GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 13 સમપ્રમાણ અને વ્યસ્ત પ્રમાણ Exercise 13.1

 

Question 1. એક રેલવે-સ્ટેશન પર કાર પાર્કિંગનો દર નીચે પ્રમાણે છે :
4 કલાક Rs. 60
12 કલાક Rs. 140
8 કલાક Rs. 100
24 કલાક Rs. 180
ઉપરોક્ત પાર્કિંગના દર તેમને અનુરૂપ સમય સાથે સમપ્રમાણમાં છે કે નહીં તે ચકાસો.
Answer: અહીં પાર્કિંગનો દર અને અનુરૂપ સમયનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે છે:

અહીં ગુણોત્તર \( \frac{15}{1} \neq \frac{25}{2} \neq \frac{35}{3} \neq \frac{15}{2} \) છે. તેથી, જુદા જુદા સમય માટે પાર્કિંગનો દર અને અનુરૂપ પાર્કિંગના સમયનો ગુણોત્તર એકસરખો નથી. ના, આ રીતે, પાર્કિંગનો દર તેમને અનુરૂપ સમય સાથે સમપ્રમાણમાં નથી.
In simple words: પાર્કિંગના સમય અને દરનો ગુણોત્તર દરેક કિસ્સામાં અલગ-અલગ આવે છે. તેથી, પાર્કિંગનો દર સમય સાથે સીધા પ્રમાણમાં નથી.

Exam Tip: To check for direct proportionality, always calculate the ratio of the two quantities for each pair. If all ratios are equal, it's direct proportion.

 

Question 2. એક રંગના મૂળ મિશ્રણના 8 ભાગમાં, 1 ભાગ લાલ રંગ મેળવીને મિશ્રણ તૈયાર કરેલ છે. નીચેના કોષ્ટકમાં મૂળ મિશ્રણનો ભાગ શોધોઃ

Answer: અહીં રંગનું મૂળ મિશ્રણ મેળવવાનું પ્રમાણ સીધું પ્રમાણ છે તે સ્પષ્ટ થાય છે.
અહીં રંગનું મૂળ મિશ્રણ મેળવવાનું પ્રમાણ સીધું પ્રમાણ છે તે સ્પષ્ટ છે.
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \frac{x_3}{y_3} = \frac{x_4}{y_4} = \frac{x_5}{y_5} \)
હવે, ઉપરના કોષ્ટકમાં જણાવ્યા મુજબ \( x_1 = 1 \) અને \( y_1 = 8 \) છે.
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{1}{8} \)
\( \frac{x_2}{y_2} = \frac{4}{y_2} \implies \frac{4}{y_2} = \frac{1}{8} \implies y_2 = 4 \times 8 \implies y_2 = 32 \)
\( \frac{x_3}{y_3} = \frac{7}{y_3} \implies \frac{7}{y_3} = \frac{1}{8} \implies y_3 = 7 \times 8 \implies y_3 = 56 \)
\( \frac{x_4}{y_4} = \frac{12}{y_4} \implies \frac{12}{y_4} = \frac{1}{8} \implies y_4 = 12 \times 8 \implies y_4 = 96 \)
\( \frac{x_5}{y_5} = \frac{20}{y_5} \implies \frac{20}{y_5} = \frac{1}{8} \implies y_5 = 20 \times 8 \implies y_5 = 160 \)
આમ, મૂળ મિશ્રણ નીચે પ્રમાણે થાય છે:
In simple words: રંગનું મિશ્રણ સીધા પ્રમાણમાં થાય છે. જો 1 ભાગ લાલ રંગ માટે 8 ભાગ મૂળ મિશ્રણ હોય, તો લાલ રંગના દરેક ભાગ માટે મૂળ મિશ્રણ 8 ગણું રાખવું પડે.

Exam Tip: In direct proportion problems, the ratio of the two quantities (x/y) remains constant. Use this constant ratio to find unknown values.

 

Question 3. પ્રશ્ન 2 માં, જો લાલ રંગના પદાર્થના 1 ભાગ માટે 75 મિલિ મૂળ મિશ્રણ જોઈએ, તો 1800 મિલિ મૂળ મિશ્રણમાં કેટલા ભાગનો લાલ રંગનો પદાર્થ જોઈશે?
Answer: પ્રશ્ન 2 મુજબ જોતાં -
અહીં \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 75 \), \( x_2 = ? \) અને \( y_2 = 1800 \)
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)
\( \implies \frac{1}{75} = \frac{x_2}{1800} \)
\( \implies x_2 = \frac{1 \times 1800}{75} \)
\( \implies x_2 = 24 \)
આમ, 24 ભાગનો લાલ રંગનો પદાર્થ જોઈશે.
In simple words: જો 1 ભાગ લાલ રંગ માટે 75 મિલિ મૂળ મિશ્રણ વપરાય, તો 1800 મિલિ મૂળ મિશ્રણ માટે કેટલો લાલ રંગ જોઈશે તે શોધવા માટે સીધા પ્રમાણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે 24 ભાગ આવે છે.

