GSEB Class 7 Maths Solutions Chapter 6 ત્રિકોણ અને તેના ગુણધર્મો InText Questions

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 113 – 114)

Question 1. \( \Delta ABC \) ના (ત્રણ બાજુઓ અને 3 ખૂણાઓ) લખો.
Answer: \( \Delta ABC \) ની બાજુઓ નીચે મુજબ છે:
ત્રણ બાજુઓ: \( \overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}} \) અને \( \overline{\mathrm{CA}} \).
ત્રણ ખૂણાઓ: \( \angle A, \angle B \) અને \( \angle C \).
In simple words: For triangle ABC, the three sides are AB, BC, and CA. The three angles are angle A, angle B, and angle C.

Exam Tip: Remember that a triangle always has three sides and three angles. Be careful to label them correctly using standard notation.

Question 2. (i) \( \Delta PQR \) માં શિરોબિંદુ Qની સામેની બાજુ,
(ii) \( \Delta LMN \) માં બાજુ LMની સામેનો ખૂણો,
(iii) \( \Delta RST \) માં બાજુ RTની સામેનું શિરોબિંદુ લખો.
Answer:
(i) શિરોબિંદુ Qની સામેની બાજુ \( \overline{\mathrm{PR}} \) છે.
(ii) \( \Delta LMN \) માં બાજુ LMની સામેનો ખૂણો \( \angle N \) છે.
(iii) \( \Delta RST \) માં બાજુ RTની સામેનું શિરોબિંદુ S છે.
In simple words: For a triangle, the side opposite a vertex is the one that doesn't touch it. The angle opposite a side is the one not connected to that side. The vertex opposite a side is the corner not part of that side.

Exam Tip: Visualizing the triangle helps to quickly identify opposite sides, angles, or vertices. Always draw a quick sketch if unsure.

Question 3. નીચેની આકૃતિઓ જુઓ. દરેક ત્રિકોણનું વર્ગીકરણ (i) બાજુઓ પ્રમાણે અને (ii) ખૂણાઓ પ્રમાણે કરોઃ
Answer:
(i) અહીં \( \Delta ABC \) માં AC = BC = 8 સેમી છે. તેથી, \( \Delta ABC \) એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. વળી, \( \Delta ABC \) ના ત્રણેય ખૂણાના માપ 90° કરતાં નાના છે. આથી, \( \Delta ABC \) એક લઘુકોણ ત્રિકોણ પણ છે.
(ii) અહીં \( \Delta PQR \) માં PQ \( \neq \) QR \( \neq \) RP છે. તેથી, \( \Delta PQR \) એક વિષમબાજુ ત્રિકોણ છે. વળી, \( \Delta PQR \) માં \( m\angle R = 90^\circ \). આથી, \( \Delta PQR \) એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
(iii) અહીં \( \Delta LMN \) માં LN = MN = 7 સેમી છે. તેથી, \( \Delta LMN \) એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. વળી, \( \Delta LMN \) માં \( m\angle N \) 90° કરતાં વધારે છે. આથી, \( \Delta LMN \) એક ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.
(iv) અહીં \( \Delta RST \) માં RS = ST = TR = 5.2 સેમી છે. તેથી, \( \Delta RST \) એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે. વળી, \( \Delta RST \) માં ત્રણેય ખૂણાના માપ 90° કરતાં નાના છે. આથી, \( \Delta RST \) એક લઘુકોણ ત્રિકોણ છે.
(v) અહીં \( \Delta ABC \) માં AB = BC = 3 સેમી છે. તેથી, \( \Delta ABC \) એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. વળી, \( \Delta ABC \) માં \( m\angle B \) નું માપ 90° કરતાં વધારે છે. આથી, \( \Delta ABC \) એક ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.
(vi) અહીં \( \Delta PQR \) માં PQ = QR = 6 સેમી છે. તેથી, \( \Delta PQR \) એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. વળી, \( \Delta PQR \) માં \( m\angle Q = 90^\circ \). આથી, \( \Delta PQR \) એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
In simple words: To classify triangles, look at their side lengths and angle measures. If all sides are different, it's scalene. If two sides are equal, it's isosceles. If all three sides are equal, it's equilateral. For angles, if all angles are less than 90°, it's acute. If one angle is exactly 90°, it's right-angled. If one angle is greater than 90°, it's obtuse.

Exam Tip: Remember that a triangle can be classified by its sides (equilateral, isosceles, scalene) AND by its angles (acute, right, obtuse). You often need to provide both classifications.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 114)

Question 1. કોઈ પણ ત્રિકોણને કેટલી મધ્યગાઓ હોઈ શકે?
Answer: ત્રિકોણને ત્રણ બાજુઓ હોય છે. શિરોબિંદુથી સામેની બાજુના મધ્યબિંદુને જોડતા આવા ત્રણ રેખાખંડ (મધ્યગા) દોરી શકાય. આમ, ત્રિકોણને ત્રણ મધ્યગાઓ હોય છે.
In simple words: Every triangle has three sides and three corners. You can draw a line from each corner to the middle of the opposite side. Because there are three corners, a triangle can have three such lines, which are called medians.

Exam Tip: A median connects a vertex to the midpoint of the opposite side. Since there are three vertices, there must be three medians.

Question 2. આખી મધ્યગા ત્રિકોણની અંદરના ભાગમાં સમાયેલી છે? (જો તમને લાગે કે આ સાચું નથી, તો તેવી આકૃતિ દોરીને બતાવો.)
Answer: હા, આખી મધ્યગા ત્રિકોણની અંદરના ભાગમાં જ સમાયેલી હોય છે.
In simple words: Yes, a median always stays completely inside the triangle.

