GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Exercise 9.3

Question 1. પ્રશ્ન 1 થી 5 ના વક્રોની સંતિ માટે સ્વૈર અચળ a અને b નો લોપ કરીને વિકલ સમીકરણ મેળવો : પ્રશ્ન 1. \( \frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } = 1 \)
Answer: આપેલ સમીકરણ \( \frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } = 1 \) માં બે મનસ્વી અચળાંકો a અને b હોય છે.
\( \frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } = 1...(1) \)
સમીકરણ (1)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં વિભેદિત કરતા,
\( \frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } y' = 0 ...(2) \)
સમીકરણ (2)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં ફરીથી વિભેદિત કરતા,
\( \frac { 1 }{ b } y'' = 0 \)
\( \implies y'' = 0 \) આ જ જરૂરી ભિન્ન સમીકરણ છે.
In simple words: આપેલ સમીકરણમાં બે અચળાંકો a અને b છે. આપણે x ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરીને આ અચળાંકોને દૂર કરીએ છીએ, જેથી આપણને \( y'' = 0 \) મળે છે, જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

Exam Tip: જ્યારે બે સ્વૈર અચળાંકો હોય ત્યારે, આપેલ સમીકરણને બે વાર વિકલન કરીને અચળાંકોને દૂર કરો. આથી, તમને દ્વિતીય ક્રમનું વિકલ સમીકરણ મળશે.

Question 2. \( y^2 = a(b^2 - x^2) \)
Answer: આપેલ સમીકરણ છે:
\( y^2 = a(b^2 - x^2) ...(1) \)
સમીકરણ (1)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં વિભેદિત કરતા,
\( 2y y' = a(0 - 2x) \)
\( 2y y' = -2ax \)
\( yy' = -ax ...(2) \)
સમીકરણ (2)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં ફરીથી વિભેદિત કરતા,
\( y'y' + yy'' = -a \)
\( (y')^2 + yy'' = -a ...(3) \)
સમીકરણ (2)ને (3) વડે ભાગતાં,
\( \frac{yy'}{(y')^2 + yy''} = \frac{-ax}{-a} \)
\( \frac{yy'}{(y')^2 + yy''} = x \)
\( yy' = x((y')^2 + yy'') \)
\( yy' = x(y')^2 + xyy'' \)
\( xyy'' + x(y')^2 - yy' = 0 \)
આ જ જરૂરી ભિન્ન સમીકરણ છે.
In simple words: આપેલ સમીકરણને બે વાર વિકલન કરીને અને અચળાંકોને દૂર કરવા માટે મળેલા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે \( xyy'' + x(y')^2 - yy' = 0 \) વિકલ સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: આવા પ્રકારના દાખલાઓમાં, જ્યાં સમીકરણમાં બે સ્વૈર અચળાંકો હોય, ત્યાં તેમને દૂર કરવા માટે ઓછામાં ઓછા બે વાર વિકલન કરવું પડે છે. સમીકરણોને યોગ્ય રીતે જોડવાથી અંતિમ વિકલ સમીકરણ મળે છે.

Question 3. \( y = ae^{3x} + be^{-2x} \)
Answer:
**પ્રથમ પદ્ધતિ:**
આપેલ સમીકરણ છે:
\( y = ae^{3x} + be^{-2x} ...(1) \)
સમીકરણ (1)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં વિભેદિત કરતા,
\( y' = 3ae^{3x} - 2be^{-2x} ...(2) \)
સમીકરણ (1)ને 2 વડે ગુણતા:
\( 2y = 2ae^{3x} + 2be^{-2x} \)
સમીકરણ (2) અને ગુણેલા સમીકરણનો સરવાળો કરતા:
\( 2y + y' = 5ae^{3x} ...(3) \)
સમીકરણ (3)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં ફરીથી વિભેદિત કરતા,
\( 2y' + y'' = 15ae^{3x} ...(4) \)
સમીકરણ (3)ને 3 વડે ગુણતા:
\( 6y + 3y' = 15ae^{3x} \)
સમીકરણ (4)માંથી આ સમીકરણ બાદ કરતા:
\( (2y' + y'') - (6y + 3y') = 0 \)
\( 2y' + y'' - 6y - 3y' = 0 \)
\( y'' - y' - 6y = 0 \)
આ જ જરૂરી ભિન્ન સમીકરણ છે.

