GSEB Class 7 Maths Solutions Chapter 6 ત્રિકોણ અને તેના ગુણધર્મો Exercise 6.5

Question 1. APQRમાં \( \angle P \) કાટખૂણો છે. જો \( PQ = 10 \) સેમી અને \( PR = 24 \) સેમી હોય, તો \( QR \) શોધો.
Answer:
અહીં, ત્રિકોણ PQR માં \( \angle P \) એક કાટખૂણો છે. આથી, \( QR \) એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ, આપણે નીચે પ્રમાણે ગણતરી કરી શકીએ છીએ:
\( QR^2 = PR^2 + PQ^2 \)
\( QR^2 = 24^2 + 10^2 \)
\( QR^2 = 576 + 100 \)
\( QR^2 = 676 \)
\( QR^2 = 26^2 \)
\( QR = 26 \)
આમ, \( QR \) ની લંબાઈ 26 સેમી છે.

In simple words: For a right-angled triangle, if you know the lengths of the two shorter sides (legs), you can find the length of the longest side (hypotenuse) using the Pythagorean theorem, which states that the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides. Here, the hypotenuse measures 26 cm.

Exam Tip: Remember that in a right-angled triangle, the side opposite the right angle is always the hypotenuse and is the longest side. Clearly identify which side is the hypotenuse before applying the Pythagorean theorem.

Question 2. \( \triangle ABC \) માં \( \angle C \) કાટખૂણો છે. જો \( AB = 25 \) સેમી અને \( AC = 7 \) સેમી, તો \( BC \) શોધો.
Answer:
અહીં, ત્રિકોણ ABC માં \( \angle C \) એક કાટખૂણો છે. આથી, \( AB \) એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ, આપણે નીચે પ્રમાણે ગણતરી કરી શકીએ છીએ:
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
\( 25^2 = 7^2 + x^2 \)
\( 625 = 49 + x^2 \)
\( x^2 = 625 - 49 \)
\( x^2 = 576 \)
\( x^2 = 24^2 \)
\( x = 24 \)
આમ, \( BC \) ની લંબાઈ 24 સેમી છે.

In simple words: When you have a right-angled triangle and know the lengths of the hypotenuse and one leg, you can find the length of the other leg. You need to subtract the square of the known leg from the square of the hypotenuse, then take the square root. Here, the unknown side is 24 cm.

Exam Tip: Remember that \( a^2 + b^2 = c^2 \) where \( c \) is the hypotenuse. If you need to find a leg, rearrange the formula to \( a^2 = c^2 - b^2 \).

Question 3. 15 મીટર લાંબી નિસરણીને દીવાલ સાથે ઊંચી બારી સુધી પહોંચે છે. નિસરણીના જમીન પરના છેડાનું દીવાલથી અંતર \( a \) શોધો.
Answer:
અહીં, નિસરણી દીવાલ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. આ ત્રિકોણમાં,
નિસરણીની લંબાઈ (કર્ણ) = 15 મીટર
દીવાલની ઊંચાઈ (એક બાજુ) = 12 મીટર
દીવાલથી જમીન પરના છેડાનું અંતર (બીજી બાજુ) = \( a \)
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ:
\( (\text{કર્ણ})^2 = (\text{એક બાજુ})^2 + (\text{બીજી બાજુ})^2 \)
\( (15)^2 = (12)^2 + (a)^2 \)
\( 225 = 144 + a^2 \)
\( a^2 = 225 - 144 \)
\( a^2 = 81 \)
\( a^2 = 9^2 \)
\( a = 9 \) મીટર
આમ, જમીન પરના છેડાનું દીવાલથી અંતર 9 મીટર છે.

In simple words: If you imagine a ladder leaning against a wall, it forms a right-angled triangle. The ladder is the hypotenuse, the wall is one leg, and the ground distance is the other leg. Using the Pythagorean theorem, we found that the distance from the base of the wall to the ladder's foot is 9 meters.

Exam Tip: Visualize the problem as a right-angled triangle. Label the hypotenuse and the two legs clearly. This helps in correctly applying the Pythagorean theorem.