Exam Tip: Understand the definition of a median: it connects a vertex to the midpoint of the opposite side, and this line segment will always lie entirely within the triangle's boundaries.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 115)

Question 1. એક ત્રિકોણના કેટલા વેધ હોઈ શકે?
Answer: એક ત્રિકોણને ત્રણ વેધ હોય. ત્રિકોણના શિરોબિંદુથી સામેની બાજુ પર દોરેલો લંબ રેખાખંડ એ ત્રિકોણનો વેધ છે. ત્રિકોણને ત્રણ શિરોબિંદુ હોવાથી ત્રિકોણને ત્રણ વેધ હોય.
In simple words: A triangle has three altitudes. An altitude is a straight line drawn from a corner of the triangle to the opposite side, meeting that side at a perfect right angle. Since there are three corners, there are three such altitude lines.

Exam Tip: Like medians, altitudes are also drawn from each vertex. Therefore, a triangle always has three altitudes.

Question 2. નીચેના ત્રિકોણો માટે Aમાંથી \( \overline{\mathrm{BC}} \) પરના વેધ દોરોઃ
Answer: નીચે દરેક ત્રિકોણમાં Aમાથી \( \overline{\mathrm{BC}} \) પર AL વેધ દોરેલો છે:
(i) લઘુકોણ ત્રિકોણ: વેધ AL ત્રિકોણની અંદર \( \overline{\mathrm{BC}} \) પર છે.
(ii) કાટકોણ ત્રિકોણ: વેધ AL એ બાજુ AC છે, જે \( \overline{\mathrm{BC}} \) પર લંબ છે.
(iii) ગુરુકોણ ત્રિકોણ: વેધ AL ત્રિકોણની બહાર \( \overline{\mathrm{BC}} \) ની લંબાવેલ રેખા પર છે.
In simple words: For different types of triangles, the altitude from vertex A to side BC is drawn differently. In a sharp-angled triangle, the altitude is inside. In a right-angled triangle, one of its sides acts as the altitude. In a wide-angled triangle, the altitude is outside the triangle.

Exam Tip: Remember that for acute-angled triangles, all altitudes lie inside. For right-angled triangles, two altitudes are its legs. For obtuse-angled triangles, two altitudes lie outside the triangle, on the extended base.

Question 3. શું વેધ હંમેશાં ત્રિકોણની અંદરના ભાગમાં જ આવશે? જો તમને આ સાચું ન લાગતું હોય, તો તે દર્શાવવા કાચી આકૃતિ દોરો.
Answer: ના, વેધ હંમેશાં ત્રિકોણની અંદરના ભાગમાં જ આવે તેવું નથી. બાજુમાં દર્શાવેલી ગુરુકોણ ત્રિકોણની આકૃતિમાં વેધ \( \overline{\mathrm{AM}} \) એ \( \Delta ABC \) ના અંદરના ભાગમાં નથી.
In simple words: No, an altitude doesn't always stay inside the triangle. For a triangle with a very wide angle, the altitude from one of the other corners might fall outside the triangle. You have to draw a line from the corner straight down to the *extended* base.

Exam Tip: This is a common point of confusion. Remember that only acute-angled triangles have all their altitudes strictly inside. Right and obtuse triangles have at least one altitude on or outside the triangle.

Question 4. તમે એવો ત્રિકોણ વિચારી શકો જેના બે વેધ તેની બે બાજુઓ જ છે?
Answer: હા, કાટકોણ ત્રિકોણ એ એવો ત્રિકોણ છે જેના બે વેધ તેની બે બાજુઓ જ છે. અહીં કાટકોણ ત્રિકોણ PQR આપ્યો છે, જેમાં \( \angle R \) કાટખૂણો છે, \( \Delta PQR \) ના બે વેધ \( \overline{\mathrm{PR}} \) અને \( \overline{\mathrm{QR}} \) છે. આ \( \Delta PQR \) ની જ બાજુઓ છે. જો અન્ય કોઈ ત્રિકોણ રચીએ તો તેના બે વેધ તેની બે બાજુઓ ન હોય.
In simple words: Yes, a right-angled triangle is a special type where two of its altitudes are actually its own sides. For example, in a right-angled triangle PQR with the right angle at R, the side PR is the altitude to QR, and QR is the altitude to PR.

Exam Tip: In a right-angled triangle, the two legs (sides forming the right angle) act as altitudes to each other. The third altitude is drawn from the right-angle vertex to the hypotenuse.

Question 5. કોઈ ત્રિકોણ માટે વેધ અને મધ્યગા સમાન હોઈ શકે?
Answer: હા, સમબાજુ ત્રિકોણમાં વેધ અને મધ્યગા સમાન હોય છે. અહીં \( \Delta ABC \) એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે. અહીં \( \Delta ABC \) નો વેધ \( \overline{\mathrm{AM}} \) એ જ મધ્યગા \( \overline{\mathrm{AM}} \) છે.
In simple words: Yes, an altitude and a median can be the same line in a special type of triangle called an equilateral triangle. In such a triangle, the line from a corner to the middle of the opposite side also meets that side at a right angle.

