GSEB Class 6 Maths Solutions Chapter 7 અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ Exercise 7.3

Question 1. અપૂર્ણાંક સ્વરૂપે લખો. શું આ બધા સમઅપૂર્ણાંકો છે?
Answer:
(a) અહીં, ચિત્રમાં ચાર ભાગ દર્શાવેલ છે. આમાંના દરેક ભાગના આધારે આપણે અપૂર્ણાંક લખીશું અને પછી તે સમાન છે કે નહીં તે તપાસીશું.
(i) પ્રથમ ચિત્રમાં કુલ 2 સરખા ભાગ છે, અને તેમાંથી 1 ભાગ છાયાંકિત છે. આથી, અપૂર્ણાંક \( \frac { 1 }{ 2 } \) છે.
(ii) બીજા ચિત્રમાં કુલ 4 સરખા ભાગ છે, અને તેમાંથી 2 ભાગ છાયાંકિત છે. આથી, અપૂર્ણાંક \( \frac { 2 }{ 4 } \) છે.
(iii) ત્રીજા ચિત્રમાં કુલ 6 સરખા ભાગ છે, અને તેમાંથી 3 ભાગ છાયાંકિત છે. આથી, અપૂર્ણાંક \( \frac { 3 }{ 6 } \) છે.
(iv) ચોથા ચિત્રમાં કુલ 8 સરખા ભાગ છે, અને તેમાંથી 4 ભાગ છાયાંકિત છે. આથી, અપૂર્ણાંક \( \frac { 4 }{ 8 } \) છે.
હવે, આ બધા અપૂર્ણાંકોને આપણે સરળ સ્વરૂપમાં બદલીશું:
\( \frac { 2 }{ 4 } = \frac { 2 \div 2 }{ 4 \div 2 } = \frac { 1 }{ 2 } \) (અહીં, 2 અને 4 નો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ 2 છે.)
\( \frac { 3 }{ 6 } = \frac { 3 \div 3 }{ 6 \div 3 } = \frac { 1 }{ 2 } \) (અહીં, 3 અને 6 નો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ 3 છે.)
\( \frac { 4 }{ 8 } = \frac { 4 \div 4 }{ 8 \div 4 } = \frac { 1 }{ 2 } \) (અહીં, 4 અને 8 નો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ 4 છે.)
આમ, બધા અપૂર્ણાંકો \( \frac { 1 }{ 2 } \) છે. હા, આ બધા અપૂર્ણાંકો સમાન અપૂર્ણાંકો છે.
(b) અહીં પણ પાંચ ભાગ દર્શાવેલ છે. આપણે દરેક ભાગ માટે અપૂર્ણાંક લખીશું અને તેમની સમાનતા ચકાસીશું.
(i) પ્રથમ ચિત્રમાં કુલ 12 સરખા ભાગ છે, અને તેમાંથી 4 ભાગ છાયાંકિત છે. આથી, અપૂર્ણાંક \( \frac { 4 }{ 12 } \) છે.
(ii) બીજા ચિત્રમાં કુલ 9 સરખા ભાગ છે, અને તેમાંથી 3 ભાગ છાયાંકિત છે. આથી, અપૂર્ણાંક \( \frac { 3 }{ 9 } \) છે.
(iii) ત્રીજા ચિત્રમાં કુલ 6 સરખા ભાગ છે, અને તેમાંથી 2 ભાગ છાયાંકિત છે. આથી, અપૂર્ણાંક \( \frac { 2 }{ 6 } \) છે.
(iv) ચોથા ચિત્રમાં કુલ 3 સરખા ભાગ છે, અને તેમાંથી 1 ભાગ છાયાંકિત છે. આથી, અપૂર્ણાંક \( \frac { 1 }{ 3 } \) છે.
(v) પાંચમા ચિત્રમાં કુલ 15 સરખા ભાગ છે, અને તેમાંથી 6 ભાગ છાયાંકિત છે. આથી, અપૂર્ણાંક \( \frac { 6 }{ 15 } \) છે.
હવે, આ બધા અપૂર્ણાંકોને આપણે સરળ સ્વરૂપમાં બદલીશું:
\( \frac { 4 }{ 12 } = \frac { 4 \div 4 }{ 12 \div 4 } = \frac { 1 }{ 3 } \) (અહીં, 4 અને 12 નો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ 4 છે.)