Question 4. નીચેનામાંથી કઈ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ હોઈ શકે?
(i) 2.5 સેમી, 6.5 સેમી, 6 સેમી
(ii) 2 સેમી, 2 સેમી, 5 સેમી
(iii) 1.5 સેમી, 2 સેમી, 2.5 સેમી
જો કાટકોણ ત્રિકોણ હોય, તો ક્યો ખૂણો કાટકોણ છે તે નક્કી કરો.
Answer:
(i) 2.5 સેમી, 6.5 સેમી, 6 સેમી
અહીં સૌથી મોટી બાજુ 6.5 સેમી છે. આપણે તપાસ કરીએ કે શું \( (2.5)^2 + (6)^2 = (6.5)^2 \) છે.
\( (2.5)^2 + (6)^2 = 6.25 + 36 = 42.25 \)
\( (6.5)^2 = 42.25 \)
જેમ કે, \( 42.25 = 42.25 \), આપેલી બાજુઓ એ કોઈ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ હોઈ શકે છે. સૌથી મોટી બાજુ 6.5 સેમી એ કર્ણ છે. 2.5 સેમી અને 6 સેમી બાજુઓની વચ્ચેનો ખૂણો એ કાટકોણ હોય.

(ii) 2 સેમી, 2 સેમી, 5 સેમી
અહીં સૌથી મોટી બાજુ 5 સેમી છે. આપણે તપાસ કરીએ કે શું \( (2)^2 + (2)^2 = (5)^2 \) છે.
\( (2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8 \)
\( (5)^2 = 25 \)
જેમ કે, \( 8 \neq 25 \), આપેલી બાજુઓ એ કોઈ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ હોઈ શકતી નથી.

(iii) 1.5 સેમી, 2 સેમી, 2.5 સેમી
અહીં સૌથી મોટી બાજુ 2.5 સેમી છે. આપણે તપાસ કરીએ કે શું \( (1.5)^2 + (2)^2 = (2.5)^2 \) છે.
\( (1.5)^2 + (2)^2 = 2.25 + 4 = 6.25 \)
\( (2.5)^2 = 6.25 \)
જેમ કે, \( 6.25 = 6.25 \), આપેલી બાજુઓ એ કોઈ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ હોઈ શકે છે. સૌથી મોટી બાજુ 2.5 સેમી એ કર્ણ છે. 1.5 સેમી અને 2 સેમી બાજુઓની વચ્ચેનો ખૂણો એ કાટકોણ હોય.

In simple words: To check if three lengths can form a right-angled triangle, we use the Pythagorean theorem. The square of the longest side must equal the sum of the squares of the other two sides. If it matches, it's a right-angled triangle, and the angle between the two shorter sides is the right angle.

Exam Tip: Always identify the longest side first, as this will be the potential hypotenuse. The right angle is always opposite the hypotenuse, between the two shorter sides.

Question 5. એક ઝાડ જમીન પરથી 5 મીટર ઊંચાઈએથી તૂટી પડે છે અને તેની ટોચ ઝાડના થડથી 12 મીટર અંતરે જમીનને અડે છે. ઝાડની મૂળ ઊંચાઈ શોધો.
Answer:
ધારો કે, ઝાડ AB છે. તે C બિંદુથી તૂટી પડે છે અને જમીનને અડકે છે. આનાથી એક કાટકોણ ત્રિકોણ \( \triangle ABC \) બને છે, જ્યાં \( \angle C \) કાટખૂણો છે. અહીં,
ઊંચાઈ જ્યાંથી ઝાડ તૂટ્યું \( BC = 5 \) મીટર.
ઝાડના થડથી ટોચનું અંતર \( AB = 12 \) મીટર.
તૂટેલા ભાગની લંબાઈ (કર્ણ) \( AC \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( AC^2 = 12^2 + 5^2 \)
\( AC^2 = 144 + 25 \)
\( AC^2 = 169 \)
\( AC^2 = 13^2 \)
\( AC = 13 \) મીટર
ઝાડની મૂળ ઊંચાઈ = તૂટ્યા પહેલાંનો ભાગ + તૂટેલો ભાગ
મૂળ ઊંચાઈ = \( BC + AC = 5 + 13 = 18 \) મીટર
આમ, ઝાડની મૂળ ઊંચાઈ 18 મીટર હતી.

In simple words: When a tree breaks and falls, it creates a right-angled triangle with the standing part of the tree, the ground, and the fallen part. By using the Pythagorean theorem, we can find the length of the fallen part. Adding this to the standing part gives the tree's original height.

Exam Tip: Clearly distinguish between the part of the tree that is still standing, the distance from the base, and the length of the fallen part. The fallen part becomes the hypotenuse in the right triangle formed.

