GSEB Class 6 Maths Solutions Chapter 3 સંખ્યા સાથે Exercise 3.7

 

Question 1. રેણુ 75 કિગ્રા અને 69 કિગ્રા વજનવાળી બે ખાતરની ગૂણી ખરીદે છે. ખાતરના આ વજનનું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો કે જે બંને ગૂણીના વજનનું ગુણાંકમાં પૂરેપૂરું માપ લઈ શકે છે.
Answer: આપણે વધુમાં વધુ કેટલું વજન હોઈ શકે તે શોધવા માટે 75 કિગ્રા અને 69 કિગ્રાનો ગુ.સા.અ. (GCD) શોધીશું.

75ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 5 \times 5 \)
69ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 23 \)
75 અને 69ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ \( = 3 \)
\( \therefore \) 75 અને 69નો ગુ.સા.અ. \( = 3 \)
તેથી, માગ્યા મુજબ મહત્તમ વજનનું મૂલ્ય 3 કિગ્રા છે.
In simple words: To find the greatest weight that can measure both bags perfectly, we calculate the Greatest Common Divisor (GCD) of 75 kg and 69 kg, which turns out to be 3 kg.

Exam Tip: For problems asking for the 'maximum' or 'greatest' measure that can evenly divide given quantities, always calculate the Highest Common Factor (HCF) or Greatest Common Divisor (GCD).

 

Question 2. ૩ છોકરાઓ એક જ જગ્યાએથી એકસાથે પગ ઉપાડી ચાલવાની શરૂઆત કરે છે. એમનાં પગલાંનું માપ મી છે. એમાંથી દરેક કેટલું લઘુતમ અંતર નક્કી કરે છે જે અંતર પૂરેપૂરું પગલાંમાં નિશ્ચિત થઈ જાય.
Answer: દરેક બાળકે ઓછામાં ઓછું કેટલું અંતર ચાલવું તે શોધવા માટે લ.સા.અ. (LCM) શોધવો પડે. તેથી આપણે 63 સેમી, 70 સેમી અને 77 સેમીનો લ.સા.અ. શોધીશું.

63, 70 અને 77નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 6930 \)
આથી જરૂરી લઘુતમ અંતર 6930 સેમી છે.
In simple words: To find the smallest distance all three boys can cover in whole steps, we find the Least Common Multiple (LCM) of their step lengths: 63 cm, 70 cm, and 77 cm. This gives us 6930 cm.

Exam Tip: When a question asks for the 'minimum' or 'least' common quantity or time, it usually implies finding the Least Common Multiple (LCM).

 

Question 3. કોઈ ઓરડાની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ અનુક્રમે 825 સેમી, 675 સેમી અને 450 સેમી છે. એવી સૌથી લાંબી ટેપ શોધો જે ઓરડાની ત્રણેય બાજુઓને પૂરેપૂરું માપી લે.
Answer: ઓરડાની ત્રણે બાજુઓને પૂરેપૂરી માપી શકે તેવી સૌથી મોટી ટેપ શોધવા માટે, આપણે 825 સેમી, 675 સેમી અને 450 સેમીનો ગુ.સા.અ. (GCD) શોધીશું.

825ના અવયવો \( = 3 \times 5 \times 5 \times 11 \)
675ના અવયવો \( = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
450ના અવયવો \( = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
\( \therefore \) 825, 675 અને 450ના સામાન્ય અવયવો \( = 3 \times 5 \times 5 \)
\( = 3 \times 5 \times 5 = 75 \)
આમ, સાધનની મહત્તમ ધારણશક્તિ 75 સેમીની જોઈએ.
In simple words: To find the longest tape that can perfectly measure the room's length, width, and height, we calculate the Greatest Common Divisor (GCD) of 825 cm, 675 cm, and 450 cm, which results in 75 cm.

Exam Tip: When you need to find a 'largest' or 'longest' common measure for different dimensions, the method is always to find the HCF (Highest Common Factor) or GCD (Greatest Common Divisor).

 

Question 4. 6, 8 અને 12થી વિભાજ્ય ત્રણ અંકોની સૌથી નાની સંખ્યા શોધો.
Answer: અહીં સૌપ્રથમ આપણે 6, 8 અને 12નો લ.સા.અ. (LCM) શોધીશું.