Exam Tip: Clearly identify the two proportional quantities and their given values (x1, y1) and the unknown (x2 or y2) before setting up the ratio equation.

 

Question 4. ઠંડાં પીણાં બનાવતી એક ફેક્ટરીમાં, એક યંત્ર 6 કલાકમાં 840 બૉટલ ભરે છે, તો આ યંત્ર 5 કલાકમાં કેટલી બૉટલ ભરશે?
Answer: ધારો કે, 5 કલાકમાં મશીન દ્વારા x બૉટલ ઠંડું પીણું ભરાય છે.

અહીં રકમ પરથી સ્પષ્ટ છે કે જેમ સમય વધે છે તેમ ઠંડાં પીણાંની બૉટલ વધુ ભરાય છે અને જેમ સમય ઘટે છે તેમ ઠંડાં પીણાની બૉટલ ઓછી ભરાય છે. એટલે કે અહીં સીધું પ્રમાણ છે.
અહીં \( x_1 = 6 \), \( y_1 = 840 \), \( x_2 = 5 \) અને \( y_2 = ? \)
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)
\( \implies \frac{6}{840} = \frac{5}{y_2} \)
\( \implies y_2 = \frac{5 \times 840}{6} \)
\( \implies y_2 = 700 \)
આમ, આ યંત્ર 700 બોટલ ઠંડું પીણું ભરશે.
In simple words: જેમ-જેમ સમય વધે તેમ-તેમ યંત્ર વધારે બોટલ ભરે છે. તેથી, આ સીધા પ્રમાણનો દાખલો છે. 6 કલાકમાં 840 બોટલ ભરાય તો, 5 કલાકમાં 700 બોટલ ભરાય.

Exam Tip: Recognize direct proportion when both quantities increase or decrease together. The ratio \( \frac{x}{y} \) remains constant.

 

Question 5. એક જીવાણુ (bacteria)ના ચિત્રને 50,000 ગણું મોટું કરતા તેની લંબાઈ 5 સેમી થાય છે. જે આકૃતિમાં બતાવેલ છે, તો આ જીવાણુની વાસ્તવિક લંબાઈ કેટલી હશે? હવે જો ચિત્રને 20,000 ગણું કરવામાં આવે તો તેની લંબાઈ શોધો.
Answer: બેક્ટરિયાના ચિત્રને જેટલું મોટું કરીએ તેટલી તેની લંબાઈ વધે છે. એટલે અહીં સીધું પ્રમાણ છે.
(i) જીવાણુની વાસ્તવિક લંબાઈ શોધવી:

\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)
\( \implies \frac{50000}{5} = \frac{1}{y_2} \)
\( \implies y_2 = \frac{1 \times 5}{50000} \)
\( \implies y_2 = \frac{1}{10000} \)
\( \implies y_2 = 10^{-4} \)
આમ, આ જીવાણુની વાસ્તવિક લંબાઈ \( 10^{-4} \) સેમી હશે.
(ii) ચિત્રને 20,000 ગણું મોટું કરવામાં આવે ત્યારે તેની લંબાઈ શોધવી:
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)
\( \implies \frac{50000}{5} = \frac{20000}{y_2} \)
\( \implies y_2 = \frac{20000 \times 5}{50000} \)
\( \implies y_2 = 2 \)
આમ, બૅક્ટરિયાની લંબાઈ 2 સેમી હોય.
In simple words: બૅક્ટરિયાનું ચિત્ર જેટલું મોટું કરીએ, તેની લંબાઈ પણ તેટલી જ વધે છે. પહેલા, 50,000 ગણા મોટો કરવાથી 5 સેમી લંબાઈ હોય તો તેની અસલી લંબાઈ \( 10^{-4} \) સેમી થાય. પછી, 20,000 ગણા મોટો કરવાથી તેની લંબાઈ 2 સેમી બને છે.

Exam Tip: For problems with multiple magnification levels, remember that the actual size is constant. Use the given magnified length and magnification factor to find the real size first, then apply that to other magnification levels.

