GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 11 માપન Exercise 11.4

Question 1. તમને એક નળાકાર ટાંકી આપેલ છે. નીચે આપેલી કઈ પરિસ્થિતિમાં તમે તેનું પૃષ્ઠફળ મેળવશો અને કઈ પરિસ્થિતિમાં તેનું ઘનફળ મેળવશો?
(i) નળાકાર ટાંકીમાં કેટલું પાણી રાખી શકાશે, તે નક્કી કરવા માટે.
Answer: નળાકાર ટાંકીમાં કેટલું પાણી રાખી શકાશે, તે જાણવા માટે, આપણે નળાકાર ટાંકીનું ઘનફળ મેળવીશું.
In simple words: ટાંકીમાં કેટલું પાણી સમાશે તે શોધવા માટે, આપણે ટાંકીનું કદ ગણીએ છીએ.

Exam Tip: ક્ષમતા અથવા "કેટલું સમાશે" જેવા પ્રશ્નો હંમેશા ઘનફળ (વોલ્યુમ) સંબંધિત હોય છે.

(ii) નળાકાર ટાંકીને પ્લાસ્ટર કરવા માટે જરૂરી સિમેન્ટની થેલીઓની સંખ્યા જાણવા.
Answer: નળાકાર ટાંકીને પ્લાસ્ટર કરવા માટે જરૂરી સિમેન્ટની થેલીઓની સંખ્યા જાણવા માટે, આપણે નળાકાર ટાંકીનું પૃષ્ઠફળ શોધીશું.
In simple words: ટાંકીને બહારથી પ્લાસ્ટર કરવા માટે કેટલી સિમેન્ટની જરૂર પડશે તે જાણવા માટે, આપણે તેની સપાટીનું કુલ ક્ષેત્રફળ ગણીએ છીએ.

Exam Tip: કોઈ સપાટીને ઢાંકવા, રંગવા કે પ્લાસ્ટર કરવા માટે હંમેશા પૃષ્ઠફળ (સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) ગણવામાં આવે છે.

(iii) એક મોટી ટાંકીમાં ભરેલા પાણીથી પાણીની કેટલી નાની ટાંકીઓ ભરાશે તેની સંખ્યા જાણવાં.
Answer: નળાકાર ટાંકીમાં ભરેલા પાણીથી પાણીની કેટલી નાની ટાંકીઓ ભરાશે તેની સંખ્યા જાણવા માટે, આપણે નળાકાર ટાંકીનું ઘનફળ મેળવીશું.
In simple words: મોટી ટાંકીમાંથી નાની ટાંકીઓ ભરવા માટે, આપણે બંને ટાંકીઓના કદની ગણતરી કરીએ છીએ.

Exam Tip: એક પાત્રમાંથી બીજા પાત્રમાં પ્રવાહી સ્થાનાંતરિત કરવા અથવા ભરવા માટે, હંમેશા ઘનફળનો ઉપયોગ થાય છે.

Question 2. નળાકાર Aનો વ્યાસ 7 સેમી અને ઊંચાઈ 14 સેમી છે. નળાકાર Bનો વ્યાસ 14 સેમી અને ઊંચાઈ 7 સેમી છે. ગણતરી કર્યા વગર તમે કહી શકશો કે ઉપરના બે નળાકારમાંથી કોનું ઘનફળ વધારે હશે? બંને નળાકારનું ઘનફળ મેળવી તમારા જવાબને ચકાસો. આ ઉપરાંત એ પણ ચકાસો કે વધુ ઘનફળ ધરાવતા નળાકારનું પૃષ્ઠફળ પણ વધારે છે?
Answer:
બંને નળાકાર જોતાં જણાય છે કે, નળાકાર Aની ત્રિજ્યા કરતાં નળાકાર Bની ત્રિજ્યા મોટી છે.
આથી, નળાકાર Bનું ઘનફળ એ નળાકાર Aના ઘનફળ કરતાં વધારે હોઈ શકે છે.

નળાકાર Aનું ઘનફળ:
નળાકાર Aની ત્રિજ્યા \( (r) = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{7}{2} \) સેમી અને ઊંચાઈ \( (h) = 14 \) સેમી
નળાકાર Aનું ઘનફળ \( = \pi r^2 h \)
\( = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times 14 \)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 14 \)
\( = 11 \times 7 \times 7 \)
\( = 539 \) સેમી\( ^3 \)
આમ, નળાકાર Aનું કદ \( 539 \) ઘન સેમી છે.

