GSEB Class 7 Maths Solutions Chapter 5 રેખા અને ખૂણા Exercise 5.2

Gujarat Board Textbook Solutions Class 7 Maths Chapter 5 રેખા અને ખૂણા Ex 5.2

 

Question 1. નીચેના દરેક વિધાનમાં જે ગુણધર્મનો ઉપયોગ થાય છે તે જણાવો?

(i) \( l \ a||b, \text{ તો } \angle1 = \angle5 \)
(ii) \( l \ \angle4 = \angle6, \text{ તો } a||b \)
(iii) \( l \ \angle4 + \angle5 = 180^\circ, \text{ તો } a||b. \)
Answer:
(i) જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓને એક છેદિકા છેદે છે, ત્યારે બનતા અનુકોણનાં માપ સરખાં હોય છે.
(ii) જો બે રેખાઓને એક છેદિકા છેદે છે, અને તેનાથી બનતા અંતઃયુગ્મકોણનાં માપ જો સરખાં હોય, તો તે બે રેખાઓ સમાંતર બને છે.
(iii) જો બે રેખાઓને એક છેદિકા છેદે છે, અને તેનાથી બનતા છેદિકાની એક જ બાજુના બે અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય, તો તે બે રેખાઓ સમાંતર હોય.
In simple words: This question asks to state the property used in each given statement related to parallel lines and a transversal. Each part describes a key geometric rule: (i) corresponding angles are equal, (ii) if alternate interior angles are equal, lines are parallel, and (iii) if consecutive interior angles are supplementary, lines are parallel.

Exam Tip: Remember the conditions for parallel lines: corresponding angles, alternate interior angles, and consecutive interior angles are the main properties to check.

 

Question 2. બાજુની આકૃતિમાંથી કહોઃ

(i) અનુકોણની જોડો
(ii) અંતઃ યુગ્મકોણની જોડો
(iii) છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણની જોડો
(iv) અભિકોણ
Answer:
(i) અનુકોણની જોડ નીચે પ્રમાણે છે :
\( \angle1 \text{ અને } \angle5; \angle2 \text{ અને } \angle6; \angle3 \text{ અને } \angle7; \angle4 \text{ અને } \angle8 \)
(ii) અંતઃ યુગ્મકોણની જોડ નીચે પ્રમાણે છે :
\( \angle2 \text{ અને } \angle8; \angle3 \text{ અને } \angle5 \)
(iii) છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણની જોડ નીચે પ્રમાણે છે :
\( \angle2 \text{ અને } \angle5; \angle3 \text{ અને } \angle8 \)
(iv) અભિકોણની જોડ નીચે પ્રમાણે છે :
\( \angle1 \text{ અને } \angle3; \angle2 \text{ અને } \angle4; \angle5 \text{ અને } \angle7; \angle6 \text{ અને } \angle8 \)
In simple words: For the given diagram with two lines cut by a transversal, we need to list pairs of specific types of angles: (i) corresponding angles, (ii) alternate interior angles, (iii) interior angles on the same side of the transversal, and (iv) vertically opposite angles. Each type has specific angle pairs based on their positions.

Exam Tip: Practice identifying different angle pairs (corresponding, alternate interior, consecutive interior, vertically opposite) formed by a transversal intersecting two lines. This is a fundamental skill in geometry.

 

Question 3. બાજુની આકૃતિમાં \( p || q \) છે. અજ્ઞાત ખૂણાઓ શોધો.

Answer:
અહીં, \( p || q \) ને છેદિકા છેદે છે.
\( \angle e + 125^\circ = 180^\circ \) (રેખિક જોડના ખૂણા)
\( \implies \angle e = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \)
હવે, \( \angle e = \angle f \) (અભિકોણ)
\( \implies \angle f = 55^\circ \)
હવે, \( \angle a = \angle e \) (અનુકોણ)
\( \implies \angle a = 55^\circ \)
જુઓ \( \angle b = 125^\circ \) (બાહ્ય યુગ્મકોણ)
હવે, \( \angle b + \angle c = 180^\circ \) (રેખિક જોડના ખૂણા)
\( \implies 125^\circ + \angle c = 180^\circ \)
\( \implies \angle c = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \)
વળી, \( \angle d = \angle b \) (અભિકોણ)
\( \implies \angle d = 125^\circ \) (કારણ કે \( \angle b = 125^\circ \))
આમ, \( \angle a = 55^\circ, \angle b = 125^\circ, \angle c = 55^\circ, \angle d = 125^\circ, \angle e = 55^\circ, \angle f = 55^\circ \)
In simple words: Given that lines \( p \) and \( q \) are parallel, we need to find the measure of all unknown angles. We use properties like linear pairs, vertically opposite angles, corresponding angles, and alternate exterior angles to determine each angle's value.

Exam Tip: Systematically find each angle using the properties of parallel lines and transversals. Start with angles that form linear pairs or are vertically opposite to known angles.

 

Question 4. જો \( l || m \) હોય, તો નીચેની દરેક આકૃતિમાં \( x \) નું મૂલ્ય શોધોઃ
(i)
(ii)
Answer:
(i) અહીં, \( l || m \) છે તથા \( t \) એ \( l || m \) ની છેદિકા છે.

\( \angle a + 110^\circ = 180^\circ \) (રેખિક જોડના ખૂણા)
\( \implies \angle a = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
હવે, \( \angle a = \angle x \) (યુગ્મકોણ)
\( \implies \angle x = 70^\circ \)

(ii) અહીં, \( l || m \) છે તથા \( a \) એ \( l || m \) ની છેદિકા છે.

