GSEB Class 6 Maths Solutions Chapter 3 સંખ્યા સાથે Exercise 3.5

Gujarat Board Textbook Solutions Class 6 Maths Chapter 3 સંખ્યા સાથે Ex 3.5

Question 1. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
(a) જો કોઈ સંખ્યા 3થી વિભાજ્ય છે, તો તે 9થી વિભાજ્ય હોય છે.
(b) જો એક સંખ્યા 9થી વિભાજ્ય છે, તો તે 3થી ચોક્કસ વિભાજ્ય હશે.
(c) એક સંખ્યા 18થી વિભાજ્ય છે, તો તે 3 અને 6 બંનેથી વિભાજ્ય હોય.
(d) જો એક સંખ્યા 9 અને 10 બંનેથી વિભાજ્ય હોય, તો તે 90થી વિભાજ્ય હોઈ શકે.
(e) જો બે સંખ્યા સહ-અવિભાજ્ય હોય, તો એમાંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા ચોક્કસ અવિભાજ્ય સંખ્યા હશે.
(f) 4થી વિભાજ્ય બધી જ સંખ્યાઓ 8થી પણ ચોક્કસ વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
(g) 8થી વિભાજ્ય બધી જ સંખ્યાઓ 4થી વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
(h) જો કોઈ સંખ્યા બે સંખ્યાઓને અલગ અલગ સંપૂર્ણપણે વિભાજિત કરે છે, તો તે સંખ્યા તેના સરવાળાને પણ સંપૂર્ણપણે વિભાજિત કરશે.
(i) જો કોઈ સંખ્યા બે સંખ્યાઓના સરવાળાને પૂર્ણ રીતે વિભાજિત કરે છે, તો તે બંને સંખ્યાઓને અલગ અલગ રીતે પણ વિભાજિત કરશે.
Answer:
(a) ખોટું કારણ: 9નો અવયવ 3 છે પણ 3નો અવયવ 9 નથી. આથી સંખ્યા 3 વડે વિભાજ્ય હોય, તે 9 વડે વિભાજ્ય ન પણ હોય.
(b) સાચું કારણ: 9નો અવયવ 3 છે તેથી જો સંખ્યા 9થી વિભાજ્ય હોય, તો તે 3થી ચોક્કસ વિભાજ્ય હોય.
(c) સાચું કારણ: 3 અને 6 બંને 18ના અવયવો છે.
(d) સાચું કારણ: 9 અને 10 બંને સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. હવે જો સંખ્યાને બે સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ભાગી શકાય તો આ સંખ્યાને આ બે સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર વડે પણ ભાગી શકાય.
(e) ખોટું કારણ: બે સંખ્યાઓનો સામાન્ય અવયવ 1 હોય, તો તે બે સંખ્યાઓ સહ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ કહેવાય. તેથી એ જરૂરી નથી કે બેમાંથી એક સંખ્યા અવિભાજ્ય સંખ્યા જ હોય. જુઓ 4 અને 9 એ સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે છતાં તેમાંની એકેય સંખ્યા અવિભાજ્ય નથી.
(f) ખોટું કારણ: 8નો અવયવ 4 છે. તેથી આ સાચું નથી. જુઓ 28ને 4 વડે ભાગી શકાય છે પણ 8 વડે ભાગી શકાતા નથી.
(g) સાચું કારણ: 8નો અવયવ 4 છે. તેથી જે સંખ્યા 8 વડે વિભાજ્ય હોય તે સંખ્યા 4 વડે પણ વિભાજ્ય હોય જ. જુઓ \( 24 \div 8 = 3 \) અને \( 24 \div 4 = 6 \).
(h) સાચું કારણ: જુઓ 7 વડે 21ને અને 7 વડે 35ને ભાગી શકાય છે. તેથી 7 વડે આ બે સંખ્યાઓના સરવાળા \( 21 + 35 = 56 \)ને ભાગી શકાય છે.
(i) ખોટું કારણ: જુઓ 10 અને 4ના સરવાળા 14ને 7 વડે ભાગી શકાય છે. પણ 10ને કે 4ને 7 વડે ભાગી શકાતા નથી.
In simple words: This question asks us to identify which statements about divisibility are correct. We need to check each statement based on the rules of factors, multiples, and co-prime numbers. For example, a number divisible by 9 will always be divisible by 3, but a number divisible by 3 is not always divisible by 9.

Exam Tip: Remember key divisibility rules: if a number is divisible by two co-prime numbers, it's also divisible by their product. Also, a factor of a number will always divide any multiple of that number.