બીજી પદ્ધતિ:
આપેલ સમીકરણ છે:
\( y = ae^{3x} + be^{-2x} ...(1) \)
સમીકરણ (1)ના બંને છેડાને બે વખત વિભેદિત કરતા,
\( y' = 3ae^{3x} - 2be^{-2x} ...(2) \)
\( y'' = 9ae^{3x} + 4be^{-2x} ...(3) \)
સમીકરણ (1), (2) અને (3) પરથી, અચળાંકો \( a \) અને \( b \) ને દૂર કરવા માટે, આપણે નીચેના નિશ્ચાયકને શૂન્ય તરીકે લખી શકીએ છીએ:
\[ \begin{vmatrix} y & 1 & 1 \\ y' & 3 & -2 \\ y'' & 9 & 4 \end{vmatrix} = 0 \]
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
\( y(3 \times 4 - (-2) \times 9) - 1(y' \times 4 - (-2) \times y'') + 1(y' \times 9 - 3 \times y'') = 0 \)
\( y(12 + 18) - (4y' + 2y'') + (9y' - 3y'') = 0 \)
\( 30y - 4y' - 2y'' + 9y' - 3y'' = 0 \)
\( 30y + 5y' - 5y'' = 0 \)
આ જ જરૂરી ભિન્ન સમીકરણ છે.
In simple words: આપણે સમીકરણને x ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરીને અચળાંકો a અને b દૂર કરીએ છીએ. પ્રથમ પદ્ધતિમાં, આપણે સમીકરણોને ઉમેરીને અને બાદ કરીને અચળાંકો દૂર કરીએ છીએ. બીજી પદ્ધતિમાં, આપણે નિશ્ચાયકનો ઉપયોગ કરીને અચળાંકો દૂર કરીએ છીએ, અને બંને રીતે આપણને સમાન વિકલ સમીકરણ \( y'' - y' - 6y = 0 \) અથવા \( 30y + 5y' - 5y'' = 0 \) (જે સમાન છે) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે આવા પ્રશ્નોમાં અચળાંકો દૂર કરવાના હોય, ત્યારે તમે ગુણાકાર અને સરવાળા-બાદબાકીની પદ્ધતિ અથવા નિશ્ચાયક પદ્ધતિ બંનેનો ઉપયોગ કરી શકો છો. બંને પદ્ધતિઓ સાચા જવાબ તરફ દોરી જશે, પરંતુ નિશ્ચાયક પદ્ધતિ ખાસ કરીને વધુ અચળાંકો માટે મદદરૂપ થઈ શકે છે.

Question 4. \( y = e^{2x} (a + bx) \)
Answer: આપેલ સમીકરણ છે:
\( y = e^{2x} (a + bx) ...(1) \)
સમીકરણ (1)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં વિભેદિત કરતા,
\( y' = 2e^{2x} (a + bx) + e^{2x} b \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( e^{2x} (a + bx) = y \) છે, તેથી,
\( y' = 2y + e^{2x} b ...(2) \)
સમીકરણ (2)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં ફરીથી વિભેદિત કરતા,
\( y'' = 2y' + 2e^{2x} b \)
સમીકરણ (2) પરથી, \( e^{2x} b = y' - 2y \) ની કિંમત મૂકતા,
\( y'' = 2y' + 2(y' - 2y) \)
\( y'' = 2y' + 2y' - 4y \)
\( y'' = 4y' - 4y \)
\( y'' - 4y' + 4y = 0 \)
આ જ જરૂરી ભિન્ન સમીકરણ છે.
In simple words: આપણે આપેલ સમીકરણને x ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરીને અચળાંકોને દૂર કરીએ છીએ. પ્રથમ વિકલન પછી, આપણે y માટે પદને બદલીએ છીએ. પછી બીજા વિકલન પછી, આપણે ફરીથી અગાઉના વિકલનમાંથી પદને બદલીએ છીએ. આમ કરવાથી આપણને \( y'' - 4y' + 4y = 0 \) મળે છે, જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, \( y \) ના સ્વરૂપને ધ્યાનથી જુઓ. જ્યારે \( e^{kx} \) જેવા પદ હોય, ત્યારે પ્રથમ વિકલન પછી \( y \) ને બદલવાથી અચળાંકોને સરળતાથી દૂર કરવામાં મદદ મળે છે. હંમેશા સાંકળનો નિયમ (chain rule) અને ગુણાકારનો નિયમ (product rule) યોગ્ય રીતે લાગુ કરો.

