GSEB Class 6 Maths Solutions Chapter 3 સંખ્યા સાથે Exercise 3.6

Gujarat Board Textbook Solutions Class 6 Maths Chapter 3 સંખ્યા સાથે Ex 3.6

 

Question 1. નીચે આપેલી સંખ્યાઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ શોધો.
(a) 18, 48
(b) 30, 42
(c) 18, 60
(d) 27, 63
(e) 36, 84
(f) 34, 102
(g) 70, 105, 175
(h) 91, 112, 49
(i) 18, 54, 81
(j) 12, 45, 75
Answer:
(a) 18, 48

18ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 3 \times 3 \)
48ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
18 અને 48ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 3 \)
\( \implies \) 18 અને 48નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 3 = 6 \)
(b) 30, 4230ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 3 \times 5 \)
42ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 3 \times 7 \)
30 અને 42ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 3 \)
\( \implies \) 30 અને 42નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 3 = 6 \)
(c) 18, 6018ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 3 \times 3 \)
60ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \)
18 અને 60ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 3 \)
\( \implies \) 18 અને 60નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 3 = 6 \)
(d) 27, 6327ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 3 \times 3 \)
63ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 3 \times 7 \)
27 અને 63ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 3 \)
\( \implies \) 27 અને 63નો ગુ.સા.અ. \( = 3 \times 3 = 9 \)
(e) 36, 8436ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
84ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 2 \times 3 \times 7 \)
36 અને 84ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 2 \times 3 \)
\( \implies \) 36 અને 84નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
(f) 34, 10234ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 17 \)
102ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 3 \times 17 \)
34 અને 102ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 17 \)
\( \implies \) 34 અને 102નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \times 17 = 34 \)
(g) 70, 105, 17570ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 5 \times 7 \)
105ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 5 \times 7 \)
175ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 5 \times 5 \times 7 \)
70, 105 અને 175ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો \( = 5 \times 7 \)
\( \implies \) 70, 105 અને 175નો ગુ.સા.અ. \( = 5 \times 7 = 35 \)
(h) 91, 112, 4991ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 7 \times 13 \)
112ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \)
49ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 7 \times 7 \)
91, 112 અને 49ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ \( = 7 \)
\( \implies \) 91, 112 અને 49નો ગુ.સા.અ. \( = 7 \)
(i) 18, 54, 8118ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 3 \times 3 \)
54ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \)
81ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
18, 54 અને 81ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 3 \)
\( \implies \) 18, 54 અને 81નો ગુ.સા.અ. \( = 3 \times 3 = 9 \)
(j) 12, 45, 7512ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 2 \times 3 \)
45ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 3 \times 5 \)
75ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 5 \times 5 \)
12, 45 અને 75ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ \( = 3 \)
\( \implies \) 12, 45 અને 75નો ગુ.સા.અ. \( = 3 \)
In simple words: To find the Highest Common Factor (HCF), list all the prime factors for each number. Then, find the prime factors that are common to all the numbers and multiply them together. The product of these common prime factors gives you the HCF.

Exam Tip: Always make sure you list *all* prime factors, not just a few. When finding common factors, only include factors present in *every* number you are comparing. A missing factor can lead to an incorrect HCF.

 

Question 2.
(a) બે ક્રમિક સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. શું મળે? (What is the HCF of two consecutive numbers?)
(b) બે ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. શું મળે? (What is the HCF of two consecutive even numbers?)
(c) બે ક્રમિક એકી સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. શું મળે? (What is the HCF of two consecutive odd numbers?)
Answer:
(a) ધારો કે, બે ક્રમિક સંખ્યાઓ 15 અને 16 છે.
15ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 5 \)
16ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
\( \implies \) 15 અને 16ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો નથી. (એટલે કે 1 છે.)
\( \implies \) 15 અને 16નો ગુ.સા.અ. \( = 1 \).
આમ, કોઈ પણ બે ક્રમિક સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. 1 મળે.
(b) ધારો કે, બે ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ 8 અને 10 છે.
8ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 2 \times 2 \)
10ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 2 \times 5 \)
\( \implies \) 8 અને 10ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ \( = 2 \).
\( \implies \) 8 અને 10નો ગુ.સા.અ. \( = 2 \).
આમ, કોઈ પણ બે ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. 2 મળે.
(c) ધારો કે, બે ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ 25 અને 27 છે.
25ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 5 \times 5 \)
27ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 3 \times 3 \times 3 \)
\( \implies \) 25 અને 27ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો નથી. (એટલે કે 1 છે.)
\( \implies \) 25 અને 27નો ગુ.સા.અ. \( = 1 \).
આમ, કોઈ પણ બે ક્રમિક એકી સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. 1 મળે.
In simple words: The HCF of any two numbers that come one after another (consecutive numbers) is always 1. For two even numbers that come one after another (consecutive even numbers), their HCF is always 2. If you take two odd numbers right next to each other (consecutive odd numbers), their HCF will always be 1.

Exam Tip: Remember these simple rules about HCF for consecutive numbers, consecutive even numbers, and consecutive odd numbers. They are common facts that can save you time in calculations.

 

Question 3. અવિભાજ્ય અવયવો દ્વારા બે સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 4 અને 15નો ગુ.સા.અ. આ પ્રમાણે શોધ્યો? \( 4 = 2 \times 2 \) અને \( 15 = 3 \times 5 \) કારણ કે આ અવયવમાં કોઈ અવિભાજ્ય સામાન્ય અવયવ નથી એટલે 4 અને 15નો ગુ.સા.અ. શૂન્ય છે. શું આ જવાબ સાચો છે? જો નથી તો સાચો ગુ.સા.અ. કયો છે?
Answer: ના, આપેલો જવાબ સાચો નથી. આપેલી સંખ્યાઓનો સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ એ ગુ.સા.અ. છે. જો સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ ન હોય, તો ગુ.સા.અ. 1 છે, શૂન્ય નથી. વળી, 0 એ કોઈ પણ સંખ્યાનો અવિભાજ્ય અવયવ નથી. તેથી કોઈ પણ સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. 0 ન હોઈ શકે. માટે 4 અને 15નો સાચો ગુ.સા.અ. 1 છે.
In simple words: No, the given answer is incorrect. The Highest Common Factor (HCF) is the common prime factor of the numbers. If there are no common prime factors, the HCF is 1, not zero. Also, 0 is never a prime factor of any number. Therefore, the HCF of any two numbers can never be 0. The correct HCF for 4 and 15 is 1.

Exam Tip: Always remember that if two numbers have no common prime factors, their HCF is 1, not 0. This is a fundamental concept for coprime numbers.