which 3 workers would have finished in 4 days.

Exam Tip: For work-related problems with a constant amount of work, the number of workers and the time taken are inversely proportional.

 

Question 7. એક જથ્થામાં રહેલી શીશીઓને, 1 બૉક્સમાં 12 શીશીઓ હોય તેવાં 25 બૉક્સમાં રાખવામાં આવેલ છે. હવે જો આ જથ્થાની શીશીઓને એવી રીતે રાખવામાં આવે કે જેથી પ્રત્યેક બૉક્સમાં 20 શીશીઓ હોય, તો આવાં કેટલાં બૉક્સ ભરાશે?
Answer: 1 બૉક્સમાં ભરાતી શીશીઓની સંખ્યા \( x_1 = 12 \) અને આવાં ભરવામાં આવતાં બૉક્સની સંખ્યા \( y_1 = 25 \).
હવે, બૉક્સમાં ભરવામાં આવતી શીશીઓની સંખ્યા \( x_2 = 20 \).
તો કેટલા બૉક્સ ભરી શકાશે \( y_2 = ? \).
બૉક્સમાં જેમ શીશીઓ વધુ ભરીએ, તેમ જરૂરી બૉક્સની સંખ્યા ઘટે.
અહીં વ્યસ્ત પ્રમાણ છે.
\( x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \)
\( \therefore 12 \times 25 = 20 \times y_2 \)
\( \therefore y_2 = \frac{12 \times 25}{20} \)
\( \therefore y_2 = 15 \)
આમ, આવાં 15 બૉક્સ ભરાશે.
In simple words: If you pack more bottles into each box, you'll need fewer boxes overall. Since 25 boxes hold 12 bottles each, you'll need only 15 boxes if you pack 20 bottles in each.

Exam Tip: Calculate the total number of items first (bottles in this case) and then use that total to find the unknown quantity.

 

Question 8. નિશ્ચિત સંખ્યાની વસ્તુઓ 63 દિવસમાં બનાવવા 42 યંત્રોની જરૂર પડે છે. આ જ સંખ્યાની વસ્તુઓ 54 દિવસમાં બનાવવા કેટલાં યંત્રો જોઈએ?
Answer: નિશ્ચિત સંખ્યાની વસ્તુઓ બનાવવા માટે જરૂરી યંત્રો \( x_1 = 42 \) છે અને કામ પૂરું કરતાં લાગતા દિવસો \( y_1 = 63 \).
હવે, આ જ સંખ્યાની વસ્તુઓ 54 દિવસમાં બનાવવાની છે. એટલે કે, \( y_2 = 54 \).
તે માટે કેટલાં યંત્રો જોઈએ તે શોધવાનું છે \( x_2 = ? \).
દિવસોની સંખ્યા ઘટે છે તેમ વધુ યંત્રોની જરૂર પડશે.
અહીં વ્યસ્ત પ્રમાણ છે.
\( x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \)
\( \therefore 42 \times 63 = x_2 \times 54 \)
\( \therefore x_2 = \frac{42 \times 63}{54} \)
\( \therefore x_2 = 49 \)
આમ, 49 યંત્રો જોઈશે.
In simple words: To finish a job faster, you need more machines. If 42 machines take 63 days, then to finish the same job in 54 days, you will need 49 machines.

Exam Tip: In production problems, the number of machines and the time taken to produce a fixed quantity are inversely proportional.

 

Question 9. એક કારને 60 કિમી / કલાકની ઝડપથી કોઈ એક સ્થાન પર પહોંચવા માટે 2 કલાકનો સમય લાગે છે. હવે જો કારની ઝડપ 80 કિમી / કલાક હોય, તો કેટલો સમય લાગશે?
Answer: કારની અગાઉની ઝડપ \( x_1 = 60 \) કિમી / કલાક છે અને ચોક્કસ સ્થળે પહોંચવા માટે લાગતો સમય \( y_1 = 2 \) કલાક છે.
હવે, જો કારની ઝડપ \( x_2 = 80 \) કિમી / કલાક કરવામાં આવે છે, તો નિશ્ચિત સ્થળે પહોંચવામાં કેટલો સમય લાગશે \( y_2 = ? \).
કારની ઝડપ વધારવામાં આવે, તેમ નિશ્ચિત સ્થળે પહોંચવામાં સમય ઓછો લાગે છે.
અહીં વ્યસ્ત પ્રમાણ છે.
\( x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \)
\( \therefore 60 \times 2 = 80 \times y_2 \)
\( \therefore y_2 = \frac{60 \times 2}{80} \)
\( \therefore y_2 = \frac{3}{2} \)
\( \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \) કલાક.
આમ, કારને \( 1\frac{1}{2} \) કલાક લાગશે.
In simple words: Traveling faster means you'll arrive sooner. If a car goes at 60 km/h and takes 2 hours, it will only take \( 1\frac{1}{2} \) hours if it speeds up to 80 km/h.

