GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 13 સમપ્રમાણ અને વ્યસ્ત પ્રમાણ InText Questions

પ્રયત્ન કરો: [પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 204]

 

Question 1. નીચેના કોષ્ટકનું અવલોકન કરો અને જણાવો કે x અને y સમપ્રમાણમાં છે કે નહીં?
(i)

(ii)
(iii)
Answer:
(i) \( \frac{20}{40}=\frac{1}{2} \)
\( \frac{17}{34}=\frac{1}{2} \)
\( \frac{14}{28}=\frac{1}{2} \)
\( \frac{11}{22}=\frac{1}{2} \)
\( \frac{8}{16}=\frac{1}{2} \)
\( \frac{5}{10}=\frac{1}{2} \)
\( \frac{2}{4}=\frac{1}{2} \)
ઉપર તમામ રાશિનાં અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ એકસરખાં \( \frac {1}{2} \) છે. તેથી, x અને y સમપ્રમાણમાં છે.
In simple words: દરેક કિંમત માટે \( x \) ને \( y \) વડે ભાગીએ તો જવાબ \( \frac{1}{2} \) આવે છે. કારણ કે બધા ગુણોત્તર સરખા છે, \( x \) અને \( y \) સીધા પ્રમાણમાં છે.
(ii) \( \frac{6}{4}=\frac{3}{2} \)
\( \frac{10}{8}=\frac{5}{4} \)
\( \frac{14}{12}=\frac{7}{6} \)
\( \frac{18}{16}=\frac{9}{8} \)
\( \frac{22}{20}=\frac{11}{10} \)
\( \frac{26}{24}=\frac{13}{12} \)
\( \frac{30}{28}=\frac{15}{14} \)
ઉપર તમામ રાશિનાં અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ સરખાં નથી. તેથી, x અને y સમપ્રમાણમાં નથી.
In simple words: જ્યારે આપણે \( x \) ને \( y \) વડે ભાગીએ છીએ, ત્યારે બધા ગુણોત્તર અલગ-અલગ આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે \( x \) અને \( y \) સીધા પ્રમાણમાં નથી.
(iii) \( \frac{5}{15}=\frac{1}{3} \)
\( \frac{8}{24}=\frac{1}{3} \)
\( \frac{12}{36}=\frac{1}{3} \)
\( \frac{15}{60}=\frac{1}{4} \)
\( \frac{18}{72}=\frac{1}{4} \)
\( \frac{20}{100}=\frac{1}{5} \)
ઉપર તમામ રાશિનાં અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ સરખાં નથી. તેથી, x અને y સમપ્રમાણમાં નથી.
In simple words: \( x \) અને \( y \) ને ભાગવાથી બધા ગુણોત્તર સરખા મળતા નથી. આ દર્શાવે છે કે \( x \) અને \( y \) સીધા પ્રમાણમાં નથી.

Exam Tip: To check for direct proportion, always calculate the ratio \( \frac{x}{y} \) for each pair of values. If all ratios are equal, they are in direct proportion; otherwise, they are not.

 

Question 2. મુદ્દલ = Rs 1000, વ્યાજનો દર = વાર્ષિક 8% માટે નીચે દર્શાવેલ કોષ્ટક પૂર્ણ કરો અને ચકાસો કે આ પ્રકારનું વ્યાજ (સાદું અથવા ચક્રવૃદ્ધિ) આપેલ સમયના સમપ્રમાણમાં છે.

Answer:
સાદું વ્યાજ:
માટે: \( P = \text{Rs } 1000 \), \( R = 8 \% \), \( T = \) સમય
ઉપર જોતાં સાદું વ્યાજ (SI) અને સમય \( T \) નો ગુણોત્તર સરખો રહે છે. આમ, સાદું વ્યાજ એ સમયના સમપ્રમાણમાં છે.
સાદું વ્યાજ:
માટે: \( P = \text{Rs } 1000 \), \( R = 8 \% \), \( T = \) સમય
ઉપર જોતાં ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ (CI) અને સમય (T) નો ગુણોત્તર સરખો નથી. આમ, ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ એ સમયના સમપ્રમાણમાં નથી.
In simple words: સાદા વ્યાજમાં, વ્યાજ સમય સાથે સીધું વધે છે, એટલે કે વ્યાજ અને સમયનો ગુણોત્તર હંમેશા સરખો રહે છે. પરંતુ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમાં, વ્યાજ દર વર્ષે મુદ્દલમાં ઉમેરાય છે, જેથી દરેક વખતે વ્યાજનો ગુણોત્તર સમય સાથે બદલાય છે અને તે સીધા પ્રમાણમાં રહેતું નથી.

