GSEB Class 7 Maths Solutions Chapter 5 રેખા અને ખૂણા InText Questions

પ્રયત્ન કરો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 94)

તમારી આસપાસની 10 આકૃતિઓના ખૂણાની યાદી બનાવો અને તેમાંથી લઘુકોણ, ગુરુકોણ અને કાટકોણ ઓળખો.

Answer:
(1) ટેબલની ઉપરની સપાટીની બે કિનાર વચ્ચેનો ખૂણો – કાટકોણ
(2) કંપાસબૉક્સની લંબાઈ-પહોળાઈ વચ્ચેનો ખૂણો – કાટકોણ
(3) કાટખૂણિયાની બે ધાર વચ્ચેનો ખૂણો – કાટકોણ તથા લઘુકોણો
(4) કાતરનાં બે પાંખિયાં વચ્ચેનો ખૂણો – લઘુકોણ
(5) પુસ્તકની લંબાઈ-પહોળાઈ વચ્ચેનો ખૂણો – કાટકોણ
(6) કાજુકતરીના ખૂણા-લઘુકોણ તથા ગુરુકોણ
(7) માપપટ્ટીની પાસપાસેની બે ધાર વચ્ચેનો ખૂણો – કાટકોણ
(8) ઘરની પાસપાસેની બે દીવાલો વચ્ચેનો ખૂણો – કાટકોણ
(9) નોટબુકની પાસપાસેની બે ધારો વચ્ચેનો ખૂણો – કાટકોણ
(10) ઘરના બારણાની લંબાઈ-પહોળાઈ વચ્ચેનો ખૂણો – કાટકોણ
In simple words: Look around you and find 10 objects that have angles. Then, list these objects and say if the angle is a right angle (90 degrees), an acute angle (less than 90 degrees), or an obtuse angle (more than 90 degrees).

Exam Tip: To identify angles accurately, use a protractor or a set square to compare the angle with a 90-degree angle. This helps classify them correctly as acute, obtuse, or right angles.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 95)

Question 1. શું બે લઘુકોણો પરસ્પર કોટિકોણ હોઈ શકે?
Answer: હા, બે લઘુકોણો એકબીજાના કોટિકોણ બની શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, \( 20^\circ \) નો ખૂણો લઘુકોણ છે અને \( 70^\circ \) નો ખૂણો પણ લઘુકોણ છે. જો આપણે તેમને ઉમેરીએ, તો \( 20^\circ + 70^\circ = 90^\circ \) થાય. આથી, \( 20^\circ \) નો ખૂણો અને \( 70^\circ \) નો ખૂણો એકબીજાના કોટિકોણ છે.
In simple words: Yes, two acute angles can be complementary. For example, a 20-degree angle and a 70-degree angle are both acute, and they add up to 90 degrees, making them complementary.

Exam Tip: Remember that complementary angles always sum up to exactly 90 degrees. An acute angle is always less than 90 degrees.

Question 2. શું બે ગુરુકોણો પરસ્પર કોટિકોણ હોઈ શકે?
Answer: ના, બે ગુરુકોણો એકબીજાના કોટિકોણ બની શકતા નથી. આનું કારણ એ છે કે દરેક ગુરુકોણનું માપ \( 90^\circ \) કરતાં વધુ હોય છે. તેથી, બે ગુરુકોણના માપનો સરવાળો ક્યારેય \( 90^\circ \) ન થઈ શકે.
In simple words: No, two obtuse angles cannot be complementary. Because each obtuse angle is more than 90 degrees, their sum would always be greater than 90 degrees, not exactly 90 degrees.

Exam Tip: Recall that an obtuse angle is any angle greater than 90 degrees but less than 180 degrees. Two such angles will always exceed a 90-degree sum.

Question 3. શું બે કાટકોણો પરસ્પર કોટિકોણ હોઈ શકે?
Answer: ના, બે કાટકોણો એકબીજાના કોટિકોણ બની શકતા નથી. કારણ કે એક કાટકોણનું માપ \( 90^\circ \) હોય છે. કોટિકોણના માપનો સરવાળો \( 90^\circ \) થવો જોઈએ. તેથી, બે કાટકોણના માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થઈ જાય છે, જે \( 90^\circ \) નથી.
In simple words: No, two right angles cannot be complementary. Each right angle is 90 degrees, so two right angles added together make 180 degrees, not 90 degrees.

Exam Tip: Always remember the definition: complementary angles add up to 90 degrees. Right angles are exactly 90 degrees.

પ્રયત્ન કરો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 95)

Question 1. નીચેનામાંથી કઈ જોડ કોટિકોણની છે?
(i) 70° અને 20°
(ii) 75° અને 25°
(iii) 48° અને 52°
(iv) 35° અને 55°
Answer:
(i) ખૂણો: \( 70^\circ + 20^\circ = 90^\circ \)
\( \implies \) \( 70^\circ \) અને \( 20^\circ \) ના માપના ખૂણા કોટિકોણની જોડ છે.
(ii) ખૂણો: \( 75^\circ + 25^\circ = 100^\circ \) અને \( 100^\circ \neq 90^\circ \)
\( \implies \) \( 75^\circ \) અને \( 25^\circ \) ના માપના ખૂણા કોટિકોણની જોડ નથી.
(iii) ખૂણો: \( 48^\circ + 52^\circ = 100^\circ \) અને \( 100^\circ \neq 90^\circ \)
\( \implies \) \( 48^\circ \) અને \( 52^\circ \) ના માપના ખૂણા કોટિકોણની જોડ નથી.
(iv) ખૂણો: \( 35^\circ + 55^\circ = 90^\circ \)
\( \implies \) \( 35^\circ \) અને \( 55^\circ \) ના માપના ખૂણા કોટિકોણની જોડ છે.
In simple words: To find complementary pairs, we just need to add the two given angles. If their sum is exactly 90 degrees, then they are complementary.