\( \frac { 3 }{ 9 } = \frac { 3 \div 3 }{ 9 \div 3 } = \frac { 1 }{ 3 } \) (અહીં, 3 અને 9 નો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ 3 છે.)
\( \frac { 2 }{ 6 } = \frac { 2 \div 2 }{ 6 \div 2 } = \frac { 1 }{ 3 } \) (અહીં, 2 અને 6 નો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ 2 છે.)
\( \frac { 1 }{ 3 } = \frac { 1 }{ 3 } \)
\( \frac { 6 }{ 15 } = \frac { 6 \div 3 }{ 15 \div 3 } = \frac { 2 }{ 5 } \) (અહીં, 6 અને 15 નો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ 3 છે.)
આમ, \( \frac { 4 }{ 12 } = \frac { 3 }{ 9 } = \frac { 2 }{ 6 } = \frac { 1 }{ 3 } \). પરંતુ \( \frac { 1 }{ 3 } \ne \frac { 6 }{ 15 } \).
ના, આ બધા અપૂર્ણાંકો સમાન અપૂર્ણાંકો નથી.
In simple words: પહેલા દરેક ચિત્રના છાયાંકિત ભાગ અને કુલ ભાગની ગણતરી કરીને અપૂર્ણાંક લખો. પછી તે બધા અપૂર્ણાંકોને તેમના સૌથી નાના સ્વરૂપમાં ફેરવો. જો બધા અપૂર્ણાંકોનું સૌથી નાનું સ્વરૂપ સરખું હોય, તો તે સમાન અપૂર્ણાંકો કહેવાય છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને ચિત્રોમાંથી અપૂર્ણાંક શોધવા અને સમાનતા ચકાસવાનું કહેવામાં આવે, ત્યારે ખાતરી કરો કે તમે દરેક ચિત્રમાં છાયાંકિત ભાગો અને કુલ ભાગોને બરાબર ગણો છો. અપૂર્ણાંક લખ્યા પછી, તેમને હંમેશા તેમના સૌથી નાના સ્વરૂપમાં ઘટાડવા જોઈએ જેથી સમાનતા સરળતાથી ચકાસી શકાય.

Question 2. અપૂર્ણાંક લખો અને દરેક હરોળની સમઅપૂર્ણાંકની જોડ વખો-
Answer:
ઉપરના ઉદાહરણમાં આપણે જોયું તે પ્રમાણે, દરેક ભાગમાં નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંકો શોધીશું: \( \text{અપૂર્ણાંક} = \frac { \text{છાયાંકિત ભાગ} }{ \text{કુલ સરખા ભાગ} } \)
પ્રથમ હરોળના અપૂર્ણાંકો:
(a) કુલ 2 ભાગ, 1 છાયાંકિત. અપૂર્ણાંક \( \frac { 1 }{ 2 } \).
(b) કુલ 6 ભાગ, 4 છાયાંકિત. અપૂર્ણાંક \( \frac { 4 }{ 6 } \). સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 2 }{ 3 } \).
(c) કુલ 9 ભાગ, 3 છાયાંકિત. અપૂર્ણાંક \( \frac { 3 }{ 9 } \). સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 1 }{ 3 } \).
(d) કુલ 8 ભાગ, 2 છાયાંકિત. અપૂર્ણાંક \( \frac { 2 }{ 8 } \). સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 1 }{ 4 } \).
(e) કુલ 4 ભાગ, 3 છાયાંકિત. અપૂર્ણાંક \( \frac { 3 }{ 4 } \).
બીજી હરોળના અપૂર્ણાંકો:
(i) કુલ 18 ભાગ, 6 છાયાંકિત. અપૂર્ણાંક \( \frac { 6 }{ 18 } \). સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 1 }{ 3 } \).
(ii) કુલ 8 ભાગ, 4 છાયાંકિત. અપૂર્ણાંક \( \frac { 4 }{ 8 } \). સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 1 }{ 2 } \).
(iii) કુલ 16 ભાગ, 12 છાયાંકિત. અપૂર્ણાંક \( \frac { 12 }{ 16 } \). સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 3 }{ 4 } \).
(iv) કુલ 12 ભાગ, 8 છાયાંકિત. અપૂર્ણાંક \( \frac { 8 }{ 12 } \). સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 2 }{ 3 } \).
(v) કુલ 16 ભાગ, 4 છાયાંકિત. અપૂર્ણાંક \( \frac { 4 }{ 16 } \). સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 1 }{ 4 } \).