\( \therefore \) 6, 8 અને 12નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24 \)
હવે, ત્રણ અંકોની સૌથી નાની સંખ્યા 100 છે.
100ને ઉપરના લ.સા.અ. વડે ભાગતાં:
\[ 100 \div 24 = 4 \text{ with remainder } 4 \] હવે, જરૂરી ત્રણ અંકોની નાનામાં નાની સંખ્યા જેને 24 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય, તે શોધવા માટે:
ત્રણ અંકની નાનામાં નાની સંખ્યા \( - \) શેષ \( + \) લ.સા.અ.
\( = (100 - 4) + 24 \)
\( = 96 + 24 \)
\( = 120 \)
આમ, માગ્યા મુજબની નાનામાં નાની સંખ્યા 120 છે.
In simple words: First, find the Least Common Multiple (LCM) of 6, 8, and 12, which is 24. Then, to find the smallest three-digit number divisible by 24, divide 100 (the smallest three-digit number) by 24. We get a remainder of 4. So, the number is \( (100 - 4) + 24 = 120 \).

Exam Tip: To find the smallest number divisible by several numbers, always start by finding their LCM. Then, adjust for the desired digit count (e.g., smallest three-digit number) by dividing the smallest such number by the LCM and using the remainder.

 

Question 5. 8, 10 અને 12થી વિભાજ્ય ત્રણ અંકોની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધો.
Answer: અહીં સૌપ્રથમ આપણે 8, 10 અને 12નો લ.સા.અ. (LCM) શોધીશું.

8, 10 અને 12નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 120 \)
હવે, ત્રણ અંકોની સૌથી મોટી સંખ્યા 999 છે.
999ને 120 વડે ભાગતાં:
\[ 999 \div 120 = 8 \text{ with remainder } 39 \] હવે, માગ્યા મુજબની ત્રણ અંકોની સંખ્યા જેને 120 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય, તે શોધવા માટે:
ત્રણ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા \( - \) શેષ \( = 999 - 39 = 960 \)
આમ, માગ્યા મુજબની સંખ્યા 960 છે.
In simple words: First, find the Least Common Multiple (LCM) of 8, 10, and 12, which is 120. Then, to find the largest three-digit number divisible by 120, divide 999 (the largest three-digit number) by 120. We get a remainder of 39. So, the number is \( 999 - 39 = 960 \).

Exam Tip: To find the largest number within a range (e.g., three-digit) divisible by several numbers, first find their LCM. Then, divide the largest number in that range by the LCM and subtract the remainder from the largest number.

 

Question 6. જુદા જુદા રસ્તાની 3 ટ્રાફિક લાઈટ અનુક્રમે દરેક 48 સેકન્ડ, 72 સેકન્ડ, 108 સેકન્ડ પછી બદલાય છે. જો તે એકસાથે સવારે 7 વાગે બદલાય, તો તે ફરીથી એકસાથે ક્યારે બદલાશે?
Answer: અહીં ટ્રાફિક સિગ્નલની લાઇટોની સમય અવધિ 48 સેકન્ડ, 72 સેકન્ડ અને 108 સેકન્ડ છે. પહેલાં આપણે 48, 72 અને 108નો લ.સા.અ. (LCM) શોધીશું.

48, 72 અને 108નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 432 \)
હવે, 432 સેકન્ડને મિનિટમાં રૂપાંતરિત કરતા:
\( 432 \text{ સેકન્ડ} = \frac { 432 }{ 60 } \text{ મિનિટ} \)
\( = 7 \text{ મિનિટ} \ 12 \text{ સેકન્ડ} \)
આથી લાઇટ ફરી એકસાથે બદલાવાનો સમય સવારે 7 વાગ્યા પછી 7 મિનિટ 12 સેકન્ડ એટલે કે:
માગ્યા મુજબનો જવાબ સવારે 7 વાગ્યા પછી 7 મિનિટ 12 સેકન્ડ છે.
In simple words: We find the Least Common Multiple (LCM) of 48, 72, and 108 seconds, which is 432 seconds. This equals 7 minutes and 12 seconds. So, if the lights change together at 7:00 AM, they will change together again at 7:07:12 AM.

Exam Tip: For problems involving repeating events (like traffic lights changing) that need to occur simultaneously again, calculate the LCM of their individual time intervals to find the next common time.

