GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Exercise 9.2

પ્રશ્ન 1 થી 10 માં આપેલ વિધેયને વિકલ સમીકરણોનો ઉકેલ છે તેમ ચકાસો:

Question 1. \( y = e^x + 1 \) : \( y'' - y' = 0 \)
Answer: આપેલ વિધેય છે: \( y = e^x + 1 \) .......... (i)
સમીકરણ (i) નું x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
\( y' = e^x \) .......... (ii)
ફરીથી સમીકરણ (ii) નું x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
\( y'' = e^x \)
હવે, વિકલ સમીકરણમાં \( y'' \) અને \( y' \) ની કિંમતો મૂકતા:
\( y'' - y' = 0 \)
\( e^x - e^x = 0 \)
\( 0 = 0 \)
આમ, ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન મળે છે. તેથી, \( y = e^x + 1 \) એ વિકલ સમીકરણ \( y'' - y' = 0 \) નો ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલા, આપેલા વિધેયનું એકવાર વિકલન કરો. પછી, બીજીવાર વિકલન કરો. આ બંને કિંમતોને પ્રશ્નમાં આપેલા સમીકરણમાં મૂકો. જો સમીકરણ સાબિત થાય, તો વિધેય તેનો ઉકેલ છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને કોઈ વિધેય આપેલું હોય અને તેને વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ ચકાસવાનું કહેવામાં આવે, ત્યારે જરૂરી ક્રમ સુધી વિકલન કરો અને પછી કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીને ચકાસો.

Question 2. \( y = x^2 + 2x + c \) : \( y' - 2x - 2 = 0 \)
Answer: આપેલ વિધેય છે: \( y = x^2 + 2x + c \)
બંને બાજુ x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
\( y' = 2x + 2 \)
આ કિંમતને આપેલા વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા, આપણે મેળવીએ છીએ:
\( y' - 2x - 2 = 0 \)
\( (2x + 2) - 2x - 2 = 0 \)
\( 0 = 0 \)
આમ, ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન મળે છે. તેથી, \( y = x^2 + 2x + c \) એ વિકલ સમીકરણ \( y' - 2x - 2 = 0 \) નો ઉકેલ છે.
In simple words: આપેલા y વિધેયનું x ની સાપેક્ષમાં વિકલન લો. પછી આ y' ની કિંમતને આપેલા સમીકરણમાં ભરી દો. જો સમીકરણનો હિસાબ બરાબર આવે, તો y તે સમીકરણનો ઉકેલ ગણાય.

Exam Tip: જ્યારે વિકલન કરો, ત્યારે યાદ રાખો કે અચળ (જેમ કે c) નું વિકલન શૂન્ય થાય છે. આ ભૂલ સામાન્ય રીતે થતી હોય છે.

Question 3. \( y = \cos x + c \) : \( y' + \sin x = 0 \)
Answer: આપેલ વિધેય છે: \( y = \cos x + c \)
બંને બાજુ x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
\( y' = -\sin x \)
આ કિંમતને આપેલા વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા, આપણે મેળવીએ છીએ:
\( y' + \sin x = 0 \)
\( (-\sin x) + \sin x = 0 \)
\( 0 = 0 \)
આમ, ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન મળે છે. તેથી, \( y = \cos x + c \) એ વિકલ સમીકરણ \( y' + \sin x = 0 \) નો ઉકેલ છે.
In simple words: y નું વિકલન કરીને y' શોધો. પછી y' ને આપેલા સમીકરણમાં મૂકો. જો બંને બાજુનો જવાબ સરખો આવે, તો y એ સમીકરણનો સાચો ઉકેલ છે.

Exam Tip: ત્રિકોણમિતિના વિકલનના મૂળભૂત સૂત્રો યાદ રાખો, જેમ કે \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \). આ ગણતરીઓમાં ખૂબ મદદરૂપ થાય છે.

Question 4. \( y = \sqrt{1+x^2} \) : \( y' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)
Answer: આપેલ વિધેય છે: \( y = \sqrt{1+x^2} \)
બંને બાજુ x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
\( y' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot (2x) \)
\( y' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)
આ કિંમત આપેલા વિકલ સમીકરણની જમણી બાજુ સાથે બરાબર મળે છે. તેથી, \( y = \sqrt{1+x^2} \) એ વિકલ સમીકરણ \( y' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \) નો ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલા y નું વિકલન કરો. જો તમને આપેલું y' નું જ સૂત્ર મળે, તો y એ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

Exam Tip: સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને વર્ગમૂળવાળા વિધેયોનું વિકલન કરતી વખતે સાવચેત રહો. \( \frac{d}{dx}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \frac{du}{dx} \).

Question 5. \( y = Ax \) : \( xy' = y \ (x \neq 0) \)
Answer: આપેલ વિધેય છે: \( y = Ax \)
બંને બાજુ x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
\( y' = A \)
હવે, આ A ની કિંમતને આપેલા વિધેય \( y = Ax \) માં બદલતા,
\( y = x(y') \)
તેથી, \( xy' = y \)
આ કિંમત આપેલા વિકલ સમીકરણ સાથે બરાબર મળે છે. તેથી, \( y = Ax \) એ વિકલ સમીકરણ \( xy' = y \) નો ઉકેલ છે.
In simple words: y નું વિકલન કરીને A ની કિંમત શોધો. પછી A ની જગ્યાએ y' મૂકીને સમીકરણ બનાવો. જો તે આપેલા સમીકરણ જેવું જ હોય, તો y એ તેનો ઉકેલ છે.