Exam Tip: Remember that simple interest increases linearly with time, making it directly proportional. Compound interest grows exponentially, meaning it is not directly proportional to time.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો: [પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 204]

 

Question 1. જો આપણે સમયગાળો તથા વ્યાજનો દર નિશ્ચિત રાખીએ તો સાદું વ્યાજ તેના મુદ્દલના સમપ્રમાણમાં હોય છે, શું આ જ સંબંધ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટે પણ સત્ય છે? કેમ?
Answer: જો આપણે સમયગાળો અને વ્યાજનો દર નિશ્ચિત રાખીએ, તો સાદું વ્યાજ તેના મુદ્દલના સમપ્રમાણમાં હોય છે. આ જ સંબંધ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટે પણ સાચો છે. અહીં, જેમ મુદ્દલ વધે છે કે ઘટે છે તેમ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ પણ વધે છે કે ઘટે છે. તેથી, ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ પણ મુદ્દલના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
In simple words: હા, જો સમય અને વ્યાજનો દર બદલાતા નથી, તો સાદું વ્યાજ તેમજ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ બંને મુદ્દલ સાથે સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. એટલે કે, મુદ્દલ વધશે તો વ્યાજ પણ વધશે, અને મુદ્દલ ઘટશે તો વ્યાજ પણ ઘટશે.

Exam Tip: Clearly state the relationship between interest and principal for both simple and compound interest when time and rate are fixed. Emphasize that both are directly proportional to the principal.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો [પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 209]

 

Question 1. અત્યાર સુધી ચર્ચામાં લીધેલ સમપ્રમાણનાં ઉદાહરણો પૈકી થોડાંક ઉદાહરણો લો અને વિચારો કે આ ઉદાહરણનો ઉકેલ એકમ પદ્ધતિ દ્વારા મળી શકે?
Answer: હા, દરેક ઉદાહરણનો ઉકેલ એકમ પદ્ધતિ દ્વારા મળી શકે છે. દા. ત., સ્વાધ્યાય 13.1નો દાખલો: 4 કલાકમાં ભરાતી બોટલ = 840.
\( \implies \) 5 કલાકમાં ભરાતી બોટલ \( = \frac{840 \times 5}{6} \)
\( = 700 \)
In simple words: હા, સીધા પ્રમાણના દરેક દાખલાને એકમ પદ્ધતિથી ઉકેલી શકાય છે. આ પદ્ધતિમાં, આપણે પહેલા એક એકમ માટેની કિંમત શોધીએ છીએ અને પછી જરૂરી સંખ્યાથી ગુણીએ છીએ.

Exam Tip: When using the unitary method, first find the value for 'one unit' (e.g., 1 hour, 1 item) and then multiply by the required number of units. This is a versatile method for direct proportion problems.

પ્રયત્ન કરો [પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 211]

 

Question 1. નીચે દર્શાવેલ કોષ્ટકનો અભ્યાસ કરીને બતાવો કે કયા બે ચલ (અહીં x અને y) ની જોડ પરસ્પર વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