નળાકાર Bનું ઘનફળ:
નળાકાર Bની ત્રિજ્યા \( (r) = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) સેમી અને
ઊંચાઈ \( (h) = 7 \) સેમી
નળાકાર Bનું ઘનફળ \( = \pi r^2 h \)
\( = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 7 \)
\( = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \)
\( = 22 \times 7 \times 7 \)
\( = 1078 \) સેમી\( ^3 \)
આમ, નળાકાર Bનું કદ \( 1078 \) ઘન સેમી છે.

અગાઉની ધારણા મુજબ, નળાકાર Bનું ઘનફળ નળાકાર A કરતાં વધારે છે.

નળાકાર Aનું પૃષ્ઠફળ:
નળાકાર Aની ત્રિજ્યા \( (r) = \frac{7}{2} \) સેમી, ઊંચાઈ \( (h) = 14 \) સેમી
નળાકારનું પૃષ્ઠફળ \( = 2\pi r(r + h) \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times (\frac{7}{2} + 14) \)
\( = 22(\frac{7}{2} + \frac{28}{2}) \)
\( = 22(\frac{35}{2}) \)
\( = 11 \times 35 \)
\( = 385 \) સેમી\( ^2 \)
આમ, નળાકાર Aની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( 385 \) ચોરસ સેમી છે.

નળાકાર Bનું પૃષ્ઠફળ:
નળાકાર Bની ત્રિજ્યા \( (r) = 7 \) સેમી, ઊંચાઈ \( (h) = 7 \) સેમી
નળાકાર Bનું પૃષ્ઠફળ \( = 2\pi r(r + h) \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 7(7 + 7) \)
\( = 44 (14) \)
\( = 616 \) સેમી\( ^2 \)
આમ, નળાકાર Bની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( 616 \) ચોરસ સેમી છે.

ચકાસણી:
આમ, નળાકાર Bનું ઘનફળ (1078 સેમી\( ^3 \)) નળાકાર A (539 સેમી\( ^3 \)) કરતાં વધારે છે.
વધુ ઘનફળ ધરાવતા નળાકાર Bનું પૃષ્ઠફળ (616 સેમી\( ^2 \)) પણ નળાકાર A (385 સેમી\( ^2 \)) કરતાં વધારે છે.
In simple words: નળાકાર Bનું કદ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ બંને નળાકાર A કરતાં મોટાં છે.

Exam Tip: ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈમાં થતા ફેરફારોની ઘનફળ અને પૃષ્ઠફળ પર અલગ-અલગ અસર થાય છે, તેથી હંમેશા ગણતરી કરીને તપાસ કરવી જોઈએ.

Question 3. એક લંબધનના આધારનું ક્ષેત્રફળ 180 સેમી\( ^2 \) છે અને તેનું ઘનફળ 900 સેમી\( ^3 \) છે. તો તે લંબઘનની ઊંચાઈ શોધો.
Answer:
ધારો કે લંબઘનની ઊંચાઈ \( h \) સેમી છે.
લંબઘનનું ઘનફળ \( = \) આધારનું ક્ષેત્રફળ \( \times \) ઊંચાઈ
\( \implies 900 = 180 \times h \)
\( \implies h = \frac{900}{180} \)
\( \implies h = 5 \) સેમી
આમ, લંબઘનની ઊંચાઈ \( 5 \) સેમી છે.
In simple words: જો લંબઘનનું કદ અને તેના પાયાનું ક્ષેત્રફળ ખબર હોય, તો તેની ઊંચાઈ શોધવા માટે કદને પાયાના ક્ષેત્રફળથી ભાગવું.

Exam Tip: લંબઘનના ઘનફળ, આધારનું ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈ વચ્ચેના સૂત્રને હંમેશા યાદ રાખવું, કારણ કે તે આવા પ્રશ્નો ઉકેલવામાં મદદ કરે છે.

Question 4. એક લંબઘન બૉક્સનું માપ 60 સેમી \( \times \) 54 સેમી \( \times \) 30 સેમી છે. આ લંબઘન બૉક્સની અંદર 6 સેમી બાજુવાળા કેટલા નાના સમઘન રાખી શકાશે?
Answer:
અહીં લંબઘન બૉક્સની લંબાઈ \( (l) = 60 \) સેમી, પહોળાઈ \( (b) = 54 \) સેમી અને ઊંચાઈ \( (h) = 30 \) સેમી છે.
લંબઘન બૉક્સનું ઘનફળ \( = \) લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ \( \times \) ઊંચાઈ
\( = 60 \times 54 \times 30 \) સેમી\( ^3 \)
સમઘનની બાજુની લંબાઈ \( (L) = 6 \) સેમી
સમઘનનું ઘનફળ \( = (L)^3 \)
\( = 6 \times 6 \times 6 \) સેમી\( ^3 \)
લંબઘન બૉક્સમાં ગોઠવાતા સમઘનની સંખ્યા \( = \frac{\text{લંબઘનનું ઘનફળ}}{\text{એક નાના સમઘનનું ઘનફળ}} \)
\( = \frac{60 \times 54 \times 30}{6 \times 6 \times 6} \)
\( = 10 \times 9 \times 5 \)
\( = 450 \)
આમ, લંબઘન બૉક્સમાં \( 450 \) નાના સમઘન રાખી શકાય.
In simple words: બોક્સમાં કેટલા નાના ક્યુબ્સ ફિટ થશે તે શોધવા માટે, બોક્સના કદને એક નાના ક્યુબના કદથી ભાગો.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં એકમના રૂપાંતરણ પર ધ્યાન આપો (દા.ત. મીટરમાંથી સેમીમાં), અને હંમેશા મોટા કદને નાના કદથી ભાગીને સંખ્યા શોધો.