Question 2. અહીં 60 માટે બે જુદા જુદા અવયવ-વૃક્ષો આપ્યાં છે. ખૂટતી સંખ્યાઓ લખો:
(a)
60
6 10
2 ? 5 ?
(b)
60
30 ?
10 3
2 5
Answer:
(a) \( 6 = 2 \times 3 \) અને \( 10 = 5 \times 2 \)
ખૂટતી સંખ્યાઓ 3 અને 2 છે.
(b) \( 60 = 30 \times 2 \)
\( 30 = 10 \times 3 \)
અને \( 10 = 2 \times 5 \)
ખૂટતી સંખ્યાઓ 2, 3, 2 અને 5 છે.
In simple words: For factor trees, you break down a number into its factors. If a number is split into two branches, those two numbers multiply to give the number above them. You keep doing this until all the numbers at the bottom are prime numbers.

Exam Tip: To complete a factor tree, multiply the two numbers on the lower branches to find the number on the branch above them. Conversely, divide the number on a branch by a given factor to find the missing factor.

Question 3. સંખ્યા સાથે રમત ૩. વિભાજ્ય સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડવામાં કયા અવયવોનો સમાવેશ થતો નથી?
Answer: અવયવ 1 અને સંખ્યા પોતે આ બંનેનો સમાવેશ વિભાજ્ય સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવોમાં કરવામાં આવતો નથી.
In simple words: When we find the prime factors of a number, we only list the prime numbers that multiply to make it. We do not include the number 1 or the number itself in the list of prime factors.

Exam Tip: Prime factorization specifically looks for prime numbers. Remember that 1 is neither prime nor composite, and the number itself is not considered a prime factor, but rather the number being factored.

Question 4. 4 અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા લખો અને તેને અવિભાજ્ય અવયવની રીતે રજૂ કરો.
Answer: ચાર અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા 9999 છે.
અવિભાજ્ય અવયવો:
\( 9999 \div 3 = 3333 \)
\( 3333 \div 3 = 1111 \)
\( 1111 \div 11 = 101 \)
\( 101 \div 101 = 1 \)
તેથી, \( 9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101 \).
In simple words: To find the prime factors of the largest four-digit number, 9999, we keep dividing it by the smallest prime numbers until we are left with only prime numbers.

Exam Tip: To find the largest number with a certain number of digits, use all nines. For prime factorization, always start dividing by the smallest prime number (2), then move to the next (3, 5, 7, etc.) if it's no longer divisible.

Question 5. 5 અંકની નાનામાં નાની સંખ્યા લખો અને તેને અવિભાજ્ય અવયવની રીતે રજૂ કરો.
Answer: પાંચ અંકની નાનામાં નાની સંખ્યા 10000 છે.
અવિભાજ્ય અવયવો:
\( 10000 \div 2 = 5000 \)
\( 5000 \div 2 = 2500 \)
\( 2500 \div 2 = 1250 \)
\( 1250 \div 2 = 625 \)
\( 625 \div 5 = 125 \)
\( 125 \div 5 = 25 \)
\( 25 \div 5 = 5 \)
\( 5 \div 5 = 1 \)
તેથી, \( 10000 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \).
In simple words: The smallest five-digit number is 10000. To find its prime factors, we divide it by prime numbers until all factors are prime.

Exam Tip: The smallest number with 'n' digits is \( 10^{n-1} \). When doing prime factorization, systematically divide by prime numbers in increasing order to avoid errors.

Question 6. 1729ના બધા અવિભાજ્ય અવયવ જણાવો અને તેને ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવો. હવે તે બે ક્રમિક આવેલા અવિભાજ્ય અવયવોમાં જો કોઈ સંબંધ હોય તો લખો.
Answer: 1729ના અવિભાજ્ય અવયવો \( = 7 \times 13 \times 19 \)
અવિભાજ્ય અવયવો ઊતરતા ક્રમમાં: 19, 13 અને 7.
હવે, \( 19 - 13 = 6 \) તથા \( 13 - 7 = 6 \)
એ સ્પષ્ટ છે કે અહીં ક્રમિક બે અવિભાજ્ય અવયવોનો તફાવત 6 છે.
In simple words: We need to find the prime factors of 1729, arrange them from biggest to smallest, and then see if there's a pattern in the differences between consecutive factors. The prime factors are 7, 13, and 19. When put in decreasing order, the difference between each consecutive pair is 6.

Exam Tip: For larger numbers, test divisibility by primes (7, 11, 13, 17, 19...) until you find a factor. Once you have the prime factors, arrange them as requested and calculate differences if needed.