હવે, સમઅપૂર્ણાંકોની જોડીઓ નીચે મુજબ છે:
(a) \( \frac { 1 }{ 2 } \) → (ii) \( \frac { 4 }{ 8 } = \frac { 1 }{ 2 } \)
(b) \( \frac { 2 }{ 3 } \) → (iv) \( \frac { 8 }{ 12 } = \frac { 2 }{ 3 } \)
(c) \( \frac { 1 }{ 3 } \) → (i) \( \frac { 6 }{ 18 } = \frac { 1 }{ 3 } \)
(d) \( \frac { 1 }{ 4 } \) → (v) \( \frac { 4 }{ 16 } = \frac { 1 }{ 4 } \)
(e) \( \frac { 3 }{ 4 } \) → (iii) \( \frac { 12 }{ 16 } = \frac { 3 }{ 4 } \)
In simple words: પહેલા દરેક ચિત્રમાં કેટલા ભાગ છાયાંકિત છે અને કુલ કેટલા ભાગ છે તે ગણીને અપૂર્ણાંક બનાવો. પછી દરેક અપૂર્ણાંકને તેના સૌથી નાના સ્વરૂપમાં લાવો. છેલ્લે, જે અપૂર્ણાંકોના નાના સ્વરૂપ સરખા હોય, તેમને એકબીજા સાથે જોડો.

Exam Tip: જ્યારે તમે ચિત્રોમાંથી અપૂર્ણાંકની જોડીઓ શોધો, ત્યારે દરેક અપૂર્ણાંકને તેના સરળ સ્વરૂપમાં લાવવું ખૂબ જ મદદરૂપ થાય છે. આનાથી સમાન અપૂર્ણાંકોને ઓળખવાનું ખૂબ જ સરળ બની જાય છે.

Question 3. નીચે આપેલા દરેકના માં સાચી સંખ્યા મૂકો.
(a) \( \frac { 2 }{ 7 } = \frac { 8 }{ \_ } \)
(b) \( \frac { 5 }{ 8 } = \frac { 10 }{ \_ } \)
(c) \( \frac { 3 }{ 5 } = \frac { \_ }{ 20 } \)
(d) \( \frac { 45 }{ 60 } = \frac { 15 }{ \_ } \)
(e) \( \frac { 18 }{ 24 } = \frac { \_ }{ 4 } \)
Answer:
(a) \( \frac { 2 }{ 7 } = \frac { 8 }{ x } \)
\( 2 \times x = 8 \times 7 \)
\( x = \frac { 8 \times 7 }{ 2 } \)
\( x = 4 \times 7 \)
\( x = 28 \)
આમ, \( \frac { 2 }{ 7 } = \frac { 8 }{ 28 } \)
(b) \( \frac { 5 }{ 8 } = \frac { 10 }{ x } \)
\( 5 \times x = 10 \times 8 \)
\( x = \frac { 10 \times 8 }{ 5 } \)
\( x = 2 \times 8 \)
\( x = 16 \)
આમ, \( \frac { 5 }{ 8 } = \frac { 10 }{ 16 } \)
(c) \( \frac { 3 }{ 5 } = \frac { x }{ 20 } \)
\( 3 \times 20 = x \times 5 \)
\( x = \frac { 3 \times 20 }{ 5 } \)
\( x = 3 \times 4 \)
\( x = 12 \)
આમ, \( \frac { 3 }{ 5 } = \frac { 12 }{ 20 } \)
(d) \( \frac { 45 }{ 60 } = \frac { 15 }{ x } \)
\( 45 \times x = 15 \times 60 \)
\( x = \frac { 15 \times 60 }{ 45 } \)
\( x = \frac { 15 \times 15 \times 4 }{ 15 \times 3 } \)
\( x = 15 \times \frac { 4 }{ 3 } \)
\( x = 5 \times 4 \)
\( x = 20 \)
આમ, \( \frac { 45 }{ 60 } = \frac { 15 }{ 20 } \)
(e) \( \frac { 18 }{ 24 } = \frac { x }{ 4 } \)
\( 18 \times 4 = 24 \times x \)
\( x = \frac { 18 \times 4 }{ 24 } \)
\( x = \frac { 6 \times 3 \times 4 }{ 6 \times 4 } \)
\( x = 3 \)
આમ, \( \frac { 18 }{ 24 } = \frac { 3 }{ 4 } \)
In simple words: જ્યારે બે અપૂર્ણાંકો સમાન હોય, ત્યારે તેમની ક્રોસ-ગુણાકારની કિંમત સરખી હોય છે. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ખાલી જગ્યામાં આવતી સંખ્યા શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: સમાન અપૂર્ણાંકો શોધવા માટે, ક્રોસ-ગુણાકાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો. જો \( \frac { a }{ b } = \frac { c }{ d } \) હોય, તો \( a \times d = b \times c \). આ સરળ નિયમ તમને ગાયબ સંખ્યા શોધવામાં મદદ કરશે.