Question 5. જેનું ઘનફળ 1.54 મી\( ^3 \) અને તેના આધારનો વ્યાસ 140 સેમી હોય એવા નળાકારની ઊંચાઈ મેળવો.
Answer:
અહીં નળાકારનું ઘનફળ \( 1.54 \) મી\( ^3 \) અને આધારનો વ્યાસ \( 140 \) સેમી આપેલ છે.
પાયાની ત્રિજ્યા \( (r) = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{140}{2} = 70 \) સેમી
નળાકારનું ઘનફળ મી\( ^3 \)માં છે તેને સેમી\( ^3 \)માં ફેરવીએ.
નળાકારનું ઘનફળ \( = 1.54 \) મી\( ^3 \)
\( = 1.54 \times 100 \times 100 \times 100 \)
\( = 15,40,000 \) સેમી\( ^3 \)
નળાકારનું ઘનફળ \( = \pi r^2 h \)
\( \implies 15,40,000 = \frac{22}{7} \times 70 \times 70 \times h \)
\( \implies 15,40,000 = 22 \times 70 \times 10 \times h \)
\( \implies h = \frac{1540000}{22 \times 70 \times 10} \)
\( \implies h = 100 \) સેમી
\( \implies h = 1 \) મીટર
આમ, નળાકારની ઊંચાઈ \( 1 \) મીટર છે.
In simple words: નળાકારનું કદ અને આધારની ત્રિજ્યા આપેલી હોય ત્યારે, તેની ઊંચાઈ શોધવા માટે પહેલા કદને ઘન સેમીમાં રૂપાંતર કરો, પછી સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને ઊંચાઈ ગણો.

Exam Tip: એકમોનું રૂપાંતરણ (મીટરથી સેમી અને સેમીથી મીટર) ખાસ કાળજીપૂર્વક કરવું, કારણ કે તે ગણતરીમાં ભૂલ કરી શકે છે.

Question 6. એક દૂધનું ટેન્કર નળાકાર છે, જેની ત્રિજ્યા 1.5 મીટર અને લંબાઈ 7 મીટર છે. આ ટેન્કરમાં કેટલા લિટર દૂધ ભરી શકાશે?
Answer:
દૂધનું ટેન્કર નળાકાર છે.
દૂધના ટેન્કરની ત્રિજ્યા \( (r) = 1.5 \) મી \( = \frac{15}{10} \) મી
દૂધના ટેન્કરની ઊંચાઈ \( (h) = 7 \) મી (અહીં લંબાઈ એટલે નળાકારની ઊંચાઈ)
દૂધના ટેન્કરનું ઘનફળ \( = \pi r^2 h \)
\( = \frac{22}{7} \times (\frac{15}{10})^2 \times 7 \)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{15}{10} \times \frac{15}{10} \times 7 \)
\( = \frac{11 \times 3 \times 3}{2} \)
\( = \frac{99}{2} \)
\( = 49.5 \) મી\( ^3 \)
આપણને ખબર છે કે, \( 1 \) ધન મીટર \( = 1000 \) લિટર
\( \implies 49.5 \) ધન મીટર \( = 49.5 \times 1000 \)
\( = 49,500 \) લિટર
આમ, ટેન્કરમાં \( 49,500 \) લિટર દૂધ ભરી શકાશે.
In simple words: નળાકાર ટેન્કરની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈનો ઉપયોગ કરીને કદ શોધો. પછી કદને લિટરમાં રૂપાંતર કરવા માટે \( 1000 \) થી ગુણો.

Exam Tip: નળાકાર ટેન્કર માટે, તેની લંબાઈને ઊંચાઈ તરીકે ગણવામાં આવે છે. કદને મીટર ક્યુબમાંથી લિટરમાં રૂપાંતર કરવા માટે \( 1000 \) વડે ગુણવાનું યાદ રાખો.