Exam Tip: This unique property (altitude and median being the same) holds true for equilateral triangles and also for the median/altitude drawn to the base of an isosceles triangle.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 117)

Question 1. ત્રિકોણના બહિષ્કોણ ઘણી રીતે બનાવી શકાય. તેમાંની ત્રણ રીત નીચે આકૃતિમાં દર્શાવી છે. બહિષ્કોણ મેળવવાની હજુ વધારે ત્રણ રીતો છે. તેની કાચી આકૃતિઓ બનાવવાનો પ્રયત્ન કરો.
Answer: ત્રિકોણના બહિષ્કોણ બનાવવાની બીજી ત્રણ રીતો નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય:
(i) એક ખૂણાને લંબાવીને (vertex A પર).
(ii) બીજા ખૂણાને લંબાવીને (vertex B પર).
(iii) ત્રીજા ખૂણાને લંબાવીને (vertex C પર).
In simple words: You can make an exterior angle of a triangle by extending any of its sides. Just pick a corner, extend one of the lines coming out of it, and the angle formed outside the triangle is an exterior angle. Since there are three corners, and each side can be extended in two ways, there are many ways to draw them.

Exam Tip: An exterior angle is formed when one side of a triangle is extended. It forms a linear pair with the adjacent interior angle.

Question 2. ત્રિકોણના દરેક ખૂણા આગળ બનતા બહિષ્કોણ સરખા છે?
Answer: ના, ત્રિકોણનાં ત્રણેય શિરોબિંદુએ બનતા બહિષ્કોણનાં માપ સરખાં ન હોય.
In simple words: No, the exterior angles at each corner of a triangle are not always the same size. They can be different.

Exam Tip: Exterior angles are equal only if the corresponding interior angles are equal, which happens in equilateral triangles for all exterior angles, or in isosceles triangles for two exterior angles.

Question 3. ત્રિકોણના બહિષ્કોણ અને તેની અંદરના તેના આસન્નકોણના સરવાળા બાબતે તમે શું કહી શકો?
Answer: બહિષ્કોણ અને તેનો અંદરનો આસન્નકોણ રેખિક ખૂણાઓની જોડ રચે છે. આથી, બહિષ્કોણનું માપ + અંદરના આસન્નકોણનું માપ = 180°.
In simple words: When you add an exterior angle of a triangle to the interior angle next to it, the total will always be 180 degrees. They form a straight line.

Exam Tip: An exterior angle and its adjacent interior angle always form a linear pair, so their sum is 180 degrees. This is a fundamental property for calculations.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 118)

Question 1. જ્યારે બહિષ્કોણ (i) કાટકોણ હોય, (ii) ગુરુકોણ હોય અને (iii) લઘુકોણ હોય, તો દરેક વખતે બંને અંતઃસંમુખકોણ વિશે તમે શું કહી શકો?
Answer:
(i) જ્યારે ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ કાટકોણ હોય, ત્યારે બંને અંતઃસંમુખ કોણ લઘુકોણ હોય.
(ii) જ્યારે ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ ગુરુકોણ હોય, ત્યારે બેમાંથી એક અંત:સંમુખ કોણ લઘુકોણ હોય.
(iii) જ્યારે ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ લઘુકોણ હોય, ત્યારે અંદરના બંને અંતઃસંમુખ કોણ લઘુકોણ હોય.
In simple words: (i) If an exterior angle is a right angle (90°), then the two interior angles far from it must both be acute (less than 90°). (ii) If an exterior angle is an obtuse angle (more than 90°), then one of the two interior opposite angles will be acute. (iii) If an exterior angle is an acute angle (less than 90°), then both of the two interior opposite angles must be acute.

Exam Tip: Remember the Exterior Angle Theorem: an exterior angle is equal to the sum of the two opposite interior angles. This relationship dictates the nature of the interior opposite angles.

Question 2. કોઈ ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ સરળકોણ હોઈ શકે?
Answer: ના, ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ સરળકોણ ન હોઈ શકે.
In simple words: No, an exterior angle of a triangle cannot be a straight angle (180°).

Exam Tip: An exterior angle and its adjacent interior angle sum to 180°. If the exterior angle were 180°, the adjacent interior angle would be 0°, which is impossible for a triangle.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 118)

Question 1. એક ત્રિકોણના બહિષ્કોણનું માપ 70° છે અને તેના એક અંત સંમુખકોણનું માપ 25° છે. બીજા અંતઃસંમુખકોણનું માપ શોધો.
Answer: અહીં ત્રિકોણના બહિષ્કોણનું માપ = 70°.
ત્રિકોણના બે અંતઃસંમુખકોણનાં માપ 25° અને x છે.
હવે, ત્રિકોણના બે અંતઃસંમુખકોણનો સરવાળો = ત્રિકોણના બહિષ્કોણનું માપ.
\( \implies \) \( 25^\circ + \angle x = 70^\circ \)
\( \implies \) \( \angle x = 70^\circ - 25^\circ \)
\( \implies \) \( \angle x = 45^\circ \)
ત્રિકોણના માગેલા અંતઃસંમુખકોણનું માપ 45° છે.
In simple words: The exterior angle of a triangle is equal to the sum of the two opposite interior angles. So, if one interior angle is 25 degrees and the exterior angle is 70 degrees, you subtract 25 from 70 to find the other interior angle.

Exam Tip: Clearly state the Exterior Angle Theorem at the beginning of your solution. Show all steps of the subtraction to avoid calculation errors.

Question 2. એક ત્રિકોણના બહિષ્કોણના અંત સંમુખ કોણોનાં માપ 60° અને 80° છે, તો બહિષ્કોણનું માપ શોધો.
Answer: ત્રિકોણના બે અંતઃસંમુખકોણનાં માપ 60° અને 80° છે.
હવે, બહિષ્કોણનું માપ = બે અંતઃસંમુખકોણનાં માપનો સરવાળો.
\( = 60^\circ + 80^\circ = 140^\circ \)
ત્રિકોણના બહિષ્કોણનું માપ 140° છે.
In simple words: When you know the two interior angles that are far from an exterior angle, you just add them together to find the size of the exterior angle.