Exam Tip: Always perform the addition and compare the sum to 90 degrees. Even a small difference means they are not complementary.

Question 2. નીચેના દરેક ખૂણાના કોટિકોણનાં માપ શું છે?
(i) 45°
(ii) 65°
(iii) 41°
(iv) 54°
Answer:
(i) \( 45^\circ \) ના માપના ખૂણાના કોટિકોણનું માપ \( = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
(ii) \( 65^\circ \) ના માપના ખૂણાના કોટિકોણનું માપ \( = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ \)
(iii) \( 41^\circ \) ના માપના ખૂણાના કોટિકોણનું માપ \( = 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ \)
(iv) \( 54^\circ \) ના માપના ખૂણાના કોટિકોણનું માપ \( = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ \)
In simple words: To find the complementary angle, you simply subtract the given angle from 90 degrees. The result is the angle that completes the pair.

Exam Tip: Subtraction from 90 degrees is the key for finding a complementary angle. Make sure to perform the subtraction carefully.

Question 3. બે કોટિકોણનાં માપ વચ્ચેનો તફાવત 12° છે. તેમનાં માપ શોધો.
Answer: ધારો કે બે કોટિકોણમાંથી એક ખૂણાનું માપ \( x \) છે. બે ખૂણાઓનાં માપનો તફાવત \( 12^\circ \) છે, તેથી બીજા ખૂણાનું માપ \( = x + 12^\circ \) થાય. હવે, બે કોટિકોણનાં માપનો સરવાળો \( 90^\circ \) થાય.
\( \implies x + (x + 12^\circ) = 90^\circ \)
\( \implies 2x + 12^\circ = 90^\circ \)
\( \implies 2x = 90^\circ - 12^\circ \) (12° ને જમણી બાજુ લઈ જતાં)
\( \implies 2x = 78^\circ \)
\( \implies \frac{2x}{2} = \frac{78^\circ}{2} \) (બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
\( \implies x = 39^\circ \)
અને બીજા ખૂણાનું માપ \( = x + 12^\circ = 39^\circ + 12^\circ = 51^\circ \)
આ બે કોટિકોણનાં માપ \( 39^\circ \) અને \( 51^\circ \) છે.
In simple words: Let one angle be 'x'. Since the difference is 12 degrees, the other angle is 'x + 12'. Because they are complementary, they add up to 90 degrees. We solve the equation to find 'x', then find the other angle.

Exam Tip: When given a difference between two complementary angles, set up an equation where the sum is 90 degrees. Use algebraic methods to solve for the unknown angles.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 96)

Question 1. શું બે ગુરુકોણો પૂરકકોણ બની શકે?
Answer: ના, બે ગુરુકોણો એકબીજાના પૂરકકોણ બની શકતા નથી. કારણ કે ગુરુકોણનું માપ \( 90^\circ \) થી વધુ હોય છે. તેથી, બે ગુરુકોણનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થી વધી જાય છે.
In simple words: No, two obtuse angles cannot be supplementary. Each obtuse angle is bigger than 90 degrees, so if you add two of them, the total will always be more than 180 degrees.

Exam Tip: Supplementary angles always add up to 180 degrees. An obtuse angle is greater than 90 degrees. Two obtuse angles will always have a sum greater than 180 degrees.

Question 2. શું બે લઘુકોણો પૂરકકોણ બની શકે?
Answer: ના, બે લઘુકોણો એકબીજાના પૂરકકોણ બની શકતા નથી. કારણ કે લઘુકોણનું માપ \( 90^\circ \) કરતાં ઓછું હોય છે. તેથી, બે લઘુકોણનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થી ઓછો થાય છે.
In simple words: No, two acute angles cannot be supplementary. Each acute angle is smaller than 90 degrees, so if you add two of them, the total will always be less than 180 degrees.

Exam Tip: To be supplementary, angles must sum to 180 degrees. Acute angles are less than 90 degrees, so their sum cannot reach 180 degrees.

Question 3. શું બે કાટખૂણાઓ પૂરકકોણ બની શકે?
Answer: હા, બે કાટખૂણાઓ એકબીજાના પૂરકકોણ બની શકે છે. કારણ કે કાટખૂણાનું માપ \( 90^\circ \) હોય છે. તેથી, બે કાટખૂણાનાં માપનો સરવાળો \( 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) થાય છે.
In simple words: Yes, two right angles can be supplementary. A right angle is 90 degrees, and when you put two right angles together, they make exactly 180 degrees.

Exam Tip: This is a special case: two right angles form a straight angle, which is 180 degrees, making them supplementary.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 96-97)

Question 1. નીચે આપેલા ખૂણાઓમાંથી પૂરકકોણની જોડ શોધોઃ
(i) ખૂણા 110° અને 50°
(ii) ખૂણા 105° અને 65°
(iii) ખૂણા 50° અને 130°
(iv) ખૂણા 45° અને 45°
Answer:
(i) ખૂણો: \( 110^\circ + 50^\circ = 160^\circ \) અને \( 160^\circ \neq 180^\circ \)
\( \implies \) \( 110^\circ \) અને \( 50^\circ \) ના માપના ખૂણા પૂરકકોણની જોડ નથી.
(ii) ખૂણો: \( 105^\circ + 65^\circ = 170^\circ \) અને \( 170^\circ \neq 180^\circ \)
\( \implies \) \( 105^\circ \) અને \( 65^\circ \) ના માપના ખૂણા પૂરકકોણની જોડ નથી.
(iii) ખૂણો: \( 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 50^\circ \) અને \( 130^\circ \) ના માપના ખૂણા પૂરકકોણની જોડ છે.
(iv) ખૂણો: \( 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \) અને \( 90^\circ \neq 180^\circ \)
\( \implies \) \( 45^\circ \) અને \( 45^\circ \) ના માપના ખૂણા પૂરકકોણની જોડ નથી.
In simple words: We check if each pair of angles adds up to 180 degrees. If the sum is 180 degrees, then they are supplementary angles.