 

Question 6. એક વહાણની પ્રતિકૃતિમાં તેના કૂવાતંભની ઊંચાઈ 9 સેમી છે અને વાસ્તવિક વહાણમાં તેની ઊંચાઈ 12 મીટર છે. હવે જો વહાણની વાસ્તવિક લંબાઈ 28 મીટર હોય, તો તેની પ્રતિકૃતિની લંબાઈ શોધો.
Answer: અહીં રકમ મુજબ સ્પષ્ટ છે કે વહાણની લંબાઈ અને વાસ્તંભની ઊંચાઈ સીધા પ્રમાણમાં છે.
નોંધ: પ્રતિકૃતિ એટલે ચિત્ર.

અહીં \( x_1 = 28 \), \( y_1 = 12 \), \( x_2 = ? \) અને \( y_2 = 9 \)
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)
\( \implies \frac{28}{12} = \frac{x_2}{9} \)
\( \implies x_2 = \frac{28 \times 9}{12} \)
\( \implies x_2 = 21 \)
આમ, પ્રતિકૃતિમાં કૂવાસ્તંભની ઊંચાઈ 21 સેમી છે.
In simple words: જો એક મોટા વહાણના કૂવાતંભની લંબાઈ 12 મીટર હોય અને તેના નાના મોડેલ (પ્રતિકૃતિ) માં તે 9 સેમી હોય, તો આપણે આ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને વહાણની 28 મીટર લંબાઈવાળા મોડેલની લંબાઈ 21 સેમી શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: Ensure units are consistent (e.g., convert meters to centimeters) or convert the final answer to the required unit.

 

Question 7. જો 2 કિગ્રા ખાંડમાં રહેલા સ્ફટિકોની સંખ્યા \( 9 \times 10^6 \) છે, તો નીચે દર્શાવેલ જથ્થામાં કેટલા સ્ફટિકો હશે?
(i) 5 કિગ્રા
Answer: અહીં ખાંડનું વજન વધે તેમ ખાંડના સ્ફટિકોની સંખ્યા પણ વધે છે. એટલે કે અહીં સીધું પ્રમાણ છે.

અહીં \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 9 \times 10^6 \), \( x_2 = 5 \), \( y_2 = ? \)
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)
\( \implies \frac{2}{9 \times 10^6} = \frac{5}{y_2} \)
\( \implies y_2 = \frac{5 \times 9 \times 10^6}{2} \)
\( \implies y_2 = 22.5 \times 10^6 \)
\( \implies y_2 = 2.25 \times 10^7 \)
આમ, 5 કિગ્રા ખાંડમાં \( 2.25 \times 10^7 \) ખાંડના સ્ફટિકો હોય.
(ii) 1.2 કિગ્રા
ખાંડનું વજન અહીંઅહીં \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 9 \times 10^6 \), \( x_2 = 1.2 \), \( y_2 = ? \)
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)
\( \implies \frac{2}{9 \times 10^6} = \frac{1.2}{y_2} \)
\( \implies y_2 = \frac{1.2 \times 9 \times 10^6}{2} \)
\( \implies y_2 = 0.6 \times 9 \times 10^6 \)
\( \implies y_2 = 5.4 \times 10^6 \)
આમ, 1.2 કિગ્રા ખાંડમાં \( 5.4 \times 10^6 \) ખાંડના સ્ફટિકો હોય.
In simple words: ખાંડનું વજન અને તેમાં રહેલા સ્ફટિકોની સંખ્યા સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. જો 2 કિગ્રા ખાંડમાં \( 9 \times 10^6 \) સ્ફટિકો હોય, તો 5 કિગ્રા ખાંડમાં \( 2.25 \times 10^7 \) સ્ફટિકો અને 1.2 કિગ્રા ખાંડમાં \( 5.4 \times 10^6 \) સ્ફટિકો મળશે.

Exam Tip: When dealing with scientific notation, perform calculations on the numerical part and the power of 10 separately, then combine them for the final answer.

 

Question 8. રશ્મિ પાસે, 1 સેમી બરાબર 18 કિમી પ્રમાણમાપ ધરાવતો એક સડકનો નકશો છે. જો તે આ સડક પર 72 કિમીનું અંતર કાપે છે, તો તેના દ્વારા કાપેલ અંતર નકશામાં કેટલું દર્શાવ્યું હોય?
Answer: અહીં રોડ ઉપર ખરેખર કપાતું અંતર વધે, તો નકશામાં રજૂ થતું અંતર પણ વધે છે. તેથી સીધું પ્રમાણ છે.

અહીં \( x_1 = 18 \) કિમી, \( y_1 = 1 \) સેમી, \( x_2 = 72 \) કિમી, \( y_2 = ? \)
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)
\( \implies \frac{18}{1} = \frac{72}{y_2} \)
\( \implies y_2 = \frac{72 \times 1}{18} \)
\( \implies y_2 = 4 \)
આમ, નકશામાં દર્શાવેલું અંતર 4 સેમી હોય.
In simple words: જો નકશામાં 1 સેમી 18 કિમી બરાબર હોય, તો રશ્મિએ કાપેલ 72 કિમીના અંતરને નકશામાં 4 સેમી તરીકે બતાવવામાં આવશે.