Exam Tip: Direct application of the Exterior Angle Theorem simplifies this problem. Ensure you sum the correct angles (the two *opposite* interior angles).

Question 3. બાજુની આકૃતિમાં કંઈ ખોટું છે? તમારું મંતવ્ય લખો.
Answer: કોઈ પણ ત્રિકોણ માટે, ત્રિકોણના બહિષ્કોણનું માપ = બે અંતઃસંમુખકોણનાં માપનો સરવાળો.
અહીં ત્રિકોણના બહિષ્કોણનું માપ = 50°.
બે અંતઃસંમુખકોણનાં માપનો સરવાળો = \( 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ \).
પણ, \( 50^\circ \neq 100^\circ \).
આથી, સાચી આકૃતિ માટે ત્રિકોણના બહિષ્કોણનું માપ 100° લખવું જોઈએ.
In simple words: Yes, there is a mistake in the image. The exterior angle of a triangle should always equal the sum of the two interior opposite angles. In the picture, the exterior angle is 50 degrees, but the sum of the two opposite interior angles is 50 + 50 = 100 degrees. These don't match, so the exterior angle should be 100 degrees for the picture to be correct.

Exam Tip: Always apply the Exterior Angle Theorem to verify triangle diagrams. If the sum of the two interior opposite angles does not equal the exterior angle, the diagram or values are incorrect.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 122)

Question 1. ત્રિકોણના બે ખૂણા 30° અને 80° છે. ત્રીજો ખૂણો શોધો.
Answer: ધારો કે ત્રિકોણના ત્રીજા ખૂણાનું માપ x છે.
હવે, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે.
\( \implies \) \( 30^\circ + 80^\circ + x = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 110^\circ + x = 180^\circ \)
\( \implies \) \( x = 180^\circ - 110^\circ \)
\( \implies \) \( x = 70^\circ \)
ત્રિકોણના ત્રીજા ખૂણાનું માપ 70° છે.
In simple words: The three angles inside any triangle always add up to 180 degrees. If you know two of the angles, add them together and then subtract that total from 180 to find the missing third angle.

Exam Tip: Remember the Triangle Angle Sum Property: the sum of the interior angles of any triangle is always 180 degrees. This is crucial for finding missing angles.

Question 2. ત્રિકોણનો એક ખૂણો 80°નો છે અને બાકીના બંને ખૂણા સરખા છે. તે બંનેનાં માપ શોધો.
Answer: ધારો કે ત્રિકોણના સરખા ખૂણા પૈકી દરેકનું માપ x છે.
હવે, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે.
\( \implies \) \( x + x + 80^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 2x + 80^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 2x = 180^\circ - 80^\circ \)
\( \implies \) \( 2x = 100^\circ \)
\( \implies \) \( \frac{2x}{2} = \frac{100^\circ}{2} \)
\( \implies \) \( x = 50^\circ \)
ત્રિકોણના સરખા ખૂણા પૈકી દરેકનું માપ 50° છે.
In simple words: Since the total degrees in a triangle is 180, first take away the known angle (80 degrees). The remaining amount (100 degrees) is for the two equal angles. Divide that amount by two to find the size of each of those equal angles.

Exam Tip: For isosceles triangles, remember that the angles opposite the equal sides are also equal. This property is key to solving problems with two equal angles.

Question 3. ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણા 1 : 2 : 1ના પ્રમાણમાં છે. આ ત્રિકોણના બધા ખૂણા ભિન્ન રીતે ઓળખો.
Answer: ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપ 1 : 2 : 1ના પ્રમાણમાં છે.
ધારો કે આ ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપ x, 2x અને x છે.
હવે, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે.
\( \implies \) \( x + 2x + x = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 4x = 180^\circ \)
\( \implies \) \( \frac{4x}{4} = \frac{180^\circ}{4} \)
\( \implies \) \( x = 45^\circ \) અને \( 2x = 45^\circ \times 2 = 90^\circ \)
આમ, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપ 45°, 90° અને 45° છે.
આ ત્રિકોણના બે ખૂણાઓનાં માપ સરખાં છે તેથી આ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સરખી થાય. વળી, એક ખૂણાનું માપ 90° છે.
આથી, આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ પણ છે.
આમ, આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
In simple words: Since the angles are in a ratio, let them be x, 2x, and x. Add them up to get 4x. Since all angles in a triangle add to 180 degrees, 4x equals 180 degrees. Divide 180 by 4 to find x. This gives you angles of 45, 90, and 45 degrees. Because two angles are the same, it's an isosceles triangle. Since one angle is 90 degrees, it's also a right-angled triangle. So, it's an isosceles right-angled triangle.

Exam Tip: When angles are given in a ratio, represent them as multiples of 'x'. Use the angle sum property to find 'x', then calculate each angle. Finally, classify the triangle based on both angle measures and implied side properties.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 122)

Question 1. બે કાટખૂણાવાળો ત્રિકોણ મળી શકે?
Answer: ના, બે કાટખૂણાવાળો ત્રિકોણ ન મળી શકે.
કારણ: ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય. હવે, જો ત્રિકોણમાં બે ખૂણા કાટખૂણા હોય, તો આ બે ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય અને ત્રીજા ખૂણાનું માપ તેમાં ઉમેરતાં સરવાળો 180°થી વધી જાય. આમ, ત્રિકોણ જ શક્ય ન બને.
In simple words: No, you cannot have a triangle with two right angles. This is because the three angles in a triangle always add up to 180 degrees. If two angles were 90 degrees each, their sum would already be 180 degrees, leaving no degrees for the third angle, which is impossible for a triangle.