Question 5. \( y = e^x (a \cos x + b \sin x) \)
Answer: આપેલ સમીકરણ છે:
\( y = e^x (a \cos x + b \sin x) ...(1) \)
સમીકરણ (1)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં વિભેદિત કરતા,
\( y' = e^x (a \cos x + b \sin x) + e^x (-a \sin x + b \cos x) \)
સમીકરણ (1) પરથી, પ્રથમ પદ \( e^x (a \cos x + b \sin x) = y \) છે. તેથી,
\( y' = y + e^x (-a \sin x + b \cos x) \)
\( y' - y = e^x (-a \sin x + b \cos x) ...(2) \)
સમીકરણ (2)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં ફરીથી વિભેદિત કરતા,
\( y'' - y' = e^x (-a \sin x + b \cos x) + e^x (-a \cos x - b \sin x) \)
સમીકરણ (2) પરથી, \( e^x (-a \sin x + b \cos x) = y' - y \) છે.
અને \( e^x (-a \cos x - b \sin x) = -e^x (a \cos x + b \sin x) = -y \) (સમીકરણ 1 પરથી)
તેથી,
\( y'' - y' = (y' - y) + (-y) \)
\( y'' - y' = y' - 2y \)
\( y'' - 2y' + 2y = 0 \)
આ જ જરૂરી ભિન્ન સમીકરણ છે.
In simple words: આપેલ સમીકરણને બે વાર વિકલન કરો. પ્રથમ વિકલનમાં, \( e^x (a \cos x + b \sin x) \) ને \( y \) થી બદલો અને \( y' - y \) માટે એક સમીકરણ મેળવો. પછી બીજા વિકલનમાં, \( e^x (-a \sin x + b \cos x) \) ને \( y' - y \) થી બદલો અને \( e^x (a \cos x + b \sin x) \) ને \( y \) થી બદલો. આથી તમને \( y'' - 2y' + 2y = 0 \) વિકલ સમીકરણ મળશે.

Exam Tip: \( e^x \) જેવા ગુણાકારવાળા પદોના વિકલનમાં, ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરો. પ્રથમ વિકલન પછી, મૂળ \( y \) પદને બદલવાનો પ્રયાસ કરો. બીજા વિકલન પછી, અગાઉના વિકલિત પદનો અને મૂળ \( y \) પદનો ઉપયોગ કરીને અચળાંકોને દૂર કરો.

Question 6. Y- અક્ષને ઊગમબિંદુ આગળ સ્પર્શતાં વર્તુળોની સંહતિનું વિકલ સમીકરણ શોધો.
Answer: Y- અક્ષને ઊગમબિંદુ આગળ સ્પર્શતાં વર્તુળોનું કેન્દ્ર ધારો કે \( C(a, 0) \) છે. આ વર્તુળ Y-અક્ષને ઊગમબિંદુ \( (0,0) \) પર સ્પર્શે છે, તેથી તેની ત્રિજ્યા \( a \) થશે.
આવા વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
\( (x - a)^2 + (y - 0)^2 = a^2 \)
\( x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2 \)
\( x^2 + y^2 - 2ax = 0 ...(1) \)
સમીકરણ (1)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં વિભેદિત કરતા,
\( 2x + 2yy' - 2a = 0 \)
\( 2a = 2x + 2yy' ...(2) \)
સમીકરણ (2)માંથી \( 2a \) ની કિંમત (1)માં મૂકતાં,
\( x^2 + y^2 - x(2x + 2yy') = 0 \)
\( x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xyy' = 0 \)
\( y^2 - x^2 - 2xyy' = 0 \)
\( 2xyy' + x^2 - y^2 = 0 \)
આ જ જરૂરી ભિન્ન સમીકરણ છે.

In simple words: Y-અક્ષને ઊગમબિંદુ પર સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ \( x^2 + y^2 - 2ax = 0 \) હોય છે. આ સમીકરણને x ની સાપેક્ષમાં એક વાર વિકલન કરીને \( a \) ની કિંમત શોધો. પછી આ \( a \) ની કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં પાછી મૂકો, જેથી \( 2xyy' + x^2 - y^2 = 0 \) વિકલ સમીકરણ મળે, જેમાં કોઈ અચળાંક નથી.

Exam Tip: વર્તુળના ભૌમિતિક ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને તેનું સમીકરણ મેળવો. અહીં, Y-અક્ષને ઊગમબિંદુ પર સ્પર્શવું એટલે કે કેન્દ્ર X-અક્ષ પર છે અને ત્રિજ્યા કેન્દ્રના x-નિર્દેશાંક બરાબર છે. એક જ સ્વૈર અચળાંક હોય ત્યારે એક વાર વિકલન પર્યાપ્ત છે.