 

Question 7. ત્રણ ટેન્કરોમાં અનુક્રમે 403 લિટર, 434 લિટર અને 465 લિટર ડીઝલ છે. આ સાધનની મહત્તમ ધારણશક્તિ (સમર્થતા) શોધો કે જે આ ત્રણેય ટેન્કરોના ડીઝલને પૂરેપૂરું ગુણાંકમાં માપી શકે.
Answer: અહીં ત્રણે ટેન્કરોની ડીઝલની મહત્તમ ધારણશક્તિ (સમર્થતા) શોધવા માટે 403 લિટર, 434 લિટર અને 465 લિટરનો ગુ.સા.અ. (GCD) શોધીશું.

403ના બધા અવિભાજ્ય અવયવો \( = 13 \times 31 \)
434ના બધા અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 7 \times 31 \)
465ના બધા અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 5 \times 31 \)
\( \therefore \) 403, 434 અને 465ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ \( = 31 \)
આમ, સાધનની મહત્તમ ધારણશક્તિ 31 લિટર હોય.
In simple words: To find the largest capacity of a container that can perfectly measure the diesel from three tankers (403, 434, and 465 liters), we need to find their Greatest Common Divisor (GCD). The GCD of these amounts is 31 liters.

Exam Tip: When a question asks for the 'maximum capacity' or 'largest measure' to divide given quantities exactly, calculate the HCF (Highest Common Factor) or GCD (Greatest Common Divisor).

 

Question 8. એવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધો કે જેને 6, 15 અને 18થી ભાગતાં દરેક સ્થિતિમાં 5 શેષ રહે.
Answer: અહીં સૌપ્રથમ આપણે 6, 15 અને 18નો લ.સા.અ. (LCM) શોધીશું (સૌથી નાની સંખ્યા માટે).

6, 15 અને 18નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90 \)
હવે, 6, 15 અને 18થી ભાગતાં શેષ 5 રહે તેવી સંખ્યા શોધવાની છે.
\( \therefore \) માગ્યા મુજબની સંખ્યા \( = \) લ.સા.અ. \( + \) શેષ
\( = 90 + 5 = 95 \)
માગ્યા મુજબની સંખ્યા 95 છે.
In simple words: First, find the Least Common Multiple (LCM) of 6, 15, and 18, which is 90. Since we want a remainder of 5, we add 5 to the LCM. So, \( 90 + 5 = 95 \).

Exam Tip: When a question asks for the smallest number that leaves a specific remainder when divided by several numbers, first calculate the LCM of those numbers and then add the given remainder to the LCM.

 

Question 9. ચાર અંકોની એવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધો જે 18, 24 અને 32થી વિભાજ્ય છે.
Answer: સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે, આપેલી સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. (LCM) શોધવો પડે. અહીં સૌપ્રથમ આપણે 18, 24 અને 32નો લ.સા.અ. શોધીશું.

18, 24 અને 32નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 288 \)
હવે ચાર અંકોની નાનામાં નાની સંખ્યા 1000 છે.
1000ને 288 વડે ભાગતાં:
\[ 1000 \div 288 = 3 \text{ with remainder } 136 \] \( \therefore \) 18, 24 અને 32 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની ચાર અંકોની સંખ્યા \( = 1000 - 136 + 288 = 1152 \)
નોંધ: 1000માંથી 136 બાદ કરતાં મળતી સંખ્યા ત્રણ અંકોની થશે, તેથી તેમાં 288 ઉમેરવા પડે અને સંખ્યા ચાર અંકોની મળે.
In simple words: First, find the Least Common Multiple (LCM) of 18, 24, and 32, which is 288. To find the smallest four-digit number divisible by 288, divide 1000 by 288. The remainder is 136. So, we subtract the remainder from 1000 and then add the LCM: \( (1000 - 136) + 288 = 864 + 288 = 1152 \).

Exam Tip: When seeking the smallest N-digit number divisible by given numbers, calculate their LCM. Then, divide the smallest N-digit number by the LCM, subtract the remainder from the smallest N-digit number, and add the LCM to get the answer.