\( \angle x \) અને \( 100^\circ \) એ અનુકોણની જોડ છે.
\( \implies \angle x = 100^\circ \)
In simple words: We need to find the value of \( x \) in two different diagrams where lines \( l \) and \( m \) are parallel. In (i), we use the linear pair property to find an interior angle, then use the alternate interior angle property to find \( x \). In (ii), \( x \) is a corresponding angle to \( 100^\circ \), so they are equal.

Exam Tip: Always identify the relationship between the given angles and the unknown angle. Common relationships include linear pairs, vertically opposite, corresponding, alternate interior, and consecutive interior angles.

 

Question 5. બાજુની આકૃતિમાં બંને ખૂણાની બાજુ સમાંતર છે. જો \( \angle ABC = 70^\circ \), તો
(i) \( \angle DGC \)
(ii) \( \angle DEF \)
Answer:
આપેલી આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ખૂણાની બાજુઓ સમાંતર છે.
એટલે કે \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} || \overleftrightarrow{\mathrm{ED}} \) અને \( \overleftrightarrow{\mathrm{BC}} || \overleftrightarrow{\mathrm{EF}} \) છે.
(i) \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} || \overleftrightarrow{\mathrm{ED}} \) ની છેદિકા \( \overleftrightarrow{\mathrm{BC}} \) છે.
\( \implies \angle DGC = \angle ABC \) (અનુકોણ)
પણ \( \angle ABC = 70^\circ \)
\( \implies \angle DGC = 70^\circ \)

(ii) \( \overleftrightarrow{\mathrm{BC}} || \overleftrightarrow{\mathrm{EF}} \) ની છેદિકા \( \overleftrightarrow{\mathrm{ED}} \) છે.
\( \implies \angle DEF = \angle DGC \) (અનુકોણ)
પણ \( \angle DGC = 70^\circ \)
\( \implies \angle DEF = 70^\circ \)
In simple words: Given that the sides of two angles are parallel, and \( \angle ABC = 70^\circ \), we need to find \( \angle DGC \) and \( \angle DEF \). We use the property of corresponding angles, applying it twice: first for parallel lines AB and ED with transversal BC to find \( \angle DGC \), and then for parallel lines BC and EF with transversal ED to find \( \angle DEF \).

Exam Tip: When dealing with multiple parallel lines and transversals, break down the problem into smaller parts, identifying which lines are parallel and which is the transversal for each step.

 

Question 6. નીચેની આકૃતિઓમાં \( l \) અને \( m \) સમાંતર છે કે નહીં તે નક્કી કરોઃ
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Answer:
(i) આકૃતિ (i)માં જોતાં -

\( 126^\circ + 44^\circ = 170^\circ \)
\( 170^\circ \neq 180^\circ \)
એટલે કે અહીં \( l \) અને \( m \) ની છેદિકાથી બનતા છેદિકાની એક જ બાજુના બે અંતઃકોણો પૂરકકોણી નથી.
\( \implies l \) અને \( m \) સમાંતર રેખાઓ નથી.

(ii) આકૃતિ (ii)માં જોતાં –

\( \angle a = 75^\circ \) (અભિકોણ)
હવે, \( 75^\circ + 75^\circ = 150^\circ \)
\( 150^\circ \neq 180^\circ \)
એટલે કે અહીં \( l \) અને \( m \) ની છેદિકાથી બનતા છેદિકાની એક જ બાજુના બે અંતઃકોણો પૂરકકોણો નથી.
\( \implies l \) અને \( m \) સમાંતર રેખાઓ નથી.

(iii) આકૃતિ (ii)માં જોતાં –

\( \angle a + 123^\circ = 180^\circ \) (રેખિક જોડના ખૂણા)
\( \implies \angle a = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ \)
હવે, \( \angle a = 57^\circ \) અને \( \angle b = 57^\circ \)
\( \angle a \) અને \( \angle b \) એ \( l \) અને \( m \) રેખાને \( n \) છેદવાથી બનતા સરખા અનુકોણ છે.
\( \implies l \) અને \( m \) સમાંતર રેખાઓ છે.

(iv) આકૃતિ (iv)માં જોતાં –

\( \angle a + \angle b = 180^\circ \) (રેખિક જોડના ખૂણા)
\( \implies \angle a + 98^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle a = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ \)
હવે, \( \angle a \) અને \( \angle c \) એ \( l \) અને \( m \) રેખાને \( n \) છેદવાથી બનતા અનુકોણ છે.
પણ આ ખૂણાનાં માપ સરખાં નથી.
\( \implies l \) અને \( m \) સમાંતર રેખાઓ નથી.
In simple words: For each diagram, we determine if lines \( l \) and \( m \) are parallel by checking angle properties. In (i), the sum of interior angles on the same side is not \( 180^\circ \), so they are not parallel. In (ii), even if a vertically opposite angle is considered, the sum of what's interpreted as consecutive interior angles is not \( 180^\circ \), so they are not parallel. In (iii), we find an interior angle using a linear pair, then compare it with its corresponding angle; since they are equal, the lines are parallel. In (iv), after finding one unknown angle using a linear pair, we check if it's equal to its corresponding angle; since they are not equal, the lines are not parallel.

Exam Tip: To check for parallel lines, always look for pairs of corresponding angles, alternate interior/exterior angles, or consecutive interior/exterior angles. If any of these pairs satisfy their respective conditions, the lines are parallel; otherwise, they are not.