GSEB Class 7 Maths Solutions Chapter 6 ત્રિકોણ અને તેના ગુણધર્મો Exercise 6.4

Question 1. નીચે પ્રમાણેની બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ શક્ય છે?
(i) 2 સેમી, 3 સેમી, 5 સેમી
(ii) 3 સેમી, 6 સેમી, 7 સેમી
(iii) 6 સેમી, 3 સેમી, 2 સેમી
Answer:
(i) 2 સેમી, 3 સેમી, 5 સેમી
અહીં, 2 સેમી + 3 સેમી = 5 સેમી થાય છે, અને ત્રીજી બાજુનું માપ પણ 5 સેમી જ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે, કોઈ પણ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં હંમેશા વધુ હોવો જોઈએ.
આથી, આ માપ સાથેનો કોઈ ત્રિકોણ શક્ય નથી. આ એક અશક્ય પરિસ્થિતિ છે.
In simple words: એક ત્રિકોણ બનાવવા માટે, તેની કોઈપણ બે બાજુઓને ભેગી કરતાં તેમનું માપ ત્રીજી બાજુ કરતાં હંમેશા મોટું હોવું જોઈએ. જો તે સરખું હોય, તો ત્રિકોણ બની શકતો નથી.

Exam Tip: For a triangle to be possible, the sum of the lengths of any two sides must always be greater than the length of the third side. This is a fundamental property of triangles.

Question 2. APQRના અંદરના ભાગમાં કોઈ પણ બિંદુ O લો.
(i) શું \( OP + OQ > PQ \) છે?
(ii) શું \( OQ + OR > QR \) છે?
(iii) શું \( OR + OP > RP \) છે?
Answer:
(i) હા, \( OP + OQ > PQ \).
અહીં, \( \overline{OP} \), \( \overline{OQ} \) અને \( \overline{PQ} \) થી ∆OPQ બને છે.
∆OPQ માં, કોઈપણ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે જ હોય છે.
(ii) હા, \( OQ + OR > QR \).
અહીં, \( \overline{OQ} \), \( \overline{OR} \) અને \( \overline{QR} \) થી ∆OQR બને છે.
∆OQR માં, કોઈપણ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે જ હોય છે.
(iii) હા, \( OR + OP > RP \).
અહીં, \( \overline{OR} \), \( \overline{OP} \) અને \( \overline{RP} \) થી ∆ORP બને છે.
∆ORP માં, કોઈપણ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે જ હોય છે.
In simple words: હા, બધા કિસ્સાઓમાં આપેલી શરતો સાચી છે કારણ કે ત્રિકોણના નિયમ મુજબ, કોઈપણ ત્રિકોણમાં બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતાં વધારે હોય છે.

Exam Tip: Remember the triangle inequality theorem: the sum of the lengths of any two sides of a triangle is greater than the length of the third side. This applies to any three points forming a triangle.

Question 3. ∆ABC ની મધ્યગા \( \overline{AM} \) છે. \( AB + BC + CA > 2AM \) થાય છે?
Answer:
અહીં, આપણે ધ્યાનમાં રાખીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણની બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો એ ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે હોય છે.
∆ABM માં: \( AB + BM > AM \) ... (1)
∆ACM માં: \( CA + MC > AM \) ... (2)
પરિણામ (1) અને પરિણામ (2) નો સરવાળો કરતાં,
\( (AB + BM) + (CA + MC) > AM + AM \)
\( \implies AB + BM + CA + MC > 2AM \)
\( \implies AB + (BM + MC) + CA > 2AM \)
\( \implies AB + BC + CA > 2AM \) (કારણ કે \( BM + MC = BC \), કારણ કે AM મધ્યગા છે.)
In simple words: હા, આ નિવેદન સાચું છે. આપણે ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બતાવી શકીએ છીએ કે ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓનો કુલ સરવાળો, મધ્યગાની લંબાઈના બમણા કરતાં મોટો હોય છે.

Exam Tip: When dealing with medians, remember that a median divides the opposite side into two equal parts. Apply the triangle inequality to the two smaller triangles formed by the median.