Question 7. જેનું શીર્ષ ઊગમબિંદુ હોય અને અક્ષ એ Y- અક્ષની ધન દિશા હોય તેવા પરવલયોની સંહતિનું વિકલ સમીકરણ શોધો.
Answer: જેનું શીર્ષ ઊગમબિંદુ \( (0,0) \) હોય અને અક્ષ એ Y- અક્ષની ધન દિશા હોય તેવા પરવલયનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
\( x^2 = 4ay ...(1) \)
સમીકરણ (1)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં વિભેદિત કરતા,
\( 2x = 4ay' \)
\( a = \frac{2x}{4y'} \)
\( a = \frac{x}{2y'} \)
આ \( a \) ની કિંમતને સમીકરણ (1)માં પાછી મૂકતાં,
\( x^2 = 4 \left( \frac{x}{2y'} \right) y \)
\( x^2 = \frac{4xy}{2y'} \)
\( x^2 = \frac{2xy}{y'} \)
\( x^2 y' = 2xy \)
\( x^2 y' - 2xy = 0 \)
આ જ જરૂરી ભિન્ન સમીકરણ છે.

In simple words: Y-અક્ષની ધન દિશામાં ઊગમબિંદુ શીર્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ \( x^2 = 4ay \) છે. આ સમીકરણને x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને \( a \) ની કિંમત શોધો. પછી આ \( a \) ની કિંમતને પાછી મૂળ સમીકરણમાં મૂકીને, આપણે \( x^2 y' - 2xy = 0 \) વિકલ સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: પરવલયના પ્રમાણભૂત સમીકરણોને યાદ રાખો. જો શીર્ષ ઊગમબિંદુ હોય અને અક્ષ Y-અક્ષની ધન દિશામાં હોય, તો સમીકરણ \( x^2 = 4ay \) છે. જો X-અક્ષની ધન દિશામાં હોય, તો \( y^2 = 4ax \) છે. એક જ અચળાંકને દૂર કરવા માટે એક વાર વિકલન પૂરતું છે.

Question 8. જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય અને નાભિઓ Y- અક્ષ પર હોય તેવા ઉપવલયોની સંહતિનું વિકલ સમીકરણ શોધો.
Answer: જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ \( (0,0) \) હોય અને નાભિઓ Y-અક્ષ પર હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
\( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 ...(1) \)
સમીકરણ (1)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં વિભેદિત કરતા,
\( \frac{2x}{b^2} + \frac{2yy'}{a^2} = 0 \)
\( \frac{x}{b^2} + \frac{yy'}{a^2} = 0 ...(2) \)
સમીકરણ (2)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં ફરીથી વિભેદિત કરતા,
\( \frac{1}{b^2} + \frac{y'y' + yy''}{a^2} = 0 \)
\( \frac{1}{b^2} + \frac{(y')^2 + yy''}{a^2} = 0 \)
\( \frac{yy'' + (y')^2}{a^2} = -\frac{1}{b^2} ...(3) \)
સમીકરણ (2)માંથી \( \frac{x}{b^2} = -\frac{yy'}{a^2} \implies \frac{1}{b^2} = -\frac{yy'}{xa^2} \) મેળવીએ. આ કિંમતને (3)માં મૂકતાં,
\( \frac{yy'' + (y')^2}{a^2} = - \left( -\frac{yy'}{xa^2} \right) \)
\( \frac{yy'' + (y')^2}{a^2} = \frac{yy'}{xa^2} \)
\( x(yy'' + (y')^2) = yy' \)
\( xyy'' + x(y')^2 - yy' = 0 \)
આ જ જરૂરી ભિન્ન સમીકરણ છે.

In simple words: ઊગમબિંદુ કેન્દ્ર અને Y-અક્ષ પર નાભિઓ ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \) છે. બે વાર વિકલન કરીને \( a^2 \) અને \( b^2 \) ને દૂર કરો. પ્રથમ વિકલનથી \( \frac{x}{b^2} + \frac{yy'}{a^2} = 0 \) મળે છે, અને બીજા વિકલનથી \( \frac{1}{b^2} + \frac{(y')^2 + yy''}{a^2} = 0 \) મળે છે. આ સમીકરણોને જોડીને \( xyy'' + x(y')^2 - yy' = 0 \) વિકલ સમીકરણ મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: જો ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય અને નાભિઓ Y-અક્ષ પર હોય, તો \( a^2 \) હંમેશા \( y^2 \) ની નીચે આવે છે. આમાં બે અચળાંકો \( a \) અને \( b \) હોય છે, તેથી બે વાર વિકલન કરવું પડે છે. સમીકરણોને બાદબાકી કે ભાગાકાર કરીને અચળાંકોને દૂર કરો.