Exam Tip: Emphasize the Triangle Angle Sum Property. If two angles are 90 degrees, their sum is 180 degrees, which means the third angle must be 0 degrees, a mathematical impossibility for a real triangle.

Question 2. બે ગુરુકોણવાળો ત્રિકોણ મળી શકે?
Answer: ના, બે ગુરુકોણવાળો ત્રિકોણ ન મળી શકે.
કારણ: ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે. હવે, જો ત્રિકોણમાં બે ખૂણા ગુરુકોણ હોય, તો આ બે ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180°થી વધી જાય જે ત્રિકોણ માટે શક્ય નથી.
In simple words: No, a triangle cannot have two obtuse angles. An obtuse angle is larger than 90 degrees. If you have two angles greater than 90 degrees, their sum will be more than 180 degrees, which is impossible since all three angles in a triangle must add up to exactly 180 degrees.

Exam Tip: An obtuse angle is greater than 90°. If two angles are obtuse, their sum alone exceeds 180°, making it impossible for a third angle to exist while maintaining the 180° total.

Question 3. બે લઘુકોણવાળો ત્રિકોણ મળી શકે?
Answer: હા, બે લઘુકોણવાળો ત્રિકોણ મળી શકે.
કારણ: ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે. બે ખૂણા લઘુકોણ હોય, અને ત્રીજો ખૂણો લઘુકોણ કે ગુરુકોણ ગમે તે હોવા છતાં ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થઈ રહે છે.
In simple words: Yes, a triangle can definitely have two acute angles. An acute angle is less than 90 degrees. If two angles are acute, the third angle can be acute, right, or obtuse, and the total sum can still be 180 degrees.

Exam Tip: Most triangles (acute, right, and obtuse) have at least two acute angles. This is a common and valid configuration.

Question 4. જેના ત્રણે ખૂણા 60° કરતાં મોટા હોય તેવો ત્રિકોણ મળી શકે?
Answer: ના, જેના ત્રણેય ખૂણા 60° કરતાં મોટા હોય તેવો ત્રિકોણ ન મળી શકે.
કારણ: ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે. જો ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણા 60° કરતાં મોટા હોય, તો ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° કરતાં વધી જાય જેથી ત્રિકોણ શક્ય ન બને.
In simple words: No, you cannot have a triangle where all three angles are larger than 60 degrees. If each angle is more than 60 degrees, their total sum would be more than 180 degrees, which is not possible for a triangle.

Exam Tip: Since the average angle in a triangle is 180°/3 = 60°, if all three angles are greater than 60°, their sum will exceed 180°, which is impossible.

Question 5. જેના ત્રણે ખૂણા 60° હોય તેવો ત્રિકોણ મળી શકે?
Answer: હા, જેના ત્રણેય ખૂણા 60° હોય તેવો ત્રિકોણ મળી શકે.
કારણ: ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે. ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાનાં માપ 60° હોય, તો ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાનાં માપનો સરવાળો \( 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ \) થાય. જેથી ત્રિકોણ શક્ય બને છે. આવો ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
In simple words: Yes, a triangle can have all three angles as 60 degrees. When you add three 60-degree angles, you get 180 degrees, which is the correct sum for a triangle. This type of triangle is called an equilateral triangle.

Exam Tip: An equilateral triangle is defined by having all three sides equal, which also means all three angles are equal, and thus each angle measures 60 degrees.

Question 6. જેના ત્રણે ખૂણા 60° કરતાં નાના હોય તેવો ત્રિકોણ મળી શકે?
Answer: ના, જેના ત્રણેય ખૂણા 60° કરતાં નાના હોય તેવો ત્રિકોણ ન મળી શકે.
કારણ: ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપન સરવાળો 180° થાય છે. જો ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપ 60°થી નાના હોય, તો આ ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180°થી ઓછો થાય. જેથી ત્રિકોણ શક્ય ન બને.
In simple words: No, a triangle cannot have all three angles smaller than 60 degrees. If each angle is less than 60 degrees, their total sum would be less than 180 degrees, which is not possible for a triangle.

Exam Tip: Similar to angles greater than 60°, if all angles are less than 60°, their sum will be less than 180°, violating the Triangle Angle Sum Property.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 123-124)