Exam Tip: For supplementary angles, the sum must be precisely 180 degrees. Any sum that is not exactly 180 degrees indicates that the angles are not supplementary.

Question 2. નીચેના દરેક ખૂણાના પૂરકકોણનું માપ શું થશે?
(i) 100°
(ii) 90°
(iii) 55°
(iv) 125°
Answer:
(i) \( 100^\circ \) ના માપના ખૂણાના પૂરકકોણનું માપ \( = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \)
(ii) \( 90^\circ \) ના માપના ખૂણાના પૂરકકોણનું માપ \( = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
(iii) \( 55^\circ \) ના માપના ખૂણાના પૂરકકોણનું માપ \( = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \)
(iv) \( 125^\circ \) ના માપના ખૂણાના પૂરકકોણનું માપ \( = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \)
In simple words: To find the supplementary angle for a given angle, just subtract the given angle from 180 degrees. The result will be its supplementary pair.

Exam Tip: Remember to subtract the given angle from 180 degrees to find its supplement. This process applies to all angles.

Question 3. બે પૂરકકોણમાંના મોટા ખૂણાનું માપ નાના ખૂણાના માપ કરતાં 44° વધારે છે, તો તેમનાં માપ શોધો.
Answer: ધારો કે બે પૂરકકોણોમાંથી નાના માપના ખૂણાનું માપ \( x \) છે. મોટા માપવાળા ખૂણાનું માપ \( = x + 44^\circ \) થાય. હવે, બે પૂરકકોણોનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થાય.
\( \implies x + (x + 44^\circ) = 180^\circ \)
\( \implies 2x + 44^\circ = 180^\circ \)
\( \implies 2x = 180^\circ - 44^\circ \) (44° ને જમણી બાજુ લઈ જતાં)
\( \implies 2x = 136^\circ \)
\( \implies \frac{2x}{2} = \frac{136^\circ}{2} \) (બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
\( \implies x = 68^\circ \)
નાના ખૂણાનું માપ \( 68^\circ \) છે. મોટા ખૂણાનું માપ \( = 68^\circ + 44^\circ = 112^\circ \)
આમ, બંને પૂરકકોણોનાં માપ \( 68^\circ \) અને \( 112^\circ \) છે.
In simple words: Let the smaller angle be 'x'. The larger angle is 'x + 44'. Since they are supplementary, their sum is 180 degrees. Solve for 'x' to find both angles.

Exam Tip: Always set up an algebraic equation based on the given information (difference and sum). Solving for the variable correctly will give you both angles.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 97-98)

Question 1. 1 અને 2 વડે દર્શાવેલા ખૂણાઓ આસનકોણ છે? જો નથી, તો શા માટે નથી?
(i) (Angles 1 and 2 sharing a vertex and common arm)
(ii) (Angles 1 and 2 sharing a vertex and common arm)
(iii) (Angles 1 and 2 not sharing a common vertex)
(iv) (Angle 2 is part of angle 1)
(v) (Angles 1 and 2 sharing a vertex and common arm)
Answer:
(i) હા, \( \angle 1 \) અને \( \angle 2 \) એ આસન્નકોણ છે.
(ii) હા, \( \angle 1 \) અને \( \angle 2 \) એ આસન્નકોણ છે.
(iii) ના, \( \angle 1 \) અને \( \angle 2 \) એ આસન્નકોણ નથી. કારણ: \( \angle 1 \) અને \( \angle 2 \) ને સામાન્ય શિરોબિંદુ નથી.
(iv) ના, \( \angle 1 \) અને \( \angle 2 \) એ આસન્નકોણ નથી. કારણ: \( \angle 1 \) અને \( \angle 2 \) અલગ ખૂણા નથી. \( \angle 1 \) એ \( \angle 2 \) નો જ ભાગ છે.
(v) હા, \( \angle 1 \) અને \( \angle 2 \) એ આસન્નકોણ છે.
In simple words: We check each pair of angles to see if they are adjacent. Adjacent angles must share a common vertex and a common arm, and their non-common arms must be on opposite sides of the common arm.

Exam Tip: Remember the three conditions for adjacent angles: a common vertex, a common arm, and non-common arms on opposite sides of the common arm.

Question 2. આપેલી આકૃતિમાં નીચેના ખૂણાઓ આસન્નકોણ છે?
(a) \( \angle AOB \) અને \( \angle BOC \)
(b) \( \angle BOD \) અને \( \angle BOC \)
Answer:
(a) હા, \( \angle AOB \) અને \( \angle BOC \) એ આસન્નકોણ છે. કારણ: \( \angle AOB \) અને \( \angle BOC \) નું સામાન્ય શિરોબિંદુ O છે. વળી, તેમના ભુજ \( \overrightarrow{\mathrm{OA}} \) તથા \( \overrightarrow{\mathrm{OC}} \) એ સામાન્ય ભુજ \( \overrightarrow{\mathrm{OB}} \) ની બંને બાજુએ છે.
(b) ના, \( \angle BOD \) અને \( \angle BOC \) એ આસન્નકોણ નથી. કારણ: \( \angle BOC \) એ \( \angle BOD \) નો જ ભાગ છે. બંને અલગ ખૂણા નથી.
In simple words: We look at the diagram to determine if the specified angles are adjacent. They must have the same vertex, share a common side, and their other sides must be on different sides of the shared side.