Question 9. જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય અને નાભિઓ X-અક્ષ પર હોય તેવા અતિવલયોની સંહતિનું વિકલ સમીકરણ શોધો.
Answer: જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ \( (0,0) \) હોય અને નાભિઓ X-અક્ષ પર હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 ...(1) \)
સમીકરણ (1)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં વિભેદિત કરતા,
\( \frac{2x}{a^2} - \frac{2yy'}{b^2} = 0 \)
\( \frac{x}{a^2} - \frac{yy'}{b^2} = 0 ...(2) \)
સમીકરણ (2)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં ફરીથી વિભેદિત કરતા,
\( \frac{1}{a^2} - \frac{y'y' + yy''}{b^2} = 0 \)
\( \frac{1}{a^2} - \frac{(y')^2 + yy''}{b^2} = 0 \)
\( \frac{(y')^2 + yy''}{b^2} = \frac{1}{a^2} ...(3) \)
સમીકરણ (2)માંથી \( \frac{x}{a^2} = \frac{yy'}{b^2} \implies \frac{1}{a^2} = \frac{yy'}{xb^2} \) મેળવીએ. આ કિંમતને (3)માં મૂકતાં,
\( \frac{(y')^2 + yy''}{b^2} = \frac{yy'}{xb^2} \)
\( x((y')^2 + yy'') = yy' \)
\( xyy'' + x(y')^2 - yy' = 0 \)
આ જ જરૂરી ભિન્ન સમીકરણ છે.

In simple words: ઊગમબિંદુ કેન્દ્ર અને X-અક્ષ પર નાભિઓ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) છે. બે વાર વિકલન કરીને \( a^2 \) અને \( b^2 \) ને દૂર કરો. પ્રથમ વિકલનથી \( \frac{x}{a^2} - \frac{yy'}{b^2} = 0 \) મળે છે, અને બીજા વિકલનથી \( \frac{1}{a^2} - \frac{(y')^2 + yy''}{b^2} = 0 \) મળે છે. આ સમીકરણોને જોડીને \( xyy'' + x(y')^2 - yy' = 0 \) વિકલ સમીકરણ મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: અતિવલયના પ્રમાણભૂત સમીકરણોને યાદ રાખો. જો કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય અને નાભિઓ X-અક્ષ પર હોય, તો સમીકરણ \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) છે. બે અચળાંકો \( a \) અને \( b \) ને દૂર કરવા માટે બે વાર વિકલન કરો અને સમીકરણોનું યોગ્ય રીતે સંયોજન કરો.

Question 10. જેનું કેન્દ્ર Y- અક્ષ પર હોય અને ત્રિજ્યા 3 એકમ હોય તેવાં વર્તુળોની સંહિતનું વિકલ સમીકરણ શોધો.
Answer: જેનું કેન્દ્ર Y- અક્ષ પર હોય અને ત્રિજ્યા 3 એકમ હોય તેવા વર્તુળનું કેન્દ્ર ધારો કે \( C(0, a) \) છે.
આવા વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
\( (x - 0)^2 + (y - a)^2 = 3^2 \)
\( x^2 + (y - a)^2 = 9 ...(1) \)
સમીકરણ (1)ના બંને છેડાને \( x \) ની તુલનામાં વિભેદિત કરતા,
\( 2x + 2(y - a)y' = 0 \)
\( x + (y - a)y' = 0 \)
\( (y - a)y' = -x \)
\( y - a = -\frac{x}{y'} \)
આ \( (y - a) \) ની કિંમતને સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
\( x^2 + \left( -\frac{x}{y'} \right)^2 = 9 \)
\( x^2 + \frac{x^2}{(y')^2} = 9 \)
\( x^2 (y')^2 + x^2 = 9(y')^2 \)
\( x^2 (y')^2 - 9(y')^2 + x^2 = 0 \)
\( (x^2 - 9)(y')^2 + x^2 = 0 \)
આ જ જરૂરી ભિન્ન સમીકરણ છે.