Answer:
\( x_1 = 50 \) અને \( y_1 = 5 \)
\( \implies x_1y_1 = 50 \times 5 \)
\( \implies x_1y_1 = 250 \)
\( x_2 = 40 \) અને \( y_2 = 6 \)
\( \implies x_2y_2 = 40 \times 6 \)
\( \implies x_2y_2 = 240 \)
\( x_3 = 30 \) અને \( y_3 = 7 \)
\( \implies x_3y_3 = 30 \times 7 \)
\( \implies x_3y_3 = 210 \)
\( x_4 = 20 \) અને \( y_4 = 8 \)
\( \implies x_4y_4 = 20 \times 8 \)
\( \implies x_4y_4 = 160 \)
અહીં, \( 250 \neq 240 \neq 210 \neq 160 \)
\( \implies x_1y_1 \neq x_2y_2 \neq x_3y_3 \neq x_4y_4 \)
તેથી, \( x \) અને \( y \) એ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નથી.
In simple words: \( x \) અને \( y \) વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ત્યારે હોય જ્યારે \( x \times y \) હંમેશા સરખો રહે. અહીં, જ્યારે આપણે \( x \) અને \( y \) નો ગુણાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે દરેક કિસ્સામાં જવાબ અલગ-અલગ આવે છે. આથી, આ બે ચલ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નથી.

Exam Tip: For inverse proportion, always calculate the product \( x \times y \) for each pair of values. If the products are constant, they are in inverse proportion; otherwise, they are not.

 

Question 2.

Answer:
\( x_1 = 100 \) અને \( y_1 = 60 \)
\( \implies x_1y_1 = 100 \times 60 \)
\( \implies x_1y_1 = 6000 \)
\( x_2 = 200 \) અને \( y_2 = 30 \)
\( \implies x_2y_2 = 200 \times 30 \)
\( \implies x_2y_2 = 6000 \)
\( x_3 = 300 \) અને \( y_3 = 20 \)
\( \implies x_3y_3 = 300 \times 20 \)
\( \implies x_3y_3 = 6000 \)
\( x_4 = 400 \) અને \( y_4 = 15 \)
\( \implies x_4y_4 = 400 \times 15 \)
\( \implies x_4y_4 = 6000 \)
અહીં, \( x_1y_1 = x_2y_2 = x_3y_3 = x_4y_4 \)
તેથી, \( x \) અને \( y \) એ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
In simple words: આ કોષ્ટકમાં, જ્યારે આપણે દરેક \( x \) મૂલ્યને તેના અનુરૂપ \( y \) મૂલ્ય સાથે ગુણીએ છીએ, ત્યારે દરેક ગુણાકારનો જવાબ 6000 આવે છે. કારણ કે \( x \times y \) હંમેશા સરખો રહે છે, \( x \) અને \( y \) વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

Exam Tip: For inverse proportion, always calculate the product \( x \times y \) for each pair of values. If the products are constant, they are in inverse proportion; otherwise, they are not.

 

Question 3.

Answer:
\( x_1 = 90 \) અને \( y_1 = 10 \)
\( \implies x_1y_1 = 90 \times 10 \)
\( \implies x_1y_1 = 900 \)
\( x_2 = 60 \) અને \( y_2 = 15 \)
\( \implies x_2y_2 = 60 \times 15 \)
\( \implies x_2y_2 = 900 \)
\( x_3 = 45 \) અને \( y_3 = 20 \)
\( \implies x_3y_3 = 45 \times 20 \)
\( \implies x_3y_3 = 900 \)
\( x_4 = 30 \) અને \( y_4 = 25 \)
\( \implies x_4y_4 = 30 \times 25 \)
\( \implies x_4y_4 = 750 \)
\( x_5 = 20 \) અને \( y_5 = 30 \)
\( \implies x_5y_5 = 20 \times 30 \)
\( \implies x_5y_5 = 600 \)
\( x_6 = 5 \) અને \( y_6 = 35 \)
\( \implies x_6y_6 = 5 \times 35 \)
\( \implies x_6y_6 = 175 \)
અહીં, \( x_1y_1 = x_2y_2 = x_3y_3 \neq x_4y_4 \neq x_5y_5 \neq x_6y_6 \)
તેથી, \( x \) અને \( y \) એ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નથી.
In simple words: જો \( x \) અને \( y \) વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય, તો તેમનો ગુણાકાર હંમેશા સરખો હોવો જોઈએ. આ કોષ્ટકમાં, કેટલાક ગુણાકાર સરખા છે (900), પરંતુ પછીના ગુણાકાર (750, 600, 175) અલગ-અલગ છે. તેથી, \( x \) અને \( y \) વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નથી.

Exam Tip: For inverse proportion, all products \( x \times y \) must be identical. If even one product differs, the relationship is not inversely proportional.