Question 1. દરેક આકૃતિમાં ખૂણો x શોધોઃ
Answer:
(i) આપેલા ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, સરખી બાજુઓની સામેના (પાયાના) બંને ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય. પાયાના એક ખૂણાનું માપ 40° છે. આથી, \( \angle x = 40^\circ \).
(ii) આપેલા ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, સરખી બાજુઓની સામેના બંને ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય. શિરોબિંદુ આગળના ખૂણાનું માપ 45° છે.
હવે, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય.
\( \implies \) \( \angle 45^\circ + \angle x + \angle x = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 90^\circ + x^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( x^\circ = 180^\circ - 90^\circ \)
\( \implies \) \( \angle x = 90^\circ \)
(iii) ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, ત્રિકોણમાં સરખી બાજુઓની સામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય. અહીં, બાહ્યકોણનું માપ 50° છે. આથી, \( \angle x = 50^\circ \).
(iv) ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, ત્રિકોણમાં સરખી બાજુઓની સામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય. ત્રિકોણમાં બાકીના એક પાયાના ખૂણાનું માપ x છે.
હવે, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય.
\( \implies \) \( \angle x + 2\angle x + 100^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x = 180^\circ - 100^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x = 80^\circ \)
\( \implies \) \( \frac{2\angle x}{2} = \frac{80^\circ}{2} \)
\( \implies \) \( \angle x = 40^\circ \)
(v) ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, ત્રિકોણમાં સરખી બાજુઓની સામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય. ત્રિકોણમાં શિરોબિંદુના ખૂણાનું માપ x છે. તેથી પાયાના ખૂણાનું માપ x છે.
વળી, આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ પણ છે.
હવે, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય.
\( \implies \) \( \angle x + 2\angle x + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x = 180^\circ - 90^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x = 90^\circ \)
\( \implies \) \( \frac{2\angle x}{2} = \frac{90^\circ}{2} \)
\( \implies \) \( \angle x = 45^\circ \)
(vi) ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, ત્રિકોણમાં સરખી બાજુઓની સામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય. ત્રિકોણમાં એક ખૂણાનું માપ x પણ છે.
હવે, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય.
\( \implies \) \( \angle x + 2\angle x + 40^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x = 180^\circ - 40^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x = 140^\circ \)
\( \implies \) \( \frac{2\angle x}{2} = \frac{140^\circ}{2} \)
\( \implies \) \( \angle x = 70^\circ \)
(vii) ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, ત્રિકોણમાં સરખી બાજુઓની સામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય. પાયાના બીજા ખૂણાનું માપ x છે.
હવે, \( \angle x \) અને 120° એ રેખિક જોડના ખૂણા છે.
\( \implies \) \( \angle x + 120^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( \angle x = 180^\circ - 120^\circ \)
\( \implies \) \( \angle x = 60^\circ \)
(viii) ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, ત્રિકોણમાં સરખી બાજુઓની સામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય. પાયાના એક ખૂણાનું માપ x છે. તેથી પાયાના બીજા ખૂણાનું માપ x છે.
હવે, ત્રિકોણના બહિષ્કોણનું માપ = અંતઃસંમુખ બે ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો.
\( \implies \) \( \angle x + \angle x = 110^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x = 110^\circ \)
\( \implies \) \( \frac{2\angle x}{2} = \frac{110^\circ}{2} \)
\( \implies \) \( \angle x = 55^\circ \)
(ix) ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, ત્રિકોણમાં સરખી બાજુઓની સામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય. ત્રિકોણનો પાયાનો એક ખૂણો પણ x હોય.
હવે, \( \angle x \) અને 30° અભિકોણો છે. આથી, \( \angle x = 30^\circ \).
In simple words: For isosceles triangles, remember that the angles opposite the equal sides are also equal. Use the fact that the sum of angles in a triangle is 180 degrees. If there's an exterior angle, it equals the sum of the two opposite interior angles. For vertically opposite angles or angles on a straight line (linear pair), use those properties to find 'x'.

Exam Tip: This question tests various angle properties: isosceles triangle property (angles opposite equal sides are equal), angle sum property (sum of interior angles is 180°), linear pair property (angles on a straight line sum to 180°), exterior angle property (exterior angle equals sum of two opposite interior angles), and vertically opposite angles (are equal). Identify the relevant property for each figure.

Question 2. દરેક આકૃતિમાં ખૂણા x અને y શોધો:
Answer:
(i) આકૃતિમાં ત્રિકોણની બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, સરખી બાજુઓની સામેના ખૂણાઓનાં માપ સરખાં હોય.
હવે, પાયાના એક ખૂણાનું માપ y છે. પાયાના બીજા ખૂણાનું માપ પણ y છે.
હવે, \( \angle y \) અને 120° એ રેખિક જોડના ખૂણા છે.
\( \implies \) \( \angle y + 120^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( \angle y = 180^\circ - 120^\circ \)
\( \implies \) \( \angle y = 60^\circ \)
હવે, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે.
\( \implies \) \( \angle x + \angle y + \angle y = 180^\circ \)
\( \implies \) \( \angle x + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( \angle x + 120^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( \angle x = 180^\circ - 120^\circ \)
\( \implies \) \( \angle x = 60^\circ \)
આમ, \( \angle x = 60^\circ \) અને \( \angle y = 60^\circ \).
(ii) આપેલ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે તેથી તેના એક ખૂણાનું માપ 90° છે.
ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, ત્રિકોણમાં સરખી બાજુઓની સામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય.
ત્રિકોણમાં પાયાના એક ખૂણાનું માપ x છે. તેથી શિરોબિંદુનું માપ x છે.
હવે, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે.
\( \implies \) \( \angle x + \angle x + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x = 180^\circ - 90^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x = 90^\circ \)
\( \implies \) \( \frac{2\angle x}{2} = \frac{90^\circ}{2} \)
\( \implies \) \( \angle x = 45^\circ \)
હવે, ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ \( \angle y \) નું માપ = ત્રિકોણના બે અંતઃસંમુખ કોણોનો સરવાળો.
\( \implies \) \( \angle y = 45^\circ + 90^\circ \)
\( \implies \) \( \angle y = 135^\circ \)
આમ, \( \angle x = 45^\circ \) અને \( \angle y = 135^\circ \).
(iii) ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. આથી, સરખી બાજુઓની સામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય.
ત્રિકોણમાં પાયાનો એક ખૂણો x છે. તેથી બીજો પાયાનો ખૂણો x હોય.
ત્રિકોણમાં શિરકોણ અને 92° અભિકોણ છે. આથી, આ ત્રિકોણનો શિર કોણ 92° છે.
હવે, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે.
\( \implies \) \( \angle x + \angle x + 92^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x + 92^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x = 180^\circ - 92^\circ \)
\( \implies \) \( 2\angle x = 88^\circ \)
\( \implies \) \( \frac{2\angle x}{2} = \frac{88^\circ}{2} \)
\( \implies \) \( \angle x = 44^\circ \)
હવે, \( \angle x \) અને \( \angle y \) રૈખિક જોડના ખૂણા છે.
\( \implies \) \( \angle x + \angle y = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 44^\circ + \angle y = 180^\circ \)
\( \implies \) \( \angle y = 180^\circ - 44^\circ \)
\( \implies \) \( \angle y = 136^\circ \)
આમ, \( \angle x = 44^\circ \) અને \( \angle y = 136^\circ \).
In simple words: For these figures, use the properties of isosceles triangles (equal base angles), the angle sum property (angles add up to 180°), linear pairs (angles on a straight line add up to 180°), exterior angles (sum of opposite interior angles), and vertically opposite angles (are equal). Solve for one variable first, then use that value to find the other.