Question 4. \( \frac { 3 }{ 5 } \) નો સમઅપૂર્ણાંક શોધો કે જેનો –
(a) છેદ 20
(b) અંશ 9
(c) છેદ 30
(d) અંશ 27
Answer:
(a) ધારો કે, જે અપૂર્ણાંકનો છેદ 20 છે તે \( \frac { A }{ 20 } \) છે.
\( \frac { A }{ 20 } = \frac { 3 }{ 5 } \)
\( A \times 5 = 3 \times 20 \)
\( A = \frac { 3 \times 20 }{ 5 } \)
\( A = 3 \times 4 \)
\( A = 12 \)
આમ, જરૂરી અપૂર્ણાંક \( \frac { 12 }{ 20 } \) છે.
(b) ધારો કે, જે અપૂર્ણાંકનો અંશ 9 છે તે \( \frac { 9 }{ B } \) છે.
\( \frac { 9 }{ B } = \frac { 3 }{ 5 } \)
\( 9 \times 5 = 3 \times B \)
\( B = \frac { 9 \times 5 }{ 3 } \)
\( B = 3 \times 5 \)
\( B = 15 \)
આમ, જરૂરી અપૂર્ણાંક \( \frac { 9 }{ 15 } \) છે.
(c) ધારો કે, જે અપૂર્ણાંકનો છેદ 30 છે તે \( \frac { A }{ 30 } \) છે.
\( \frac { A }{ 30 } = \frac { 3 }{ 5 } \)
\( A \times 5 = 3 \times 30 \)
\( A = \frac { 3 \times 30 }{ 5 } \)
\( A = 3 \times 6 \)
\( A = 18 \)
આમ, જરૂરી અપૂર્ણાંક \( \frac { 18 }{ 30 } \) છે.
(d) ધારો કે, જે અપૂર્ણાંકનો અંશ 27 છે તે \( \frac { 27 }{ B } \) છે.
\( \frac { 27 }{ B } = \frac { 3 }{ 5 } \)
\( 27 \times 5 = 3 \times B \)
\( B = \frac { 27 \times 5 }{ 3 } \)
\( B = 9 \times 5 \)
\( B = 45 \)
આમ, જરૂરી અપૂર્ણાંક \( \frac { 27 }{ 45 } \) છે.
In simple words: સમાન અપૂર્ણાંક શોધવા માટે, આપણે જાણીએ છીએ કે જો બે અપૂર્ણાંકો સમાન હોય, તો તેમના અંશ અને છેદનો ગુણોત્તર સરખો હોય છે. આપેલા અંશ અથવા છેદનો ઉપયોગ કરીને, આપણે અજાણી સંખ્યા શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, તમે અજાણી સંખ્યાને \(x\) અથવા \(A, B\) ધારી શકો છો અને પછી ક્રોસ-ગુણાકાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલી શકો છો. ખાતરી કરો કે તમે સમીકરણ યોગ્ય રીતે ગોઠવો છો.

Question 5. \( \frac { 36 }{ 48 } \) નો સમઅપૂર્ણાંક શોધો કે જેનો –
(a) અંશ 9
(b) છેદ 4
Answer:
(a) ધારો કે, જે અપૂર્ણાંકનો અંશ 9 છે તે \( \frac { 9 }{ B } \) છે.
\( \frac { 9 }{ B } = \frac { 36 }{ 48 } \)
\( 9 \times 48 = 36 \times B \)
\( B = \frac { 9 \times 48 }{ 36 } \)
\( B = \frac { 9 \times 12 \times 4 }{ 9 \times 4 } \)
\( B = 12 \)
આમ, જરૂરી અપૂર્ણાંક \( \frac { 9 }{ 12 } \) છે.