Exam Tip: For angles to be adjacent, they must not overlap internally; one angle cannot be a part of another larger angle if they are to be considered adjacent in a standard sense.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 98)

Question 1. બે આસનકોણ પૂરકકોણ હોઈ શકે?
Answer: હા, બે આસનકોણ એ પૂરકકોણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો એક સીધી રેખા પર બે ખૂણા બને, તો તેઓ આસનકોણ હોય છે અને તેમનો સરવાળો \( 180^\circ \) થાય છે, જે તેમને પૂરકકોણ બનાવે છે. આકૃતિમાં, \( \angle AOC \) અને \( \angle BOC \) આસન્નકોણ છે. વળી, \( \angle AOC + \angle BOC = 180^\circ \). તેથી, \( \angle AOC \) અને \( \angle BOC \) પૂરકકોણ પણ છે.
In simple words: Yes, two adjacent angles can be supplementary. If two angles share a side and form a straight line (180 degrees), they are both adjacent and supplementary.

Exam Tip: A linear pair is a classic example of adjacent angles that are also supplementary, as they form a straight line.

Question 2. બે આસન્નકોણ કોટિકોણ હોઈ શકે?
Answer: હા, બે આસન્નકોણ એ કોટિકોણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો બે ખૂણા કાટકોણ બનાવે, તો તેઓ આસન્નકોણ હોય છે અને તેમનો સરવાળો \( 90^\circ \) થાય છે, જે તેમને કોટિકોણ બનાવે છે. આકૃતિમાં, \( \angle AOB \) અને \( \angle BOC \) આસન્નકોણ છે. વળી, \( \angle AOB + \angle BOC = 90^\circ \). તેથી, \( \angle AOB \) અને \( \angle BOC \) કોટિકોણ પણ છે.
In simple words: Yes, two adjacent angles can be complementary. If two angles share a side and together form a right angle (90 degrees), they are both adjacent and complementary.

Exam Tip: When adjacent angles form a right angle, they are complementary. This is a specific case of adjacent angles.

Question 3. બે ગુરુકોણ આસન કોણ હોઈ શકે?
Answer: હા, બે ગુરુકોણ એ આસન્નકોણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો બે ગુરુકોણ એક સામાન્ય શિરોબિંદુ અને એક સામાન્ય ભુજ વહેંચે છે, અને તેમના બિન-સામાન્ય ભુજ સામાન્ય ભુજની વિરુદ્ધ બાજુએ હોય, તો તેઓ આસન્નકોણ હોઈ શકે છે. આકૃતિમાં, \( \angle AOB \) અને \( \angle AOC \) ગુરુકોણ છે. વળી, \( \angle AOB \) અને \( \angle AOC \) આસન્નકોણ પણ છે.
In simple words: Yes, two obtuse angles can be adjacent. They just need to share a vertex and a side, with their other sides on opposite sides of the shared side.

Exam Tip: The definition of adjacent angles does not restrict the type of angles involved. Any two angles can be adjacent if they meet the criteria of common vertex, common arm, and non-common arms on opposite sides.

Question 4. એક લઘુકોણ અને બીજો ગુરુકોણ આસનકોણ હોઈ શકે?
Answer: હા, એક લઘુકોણ અને બીજો ગુરુકોણ આસનકોણ હોઈ શકે છે. કારણ: અહીં, આકૃતિમાં \( \angle AOB \) અને \( \angle AOC \) એ આસન્નકોણ છે. વળી, \( \angle AOB \) એ લઘુકોણ છે. જ્યારે \( \angle AOC \) એ ગુરુકોણ છે.
In simple words: Yes, one acute angle and one obtuse angle can be adjacent. They just need to share a common vertex and a common arm, with their other arms on opposite sides.

Exam Tip: The types of angles (acute, obtuse) do not prevent them from being adjacent, as long as they satisfy the conditions for adjacency.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 99)

Question 1. શું બે લઘુકોણ રૈખિક જોડ રચી શકે?
Answer: ના, બે લઘુકોણ એ રૈખિક ખૂણાની જોડ રચી શકતા નથી. કારણ કે બે લઘુકોણનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થી ઓછો થાય છે, કારણ કે દરેક લઘુકોણનું માપ \( 90^\circ \) કરતાં ઓછું હોય છે. રૈખિક જોડના ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થવો જોઈએ.
In simple words: No, two acute angles cannot form a linear pair. Each acute angle is less than 90 degrees, so their combined total will always be less than 180 degrees, which is needed for a linear pair.

Exam Tip: A linear pair always sums to 180 degrees and consists of adjacent angles on a straight line. Acute angles, by definition, cannot sum to 180 degrees.

Question 2. શું બે ગુરુકોણ રૈખિક જોડ રચી શકે?
Answer: ના, બે ગુરુકોણ એ રૈખિક ખૂણાની જોડ રચી શકતા નથી. કારણ કે બે ગુરુકોણનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થી વધી જાય છે, કારણ કે દરેક ગુરુકોણનું માપ \( 90^\circ \) થી વધુ હોય છે. રૈખિક જોડના ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) જ થવો જોઈએ.
In simple words: No, two obtuse angles cannot form a linear pair. Each obtuse angle is more than 90 degrees, so their total sum will always be greater than 180 degrees, which is not what a linear pair requires.