Exam Tip: These problems combine multiple geometric concepts. Always start by identifying known properties (isosceles, right angle, linear pair, vertically opposite angles, exterior angle theorem) and then systematically apply them to find the unknown variables. Clearly show each step of your calculation.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 127)

Question 1. શું ત્રિકોણના કોઈ પણ બે ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો એ હંમેશાં ત્રીજા ખૂણાના માપ કરતાં વધુ હોય છે?
Answer: ના, ત્રિકોણના કોઈ પણ બે ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો એ ત્રીજા ખૂણાના માપ કરતાં વધારે હોય અથવા ન પણ હોય.
In simple words: No, the sum of any two angles in a triangle is not always greater than the third angle. It can sometimes be equal to or less than the third angle, depending on the type of triangle.

Exam Tip: Recall the triangle inequality theorem for angles. For a valid triangle, the sum of any two angles *must* be greater than the third if it's an acute triangle. However, for right or obtuse triangles, the sum of the two acute angles might be less than or equal to the third angle (which is right or obtuse).

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 129-130)

Question 1. નીચેની આકૃતિઓમાં અજ્ઞાત લંબાઈ x શોધોઃ
Answer:
(i) અહીં આપેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં અજ્ઞાત બાજુ x એ કર્ણ છે.
\( \implies \) \( (\text{કર્ણ})^2 = (\text{એક બાજુ})^2 + (\text{બીજી બાજુ})^2 \)
\( \implies \) \( x^2 = (3)^2 + (4)^2 \)
\( \implies \) \( x^2 = 9 + 16 \)
\( \implies \) \( x^2 = 25 \)
\( \implies \) \( x^2 = 5^2 \)
\( \implies \) \( x = 5 \)
(ii) અહીં આપેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં અજ્ઞાત બાજુ x એ કર્ણ છે.
\( \implies \) \( (\text{કર્ણ})^2 = (\text{એક બાજુ})^2 + (\text{બીજી બાજુ})^2 \)
\( \implies \) \( x^2 = 6^2 + 8^2 \)
\( \implies \) \( x^2 = 36 + 64 \)
\( \implies \) \( x^2 = 100 \)
\( \implies \) \( x^2 = 10^2 \)
\( \implies \) \( x = 10 \)
(iii) અહીં આપેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં અજ્ઞાત બાજુ x એ કર્ણ છે.
\( \implies \) \( (\text{કર્ણ})^2 = (\text{એક બાજુ})^2 + (\text{બીજી બાજુ})^2 \)
\( \implies \) \( x^2 = 8^2 + 15^2 \)
\( \implies \) \( x^2 = 64 + 225 \)
\( \implies \) \( x^2 = 289 \)
\( \implies \) \( x^2 = 17^2 \)
\( \implies \) \( x = 17 \)
(iv) અહીં આપેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં અજ્ઞાત બાજુ x એ કર્ણ છે.
\( \implies \) \( (\text{કર્ણ})^2 = (\text{એક બાજુ})^2 + (\text{બીજી બાજુ})^2 \)
\( \implies \) \( x^2 = 7^2 + 24^2 \)
\( \implies \) \( x^2 = 49 + 576 \)
\( \implies \) \( x^2 = 625 \)
\( \implies \) \( x^2 = 25^2 \)
\( \implies \) \( x = 25 \)
(v) ત્રિકોણ A માટે:
\( y^2 + 12^2 = 37^2 \)
\( \implies \) \( y^2 + 144 = 1369 \)
\( \implies \) \( y^2 = 1369 - 144 \)
\( \implies \) \( y^2 = 1225 \)
\( \implies \) \( y^2 = 35^2 \)
\( \implies \) \( y = 35 \)
ત્રિકોણ B માટે:
\( (x - y)^2 + 12^2 = 37^2 \)
\( \implies \) \( (x - y)^2 + 144 = 1369 \)
\( \implies \) \( (x - y)^2 = 1369 - 144 \)
\( \implies \) \( (x - y)^2 = 1225 \)
\( \implies \) \( (x - y)^2 = 35^2 \)
\( \implies \) \( x - y = 35 \)
\( \implies \) \( x - 35 = 35 \)
\( \implies \) \( x = 35 + 35 = 70 \)
(vi) અહીં આપેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં અજ્ઞાત બાજુ x એ કર્ણ છે.
\( \implies \) \( (\text{કર્ણ})^2 = (\text{એક બાજુ})^2 + (\text{બીજી બાજુ})^2 \)
\( \implies \) \( x^2 = (12)^2 + (5)^2 \)
\( \implies \) \( x^2 = 144 + 25 \)
\( \implies \) \( x^2 = 169 \)
\( \implies \) \( x^2 = 13^2 \)
\( \implies \) \( x = 13 \)
નોંધ: આ આકૃતિમાં પાયા ઉપરના વેધની લંબાઈ ધ્યાનમાં લેતા નથી.
In simple words: For right-angled triangles, use the Pythagorean theorem: the square of the hypotenuse (the longest side, opposite the right angle) is equal to the sum of the squares of the other two sides. Set up the equation and solve for the unknown side 'x'.