Exam Tip: ચકાસણી કરતા પહેલા, વિધેયમાંથી અચળ (જેમ કે A) ને દૂર કરવા માટે વિકલનનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે સમજો, અને પછી તેને સમીકરણમાં મૂકો.

Question 6. \( y = x \sin x \) : \( xy' = y + x\sqrt{x^2-y^2} \ (x \neq 0, x > y \text{ or } x < - y) \)
Answer: આપેલ વિધેય છે: \( y = x \sin x \)
બંને બાજુ x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં (ગુણાકારના નિયમ મુજબ):
\( y' = (1)\sin x + x(\cos x) \)
\( y' = \sin x + x \cos x \) .......... (i)
હવે, આપેલ વિકલ સમીકરણની ડાબી બાજુમાં \( y' \) ની કિંમત મૂકતા:
ડાબી બાજુ \( = xy' = x(\sin x + x \cos x) = x \sin x + x^2 \cos x \)
હવે, આપેલ વિકલ સમીકરણની જમણી બાજુમાં \( y \) ની કિંમત મૂકતા:
જમણી બાજુ \( = y + x\sqrt{x^2-y^2} \)
\( = x \sin x + x\sqrt{x^2-(x \sin x)^2} \)
\( = x \sin x + x\sqrt{x^2 - x^2 \sin^2 x} \)
\( = x \sin x + x\sqrt{x^2(1 - \sin^2 x)} \)
\( = x \sin x + x\sqrt{x^2 \cos^2 x} \)
\( = x \sin x + x(|x \cos x|) \) (પરંતુ, સમીકરણમાં \( x^2 \cos x \) મેળવવા માટે આપણે \( x \cos x \) ધારવું પડશે)
\( = x \sin x + x^2 \cos x \)
ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ મળે છે. તેથી, \( y = x \sin x \) એ વિકલ સમીકરણ \( xy' = y + x\sqrt{x^2-y^2} \) નો ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલા y નું વિકલન કરીને y' શોધો. પછી y અને y' બંનેને આપેલા સમીકરણની બંને બાજુમાં મૂકો. જો બંને બાજુનો જવાબ એકસરખો આવે, તો y એ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

Exam Tip: ત્રિકોણમિતિ સર્વસમતાઓ, જેમ કે \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), નો ઉપયોગ ઘણીવાર વિકલ સમીકરણોને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.

Question 7. \( xy = \log y + c \) : \( y' = \frac{y^2}{1-xy} \ (xy \neq 1) \)
Answer: આપેલ વિધેય છે: \( xy = \log y + c \)
બંને બાજુ x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં (ગર્ભિત વિકલનનો ઉપયોગ કરીને):
\( (1)y + x(y') = \frac{1}{y} y' \)
\( y + xy' = \frac{y'}{y} \)
સમીકરણના બંને બાજુને y વડે ગુણતા:
\( y^2 + xyy' = y' \)
\( y^2 = y' - xyy' \)
\( y^2 = y'(1 - xy) \)
\( y' = \frac{y^2}{1-xy} \)
આ કિંમત આપેલા વિકલ સમીકરણ સાથે બરાબર મળે છે. તેથી, \( xy = \log y + c \) એ વિકલ સમીકરણ \( y' = \frac{y^2}{1-xy} \) નો ઉકેલ છે.
In simple words: આપેલા સમીકરણનું સીધું વિકલન કરો. પછી y' ને એક બાજુ રાખીને બાકી બધું બીજી બાજુ લઈ જાઓ. જો તમને આપેલું y' નું સૂત્ર મળે, તો y એ તેનો ઉકેલ છે.

Exam Tip: ગર્ભિત વિકલન (implicit differentiation) નો ઉપયોગ કરતી વખતે, દરેક y પદનું વિકલન કરતી વખતે \( y' \) વડે ગુણવાનું યાદ રાખો.

Question 8. \( y - \cos y = x \) : \( (y \sin y + \cos y + x)y' = y \)
Answer: આપેલ વિધેય છે: \( y - \cos y = x \)
બંને બાજુ x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં (ગર્ભિત વિકલનનો ઉપયોગ કરીને):
\( y' - (-\sin y)y' = 1 \)
\( y' + \sin y y' = 1 \)
\( y'(1 + \sin y) = 1 \)
\( y' = \frac{1}{1 + \sin y} \) .......... (1)
હવે, આપેલ વિકલ સમીકરણની ડાબી બાજુમાં \( y \) અને \( y' \) ની કિંમતો મૂકતા:
ડાબી બાજુ \( = (y \sin y + \cos y + x)y' \)
આપણી પાસે \( x = y - \cos y \) છે, આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકીએ:
\( = (y \sin y + \cos y + (y - \cos y))y' \)
\( = (y \sin y + y)y' \)
\( = y(\sin y + 1)y' \)
સમીકરણ (1) માંથી \( y' \) ની કિંમત મૂકતા:
\( = y(\sin y + 1)\left(\frac{1}{1 + \sin y}\right) \)
\( = y \)
ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ મળે છે. તેથી, \( y - \cos y = x \) એ વિકલ સમીકરણ \( (y \sin y + \cos y + x)y' = y \) નો ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલા y નું વિકલન કરીને y' શોધો. પછી x ની કિંમતને y ના પદમાં લખીને y અને y' ની કિંમતોને આપેલા સમીકરણની ડાબી બાજુમાં મૂકો. જો જવાબ જમણી બાજુ જેટલો આવે, તો y એ તેનો ઉકેલ છે.

