GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Exercise 9.1

જો વ્યાખ્યાયિત હોય, તો પ્રશ્ન 1 થી 10 માં આપેલ વિકલ સમીકરણોની કક્ષા અને પરિમાણ નક્કી કરો :

Question 1. \( \frac{d^4 y}{d x^4} + \sin(y''') = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 4 છે અને તેનું પરિમાણ નિર્ધારિત નથી.
In simple words: આ સમીકરણમાં, સૌથી મોટી ઘાતનું ડેરિવેટિવ 4 છે, તેથી તેની કક્ષા 4 છે. પરંતુ, sin અંદર ડેરિવેટિવ હોવાથી, તેનું પરિમાણ નક્કી કરી શકાતું નથી.

Exam Tip: A differential equation's degree is undefined if a derivative appears inside a non-polynomial function like sin, cos, log, or exponential.

Question 2. \( y' + 5y = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 1 છે અને તેનું પરિમાણ પણ 1 છે.
In simple words: આ સમીકરણમાં, સૌથી મોટી ઘાતનું ડેરિવેટિવ 1 છે અને તેની ઘાત પણ 1 છે, તેથી કક્ષા અને પરિમાણ બંને 1 છે.

Exam Tip: When a differential equation has only derivatives with integer powers, the order is the highest derivative, and the degree is its power.

Question 3. \( \left(\frac{d s}{d t}\right)^4 + 3s\frac{d^2 s}{d t^2} = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 2 છે અને તેનું પરિમાણ પણ 1 છે.
In simple words: આ સમીકરણમાં, સૌથી મોટું ડેરિવેટિવ \( \frac{d^2 s}{d t^2} \) છે, તેથી કક્ષા 2 છે. આ ડેરિવેટિવની સૌથી મોટી ઘાત 1 છે, તેથી પરિમાણ 1 છે.

Exam Tip: To determine the degree, ensure the equation is a polynomial in its derivatives before checking the highest power of the highest order derivative.

Question 4. \( \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 + \cos\left(\frac{d y}{d x}\right) = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 2 છે અને તેનું પરિમાણ નિર્ધારિત નથી.
In simple words: આ સમીકરણમાં, સૌથી મોટી ઘાતનું ડેરિવેટિવ 2 છે, તેથી તેની કક્ષા 2 છે. પરંતુ, cos અંદર ડેરિવેટિવ હોવાથી, તેનું પરિમાણ નક્કી કરી શકાતું નથી.

Exam Tip: The degree of a differential equation is undefined if a derivative is found within a trigonometric or other non-polynomial function.

Question 5. \( \frac{d^2 y}{d x^2} = \cos3x + \sin3x \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 2 છે અને પરિમાણ 1 છે.
In simple words: આ સમીકરણમાં, સૌથી મોટું ડેરિવેટિવ \( \frac{d^2 y}{d x^2} \) છે, તેથી કક્ષા 2 છે. આ ડેરિવેટિવની સૌથી મોટી ઘાત 1 છે, તેથી પરિમાણ 1 છે.

Exam Tip: If the equation is polynomial in derivatives, the order is the highest derivative's order, and the degree is the power of that highest derivative.

Question 6. \( (y''')^2 + (y'')^3 + (y')^4 + y^5 = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 3 છે અને તેનું પરિમાણ 2 છે.
In simple words: આ સમીકરણમાં, સૌથી મોટી ઘાતનું ડેરિવેટિવ 3 છે, તેથી કક્ષા 3 છે. આ સૌથી મોટી કક્ષાના ડેરિવેટિવની ઘાત 2 છે, તેથી પરિમાણ 2 છે.

Exam Tip: When determining the order and degree of a polynomial differential equation, identify the highest order derivative and then its power.

Question 7. \( y''' + 2y'' + y' = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 3 છે અને તેનું પરિમાણ 1 છે.
In simple words: આ સમીકરણમાં, સૌથી મોટું ડેરિવેટિવ y''' છે, તેથી કક્ષા 3 છે. આ ડેરિવેટિવની ઘાત 1 છે, તેથી પરિમાણ 1 છે.

Exam Tip: For linear differential equations, the degree is always 1, provided they are polynomial in derivatives.

Question 8. \( y' + y = e^x \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 1 છે અને તેનું પરિમાણ પણ 1 છે.
In simple words: આ સમીકરણમાં, સૌથી મોટું ડેરિવેટિવ y' છે, તેથી કક્ષા 1 છે. તેની ઘાત પણ 1 છે, તેથી પરિમાણ 1 છે.

Exam Tip: Exponential terms like \( e^x \) do not affect the polynomial nature with respect to derivatives; only derivatives within non-polynomial functions affect the degree.

Question 9. \( y'' + (y')^2 + 2y = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 2 છે અને તેનું પરિમાણ 1 છે.
In simple words: આ સમીકરણમાં, સૌથી મોટું ડેરિવેટિવ y'' છે, તેથી કક્ષા 2 છે. આ ડેરિવેટિવની ઘાત 1 છે, તેથી પરિમાણ 1 છે.

Exam Tip: Be careful to distinguish between the order of a derivative and its power. The order is the highest number of times differentiated, and the degree is its power.

Question 10. \( y'' + 2y' + \sin y = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 2 છે અને તેનું પરિમાણ 1 છે.
In simple words: આ સમીકરણમાં, સૌથી મોટું ડેરિવેટિવ y'' છે, તેથી કક્ષા 2 છે. તેની ઘાત 1 છે, તેથી પરિમાણ 1 છે.

Exam Tip: The presence of a non-polynomial function of 'y' (like sin y) does not make the differential equation non-polynomial in its derivatives, so the degree can still be defined.

પ્રશ્નો 11 તથા 12 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

Question 11. વિકલ સમીકરણ \( \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 + \sin \left(\frac{d y}{d x}\right) + 1 = 0 \) નું પરિમાણ ..........
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) અવ્યાખ્યાયિત
Answer: (D) અવ્યાખ્યાયિત
In simple words: આ સમીકરણમાં \( \sin(\frac{d y}{d x}) \) પદ છે, જે ડેરિવેટિવની બહુપદી નથી. તેથી, તેનું પરિમાણ નક્કી કરી શકાતું નથી.

Exam Tip: The degree of a differential equation is undefined if the derivatives are not in a polynomial form (e.g., inside sine, cosine, log, or exponential functions).

Question 12. વિકલ સમીકરણ \( 2x^2\frac{d^2 y}{d x^2} -3\frac{d y}{d x} + y = 0 \) ની કક્ષા ..........
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) અવ્યાખ્યાયિત
Answer: (A) 2
In simple words: આ સમીકરણમાં, સૌથી મોટું ડેરિવેટિવ \( \frac{d^2 y}{d x^2} \) છે, જે બીજી કક્ષાનું ડેરિવેટિવ છે. તેથી, આ સમીકરણની કક્ષા 2 છે.

Exam Tip: The order of a differential equation is determined by the highest order derivative present in the equation.