(b) ધારો કે, જે અપૂર્ણાંકનો છેદ 4 છે તે \( \frac { A }{ 4 } \) છે.
\( \frac { A }{ 4 } = \frac { 36 }{ 48 } \)
\( A \times 48 = 36 \times 4 \)
\( A = \frac { 36 \times 4 }{ 48 } \)
\( A = \frac { 12 \times 3 \times 4 }{ 12 \times 4 } \)
\( A = 3 \)
આમ, જરૂરી અપૂર્ણાંક \( \frac { 3 }{ 4 } \) છે.
In simple words: સમાન અપૂર્ણાંક શોધવા માટે, આપેલા અપૂર્ણાંકને અંશ અથવા છેદ સાથે સરખાવો. પછી, ક્રોસ-ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને, ખાલી પડેલા અંશ અથવા છેદની કિંમત શોધો.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકને તેના સરળ સ્વરૂપમાં લાવવું ઘણીવાર અજાણી સંખ્યા શોધવામાં મદદરૂપ થાય છે. દા.ત., \( \frac { 36 }{ 48 } \) ને \( \frac { 3 }{ 4 } \) તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે, જે ગણતરીઓને સહેલી બનાવે છે.

Question 6. આપેલ અપૂર્ણાકો સમાન છે કે નથી, એ ચકાસોઃ
(a) \( \frac { 5 }{ 9 } , \frac { 30 }{ 54 } \)
(b) \( \frac { 3 }{ 10 } , \frac { 12 }{ 50 } \)
(c) \( \frac { 7 }{ 13 } , \frac { 5 }{ 11 } \)
Answer:
(a) \( \frac { 5 }{ 9 } \) અને \( \frac { 30 }{ 54 } \)
જો આ અપૂર્ણાંકો સમાન હોય, તો તેમના ક્રોસ-ગુણાકાર સમાન હોવા જોઈએ:
\( 5 \times 54 = 270 \)
\( 9 \times 30 = 270 \)
અહીં, \( 270 = 270 \).
તેથી, \( \frac { 5 }{ 9 } \) અને \( \frac { 30 }{ 54 } \) સમાન અપૂર્ણાંકો છે.
(b) \( \frac { 3 }{ 10 } \) અને \( \frac { 12 }{ 50 } \)
જો આ અપૂર્ણાંકો સમાન હોય, તો તેમના ક્રોસ-ગુણાકાર સમાન હોવા જોઈએ:
\( 3 \times 50 = 150 \)
\( 10 \times 12 = 120 \)
અહીં, \( 150 \ne 120 \).
તેથી, \( \frac { 3 }{ 10 } \) અને \( \frac { 12 }{ 50 } \) સમાન અપૂર્ણાંકો નથી.
(c) \( \frac { 7 }{ 13 } \) અને \( \frac { 5 }{ 11 } \)
જો આ અપૂર્ણાંકો સમાન હોય, તો તેમના ક્રોસ-ગુણાકાર સમાન હોવા જોઈએ:
\( 7 \times 11 = 77 \)
\( 13 \times 5 = 65 \)
અહીં, \( 77 \ne 65 \).
તેથી, \( \frac { 7 }{ 13 } \) અને \( \frac { 5 }{ 11 } \) સમાન અપૂર્ણાંકો નથી.
In simple words: બે અપૂર્ણાંકો સમાન છે કે નહીં તે જાણવા માટે, આપણે તેમને ક્રોસ-ગુણાકાર કરીએ છીએ. જો ક્રોસ-ગુણાકારના જવાબો સરખા હોય, તો અપૂર્ણાંકો સમાન છે; નહિતર, તેઓ સમાન નથી.

Exam Tip: સમાન અપૂર્ણાંકોની ચકાસણી કરવા માટે ક્રોસ-ગુણાકાર પદ્ધતિ સૌથી કાર્યક્ષમ છે. અંશ 1 ને છેદ 2 સાથે અને અંશ 2 ને છેદ 1 સાથે ગુણાકાર કરો. જો પરિણામો સમાન હોય, તો અપૂર્ણાંકો સમાન ગણાય છે.