Exam Tip: Scale problems are always direct proportion. Set up the ratio of "map distance / actual distance" or vice versa, and keep it consistent for both sets of values.

 

Question 9. એક ઊંચા શિરોલંબ થાંભલાના પડછાયાની લંબાઈ 3 મીટર 30 સેમી છે. આ જ સમયે
(i) 10 મીટર 50 સેમી ઊંચા થાંભલાના પડછાયાની લંબાઈ શોધો.
(ii) 5 મીટર લંબાઈનો પડછાયો હોય તેવા થાંભલાની ઊંચાઈ શોધો.
Answer: થાંભલાની ઊંચાઈ જેમ વધે છે તેમ પડછાયાની લંબાઈ પણ વધે છે. તેથી અહીં સીધું પ્રમાણ છે.
નોંધ: 5 મીટર 60 સેમી = 560 સેમી અને 3 મીટર 20 સેમી = 320 સેમી એ આધારભૂત માપ છે.
(i) 10 મીટર 50 સેમી ઊંચા થાંભલાના પડછાયાની લંબાઈ શોધો.

અહીં \( x_1 = 560 \), \( y_1 = 320 \), \( x_2 = 1050 \), \( y_2 = ? \)
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)
\( \implies \frac{560}{320} = \frac{1050}{y_2} \)
\( \implies y_2 = \frac{1050 \times 320}{560} \)
\( \implies y_2 = 600 \) સેમી
આમ, પ્રતિકૃતિમાં કૂવાસ્તંભની ઊંચાઈ 600 સેમી છે.
(ii) 5 મીટર લંબાઈનો પડછાયો હોય તેવા થાંભલાની ઊંચાઈ શોધો.
અહીં \( x_1 = 560 \), \( y_1 = 320 \), \( x_2 = ? \), \( y_2 = 500 \)
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)
\( \implies \frac{560}{320} = \frac{x_2}{500} \)
\( \implies x_2 = \frac{560 \times 500}{320} \)
\( \implies x_2 = 875 \) સેમી
\( \implies x_2 = 8.75 \) મીટર
આમ, શિરોલંબ થાંભલાની ઊંચાઈ 8.75 મીટર એટલે કે 8 મીટર 75 સેમી હોય.
In simple words: થાંભલાની ઊંચાઈ અને તેના પડછાયાની લંબાઈ સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. (i) જો 560 સેમી ઊંચા થાંભલાનો પડછાયો 320 સેમી હોય, તો 1050 સેમી ઊંચા થાંભલાનો પડછાયો 600 સેમી (6 મીટર) થશે. (ii) જો પડછાયાની લંબાઈ 500 સેમી (5 મીટર) હોય, તો થાંભલાની ઊંચાઈ 875 સેમી (8.75 મીટર) થશે.

Exam Tip: Always convert all measurements to a common unit (e.g., centimeters) before starting calculations to avoid errors in direct proportion problems.

 

Question 10. એક ભારવાહક ખટારો 25 મિનિટમાં 14 કિમી અંતર કાપે છે. આ જ ઝડપે ગતિ કરે તો 5 કલાકમાં કેટલું અંતર કાપશે?
Answer: અહીં જેમ સમય વધે તેમ ખટારો વધુ અંતર કાપે, માટે સીધું પ્રમાણ છે.
નોંધ: 5 કલાક = \( 5 \times 60 \) મિનિટ = 300 મિનિટ.

અહીં \( x_1 = 14 \), \( y_1 = 25 \), \( x_2 = ? \), \( y_2 = 300 \)
\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)
\( \implies \frac{14}{25} = \frac{x_2}{300} \)
\( \implies x_2 = \frac{14 \times 300}{25} \)
\( \implies x_2 = 168 \)
ખટારો 168 કિમી અંતર કાપશે.
In simple words: એક ખટારો 25 મિનિટમાં 14 કિમી ચાલે છે. જો તે આ જ ઝડપે ચાલે, તો 5 કલાકમાં (એટલે કે 300 મિનિટમાં) તે કેટલું અંતર કાપશે તે શોધવા માટે સીધા પ્રમાણનો ઉપયોગ કરીએ, જે 168 કિમી આવે છે.

Exam Tip: Before performing calculations, always ensure that all units of time (or any other quantity) are consistent. Convert all to minutes or hours as appropriate.