Question 7. ત્રણ ક્રમિક સંખ્યાઓનો અવયવી હંમેશાં 6થી વિભાજ્ય હોય છે. આ વિધાનને કેટલાંક ઉદાહરણની મદદથી સ્પષ્ટ કરો.
Answer:
(i) આપણે ક્રમિક ત્રણ સંખ્યાઓ 8, 9 અને 10 લઈએ.
આ ત્રણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર \( = 8 \times 9 \times 10 = 720 \).
720નો પ્રથમ અવયવી 720 છે.
જુઓ: \( 720 \div 6 = 120 \).
(ii) આપણે ક્રમિક ત્રણ સંખ્યાઓ 11, 12 અને 13 લઈએ.
આ ત્રણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર \( = 11 \times 12 \times 13 = 1716 \).
1716નો પ્રથમ અવયવી 1716 છે.
જુઓ: \( 1716 \div 6 = 286 \).
In simple words: This statement says that if you multiply three numbers that come one after another, the answer will always be divisible by 6. We showed this by taking two examples: first with 8, 9, 10, and then with 11, 12, 13. In both cases, the product was perfectly divisible by 6.

Exam Tip: When proving a statement with examples, choose diverse examples (small numbers, slightly larger numbers) to strengthen your argument. The divisibility by 6 comes from the fact that among any three consecutive numbers, there will always be at least one multiple of 2 and exactly one multiple of 3, making their product divisible by \( 2 \times 3 = 6 \).

Question 8. કોઈ પણ બે ક્રમિક વિષમ (એકી) સંખ્યાઓનો સરવાળો 4થી વિભાજ્ય છે. કેટલાંક ઉદાહરણની મદદથી આ વિધાન સ્પષ્ટ કરો.
Answer:
(i) આપણે ક્રમિક બે વિષમ (એકી) સંખ્યાઓ 11 અને 13 લઈએ. (*Original OCR has 18, corrected to 13 to be 'consecutive odd numbers' and for the sum to be divisible by 4 as per the rule*).
જુઓ: \( 11 + 13 = 24 \) અને \( 24 \div 4 = 6 \).
(ii) આપણે ક્રમિક બે વિષમ (એકી) સંખ્યાઓ 29 અને 31 લઈએ.
જુઓ: \( 29 + 31 = 60 \) અને \( 60 \div 4 = 15 \).
આમ, ક્રમિક બે વિષમ (એકી) સંખ્યાઓના સરવાળાને હંમેશાં 4 વડે ભાગી શકાય છે.
In simple words: The question asks us to show, using examples, that when you add any two odd numbers that come right after each other, the total can always be divided by 4. We used 11 and 13 as one example, and 29 and 31 as another, and in both cases, their sum was evenly divisible by 4.

Exam Tip: When working with divisibility rules, always ensure your chosen examples correctly fit the conditions given in the question (e.g., "consecutive odd numbers"). This rule holds because the sum of two consecutive odd numbers is always a multiple of 4 (e.g., \( (2n+1) + (2n+3) = 4n+4 = 4(n+1) \)).

Question 9. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યાઓમાં અવિભાજ્ય અવયવો ક્યા છે?
(a) \( 24 = 2 \times 3 \times 4 \)
(b) \( 56 = 7 \times 2 \times 2 \times 2 \)
(c) \( 70 = 2 \times 5 \times 7 \)
(d) \( 54 = 2 \times 3 \times 9 \)
Answer:
(a) \( 24 = 2 \times 3 \times 4 \)
અહીં 4 એ અવિભાજ્ય અવયવ નથી. (કારણ કે \( 4 = 2 \times 2 \))
તેથી, અવિભાજ્ય અવયવીકરણ થયું નથી.
(b) \( 56 = 7 \times 2 \times 2 \times 2 \)
અહીં 7 અને 2 બંને અવિભાજ્ય અવયવો છે.
તેથી, અવિભાજ્ય અવયવીકરણ થયું છે.
(c) \( 70 = 2 \times 5 \times 7 \)
અહીં 2, 5 અને 7 ત્રણે અવિભાજ્ય અવયવો છે.
તેથી, અવિભાજ્ય અવયવીકરણ થયું છે.
(d) \( 54 = 2 \times 3 \times 9 \)
અહીં 9 એ અવિભાજ્ય અવયવ નથી. (કારણ કે \( 9 = 3 \times 3 \))
તેથી, અવિભાજ્ય અવયવીકરણ થયું નથી.
In simple words: This question asks us to identify which given factorizations show only prime factors. A prime factor is a number that can only be divided by 1 and itself. We look at each example to see if all the numbers being multiplied are prime. If any number is not prime (like 4 or 9), then it's not a prime factorization.

Exam Tip: Prime factorization means expressing a number as a product of only prime numbers. Always check if all the factors listed are indeed prime numbers. Remember that 1 is not a prime number, and composite numbers must be broken down further.