In simple words: Y-અક્ષ પર કેન્દ્ર અને 3 એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ \( x^2 + (y - a)^2 = 9 \) છે. આ સમીકરણને x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને \( (y-a) \) માટે કિંમત શોધો, અને પછી તેને મૂળ સમીકરણમાં પાછી મૂકો. આ પ્રક્રિયાથી \( (x^2 - 9)(y')^2 + x^2 = 0 \) વિકલ સમીકરણ મળે છે.

Exam Tip: જો વર્તુળનું કેન્દ્ર Y-અક્ષ પર હોય, તો તેનું x-નિર્દેશાંક 0 હોય છે, એટલે કે \( C(0,a) \). ત્રિજ્યા આપેલી હોય, તેથી એક જ સ્વૈર અચળાંક \( a \) હોય છે. આથી, એક વાર વિકલન અને પછી \( a \) ને દૂર કરવા માટે વિસ્થાપન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

Question 11. નીચેનામાંથી કયા વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ \( y = c_1e^x + c_2e^{-x} \) છે ?
(A) \( \frac{d^2 y}{d x^2} + y = 0 \)
(B) \( \frac{d^2 y}{d x^2} - y = 0 \)
(C) \( \frac{d^2 y}{d x^2} + 1 = 0 \)
(D) \( \frac{d^2 y}{d x^2} - 1 = 0 \)
Answer: (B) \( \frac{d^2 y}{d x^2} - y = 0 \)
In simple words: આપણે આપેલ ઉકેલ \( y = c_1e^x + c_2e^{-x} \) ને બે વાર વિકલન કરીએ છીએ. પ્રથમ વિકલનથી \( y' = c_1e^x - c_2e^{-x} \) મળે છે, અને બીજા વિકલનથી \( y'' = c_1e^x + c_2e^{-x} \) મળે છે. આપણે જોઈએ છીએ કે \( y'' = y \) છે, તેથી વિકલ સમીકરણ \( y'' - y = 0 \) અથવા \( \frac{d^2 y}{d x^2} - y = 0 \) છે, જે વિકલ્પ (B) સાથે મેળ ખાય છે.

Exam Tip: જ્યારે વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ આપેલો હોય, ત્યારે તે ઉકેલને એક અને બે વાર વિકલન કરો. પછી વિકલન કરેલા પદોને આપેલ વિકલ સમીકરણોમાં મૂકીને ચકાસો કે કયું સમીકરણ સંતુષ્ટ થાય છે. અહીં, \( y'' = y \) હોવાથી, \( y'' - y = 0 \) સાચો જવાબ છે.

Question 12. નીચેનામાંથી કયા વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ \( y = x \) છે ?
(A) \( \frac{d^2 y}{d x^2} - x^2\frac{d y}{d x} + xy = x \)
(B) \( \frac{d^2 y}{d x^2} + x\frac{d y}{dx} + xy = x \)
(C) \( \frac{d^2 y}{d x^2} - x^2\frac{d y}{dx} + xy = 0 \)
(D) \( \frac{d^2 y}{d x^2} + x\frac{d y}{dx} + xy = 0 \)
Answer: (C) \( \frac{d^2 y}{d x^2} - x^2\frac{d y}{dx} + xy = 0 \)
In simple words: આપેલ વિશિષ્ટ ઉકેલ \( y = x \) ને વિકલન કરતા, \( \frac{dy}{dx} = 1 \) અને \( \frac{d^2 y}{d x^2} = 0 \) મળે છે. આ કિંમતોને દરેક વિકલ્પમાં મૂકીને ચકાસો. વિકલ્પ (C) માં, \( 0 - x^2(1) + x(x) = 0 \implies -x^2 + x^2 = 0 \implies 0 = 0 \), જે સાચું છે. બાકીના વિકલ્પોમાં, સમીકરણ સંતુષ્ટ થતું નથી.

Exam Tip: જ્યારે વિશિષ્ટ ઉકેલ આપેલ હોય અને કયું વિકલ સમીકરણ તેને સંતુષ્ટ કરે છે તે શોધવાનું હોય, ત્યારે ઉકેલના પ્રથમ અને બીજા વિકલનને શોધો. પછી આ કિંમતોને દરેક વિકલ્પમાં મૂકીને ચકાસો. જે વિકલ્પ સમીકરણને સંતુષ્ટ કરે તે સાચો જવાબ છે.