Question 7. જો કોઈ ઘનની દરેક બાજુને બમણી કરી દેવામાં આવે તો –
(i) તેના પૃષ્ઠફળમાં કેટલા ગણો વધારો થશે?
Answer:
ધારો કે, ઘનની બાજુની લંબાઈ \( x \) છે.
આ લંબાઈ બમણી કરતાં ઘનની નવી લંબાઈ \( = 2x \)
મૂળ ઘનનું પૃષ્ઠફળ \( = 6x^2 \)
નવા ઘનનું પૃષ્ઠફળ \( = 6(2x)^2 = 6(4x^2) = 24x^2 \)
હવે, નવા ઘનનું પૃષ્ઠફળ \( / \) મૂળ ઘનનું પૃષ્ઠફળ \( = \frac{24x^2}{6x^2} = 4 \)
આમ, પૃષ્ઠફળમાં \( 4 \) ગણો વધારો થાય.
In simple words: જો તમે ઘનની દરેક બાજુની લંબાઈ બમણી કરો, તો તેનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ચાર ગણું વધી જાય છે.

Exam Tip: બાજુની લંબાઈ \( x \) હોય ત્યારે પૃષ્ઠફળ \( 6x^2 \) હોય છે. જ્યારે બાજુ \( nx \) થાય, ત્યારે પૃષ્ઠફળ \( 6(nx)^2 = 6n^2x^2 \) થાય, એટલે કે \( n^2 \) ગણો વધારો થાય.

(ii) તેના ઘનફળમાં કેટલા ગણો વધારો થશે?
Answer:
ધારો કે, ઘનની બાજુની લંબાઈ \( x \) છે.
આ લંબાઈ બમણી કરતાં ઘનની નવી લંબાઈ \( = 2x \)
મૂળ ઘનનું ઘનફળ \( = x^3 \)
નવા ઘનનું ઘનફળ \( = (2x)^3 = 8x^3 \)
હવે, નવા ઘનનું ઘનફળ \( / \) મૂળ ઘનનું ઘનફળ \( = \frac{8x^3}{x^3} = 8 \)
આમ, ઘનફળમાં \( 8 \) ગણો વધારો થાય.
In simple words: જો તમે ઘનની દરેક બાજુની લંબાઈ બમણી કરો, તો તેનું કદ આઠ ગણું વધી જાય છે.

Exam Tip: બાજુની લંબાઈ \( x \) હોય ત્યારે ઘનફળ \( x^3 \) હોય છે. જ્યારે બાજુ \( nx \) થાય, ત્યારે ઘનફળ \( (nx)^3 = n^3x^3 \) થાય, એટલે કે \( n^3 \) ગણો વધારો થાય.

Question 8. એક કુંડની અંદર 60 લિટર પાણી પ્રતિ મિનિટના દરથી પડે છે. જો કુંડનું ઘનફળ 108 મી\( ^3 \) હોય, તો આ કુંડને પાણીથી સંપૂર્ણ ભરાતાં કેટલા કલાક લાગશે?
Answer:
કુંડનું ઘનફળ \( = 108 \) મી\( ^3 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે, \( 1 \) ધન મીટર \( = 1000 \) લિટર
\( \implies 108 \) ધન મીટર \( = 108 \times 1000 = 1,08,000 \) લિટર
કુંડમાં \( 1 \) મિનિટમાં પડતું પાણી \( = 60 \) લિટર
કુંડમાં \( 1 \) કલાકમાં પડતું પાણી \( = 60 \times 60 = 3600 \) લિટર
કુંડને પાણીથી ભરાતાં લાગતો સમય \( = \frac{\text{કુંડમાં સમાતું કુલ પાણી}}{\text{પ્રતિ કલાક ભરાતું પાણી}} \)
\( = \frac{108000}{3600} \)
\( = 30 \) કલાક
આમ, કુંડને પાણીથી સંપૂર્ણ ભરાતાં \( 30 \) કલાક લાગશે.
In simple words: કુંડનું કુલ કદ લિટરમાં શોધો, પછી પ્રતિ કલાક કેટલું પાણી ભરાય છે તે ગણો. કુલ કદને પ્રતિ કલાક ભરાતા પાણીથી ભાગવાથી કુંડ ભરવામાં લાગતો સમય કલાકોમાં મળી જશે.

Exam Tip: ઘનફળને લિટરમાં રૂપાંતર કરતી વખતે \( 1000 \) વડે ગુણવાનું યાદ રાખો. સમયની ગણતરી કરતી વખતે, એકમો (મિનિટ, કલાક)નું ધ્યાન રાખો.