Exam Tip: Remember that an obtuse angle is larger than 90 degrees. Two such angles will inevitably exceed 180 degrees, so they cannot form a linear pair.

Question 3. શું બે કાટકોણ રૈખિક જોડ રચી શકે?
Answer: હા, બે કાટકોણ એ રૈખિક ખૂણાની જોડ રચે છે. કારણ કે બે કાટકોણનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થાય છે, કારણ કે દરેક કાટકોણનું માપ \( 90^\circ \) હોય છે. રૈખિક જોડના ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થવો જોઈએ.
In simple words: Yes, two right angles can form a linear pair. Each right angle is 90 degrees, and when you add them together, they make exactly 180 degrees, forming a straight line.

Exam Tip: Two right angles placed side-by-side will always form a straight line, making them a linear pair and supplementary.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 99)

Question 1. નીચે આપેલી ખૂણાઓની જોડ પૈકી કઈ જોડ રૈખિક જોડ રચે છે?
(i) 140° અને 40°
(ii) 60° અને 90°
(iii) 90° અને 80°
(iv) 115° અને 65°
Answer:
(i) અહીં, આપેલા બંને ખૂણા રૈખિક ખૂણાઓની જોડ રચે છે. ખૂણો: \( 140^\circ + 40^\circ = 180^\circ \). કારણ: અહીં, બંને ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થાય છે.
(ii) અહીં, આપેલા બંને ખૂણા રૈખિક ખૂણાઓની જોડ રચતા નથી. ખૂણો: \( 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ \) અને \( 150^\circ \neq 180^\circ \). કારણ: અહીં, બંને ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થતો નથી. \( 180^\circ \) થી ઓછો છે.
(iii) અહીં, આપેલા બંને ખૂણા રૈખિક ખૂણાઓની જોડ રચતા નથી. ખૂણો: \( 90^\circ + 80^\circ = 170^\circ \) અને \( 170^\circ \neq 180^\circ \). કારણ: અહીં, બંને ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થતો નથી. \( 180^\circ \) થી ઓછો છે.
(iv) અહીં, આપેલા બંને ખૂણા રૈખિક ખૂણાઓની જોડ રચે છે. ખૂણો: \( 115^\circ + 65^\circ = 180^\circ \). કારણ: અહીં, બંને ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) થાય છે.
In simple words: To see if angles form a linear pair, we add their measures. If the sum is exactly 180 degrees, then they form a linear pair.

Exam Tip: Always calculate the sum of the given angles. Only if the sum is precisely 180 degrees can they be considered a linear pair.

પ્રયત્ન કરોઃ (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 101)

Question 1. અહીં આપેલી આકૃતિમાં જો \( \angle 1 = 30^\circ \), તો \( \angle 2 \) અને \( \angle 3 \) મેળવો.
Answer: જુઓ અહીં, \( \angle 3 \) અને \( \angle 1 \) એ અભિકોણો છે. \( \implies \angle 3 = \angle 1 \). તેથી, \( \angle 1 = 30^\circ \implies \angle 3 = 30^\circ \). હવે, \( \angle 3 \) અને \( \angle 2 \) એ રૈખિક જોડના ખૂણા છે.
\( \implies \angle 3 + \angle 2 = 180^\circ \)
\( \implies 30^\circ + \angle 2 = 180^\circ \)
\( \implies \angle 2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \). આમ, \( \angle 2 = 150^\circ \) અને \( \angle 3 = 30^\circ \).
In simple words: Since angle 1 and angle 3 are vertically opposite angles, angle 3 is also 30 degrees. Angle 2 and angle 3 form a linear pair, so they add up to 180 degrees. Thus, angle 2 is 150 degrees.

Exam Tip: Remember that vertically opposite angles are equal, and angles in a linear pair are supplementary (sum to 180 degrees).

Question 2. તમારી આસપાસમાંથી અભિકોણોનું ઉદાહરણ આપો.
Answer: નોટબુકમાં એકબીજીને છેદતી બે રેખાઓ દોરો. આથી બનતા સામસામેના ખૂણા એ અભિકોણો છે. અહીં, \( a \) અને \( b \) ખૂણાઓ તથા \( c \) અને \( d \) ખૂણાઓ અભિકોણો છે.
In simple words: Draw two lines that cross each other in a notebook. The angles that are directly opposite each other where the lines cross are called vertically opposite angles. For example, 'a' and 'b' are one pair, and 'c' and 'd' are another pair.

Exam Tip: Vertically opposite angles are formed when two lines intersect. They are always equal. Think of the "X" shape formed by intersecting lines.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 104)

Question 1. અહીં આકૃતિમાં AC અને BE, બિંદુ Pમાં છેદે છે. AC અને BC, બિંદુ Bમાં છેદે છે. AC અને EC, બિંદુ Cમાં છેદે છે. છેદતા રેખાખંડોની બીજી દસ જોડ શોધવાનો પ્રયત્ન કરો:
Answer: છેદતા રેખાખંડોની બીજી જોડ નીચે પ્રમાણે છે:
(i) BC અને BE, BP અને BC જે બિંદુ Bમાં છેદે છે.
(ii) CB અને CE, CP અને CB, CP અને CE જે બિંદુ Cમાં છેદે છે.
(iii) EB અને EC, EP અને EC જે બિંદુ Eમાં છેદે છે.
(iv) PB અને PC, PE અને PC જે બિંદુ Pમાં છેદે છે.
(v) PA અને PB, PA અને PE જે બિંદુ Pમાં છેદે છે.
In simple words: Look at the diagram and identify all the points where lines cross. Then list the pairs of line segments that intersect at each of those points.