Question 10. 25110 એ 45થી વિભાજ્ય છે કે નહીં તે નક્કી કરો. (નોંધ: 5 અને 9 સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. આપેલી સંખ્યાને 5 અને 9ની વિભાજ્યતાની ચાવીથી ચકાસો.)
Answer: જો સંખ્યા બે ક્રમિક સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓથી વિભાજ્ય હોય, તો સંખ્યા તેમના ગુણાકારથી પણ વિભાજ્ય હોય. જુઓ 45 = 5 × 9 જ્યાં 5 અને 9 એ સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. સંખ્યા 25110નો એકમનો અંક 0 છે તેથી 25110 એ 5 વડે વિભાજ્ય છે. સંખ્યા 25110ના અંકોનો સરવાળો \( = 2 + 5 + 1 + 1 + 0 = 9 \).
તેથી, 25110 એ 3 વડે વિભાજ્ય છે. (*Original OCR says '3 વડે વિભાજ્ય છે' but for divisibility by 9, the sum of digits must be divisible by 9, which it is. So, I will proceed with 9*).
અંકોનો સરવાળો 9 હોવાથી, 25110 એ 9 વડે વિભાજ્ય છે.
આમ, 25110 એ 5 વડે અને 9 વડે વિભાજ્ય છે જ્યાં 5 અને 9 એ સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
તેથી, હા, 25110 એ 45 વડે વિભાજ્ય છે.
In simple words: To check if 25110 can be divided by 45, we first check if it can be divided by 5 and 9, because 5 and 9 are co-prime factors of 45. Since the last digit of 25110 is 0, it's divisible by 5. The sum of its digits (2+5+1+1+0=9) is divisible by 9, so 25110 is also divisible by 9. Because it's divisible by both 5 and 9, it is also divisible by their product, 45.

Exam Tip: To test divisibility by a composite number, break it down into co-prime factors (e.g., \( 45 = 5 \times 9 \)). If a number is divisible by each of these co-prime factors, it is divisible by their product. Always double-check the divisibility rules for each factor.

Question 11. સંખ્યા 18, 2 અને 3 બંને સંખ્યાથી વિભાજ્ય છે. તે \( 2 \times 3 = 6 \)થી પણ વિભાજ્ય છે. એ જ પ્રમાણે એક સંખ્યા 4 અને 6 બંને સંખ્યાથી વિભાજ્ય છે. શું આપણે કહી શકીએ કે તે સંખ્યા \( 4 \times 6 = 24 \)થી પણ વિભાજ્ય હશે. જો નહિ હોય, તો તમારા જવાબને ચકાસવા માટે એક ઉદાહરણ આપો.
Answer: આપેલી સંખ્યા બે સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય, તો તેમના ગુણાકાર વડે સંખ્યા વિભાજ્ય હોય.
અહીં 2 અને 3 એ સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
તેથી, 18 એ તેમના ગુણાકાર \( 2 \times 3 \) વડે એટલે કે 6 વડે વિભાજ્ય છે.
હવે, 4 અને 6 એ સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ નથી. (કારણ કે તેમનો સામાન્ય અવયવ 2 છે).
તેથી, સંખ્યાને 4 અને 6ના ગુણાકાર \( 4 \times 6 \) વડે એટલે કે 24 વડે વિભાજ્ય નથી.
બીજી એક સંખ્યા 36 લઈએ.
36 એ 4 અને 6 બંને વડે વિભાજ્ય છે. પરંતુ 36 એ 4 અને 6ના ગુણાકાર 24 વડે વિભાજ્ય નથી (કારણ કે \( 36 \div 24 \) પૂર્ણ ભાગાકાર નથી).
In simple words: The rule states that if a number is divisible by two co-prime numbers (numbers with only 1 as a common factor), it's also divisible by their product. While 18 is divisible by 2 and 3 (which are co-prime), and therefore by \( 2 \times 3 = 6 \), the same doesn't apply to 4 and 6. This is because 4 and 6 are not co-prime (they both share a common factor of 2). So, a number like 36 is divisible by both 4 and 6, but it is not divisible by their product, 24.

Exam Tip: This question highlights a crucial distinction in divisibility rules. The "product rule" (divisible by \( A \times B \) if divisible by A and B) only applies if A and B are co-prime. Always check if the given factors are co-prime before applying this rule.

Question 12. હું ચાર જુદા જુદા અવિભાજ્ય અવયવવાળી સૌથી નાની સંખ્યા છું. શું તમે મને ઓળખી શકો છો?
Answer: અહીં સૌથી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધવાની છે.
સૌથી નાનામાં નાની ભિન્ન ચાર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 2, 3, 5 અને 7 છે.
ચાર ભિન્ન નાનામાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર \( = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210 \).
આમ, આ સંખ્યા 210 છે.
In simple words: To find the smallest number that has four different prime factors, we multiply the first four smallest prime numbers together. These are 2, 3, 5, and 7. When multiplied, they give us 210. So, the number is 210.

Exam Tip: To find the smallest number with a certain number of distinct prime factors, always use the smallest prime numbers (2, 3, 5, 7, etc.) and multiply them. Make sure they are "distinct" (different) as specified.