Question 7. નીચે આપેલા અપૂર્ણાકોને તેના અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ
(a) \( \frac { 48 }{ 60 } \)
(b) \( \frac { 150 }{ 60 } \)
(c) \( \frac { 84 }{ 98 } \)
(d) \( \frac { 12 }{ 52 } \)
(e) \( \frac { 7 }{ 28 } \)
Answer:
(a) \( \frac { 48 }{ 60 } \)
48 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
60 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 3 \times 5 \)
48 અને 60 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 3 \)
તેથી, 48 અને 60 નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) \( = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
હવે, \( \frac { 48 }{ 60 } = \frac { 48 \div 12 }{ 60 \div 12 } = \frac { 4 }{ 5 } \)
આમ, \( \frac { 48 }{ 60 } \) નું સૌથી સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 4 }{ 5 } \) છે.
(b) \( \frac { 150 }{ 60 } \)
150 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 3 \times 5 \times 5 \)
60 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 3 \times 5 \)
150 અને 60 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 3 \times 5 \)
તેથી, 150 અને 60 નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 3 \times 5 = 30 \)
હવે, \( \frac { 150 }{ 60 } = \frac { 150 \div 30 }{ 60 \div 30 } = \frac { 5 }{ 2 } \)
આમ, \( \frac { 150 }{ 60 } \) નું સૌથી સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 5 }{ 2 } \) છે.
(c) \( \frac { 84 }{ 98 } \)
84 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 3 \times 7 \)
98 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 7 \times 7 \)
84 અને 98 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 7 \)
તેથી, 84 અને 98 નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 7 = 14 \)
હવે, \( \frac { 84 }{ 98 } = \frac { 84 \div 14 }{ 98 \div 14 } = \frac { 6 }{ 7 } \)
આમ, \( \frac { 84 }{ 98 } \) નું સૌથી સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 6 }{ 7 } \) છે.
(d) \( \frac { 12 }{ 52 } \)
12 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 3 \)
52 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 13 \)
12 અને 52 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \)
તેથી, 12 અને 52 નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 2 = 4 \)
હવે, \( \frac { 12 }{ 52 } = \frac { 12 \div 4 }{ 52 \div 4 } = \frac { 3 }{ 13 } \)
આમ, \( \frac { 12 }{ 52 } \) નું સૌથી સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 3 }{ 13 } \) છે.
(e) \( \frac { 7 }{ 28 } \)
7 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 7 \)
28 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 7 \)
7 અને 28 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો: \( 7 \)
તેથી, 7 અને 28 નો ગુ.સા.અ. \( = 7 \)
હવે, \( \frac { 7 }{ 28 } = \frac { 7 \div 7 }{ 28 \div 7 } = \frac { 1 }{ 4 } \)
આમ, \( \frac { 7 }{ 28 } \) નું સૌથી સરળ સ્વરૂપ \( \frac { 1 }{ 4 } \) છે.
In simple words: અપૂર્ણાંકને તેના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, આપણે અંશ અને છેદ બંનેના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ છીએ. પછી, આપણે તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) દ્વારા બંનેને ભાગીએ છીએ.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવવા માટે, અંશ અને છેદ બંનેને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (HCF/GCD) વડે ભાગો. જો તમને HCF શોધવામાં મુશ્કેલી પડે, તો નાના સામાન્ય અવયવો (જેમ કે 2, 3, 5) દ્વારા વારંવાર ભાગી શકો છો જ્યાં સુધી તે વધુ ભાગી શકાય નહીં.

Question 8. રમેશ પાસે 20 પેન્સિલ છે. શીલુ પાસે 50 પેન્સિલ છે. જમાલ પાસે 80 પેન્સિલ છે. 4 મહિના પછી રમેશે 10 પેન્સિલનો ઉપયોગ કરી લીધો. શીલુએ 25 પેન્સિલનો અને જમાલે 40 પેન્સિલનો ઉપયોગ કર્યો. દરેકે કેટલામા ભાગનો ઉપયોગ કર્યો? ચકાસો તેઓએ પેન્સિલનો સરખા ભાગનો ઉપયોગ કર્યો?
Answer:
અહીં, આપણે દરેક વ્યક્તિ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાયેલી પેન્સિલનો અપૂર્ણાંક શોધીશું અને પછી તેમની સમાનતા ચકાસીશું.
રમેશ પાસે કુલ 20 પેન્સિલ હતી અને તેણે 10 પેન્સિલનો ઉપયોગ કર્યો.
રમેશ વડે વપરાયેલ કુલ પેન્સિલનો ભાગ \( = \frac { 10 }{ 20 } \)
શીલુ પાસે કુલ 50 પેન્સિલ હતી અને તેણે 25 પેન્સિલનો ઉપયોગ કર્યો.