Exam Tip: Systematically examine each intersection point. For each point, list all line segments that pass through it and form pairs. This ensures all intersections are identified.

Question 2. શું બે રેખાઓ કે બે રેખાખંડો છેદતા હોય એ જરૂરી છે?
Answer: ના, બે રેખાઓ કે બે રેખાખંડો એકબીજાને છેદે અથવા ન પણ છેદે. તેઓ સમાંતર પણ હોઈ શકે છે, જે ક્યારેય છેદતા નથી.
In simple words: No, two lines or line segments don't always have to cross. They can also be parallel, meaning they will never meet.

Exam Tip: Distinguish between intersecting lines and parallel lines. Intersecting lines meet at one point, while parallel lines never meet.

Question 3. બે રેખા એક કરતાં વધુ બિંદુમાં છેદી શકે? વિચારો.
Answer: ના, બે રેખાઓ છેદે તો એક અને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદી શકે, એક કરતાં વધારે બિંદુમાં ન છેદી શકે. જો તેઓ એક કરતાં વધુ બિંદુમાં છેદે, તો તે સમાન રેખા હશે.
In simple words: No, two straight lines can only cross at one single point. If they touched at more than one point, they would actually be the same line.

Exam Tip: A fundamental geometric principle is that two distinct straight lines can intersect at most at one point.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 104)

Question 1. કાટખૂણે છેદતી રેખાઓનાં ઉદાહરણો તમારી આસપાસમાં શોધો.
Answer:
(i) ઓરડાની બે પાસપાસેની દીવાલો વચ્ચેનો ખૂણો
(ii) કંપાસપેટીની લંબાઈ-પહોળાઈ વચ્ચેનો ખૂણો
(iii) નોટબુકની કિનારો વચ્ચેનો ખૂણો
(iv) પુસ્તકની કિનારો વચ્ચેનો ખૂણો
In simple words: Think about everyday items where lines cross to form a perfect square corner. Examples include the corners of a room, the edges of a compass box, the sides of a notebook, or the edges of a book.

Exam Tip: Right angles are very common in human-made structures and objects. Look for perpendicular lines or edges.

Question 2. સમબાજુ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ આગળ છેદતી રેખાઓથી બનતા ખૂણાનાં માપ મેળવો.
Answer: અહીં, રેખાઓ પરસ્પર છેદવાથી શિરોબિંદુ A, B, C બને છે. અહીં, આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તેની ત્રણે બાજુઓનાં માપ સરખાં છે. તેથી ત્રણે ખૂણાઓનાં માપ સરખાં છે.
\( \implies \angle A = 60^\circ, \angle B = 60^\circ \) અને \( \angle C = 60^\circ \)
In simple words: In an equilateral triangle, all three sides are the same length. This means all three angles inside the triangle are also equal, and each angle measures 60 degrees.

Exam Tip: Remember that the sum of angles in any triangle is 180 degrees. For an equilateral triangle, since all angles are equal, each angle must be \( \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \).

Question 3. કોઈ પણ લંબચોરસ દોરો અને તેનાં શિરોબિંદુઓ આગળ છેદતી રેખાઓથી બનતા ખૂણાઓનાં માપ મેળવો.
Answer: PQRS એ લંબચોરસ છે. લંબચોરસના બધા ખૂણા કાટખૂણા હોય.
\( \angle P \) નું માપ \( = 90^\circ \), \( \angle Q \) નું માપ \( = 90^\circ \), \( \angle R \) નું માપ \( = 90^\circ \) અને \( \angle S \) નું માપ \( = 90^\circ \).
In simple words: Draw a rectangle. All the corners (vertices) of a rectangle form right angles. So, each angle in a rectangle is exactly 90 degrees.

Exam Tip: A defining property of a rectangle is that all its interior angles are right angles, meaning each is 90 degrees.

Question 4. જો બે રેખાઓ છે, તો શું તે હંમેશાં કાટખૂણે જ છે?
Answer: ના, બે રેખાઓ છે, તો તે હંમેશાં કાટખૂણે જ છે એવું નથી. બે રેખાઓ ગમે તે માપના ખૂણે છેદે. નીચે જુઓ:
(i) આકૃતિ (i) માં બે રેખાઓ કાટખૂણે છેદે છે.
(ii) અને (iii) આકૃતિઓમાં રેખાઓ કાટખૂણે છેદતી નથી.
In simple words: No, when two lines cross, they don't always form right angles. They can intersect at any angle. The diagrams show examples where lines cross at 90 degrees and where they don't.

Exam Tip: Lines can intersect at various angles. Perpendicular lines intersect at 90 degrees, but other intersections form acute or obtuse angles.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 105)

Question 1. ધારો કે બે રેખાઓ આપી છે. આ રેખાઓ માટે તમે કેટલી છેદિકાઓ દોરી શકો?
Answer: આપેલી બે રેખાઓને છેદતી અસંખ્ય છેદિકાઓ દોરી શકાય. AB અને CD ને અસંખ્ય છેદિકાઓ દોરી શકાય.
In simple words: If you have two lines, you can draw an endless number of transversal lines that cross them. There's no limit to how many you can draw.

Exam Tip: A transversal line intersects two or more other lines. Since there are infinitely many positions to draw such a line, you can draw infinitely many transversals.

Question 2. જો એક રેખા ત્રણ રેખાઓની છેદિકા હોય, તો કેટલાં છેદબિંદુઓ હોય?
Answer: આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રણ છેદબિંદુ મળે. AB, CD અને EF ની છેદિકા l છે. તેથી ત્રણ છેદબિંદુઓ P, Q અને R મળે છે.
In simple words: If one line cuts across three other lines, it will create three points where they cross. Each time the transversal crosses another line, it makes a new intersection point.