Exam Tip: When the distance is constant, speed and time are always inversely proportional. Remember to express fractional hours clearly, like \( 1\frac{1}{2} \) hours.

 

Question 10. એક ધરમાં નવી બારીઓ લગાવવા માટે 2 વ્યક્તિઓને 3 દિવસ લાગે છે.
પ્રશ્ન (i) કાર્યની શરૂઆતમાં જ એક વ્યક્તિ બીમાર પડે, તો કાર્ય પૂરું કરવામાં કેટલો સમય લાગશે?
Answer: નવી બારીઓ લગાવવા આવનાર માણસોની સંખ્યા \( x_1 = 2 \), તેમને લાગતા દિવસો \( y_1 = 3 \).
હવે, 1 વ્યક્તિ બીમાર પડે છે.
કામ કરવા આવનાર વ્યક્તિઓની સંખ્યા \( x_2 = 2 - 1 = 1 \).
તેમને કામ પૂરું કરવા કેટલા દિવસો લાગશે \( y_2 = ? \).
અહીં કામ કરવા આવનાર વ્યક્તિઓની સંખ્યા ઘટે, તેમ કામ પૂરું કરવા લાગતા દિવસો વધે.
અહીં વ્યસ્ત પ્રમાણ છે.
\( x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \)
\( \therefore 2 \times 3 = 1 \times y_2 \)
\( \therefore y_2 = \frac{2 \times 3}{1} \)
\( \therefore y_2 = 6 \)
આમ, કામ પૂરું કરવામાં 6 દિવસ લાગશે.
In simple words: If fewer people are available to work, the job will take longer. With one worker instead of two, the window installation will take 6 days instead of 3.

Exam Tip: Always identify the constant quantity (total work in this case) to determine if it's a direct or inverse proportion.

 

Question 10.
પ્રશ્ન (ii) એક જ દિવસમાં બારીઓ લગાવવા કેટલી વ્યક્તિઓની જરૂર પડશે?
Answer: ઉપરની વિગત પરથી, આપણને ખબર છે કે \( x_1 \times y_1 = 2 \times 3 = 6 \).
હવે, કામ 1 દિવસમાં પૂરું કરવું છે.
\( \therefore y_2 = 1 \), અને આપણે \( x_2 = ? \) શોધવાનું છે.
\( x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \)
\( \therefore 2 \times 3 = x_2 \times 1 \)
\( \therefore x_2 = \frac{2 \times 3}{1} \)
\( \therefore x_2 = 6 \)
આમ, 1 દિવસમાં કામ પૂરું કરવા 6 વ્યક્તિઓની જરૂર પડશે.
In simple words: To finish the work in a single day, you would need 6 people working, since 2 people take 3 days (total of 6 "person-days").

Exam Tip: The total "person-days" (number of persons × number of days) for a fixed task remains constant in inverse proportion problems.

 

Question 11. કોઈ એક શાળામાં 45 મિનિટનો એક એવા 8 તાસ છે. હવે જો શાળામાં 9 તાસ કરવા હોય, તો દરેક તાસનો સમય કેટલો રાખવો પડે? (અહીં, શાળાનો સમય સમાન રહે છે તેવું માનવું.)
Answer: શાળાનો કુલ સમય નિશ્ચિત (સમાન) છે.
શાળામાં દિવસના તાસ \( x_1 = 8 \) છે અને દરેક તાસનો સમય \( y_1 = 45 \) મિનિટ છે.
હવે, જો શાળામાં દિવસના તાસ \( x_2 = 9 \) કરાય, તો દરેક તાસનો સમય કેટલો રાખવો પડે \( y_2 = ? \).
અહીં તાસની સંખ્યા વધે, તો દરેક તાસ માટેનો સમય ઘટે.
તેથી, અહીં વ્યસ્ત પ્રમાણ છે.
\( x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \)
\( \therefore 8 \times 45 = 9 \times y_2 \)
\( \therefore y_2 = \frac{8 \times 45}{9} \)
\( \therefore y_2 = 40 \)
આમ, દરેક તાસનો સમય 40 મિનિટ રાખવો પડે.
In simple words: If the total school time is fixed and you want to have more classes, each class must be shorter. So, if 8 classes are 45 minutes long, 9 classes will need to be 40 minutes each.

Exam Tip: When the total duration is constant, the number of events (periods) and the duration of each event are inversely proportional.