Exam Tip: ગર્ભિત વિધેયોમાં, \( x \) અથવા \( y \) ના પદોને બદલીને સમીકરણને સરળ બનાવવાની રીત ઘણીવાર મદદરૂપ થાય છે. સમીકરણમાં આપેલા x ને y ના પદમાં બદલવાનો પ્રયાસ કરો.

Question 9. \( x + y = \tan^{-1}y \) : \( y^2y' + y^2 + 1 = 0 \)
Answer: આપેલ વિધેય છે: \( x + y = \tan^{-1}y \)
બંને બાજુ x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં (ગર્ભિત વિકલનનો ઉપયોગ કરીને):
\( 1 + y' = \frac{1}{1+y^2} y' \)
બંને બાજુ \( (1+y^2) \) વડે ગુણતા:
\( (1+y^2)(1+y') = y' \)
\( 1 + y' + y^2 + y^2y' = y' \)
\( 1 + y^2 + y^2y' = 0 \)
આ કિંમત આપેલા વિકલ સમીકરણ સાથે બરાબર મળે છે. તેથી, \( x + y = \tan^{-1}y \) એ વિકલ સમીકરણ \( y^2y' + y^2 + 1 = 0 \) નો ઉકેલ છે.
In simple words: આપેલા વિધેયનું વિકલન કરો. પછી y' વાળા પદોને એક બાજુ ભેગા કરીને સમીકરણને સરળ બનાવો. જો તે આપેલા સમીકરણ જેવું જ થાય, તો વિધેય તેનો ઉકેલ છે.

Exam Tip: \( \tan^{-1}y \) ના વિકલનનું સૂત્ર યાદ રાખો: \( \frac{d}{dx}(\tan^{-1}y) = \frac{1}{1+y^2} \frac{dy}{dx} \). આ ભૂલ થતી અટકાવશે.

Question 10. \( y = \sqrt{a^2-x^2}, x \in (-a, a) \) : \( x + y\frac{dy}{dx} = 0 \ (y = 0) \)
Answer: આપેલ વિધેય છે: \( y = \sqrt{a^2-x^2} \)
બંને બાજુ x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}} (-2x) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} \)
હવે, આપેલ વિકલ સમીકરણમાં \( y \) અને \( \frac{dy}{dx} \) ની કિંમતો મૂકતા:
\( x + y\frac{dy}{dx} = 0 \)
\( x + (\sqrt{a^2-x^2})\left(\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right) = 0 \)
\( x - x = 0 \)
\( 0 = 0 \)
આમ, ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન મળે છે. તેથી, \( y = \sqrt{a^2-x^2} \) એ વિકલ સમીકરણ \( x + y\frac{dy}{dx} = 0 \) નો ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલા y નું વિકલન કરીને \( \frac{dy}{dx} \) શોધો. પછી y અને \( \frac{dy}{dx} \) ની કિંમતોને આપેલા સમીકરણમાં મૂકો. જો સમીકરણ સંતોષાય, તો y એ તેનો ઉકેલ છે.

Exam Tip: વર્ગમૂળવાળા પદોનું વિકલન કરતી વખતે સાંકળના નિયમનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો અને ખાતરી કરો કે તમે બધા પદોનું વિકલન કર્યું છે.

પ્રશ્નો 11 તથા 12 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો:

Question 11. ચતુર્થ કક્ષાના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં સ્વૈર અચળની સંખ્યા ....... હશે.
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Answer: (d) 4
In simple words: વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ શોધતી વખતે, તેમાં જેટલા અચળો હોય તેટલો જ સમીકરણનો ક્રમ હોય છે.

Exam Tip: n-માં ક્રમના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં હંમેશા n સ્વૈર અચળો (arbitrary constants) હોય છે.

Question 12. તૃતીય કક્ષાના વિકલ સમીકરણના વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સ્વૈર અચળની સંખ્યા ..….….…. હશે.
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0
Answer: (d) 0
In simple words: વિશિષ્ટ ઉકેલમાં કોઈ સ્વૈર અચળ હોતા નથી, કારણ કે તેમની કિંમતો ચોક્કસ શરતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

Exam Tip: વિશિષ્ટ ઉકેલમાં (particular solution) કોઈ સ્વૈર અચળો હોતા નથી, કારણ કે તે કોઈ ચોક્કસ શરત અથવા પ્રારંભિક મૂલ્યોને સંતોષે છે.