Exam Tip: The number of intersection points is equal to the number of lines intersected by the transversal, provided all lines are distinct and no two intersection points coincide.

Question 3. તમારી આસપાસમાંથી કેટલીક છેદિકાઓ શોધવાનો પ્રયત્ન કરો.
Answer:
(i) ટોવેલ ઍન્ડ (Towel stand)
(ii) રોડ ક્રૉસિંગ (Road crossing)
(iii) રેલવે લાઇન ક્રૉસિંગ (Railway line crossing)
(iv) બારીની ગ્રીલ (Window grille)
In simple words: Look for examples where one object or line crosses over other parallel or non-parallel lines. This can be seen in a towel stand (the bar crosses the vertical supports), road crossings, railway tracks crossing each other, or the pattern of a window grille.

Exam Tip: Transversals are common in everyday life. Think about any structure or pattern where a line or element cuts across multiple other lines or elements.

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 106)

Question 1. દરેક આકૃતિમાં ખૂણાની જોડને નામ આપોઃ
(i) \( \angle 1 \) અને \( \angle 5 \)
(ii) \( \angle 3 \) અને \( \angle 4 \)
(iii) \( \angle 5 \) અને \( \angle 6 \)
(iv) \( \angle 7 \) અને \( \angle 8 \)
(v) \( \angle 9 \) અને \( \angle 10 \)
(vi) \( \angle 11 \) અને \( \angle 12 \)
Answer:
(i) \( \angle 1 \) અને \( \angle 5 \) એ અનુકોણની જોડ છે.
(ii) \( \angle 3 \) અને \( \angle 4 \) એ અંતઃ યુગ્મકોણની જોડ છે.
(iii) \( \angle 5 \) અને \( \angle 6 \) એ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણની જોડ છે.
(iv) \( \angle 7 \) અને \( \angle 8 \) એ અનુકોણની જોડ છે.
(v) \( \angle 9 \) અને \( \angle 10 \) એ અંતઃ યુગ્મકોણની જોડ છે.
(vi) \( \angle 11 \) અને \( \angle 12 \) એ રૈખિક ખૂણાઓની જોડ છે.
In simple words: We identify the type of angle pair based on their positions relative to the transversal and the two main lines. Pairs can be corresponding, alternate interior, consecutive interior, or linear pairs.

Exam Tip: Clearly understand the definitions of corresponding angles, alternate interior angles, consecutive interior angles, and linear pairs to correctly identify them in diagrams.

પ્રયત્ન કરો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 109)

Question 1. રેખાઓ \( l \parallel m \); \( t \) છેદિકા છે. \( \angle x = ? \)
Answer: \( \angle x = 60^\circ \). કારણ: \( l \parallel m \) ને છેદિકા \( t \) છેદવાથી \( \angle x \) અને \( 60^\circ \) અંતઃ યુગ્મકોણ બને છે. અંતઃ યુગ્મકોણનાં માપ સમાન હોય.
In simple words: Since lines l and m are parallel and line t cuts them, angle x and the 60-degree angle are alternate interior angles. Alternate interior angles are equal when lines are parallel, so angle x is 60 degrees.

Exam Tip: When two parallel lines are cut by a transversal, alternate interior angles are always equal. This is a crucial property for solving such problems.

Question 2. રેખાઓ \( a \parallel b \); \( c \) છેદિકા છે. \( \angle y = ? \)
Answer: \( \angle y = 55^\circ \). કારણ: \( a \parallel b \) ને છેદિકા \( c \) છેદવાથી \( \angle y \) અને \( 55^\circ \) અંતઃ યુગ્મકોણ બને છે. અંતઃ યુગ્મકોણનાં માપ સમાન હોય.
In simple words: Lines a and b are parallel, and line c is a transversal. Angle y and the 55-degree angle are alternate interior angles. Since the lines are parallel, angle y is also 55 degrees.

Exam Tip: Always identify the type of angle pair (e.g., alternate interior, corresponding) when dealing with parallel lines and transversals to determine if they are equal or supplementary.

Question 3. \( l_1 \) અને \( l_2 \) રેખાઓ છે. \( t \) છેદિકા છે. શું \( \angle 1 = \angle 2 \) છે?
Answer: \( \angle 1 \neq \angle 2 \). કારણ: \( l_1 \) અને \( l_2 \) સમાંતર રેખાઓ નથી. \( \angle 1 \) અને \( \angle 2 \) અંતઃ યુગ્મકોણ છે, પણ તે સમાન નથી.
In simple words: No, angle 1 is not equal to angle 2. Lines \( l_1 \) and \( l_2 \) are not parallel. Even though angle 1 and angle 2 are alternate interior angles, they are only equal if the lines are parallel.

Exam Tip: Alternate interior angles are only equal if the lines intersected by the transversal are parallel. If the lines are not parallel, these angles will not be equal.

Question 4. રેખાઓ \( l \parallel m \); \( t \) છેદિકા છે. \( \angle z = ? \)
Answer: \( \angle z = 120^\circ \). કારણ: \( l \parallel m \) ને છેદિકા છેદવાથી \( 60^\circ \) અને \( \angle z \) એ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણ બને છે.
\( \implies 60^\circ + \angle z = 180^\circ \implies \angle z = 180^\circ - 60^\circ \implies \angle z = 120^\circ \).
In simple words: Lines l and m are parallel, and t is a transversal. The 60-degree angle and angle z are consecutive interior angles (or same-side interior angles). These angles add up to 180 degrees, so angle z is 120 degrees.