Exam Tip: Clearly identify the hypotenuse and the other two sides (legs) of the right-angled triangle. Remember the formula \( a^2 + b^2 = c^2 \) where 'c' is the hypotenuse. Show each step of squaring, adding, and taking the square root.

Question. (v) Find the unknown length x in the given figure.
Answer: For triangle A:
\( y^{2} + 12^{2} = 37^{2} \)
\( y^{2} + 144 = 1369 \)
\( y^{2} = 1369 - 144 \)
\( y^{2} = 1225 \)
\( y^{2} = 35^{2} \)
\( y = 35 \)
For triangle B:
\( (x - y)^{2} + 12^{2} = 37^{2} \)
\( (x - y)^{2} + 144 = 1369 \)
\( (x - y)^{2} = 1369 - 144 \)
\( (x - y)^{2} = 1225 \)
\( (x - y)^{2} = 35^{2} \)
\( x - y = 35 \)
Substituting the value of \( y = 35 \):
\( x - 35 = 35 \)
\( x = 35 + 35 \)
\( x = 70 \)
In simple words: We used the Pythagorean theorem for two smaller right triangles inside the larger figure. First, we found the length of one base segment (y). Then, using that value, we found the length of the other base segment and added them together to get the total length 'x'.

Exam Tip: When a larger triangle is divided by an altitude, remember to apply the Pythagorean theorem to each right-angled sub-triangle separately to solve for unknown sides.

Question. (vi) Find the unknown length x in the given figure.
Answer: In the provided right-angled triangle, the unknown side x is the hypotenuse.
Applying the Pythagorean theorem:
\( (\text{hypotenuse})^{2} = (\text{one leg})^{2} + (\text{other leg})^{2} \)
\( x^{2} = (12)^{2} + (5)^{2} \)
\( x^{2} = 144 + 25 \)
\( x^{2} = 169 \)
\( x^{2} = 13^{2} \)
\( x = 13 \)
In simple words: For a right-angled triangle, the square of the longest side (hypotenuse) equals the sum of the squares of the other two sides. Here, we added the squares of the two given legs (12 and 5) to find the square of the hypotenuse (x), then took the square root to get x.

Exam Tip: Identify the hypotenuse correctly before applying the Pythagorean theorem, as it is always the side opposite the right angle and is the longest side.

Think, Discuss, And Write (Page Number 131)

Question 1. Which side is opposite the right angle at P?
Answer: In triangle PQR, angle P is the right angle. The side opposite to angle P, which is \( \overline{\mathrm{RQ}} \), is the hypotenuse. In a right-angled triangle, the hypotenuse is always the longest side. Therefore, the longest side of triangle PQR is \( \overline{\mathrm{RQ}} \).
In simple words: The side across from the right angle (angle P) is called the hypotenuse. In a triangle PQR with a right angle at P, the side RQ is the hypotenuse and also the longest side.

Exam Tip: Always remember that the hypotenuse is the side directly opposite the 90-degree angle in a right-angled triangle.

Question 2. Which is the longest side of \( \triangle ABC \) if B is the right angle?
Answer: In triangle ABC, angle B is the right angle. The side opposite to angle B, which is \( \overline{\mathrm{AC}} \), is the hypotenuse. In a right-angled triangle, the hypotenuse is the longest side. Therefore, the longest side of triangle ABC is \( \overline{\mathrm{AC}} \).
In simple words: If angle B in triangle ABC is 90 degrees, then the side AC (which is across from angle B) is the hypotenuse. This side AC will be the longest side in that triangle.

Exam Tip: Correctly identifying the right angle is crucial for determining the hypotenuse, which is always the longest side.

Question 3. Which is the longest side of a right-angled triangle?
Answer: In a right-angled triangle, the hypotenuse is the longest side.
In simple words: The hypotenuse is always the longest side in any right-angled triangle.

Exam Tip: Students should understand that the hypotenuse is the distinguishing feature of a right-angled triangle when considering side lengths.

Question 4. “The area of the square drawn on the diagonal of a rectangle is equal to the sum of the areas of the squares drawn on its length and width.” This is Baudhayana's theorem. Compare this with Pythagoras' theorem.
Answer: Here, a rectangle ABCD is given. \( \overline{\mathrm{BD}} \) is its diagonal.
From Baudhayana's theorem:
\( (\text{diagonal})^{2} = (\text{length})^{2} + (\text{width})^{2} \)
\( \implies (\mathrm{BD})^{2} = (\mathrm{AB})^{2} + (\mathrm{AD})^{2} \) ... (1)
Now, triangle ABC is a right-angled triangle, where angle A is a right angle.
From Pythagoras' theorem:
\( (\text{hypotenuse})^{2} = (\text{one leg})^{2} + (\text{other leg})^{2} \)
\( \implies (\mathrm{BC})^{2} = (\mathrm{AB})^{2} + (\mathrm{AC})^{2} \) ... (2)
From results (1) and (2), it is evident that Baudhayana's theorem and Pythagoras' theorem are the same.
In simple words: Baudhayana's theorem says that for a rectangle, the square of its diagonal equals the square of its length plus the square of its width. Pythagoras' theorem states that for a right-angled triangle, the square of the hypotenuse equals the sum of the squares of its two legs. Since the diagonal of a rectangle forms a right-angled triangle with its length and width, both theorems fundamentally describe the same mathematical relationship for right triangles.

Exam Tip: Recognize that Baudhayana's theorem is essentially the same as Pythagoras' theorem, specifically applied to the diagonal of a rectangle and its sides forming a right-angled triangle.