શીલુ વડે વપરાયેલ કુલ પેન્સિલનો ભાગ \( = \frac { 25 }{ 50 } \)
જમાલ પાસે કુલ 80 પેન્સિલ હતી અને તેણે 40 પેન્સિલનો ઉપયોગ કર્યો.
જમાલ વડે વપરાયેલ કુલ પેન્સિલનો ભાગ \( = \frac { 40 }{ 80 } \)
હવે, આપણે આ અપૂર્ણાંકોને તેમના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં બદલીશું:
રમેશ માટે: \( \frac { 10 }{ 20 } = \frac { 10 \div 10 }{ 20 \div 10 } = \frac { 1 }{ 2 } \) (અહીં, 10 અને 20 નો ગુ.સા.અ. 10 છે.)
શીલુ માટે: \( \frac { 25 }{ 50 } = \frac { 25 \div 25 }{ 50 \div 25 } = \frac { 1 }{ 2 } \) (અહીં, 25 અને 50 નો ગુ.સા.અ. 25 છે.)
જમાલ માટે: \( \frac { 40 }{ 80 } = \frac { 40 \div 40 }{ 80 \div 40 } = \frac { 1 }{ 2 } \) (અહીં, 40 અને 80 નો ગુ.સા.અ. 40 છે.)
આમ, \( \frac { 10 }{ 20 } = \frac { 25 }{ 50 } = \frac { 40 }{ 80 } = \frac { 1 }{ 2 } \).
હા, બધાએ કુલ પેન્સિલનો એકસરખા ભાગનો (\( \frac { 1 }{ 2 } \) ભાગ) ઉપયોગ કર્યો છે.
In simple words: દરેક વ્યક્તિએ કેટલી પેન્સિલ વાપરી તેનો અપૂર્ણાંક શોધો. પછી જુઓ કે તે અપૂર્ણાંકો સૌથી નાના સ્વરૂપમાં સરખા છે કે નહીં. જો સરખા હોય, તો બધાએ એકસરખો ભાગ વાપર્યો છે.

Exam Tip: આવા શાબ્દિક પ્રશ્નોમાં, સૌ પ્રથમ દરેક વ્યક્તિ માટે અપૂર્ણાંક બનાવો. પછી, અપૂર્ણાંકોને સરળ સ્વરૂપમાં લાવો અને તેમની તુલના કરો. જો બધા સરળ અપૂર્ણાંકો સરખા હોય, તો જવાબ "હા" છે.

Question 9. સમઅપૂર્ણાકોની જોડ બનાવો અને દરેકનાં બીજાં બે ઉદાહરણ લખોઃ
(i) \( \frac { 250 }{ 400 } \) (a) \( \frac { 2 }{ 3 } \)
(ii) \( \frac { 180 }{ 400 } \) (b) \( \frac { 2 }{ 5 } \)
(iii) \( \frac { 660 }{ 990 } \) (c) \( \frac { 1 }{ 2 } \)
(iv) \( \frac { 180 }{ 360 } \) (d) \( \frac { 5 }{ 8 } \)
(v) \( \frac { 220 }{ 400 } \) (e) \( \frac { 9 }{ 10 } \)
Answer:
અહીં, આપણે આપેલા અપૂર્ણાંકોને તેમના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં ફેરવીશું અને પછી જોડી બનાવીશું.
(i) \( \frac { 250 }{ 400 } \)
250 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 5 \times 5 \times 5 \)
400 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)
250 અને 400 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 5 \times 5 \)
તેથી, 250 અને 400 નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 5 \times 5 = 50 \)
હવે, \( \frac { 250 }{ 400 } = \frac { 250 \div 50 }{ 400 \div 50 } = \frac { 5 }{ 8 } \)
આમ, જોડકામાં (i) → (d).
\( \frac { 5 }{ 8 } \) ના બીજા બે સમઅપૂર્ણાંકો: \( \frac { 5 \times 2 }{ 8 \times 2 } = \frac { 10 }{ 16 } \) અને \( \frac { 5 \times 3 }{ 8 \times 3 } = \frac { 15 }{ 24 } \)
(ii) \( \frac { 180 }{ 200 } \) (આ OCR માં \( \frac { 180 }{ 400 } \) ને બદલે \( \frac { 180 }{ 200 } \) છે, આપણે \( \frac { 180 }{ 200 } \) નો ઉપયોગ કરીશું કારણ કે ઉકેલ \( \frac { 9 }{ 10 } \) માં પરિણમે છે.)