Exam Tip: Consecutive interior angles (also known as same-side interior angles) are supplementary when the lines cut by the transversal are parallel.

Question 5. રેખાઓ \( l \parallel m \); \( t \) છેદિકા છે. \( \angle x = ? \)
Answer: \( \angle x = 120^\circ \). કારણ: \( l \parallel m \) ને છેદિકા માં છેદવાથી \( 120^\circ \) અને \( \angle x \) એ અનુકોણ બને છે. અનુકોણનાં માપ સમાન હોય.
In simple words: Lines l and m are parallel, and line t cuts them. Angle x and the 120-degree angle are corresponding angles. Corresponding angles are equal when lines are parallel, so angle x is 120 degrees.

Exam Tip: Corresponding angles are in the same relative position at each intersection and are equal when the lines are parallel.

Question 6. રેખાઓ \( l \parallel m \), \( p \parallel q \); \( a, b, c, d \) શોધો.
Answer:
(a) \( p \parallel q \) ને છેદિકા \( l \) છેદવાથી \( 60^\circ \) અને \( \angle a \) એ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણ બને છે.
\( \implies 60^\circ + \angle a = 180^\circ \implies \angle a = 180^\circ - 60^\circ \implies \angle a = 120^\circ \)
(b) \( l \parallel m \) ને છેદિકા \( q \) છેદવાથી \( \angle a \) અને \( \angle d \) બાહ્ય યુગ્મકોણ બને છે. બાહ્ય યુગ્મકોણોનાં માપ સમાન હોય.
\( \implies \angle a = \angle d \implies \angle d = 120^\circ \)
(c) \( q \) અને \( m \) પરસ્પર છેદે છે. તેથી \( \angle b \) અને \( \angle d \) એ રૈખિક જોડના ખૂણા બને છે.
\( \implies \angle b + \angle d = 180^\circ \implies \angle b + 120^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle b = 180^\circ - 120^\circ \implies \angle b = 60^\circ \)
(d) \( q \) અને \( m \) પરસ્પર છેદે છે. તેથી \( \angle b \) અને \( \angle c \) અભિકોણો છે.
\( \implies \angle b = \angle c \implies \angle c = 60^\circ \)
In simple words: Given two pairs of parallel lines, we use the properties of angles formed by transversals. First, we find angle 'a' using consecutive interior angles. Then, we find 'd' using alternate exterior angles (or corresponding angles). After that, we find 'b' using the linear pair relationship with 'd'. Finally, we find 'c' using the vertically opposite angle relationship with 'b'.

Exam Tip: Break down complex diagrams with multiple parallel lines and transversals into simpler sections. Apply the rules for corresponding, alternate interior, consecutive interior, and vertically opposite angles step by step.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 110)

Question. \( l \parallel m \) છે? શા માટે?
Answer: બે રેખાઓને એક છેદિકા છેદે, અને તેથી બનતા અંતઃ યુગ્મકોણોનાં માપ જો સરખાં હોય, તો તે બે રેખાઓ સમાંતર હોય. અહીં, બંને અંતઃ યુગ્મકોણોનાં માપ સરખાં \( 50^\circ \), \( 50^\circ \) છે.
\( \implies l \parallel m \)
In simple words: If the inside-opposite angles made by a line crossing two other lines are the same size, then those two lines are parallel. Here, both angles are \( 50^\circ \), so the lines are parallel.

Exam Tip: When two lines are cut by a transversal, equal alternate interior angles are a key indicator of parallel lines.

Question. \( l \parallel m \) છે? શા માટે?
Answer: અહીં, એક અંતસ્થ ખૂણો \( 50^\circ \) છે અને છેદિકાની સમાન બાજુએ બીજો અંતસ્થ ખૂણો \( 130^\circ \) છે. તેમનો સરવાળો \( 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ \) છે. જ્યારે એક છેદિકા બે રેખાઓને છેદે અને છેદિકાની એક જ બાજુના અંતસ્થ ખૂણાઓ પૂરક હોય (જેનો સરવાળો \( 180^\circ \) થાય), તો તે બે રેખાઓ સમાંતર હોય છે.
\( \implies \) સરવાળો \( 180^\circ \) હોવાથી, \( l \parallel m \)
In simple words: When two lines are crossed by another line, and the two angles on the inside, on the same side of the crossing line, add up to exactly \( 180^\circ \), then the two lines are parallel. Here, the angles are \( 50^\circ \) and \( 130^\circ \), which add up to \( 180^\circ \), so the lines are parallel.

Exam Tip: Remember that consecutive interior angles must add up to \( 180^\circ \) for parallel lines. If their sum is not \( 180^\circ \), the lines are not parallel.

Question. જો \( l \parallel m \) હોય તો \( \angle x = ? \)
Answer: અહીં, \( l \parallel m \) છે અને તેને છેદિકા \( t \) છેદે છે. આથી, \( \angle x \) અને \( 70^\circ \) એ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતસ્થ ખૂણાઓ છે. આ અંતસ્થ ખૂણાઓનો સરવાળો \( 180^\circ \) થવો જોઈએ.
\( \implies \angle x + 70^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle x = 180^\circ - 70^\circ \)
\( \implies \angle x = 110^\circ \)
In simple words: Since the two lines are parallel, the angles on the inside and on the same side of the crossing line must add up to \( 180^\circ \). So, to find \( \angle x \), subtract \( 70^\circ \) from \( 180^\circ \). This gives you \( 110^\circ \).

Exam Tip: When dealing with parallel lines, always remember that consecutive interior angles are supplementary. This property is vital for finding unknown angles.