Question 4. ABCD એક ચતુષ્કોણ છે. \( AB + BC + CD + DA > AC + BD \) થાય છે?
Answer:
અહીં, આપણે ધ્યાનમાં રાખીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણની બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે હોય છે.
∆ABC માં: \( AB + BC > AC \) ... (1)
∆ACD માં: \( CD + DA > AC \) ... (2)
પરિણામ (1) અને પરિણામ (2) નો સરવાળો કરતાં,
\( AB + BC + CD + DA > AC + AC \)
\( \implies AB + BC + CD + DA > 2AC \) ... (3)
તે જ રીતે,
∆ABD માં: \( AB + DA > BD \) ... (4)
∆BCD માં: \( BC + CD > BD \) ... (5)
પરિણામ (4) અને પરિણામ (5) નો સરવાળો કરતાં,
\( AB + DA + BC + CD > BD + BD \)
\( \implies AB + BC + CD + DA > 2BD \) ... (6)
પરિણામ (3) અને પરિણામ (6) નો સરવાળો કરતાં,
\( (AB + BC + CD + DA) + (AB + BC + CD + DA) > 2AC + 2BD \)
\( \implies 2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD) \)
\( \implies AB + BC + CD + DA > AC + BD \) (બંને બાજુને 2 વડે ભાગતાં)
In simple words: હા, ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓનો કુલ સરવાળો, તેના બંને કર્ણના કુલ સરવાળા કરતાં વધારે હોય છે. આપણે આ સાબિત કરવા માટે ચાર અલગ અલગ ત્રિકોણમાં ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

Exam Tip: To prove inequalities involving quadrilaterals, often break them down into triangles using the diagonals and apply the triangle inequality theorem repeatedly.

Question 5. ABCD એક ચતુષ્કોણ છે. \( AB + BC + CD + DA < 2(AC+ BD) \) થાય છે?
Answer:
આપણે ધ્યાનમાં રાખીશું કે ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે હોય છે.
ધારો કે, ચતુષ્કોણ ABCD ના વિકર્ણ AC અને BD એકબીજાને બિંદુ O માં છેદે છે.
△OAB માં: \( OA + OB > AB \) ... (1)
△OBC માં: \( OB + OC > BC \) ... (2)
△OCD માં: \( OC + OD > CD \) ... (3)
△ODA માં: \( OA + OD > DA \) ... (4)
પરિણામ (1), (2), (3), (4) નો સરવાળો લેતાં,
\( (OA + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (OA + OD) > AB + BC + CD + DA \)
\( \implies 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA \)
\( \implies 2[(OA + OC) + (OB + OD)] > AB + BC + CD + DA \)
\( \implies 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA \)
આમ, \( AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD) \)
In simple words: હા, આ નિવેદન સાચું છે. ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓનો કુલ સરવાળો તેના બંને કર્ણના કુલ સરવાળાના બમણા કરતાં ઓછો હોય છે. આપણે વિકર્ણોના છેદનબિંદુથી બનતા નાના ત્રિકોણોનો ઉપયોગ કરીને આ સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: When an internal point (like the intersection of diagonals) is involved, apply the triangle inequality to the smaller triangles formed by this internal point and the vertices. This often leads to inequalities involving the sum of sides and diagonals.

Question 6. એક ત્રિકોણની બે બાજુઓની લંબાઈ 12 સેમી અને 15 સેમી છે. ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કયા બે માપની વચ્ચે આવવી જોઈએ?
Answer:
(i) આપણે ધ્યાનમાં રાખીશું કે ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો એ ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે હોય છે.
હવે, ત્રિકોણની બે બાજુઓનાં માપ 15 સેમી અને 12 સેમી આપ્યાં છે.
તેથી, બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો > ત્રીજી બાજુનું માપ.
\( \implies 12 \) સેમી \( + 15 \) સેમી \( > \) ત્રીજી બાજુનું માપ
\( \implies 27 \) સેમી \( > \) ત્રીજી બાજુનું માપ, અર્થાત્ ત્રીજી બાજુનું માપ \( < 27 \) સેમી.
આમ, ત્રીજી બાજુનું માપ 27 સેમી કરતાં ઓછું હોય.
(ii) આપણે ધ્યાનમાં રાખીશું કે ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુઓનાં માપનો તફાવત એ ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં ઓછો હોય છે.
\( \implies 15 \) સેમી \( - 12 \) સેમી \( < \) ત્રીજી બાજુનું માપ
\( \implies 3 \) સેમી \( < \) ત્રીજી બાજુનું માપ, અર્થાત્ ત્રીજી બાજુનું માપ \( > 3 \) સેમી.
આમ, ત્રીજી બાજુનું માપ 3 સેમી કરતાં વધારે હોય.
ટૂંકમાં, ત્રીજી બાજુનું માપ 3 સેમી અને 27 સેમીની વચ્ચેનું કોઈ પણ હોઈ શકે.
In simple words: ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુની લંબાઈ શોધવા માટે, આપણે બે નિયમો વાપરીએ છીએ: પહેલો નિયમ છે કે બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં મોટો હોવો જોઈએ, અને બીજો નિયમ છે કે બે બાજુઓનો તફાવત ત્રીજી બાજુ કરતાં નાનો હોવો જોઈએ. આ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, ત્રીજી બાજુ 3 સેમી અને 27 સેમીની વચ્ચે ગમે તે હોઈ શકે.

Exam Tip: When given two sides of a triangle and asked for the range of the third side, remember to apply both parts of the triangle inequality: the sum of two sides is greater than the third, and the absolute difference of two sides is less than the third.