 

Question 10. નીચે આપેલી સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. શોધોઃ
(a) 9 અને 4
(b) 12 અને 5
(c) 6 અને 5
(d) 15 અને 4
લ.સા.અ. શોધવાની પદ્ધતિમાં તમને સામાન્ય શું જણાયું? શું દરેક કિસ્સામાં તે બે સંખ્યાનો ગુણાકાર છે?
Answer:
(a) 9 અને 4

9 અને 4નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36 \)
9 અને 4નો ગુણાકાર \( = 9 \times 4 = 36 \)

(b) 12 અને 5
12 અને 5નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60 \)
વળી, 12 અને 5નો ગુણાકાર \( = 12 \times 5 = 60 \)

(c) 6 અને 5
6 અને 5નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 3 \times 5 = 30 \)
વળી, 6 અને 5નો ગુણાકાર \( = 6 \times 5 = 30 \)

(d) 15 અને 4
15 અને 4નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60 \)
વળી, 15 અને 4નો ગુણાકાર \( = 15 \times 4 = 60 \)

આગળના દરેક દાખલામાં મળતો લ.સા.અ. એ આપેલી બે સંખ્યાઓમાંની મોટી સંખ્યા જેટલો છે. આમ બનવાનું કારણ એ છે કે નાની સંખ્યા મોટી સંખ્યાનો અવયવ હોય. આપેલી બે સંખ્યાઓમાં નાની સંખ્યા મોટી સંખ્યાનો અવયવ હોય, તો તે બે સંખ્યાનો લ.સા.અ. એ મોટી સંખ્યા જ હોય. વળી આ બે સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. એ નાની સંખ્યા જ હોય.

લ.સા.અ. શોધવાની પદ્ધતિમાં સામાન્ય જણાયું કે દરેક લ.સા.અ. એ આપેલી બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે.
હા, દરેક કિસ્સામાં તે બે સંખ્યાનો ગુણાકાર છે. આ ખાસ કરીને ત્યારે થાય છે જ્યારે બંને સંખ્યાઓ સહ-અવિભાજ્ય હોય, એટલે કે તેમનો ગુ.સા.અ. 1 હોય.
In simple words: We calculated the LCM for pairs like (9, 4), (12, 5), (6, 5), and (15, 4). In all these cases, we noticed that the LCM is equal to the product of the two given numbers. This happens because the pairs of numbers are co-prime, meaning their Greatest Common Divisor (GCD) is 1.

Exam Tip: For any two co-prime numbers (numbers whose only common factor is 1), their LCM will always be equal to their product. This is a handy shortcut for finding the LCM of such pairs.

 

Question 11. નીચે આપેલ સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. શોધો કે જેમાં એક સંખ્યા બીજી સંખ્યાનો અવયવ હોય?
(a) 5, 20
(b) 6, 18
(c) 12, 48
(d) 9, 45.
Answer:
(a) 5, 20

\( \therefore \) 5 અને 20નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 5 = 20 \)

(b) 6, 18
\( \therefore \) 6 અને 18નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 3 \times 3 = 18 \)

(c) 12, 48
\( \therefore \) 12 અને 48નો લ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 48 \)

(d) 9, 45
\( \therefore \) 9 અને 45નો લ.સા.અ. \( = 3 \times 3 \times 5 = 45 \)
આગળના દરેક દાખલામાં મળતો લ.સા.અ. એ આપેલી બે સંખ્યાઓમાંની મોટી સંખ્યા જેટલો છે. આમ બનવાનું કારણ એ છે કે નાની સંખ્યા મોટી સંખ્યાનો અવયવ છે.

અહીં, આપેલી બે સંખ્યાઓમાં નાની સંખ્યા મોટી સંખ્યાનો અવયવ હોય, તો તે બે સંખ્યાનો લ.સા.અ. એ મોટી સંખ્યા જ હોય. વળી આ બે સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. એ નાની સંખ્યા જ હોય.
In simple words: When one number is a factor of another number, their Least Common Multiple (LCM) is always the larger of the two numbers. For example, the LCM of 5 and 20 is 20, because 5 divides 20 evenly. Similarly, the LCM of 6 and 18 is 18, and so on.

Exam Tip: A quick way to find the LCM of two numbers when one is a multiple of the other is to simply choose the larger number as the LCM. For instance, for numbers A and B where B is a multiple of A, the LCM(A, B) will be B.