Question 6. \( \triangle PQR \) માં \( \angle Q \) અને \( \angle R \) અનુક્રમે 25° અને 65° છે. નીચેનામાંથી કયું સાચું છે તે લખો:
(i) \( PQ^2 + QR^2 = RP^2 \)
(ii) \( PQ^2 + RP^2 = QR^2 \)
(iii) \( RP^2 + QR^2 = PQ^2 \)
Answer:
\( \triangle PQR \) માં, ખૂણાઓના સરવાળાનો ગુણધર્મ મુજબ:
\( m\angle P + m\angle Q + m\angle R = 180° \)
\( m\angle P + 25° + 65° = 180° \)
\( m\angle P + 90° = 180° \)
\( m\angle P = 180° - 90° \)
\( m\angle P = 90° \)
આમ, \( \triangle PQR \) એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં \( \angle P \) કાટખૂણો છે. કાટકોણની સામેની બાજુ કર્ણ હોય છે, તેથી \( QR \) એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ, \( QR^2 = PQ^2 + RP^2 \).
તેથી, આપેલા ત્રિકોણ માટે (ii) માં આપેલ સંબંધ સાચો છે.

In simple words: First, we find the third angle of the triangle. If one angle is 90 degrees, it's a right-angled triangle. The side opposite the 90-degree angle is the hypotenuse. The Pythagorean theorem then applies: the square of the hypotenuse equals the sum of the squares of the other two sides.

Exam Tip: Always calculate the unknown angle in a triangle if two angles are given, to determine if it is a right-angled triangle. Then, identify the hypotenuse as the side opposite the 90° angle.

Question 7. જેની બાજુની લંબાઈ 40 સેમી અને વિકર્ણની લંબાઈ 41 સેમી હોય, તેવા લંબચોરસની પરિમિતિ શોધો.
Answer:
ધારો કે ABCD એક લંબચોરસ છે અને BD તેનો વિકર્ણ છે. આથી, \( \triangle ABD \) એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જેમાં \( \angle A \) કાટખૂણો છે.
લંબચોરસની એક બાજુ \( AB = 40 \) સેમી.
વિકર્ણ \( BD = 41 \) સેમી.
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ:
\( BD^2 = AB^2 + AD^2 \)
\( (41)^2 = (40)^2 + AD^2 \)
\( 1681 = 1600 + AD^2 \)
\( AD^2 = 1681 - 1600 \)
\( AD^2 = 81 \)
\( AD^2 = 9^2 \)
\( AD = 9 \) સેમી
આથી, લંબચોરસની પહોળાઈ 9 સેમી છે.
લંબચોરસની પરિમિતિ = \( 2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ}) \)
પરિમિતિ = \( 2 \times (40 + 9) \)
પરિમિતિ = \( 2 \times 49 \)
પરિમિતિ = 98 સેમી
આમ, લંબચોરસની પરિમિતિ 98 સેમી છે.

In simple words: A rectangle's diagonal divides it into two right-angled triangles. If you know one side and the diagonal, you can use the Pythagorean theorem to find the other side. Once you have both length and width, you can calculate the perimeter by adding all four sides.

Exam Tip: Remember the perimeter formula for a rectangle: \( 2 \times (\text{length} + \text{width}) \). First, use the diagonal and given side to find the unknown side of the rectangle.

Question 8. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણીનાં માપ 16 સેમી અને 30 સેમી છે, તેની પરિમિતિ શોધો.
Answer:
અહીં, એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD આપ્યો છે. તેના વિકર્ણ \( AC \) અને \( BD \) છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણ પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે.
ધારો કે, વિકર્ણોનું છેદબિંદુ O છે.
\( m\angle AOB = m\angle BOC = m\angle COD = m\angle DOA = 90° \)
\( AC = 30 \) સેમી અને \( BD = 16 \) સેમી.
આથી,
\( OA = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 30 = 15 \) સેમી
\( BO = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \) સેમી
હવે, કાટકોણ ત્રિકોણ \( \triangle AOB \) માં, \( AB \) એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ:
\( AB^2 = AO^2 + BO^2 \)
\( AB^2 = 15^2 + 8^2 \)
\( AB^2 = 225 + 64 \)
\( AB^2 = 289 \)
\( AB^2 = 17^2 \)
\( AB = 17 \) સેમી
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સરખી હોય છે.
પરિમિતિ = \( 4 \times (\text{બાજુનું માપ}) \)
પરિમિતિ = \( 4 \times 17 \)
પરિમિતિ = 68 સેમી
આમ, સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ 68 સેમી છે.

In simple words: The diagonals of a rhombus cross each other at a right angle and split each other in half. This creates four small right-angled triangles. The hypotenuse of each small triangle is a side of the rhombus. By finding the lengths of the half-diagonals, you can use the Pythagorean theorem to calculate one side of the rhombus. Since all sides are equal, multiply by four to get the perimeter.

Exam Tip: Always remember that the diagonals of a rhombus bisect each other at right angles. This crucial property allows you to use the Pythagorean theorem to find the side length from the half-diagonals.