180 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \)
200 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)
180 અને 200 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 5 \)
તેથી, 180 અને 200 નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 5 = 20 \)
હવે, \( \frac { 180 }{ 200 } = \frac { 180 \div 20 }{ 200 \div 20 } = \frac { 9 }{ 10 } \)
આમ, જોડકામાં (ii) → (e).
\( \frac { 9 }{ 10 } \) ના બીજા બે સમઅપૂર્ણાંકો: \( \frac { 9 \times 2 }{ 10 \times 2 } = \frac { 18 }{ 20 } \) અને \( \frac { 9 \times 3 }{ 10 \times 3 } = \frac { 27 }{ 30 } \)
(iii) \( \frac { 660 }{ 990 } \)
660 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 11 \)
990 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 11 \)
660 અને 990 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 3 \times 5 \times 11 \)
તેથી, 660 અને 990 નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 3 \times 5 \times 11 = 330 \)
હવે, \( \frac { 660 }{ 990 } = \frac { 660 \div 330 }{ 990 \div 330 } = \frac { 2 }{ 3 } \)
આમ, જોડકામાં (iii) → (a).
\( \frac { 2 }{ 3 } \) ના બીજા બે સમઅપૂર્ણાંકો: \( \frac { 2 \times 2 }{ 3 \times 2 } = \frac { 4 }{ 6 } \) અને \( \frac { 2 \times 3 }{ 3 \times 3 } = \frac { 6 }{ 9 } \)
(iv) \( \frac { 180 }{ 360 } \)
180 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \)
360 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \)
180 અને 360 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \)
તેથી, 180 અને 360 નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 180 \)
હવે, \( \frac { 180 }{ 360 } = \frac { 180 \div 180 }{ 360 \div 180 } = \frac { 1 }{ 2 } \)
આમ, જોડકામાં (iv) → (c).
\( \frac { 1 }{ 2 } \) ના બીજા બે સમઅપૂર્ણાંકો: \( \frac { 1 \times 2 }{ 2 \times 2 } = \frac { 2 }{ 4 } \) અને \( \frac { 1 \times 3 }{ 2 \times 3 } = \frac { 3 }{ 6 } \)
(v) \( \frac { 220 }{ 550 } \) (આ OCR માં \( \frac { 220 }{ 400 } \) ને બદલે \( \frac { 220 }{ 550 } \) છે, આપણે \( \frac { 220 }{ 550 } \) નો ઉપયોગ કરીશું કારણ કે ઉકેલ \( \frac { 2 }{ 5 } \) માં પરિણમે છે.)
220 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 2 \times 5 \times 11 \)
550 ના અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 5 \times 5 \times 11 \)
220 અને 550 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો: \( 2 \times 5 \times 11 \)
તેથી, 220 અને 550 નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 5 \times 11 = 110 \)
હવે, \( \frac { 220 }{ 550 } = \frac { 220 \div 110 }{ 550 \div 110 } = \frac { 2 }{ 5 } \)
આમ, જોડકામાં (v) → (b).
\( \frac { 2 }{ 5 } \) ના બીજા બે સમઅપૂર્ણાંકો: \( \frac { 2 \times 2 }{ 5 \times 2 } = \frac { 4 }{ 10 } \) અને \( \frac { 2 \times 3 }{ 5 \times 3 } = \frac { 6 }{ 15 } \)
In simple words: પહેલા, દરેક મોટા અપૂર્ણાંકને તેના સૌથી નાના સ્વરૂપમાં ફેરવો. પછી, નાના અપૂર્ણાંકો સાથે તેની સરખામણી કરીને યોગ્ય જોડી બનાવો. છેલ્લે, દરેક જોડી માટે, અંશ અને છેદને એક જ સંખ્યા વડે ગુણીને બે નવા સમાન અપૂર્ણાંકો બનાવો.

Exam Tip: આવા પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, તમે દરેક અપૂર્ણાંકને તેના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડીને જોડીઓ શોધી શકો છો. નવા સમઅપૂર્ણાંકો બનાવવા માટે, આપેલા અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને કોઈપણ સમાન શૂન્ય સિવાયની પૂર્ણાંક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો.