GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Exercise 9.4

પ્રશ્નો 1 થી 10નાં વિકલ સમીકરણોના વ્યાપક ઉકેલ મેળવો :

Question 1. \( \frac{dy}{dx} = \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \)
Answer: આપણે આપેલા વિકલ સમીકરણને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકીએ:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \)
ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જાણીએ છીએ કે \( 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \) અને \( 1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \).
તેથી,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \tan^2 \frac{x}{2} \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int dy = \int \tan^2 \frac{x}{2} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \). તેથી,
\( \int dy = \int \left( \sec^2 \frac{x}{2} - 1 \right) dx \)
\( y = 2 \tan \frac{x}{2} - x + c \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો જરૂરી વ્યાપક ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલાં, આપણે ત્રિકોણમિતિના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સરળ બનાવ્યું. પછી, બંને બાજુએ સંકલન કરીને, આપણે y માટેનો ઉકેલ શોધી કાઢ્યો, જેમાં એક અચળ (c) પણ સામેલ છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, પહેલાં ત્રિકોણમિતિના સરળ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સરળ બનાવો, પછી જ સંકલન કરવાની પ્રક્રિયા શરૂ કરો.

Question 2. \( \frac{dy}{dx} = \sqrt{4-y^2} \quad (-2 < y < 2) \)
Answer: આપણને આપેલું વિકલ સમીકરણ \( \frac{dy}{dx} = \sqrt{4-y^2} \) છે.
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( \frac{dy}{\sqrt{4-y^2}} = dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int \frac{dy}{\sqrt{4-y^2}} = \int dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + C \). અહીં \( a=2 \) અને \( x=y \) છે.
તેથી,
\( \sin^{-1} \left( \frac{y}{2} \right) = x + c \)
અથવા,
\( \frac{y}{2} = \sin(x+c) \)
\( y = 2 \sin(x+c) \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો જરૂરી વ્યાપક ઉકેલ છે.
In simple words: આપણે સમીકરણમાં y વાળા પદોને dy સાથે અને x વાળા પદોને dx સાથે અલગ કર્યા. પછી, બંને બાજુ સંકલન કરીને, y માટે એક ઉકેલ મળ્યો, જેમાં એક સ્થિર અચળ (c) પણ છે.

Exam Tip: જ્યારે વિકલ સમીકરણમાં ચલોને અલગ કરી શકાય, ત્યારે તે સ્વરૂપમાં ગોઠવીને બંને બાજુએ સંકલન કરો. \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx \) જેવા જાણીતા સંકલન સૂત્રો યાદ રાખવા જરૂરી છે.

Question 3. \( \frac{dy}{dx} + y = 1 \quad (y \ne 1) \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( \frac{dy}{dx} + y = 1 \) છે.
સમીકરણને ફરીથી લખી શકાય:
\( \frac{dy}{dx} = 1 - y \)
\( \frac{dy}{dx} = -(y - 1) \)
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( \frac{dy}{y-1} = -dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int \frac{dy}{y-1} = \int -dx \)
\( \log |y-1| = -x + C \)
\( |y-1| = e^{-x+C} \)
\( |y-1| = e^{-x} \cdot e^C \)
ધારો કે \( e^C = A \) (જ્યાં A એક શૂન્ય સિવાયનો અચળ છે, \( A \ne 0 \)).
\( y-1 = A e^{-x} \)
\( y = 1 + A e^{-x} \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો જરૂરી વ્યાપક ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલાં, આપણે સમીકરણમાંથી dy અને dx વાળા ભાગોને અલગ કર્યા. પછી, બંને બાજુનું સંકલન કરીને, y માટેનું સમીકરણ મેળવ્યું, જેમાં એક અચળ A શામેલ છે.

Exam Tip: ચલ વિયોગીય સ્વરૂપ (variable separable form) માં રૂપાંતર કરતી વખતે, ચિન્હો (પ્લસ/માઈનસ) અને ભાજકને કાળજીપૂર્વક સંભાળો. લોગેરિથમિક સંકલનો યાદ રાખવા મદદરૂપ થશે.

Question 4. \( \sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( \sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0 \) છે.
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ (બંને બાજુ \( \tan x \tan y \) વડે ભાગતાં):
\( \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = 0 \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = \int 0 \, dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે જો \( f(x) = \tan x \), તો \( f'(x) = \sec^2 x \). તેથી \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| + C \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
\( \log |\tan x| + \log |\tan y| = \log C \) (અચળને પણ લોગના સ્વરૂપમાં લખ્યો જેથી સરળતા રહે)
લોગેરિથમના ગુણધર્મ \( \log a + \log b = \log(ab) \) નો ઉપયોગ કરતાં,
\( \log |\tan x \tan y| = \log C \)
બંને બાજુથી લોગ હટાવતાં,
\( \tan x \tan y = C \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો જરૂરી વ્યાપક ઉકેલ છે.
In simple words: આપણે સમીકરણમાં x અને y વાળા પદોને અલગ કર્યા. પછી, બંને બાજુનું સંકલન કર્યું. સંકલન કરતી વખતે, આપણે જાણીતા લોગેરિથમિક સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કર્યો અને અંતે એક અચળ (C) સાથે y અને x નું સમીકરણ મેળવ્યું.

Exam Tip: જ્યારે \( \frac{f'(x)}{f(x)} \) ફોર્મમાં સંકલન હોય, ત્યારે તેનું સંકલન \( \log |f(x)| \) થાય છે. લોગેરિથમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અચળ C ને પણ \( \log C \) તરીકે લખવાથી સમીકરણને સરળ બનાવવામાં મદદ મળે છે.

Question 5. \( (e^x + e^{-x}) dy - (e^x - e^{-x}) dx = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( (e^x + e^{-x}) dy - (e^x - e^{-x}) dx = 0 \) છે.
સમીકરણને ફરીથી લખી શકાય:
\( (e^x + e^{-x}) dy = (e^x - e^{-x}) dx \)
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( dy = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int dy = \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે જો \( f(x) = e^x + e^{-x} \), તો \( f'(x) = e^x - e^{-x} \). તેથી \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| + C \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
\( y = \log |e^x + e^{-x}| + C \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો જરૂરી વ્યાપક ઉકેલ છે.
In simple words: આપણે પહેલાં y અને x ના પદોને અલગ કર્યા. પછી, બંને બાજુનું સંકલન કર્યું. સંકલન કરતી વખતે, આપણે એક નિયમનો ઉપયોગ કર્યો જ્યાં અંશ છેદના વિકલન સમાન હોય. અંતે, આપણે C અચળાંક સાથે y માટેનો ઉકેલ મેળવ્યો.

Exam Tip: જ્યારે સંકલન \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx \) ફોર્મમાં હોય, ત્યારે તેનું સંકલન સીધું \( \log |f(x)| \) થાય છે. આવા દાખલાઓમાં f(x) અને f'(x) ને ઓળખવાની પ્રેક્ટિસ કરો.

Question 6. \( \frac{dy}{dx} = (1 + x^2) (1 + y^2) \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( \frac{dy}{dx} = (1 + x^2) (1 + y^2) \) છે.
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( \frac{dy}{1+y^2} = (1+x^2) dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int \frac{dy}{1+y^2} = \int (1+x^2) dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \int \frac{1}{1+u^2} du = \tan^{-1} u + C \) અને \( \int (1+x^2) dx = x + \frac{x^3}{3} + C \).
તેથી,
\( \tan^{-1} y = x + \frac{x^3}{3} + C \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો જરૂરી વ્યાપક ઉકેલ છે.
In simple words: આપણે સમીકરણમાં y વાળા પદોને dy સાથે અને x વાળા પદોને dx સાથે અલગ કર્યા. પછી, બંને બાજુ સંકલન કર્યું. આપણે \( \tan^{-1} \) અને ઘાત નિયમના સંકલન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, y માટે એક ઉકેલ મેળવ્યો, જેમાં એક અચળ (C) પણ સામેલ છે.

Exam Tip: \( \int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x \) અને \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) જેવા મૂળભૂત સંકલન સૂત્રો યાદ રાખવા આવા દાખલાઓમાં મદદરૂપ થાય છે.

Question 7. \( y \log y \, dx - x \, dy = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( y \log y \, dx - x \, dy = 0 \) છે.
સમીકરણને ફરીથી લખી શકાય:
\( y \log y \, dx = x \, dy \)
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( \frac{dy}{y \log y} = \frac{dx}{x} \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int \frac{dy}{y \log y} = \int \frac{dx}{x} \)
ડાબી બાજુના સંકલન માટે, \( u = \log y \) ધારો. તો \( du = \frac{1}{y} dy \).
તેથી, \( \int \frac{du}{u} = \log |u| + C_1 = \log |\log y| + C_1 \).
જમણી બાજુનું સંકલન \( \int \frac{dx}{x} = \log |x| + C_2 \).
તેથી,
\( \log |\log y| = \log |x| + \log C \) (અચળને \( \log C \) તરીકે લીધો)
\( \log |\log y| = \log |Cx| \)
બંને બાજુથી લોગ હટાવતાં,
\( \log y = Cx \)
\( y = e^{Cx} \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો જરૂરી વ્યાપક ઉકેલ છે.
In simple words: આપણે y વાળા પદોને dy સાથે અને x વાળા પદોને dx સાથે અલગ કર્યા. પછી, બંને બાજુનું સંકલન કર્યું. ડાબી બાજુના સંકલન માટે પ્રતિસ્થાપન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો અને જમણી બાજુના સંકલન માટે લોગેરિથમિક સૂત્ર વાપર્યું. અંતે, આપણે y માટેનો ઉકેલ મેળવ્યો, જેમાં એક અચળ (C) પણ શામેલ છે.

Exam Tip: \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| \) ફોર્મ માટે, જો \( f(x) \) એ \( \log y \) હોય, તો \( f'(x) \) એ \( \frac{1}{y} \) થાય. તેથી, \( \frac{1}{y \log y} \) નું સંકલન \( \log |\log y| \) થાય છે. આવા પ્રતિસ્થાપન સંકલનોની પ્રેક્ટિસ કરવી અગત્યની છે.

Question 8. \( x^5 \frac{dy}{dx} = -y^5 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( x^5 \frac{dy}{dx} = -y^5 \) છે.
સમીકરણને ફરીથી લખી શકાય:
\( x^5 dy = -y^5 dx \)
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( \frac{dy}{y^5} = -\frac{dx}{x^5} \)
\( y^{-5} dy = -x^{-5} dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int y^{-5} dy = \int -x^{-5} dx \)
\( \frac{y^{-5+1}}{-5+1} = -\frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C \)
\( \frac{y^{-4}}{-4} = -\frac{x^{-4}}{-4} + C \)
\( -\frac{1}{4y^4} = \frac{1}{4x^4} + C \)
\( -\frac{1}{4y^4} - \frac{1}{4x^4} = C \)
\( \frac{1}{4x^4} + \frac{1}{4y^4} = -C \)
ધારો કે \( -C = C_1 \). તો,
\( \frac{1}{4x^4} + \frac{1}{4y^4} = C_1 \)
અથવા બંને બાજુ \( 4 \) વડે ગુણતાં,
\( \frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4} = 4C_1 \)
ધારો કે \( 4C_1 = C' \). તો,
\( x^{-4} + y^{-4} = C' \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો જરૂરી વ્યાપક ઉકેલ છે.
In simple words: આપણે dy સાથે y વાળા પદો અને dx સાથે x વાળા પદોને અલગ કર્યા. પછી, બંને બાજુ સંકલન કર્યું, ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરીને. અંતે, આપણે એક અચળ \( C' \) સાથે y અને x નું સમીકરણ મેળવ્યું.

Exam Tip: ઘાત નિયમ \( \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} \) સંકલનમાં ખૂબ ઉપયોગી છે. અચળને સરળ સ્વરૂપમાં લખવા માટે તેને \( C_1 \), \( 4C_1 \), કે \( C' \) માં બદલવાથી ગણતરી સ્પષ્ટ બને છે.

Question 9. \( \frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( \frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x \) છે.
સમીકરણને ફરીથી લખી શકાય:
\( dy = \sin^{-1} x \, dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int dy = \int \sin^{-1} x \, dx \)
ડાબી બાજુનું સંકલન \( y \) છે.
જમણી બાજુના સંકલન માટે, આપણે ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) નિયમનો ઉપયોગ કરીશું: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \).
અહીં, \( u = \sin^{-1} x \) અને \( dv = 1 \, dx \).
તેથી, \( du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \) અને \( v = x \).
\( \int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x - \int x \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \)
બીજા સંકલન માટે, \( t = 1-x^2 \) ધારો. તો \( dt = -2x \, dx \implies x \, dx = -\frac{1}{2} dt \).
\( \int x \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \left( -\frac{1}{2} \right) dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt \)
\( = -\frac{1}{2} \frac{t^{1/2}}{1/2} + C' = -t^{1/2} + C' = -\sqrt{1-x^2} + C' \)
તેથી,
\( y = x \sin^{-1} x - (-\sqrt{1-x^2}) + C \)
\( y = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો જરૂરી વ્યાપક ઉકેલ છે.
In simple words: આપણે dy ને \( \sin^{-1} x \, dx \) બરાબર કરીને બંને બાજુનું સંકલન કર્યું. \( \sin^{-1} x \) નું સંકલન કરવા માટે, આપણે ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કર્યો અને પછી, બીજા ભાગ માટે, પ્રતિસ્થાપન પદ્ધતિ વાપરી. અંતે, આપણે એક અચળ (C) સાથે y માટેનો ઉકેલ મેળવ્યો.

Exam Tip: \( \sin^{-1} x \) જેવા પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના સંકલન માટે હંમેશા ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરો. \( u \) અને \( dv \) ની પસંદગી યોગ્ય રીતે કરવી (ILATE નિયમ યાદ રાખો) એ સફળતાની ચાવી છે.

Question 10. \( e^x \tan y \, dx + (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = 0 \)
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( e^x \tan y \, dx + (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = 0 \) છે.
સમીકરણને ફરીથી લખી શકાય:
\( e^x \tan y \, dx = -(1 - e^x) \sec^2 y \, dy \)
\( e^x \tan y \, dx = (e^x - 1) \sec^2 y \, dy \)
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( \frac{e^x}{e^x - 1} \, dx = \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int \frac{e^x}{e^x - 1} \, dx = \int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy \)
આપણે જાણીએ છીએ કે જો \( f(u) \) હોય અને તેનો અંશ \( f'(u) \) હોય તો સંકલન \( \log |f(u)| \) થાય. અહીં બંને બાજુ આ ફોર્મમાં છે.
ડાબી બાજુ માટે, \( f(x) = e^x - 1 \implies f'(x) = e^x \).
જમણી બાજુ માટે, \( g(y) = \tan y \implies g'(y) = \sec^2 y \).
તેથી,
\( \log |e^x - 1| = \log |\tan y| + \log C \) (અચળને \( \log C \) તરીકે લીધો)
\( \log |e^x - 1| = \log |C \tan y| \)
બંને બાજુથી લોગ હટાવતાં,
\( e^x - 1 = C \tan y \)
અથવા
\( \tan y = \frac{e^x - 1}{C} \)
\( \tan y = C' (e^x - 1) \) (જ્યાં \( C' = \frac{1}{C} \))
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો જરૂરી વ્યાપક ઉકેલ છે.
In simple words: આપણે સમીકરણમાં x વાળા પદોને dx સાથે અને y વાળા પદોને dy સાથે અલગ કર્યા. પછી, બંને બાજુનું સંકલન કર્યું. સંકલન કરતી વખતે, આપણે જાણીતા લોગેરિથમિક સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કર્યો અને અંતે એક અચળ \( C' \) સાથે y અને x નું સમીકરણ મેળવ્યું.

Exam Tip: જ્યારે વિકલ સમીકરણના બંને પક્ષો \( \frac{f'(u)}{f(u)} \) ફોર્મમાં હોય, ત્યારે સંકલન સરળતાથી \( \log |f(u)| \) વડે થાય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, અચળને પણ \( \log C \) તરીકે લખવાથી સમીકરણનું નિરાકરણ વધુ સરળ બને છે.

પ્રશ્નો 11 થી 14માં આપેલી શરતનું સમાધાન કરતા વિકલ સમીકરણના વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવોઃ

Question 11. \( (x^3 + x^2 + x + 1) \frac{dy}{dx} = 2x^2 + x \), જ્યારે \( x = 0 \) ત્યારે \( y = 1 \).
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( (x^3 + x^2 + x + 1) \frac{dy}{dx} = 2x^2 + x \) છે.
પ્રથમ, સમીકરણના ડાબા ભાગને અવયવ પાડીએ:
\( x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x+1) + 1(x+1) = (x^2+1)(x+1) \)
તેથી, વિકલ સમીકરણ આ રીતે બને છે:
\( (x+1)(x^2+1) \frac{dy}{dx} = 2x^2 + x \)
ચલોને અલગ કરીને આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( dy = \frac{2x^2+x}{(x+1)(x^2+1)} dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int dy = \int \frac{2x^2+x}{(x+1)(x^2+1)} dx \)
જમણી બાજુના સંકલન માટે, આંશિક અપૂર્ણાંક (partial fractions) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું:
\( \frac{2x^2+x}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \)
\( 2x^2+x = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1) \)
\( 2x^2+x = Ax^2+A + Bx^2+Bx+Cx+C \)
\( 2x^2+x = (A+B)x^2 + (B+C)x + (A+C) \)
સમાન ઘાતના ગુણાંકોની સરખામણી કરતાં:
\( x^2 \) ના ગુણાંકો: \( A+B = 2 \) ... (i)
\( x \) ના ગુણાંકો: \( B+C = 1 \) ... (ii)
અચળ પદ: \( A+C = 0 \) ... (iii)
સમીકરણ (iii) માંથી, \( C = -A \). આને સમીકરણ (ii) માં મુકતાં:
\( B-A = 1 \)
સમીકરણ (i) અને \( B-A=1 \) નો ઉકેલ મેળવતાં:
\( A+B = 2 \)
\( -A+B = 1 \)
બંને સમીકરણનો સરવાળો કરતાં: \( 2B = 3 \implies B = \frac{3}{2} \)
\( A = 2 - B = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \)
\( C = -A = -\frac{1}{2} \)
હવે, આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકોનું સંકલન કરીશું:
\( \int \left( \frac{1/2}{x+1} + \frac{\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}}{x^2+1} \right) dx \)
\( y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{\frac{3}{2}x}{x^2+1} dx - \int \frac{\frac{1}{2}}{x^2+1} dx \)
\( y = \frac{1}{2} \log |x+1| + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx \)
\( y = \frac{1}{2} \log |x+1| + \frac{3}{4} \log |x^2+1| - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + K \) (અચળ \( K \) લીધો)
હવે, આપેલી શરતનો ઉપયોગ કરીએ: જ્યારે \( x = 0 \), ત્યારે \( y = 1 \).
\( 1 = \frac{1}{2} \log |0+1| + \frac{3}{4} \log |0^2+1| - \frac{1}{2} \tan^{-1} (0) + K \)
\( 1 = \frac{1}{2} \log 1 + \frac{3}{4} \log 1 - \frac{1}{2} (0) + K \)
\( 1 = 0 + 0 - 0 + K \)
\( K = 1 \)
આ \( K \) ની કિંમતને સામાન્ય ઉકેલમાં મુકતાં, વિશિષ્ટ ઉકેલ મળે છે:
\( y = \frac{1}{2} \log |x+1| + \frac{3}{4} \log |x^2+1| - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + 1 \)
આને ફરીથી ગોઠવી શકાય:
\( y = \log ((x+1)^{1/2} (x^2+1)^{3/4}) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + 1 \)
અથવા
\( y = \frac{1}{4} \left( 2 \log |x+1| + 3 \log |x^2+1| \right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + 1 \)
\( y = \frac{1}{4} \log \left( (x+1)^2 (x^2+1)^3 \right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + 1 \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલાં, આપણે સમીકરણના છેદના અવયવ પાડ્યા. પછી, આંશિક અપૂર્ણાંક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સરળ બનાવ્યું. બંને બાજુનું સંકલન કરીને, આપણે સામાન્ય ઉકેલ મેળવ્યો. છેલ્લે, આપેલી શરતો \( x=0 \) અને \( y=1 \) નો ઉપયોગ કરીને અચળાંક \( K \) ની કિંમત શોધી અને વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવ્યો.

Exam Tip: જ્યારે વિકલ સમીકરણમાં અપૂર્ણાંક પદ હોય, ત્યારે આંશિક અપૂર્ણાંક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો પડે છે. ગુણાંકોની સરખામણી યોગ્ય રીતે કરવી અને શરતોનો ઉપયોગ કરીને અચળાંક (constant) શોધવા એ ખૂબ જ અગત્યનું છે.

Question 12. \( x(x^2 - 1) \frac{dy}{dx} = 1 \); જ્યારે \( x = 2 \) ત્યારે \( y = 0 \).
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( x(x^2 - 1) \frac{dy}{dx} = 1 \) છે.
સમીકરણને ફરીથી લખી શકાય:
\( dy = \frac{1}{x(x^2 - 1)} dx \)
\( dy = \frac{1}{x(x-1)(x+1)} dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int dy = \int \frac{1}{x(x-1)(x+1)} dx \)
જમણી બાજુના સંકલન માટે, આંશિક અપૂર્ણાંક (partial fractions) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું:
\( \frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1} \)
\( 1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1) \)
\( 1 = A(x^2-1) + B(x^2+x) + C(x^2-x) \)
\( 1 = (A+B+C)x^2 + (B-C)x - A \)
સમાન ઘાતના ગુણાંકોની સરખામણી કરતાં:
\( x^2 \) ના ગુણાંકો: \( A+B+C = 0 \) ... (i)
\( x \) ના ગુણાંકો: \( B-C = 0 \implies B = C \) ... (ii)
અચળ પદ: \( -A = 1 \implies A = -1 \) ... (iii)
સમીકરણ (ii) અને (iii) ની કિંમતો (i) માં મુકતાં:
\( -1 + C + C = 0 \)
\( 2C = 1 \implies C = \frac{1}{2} \)
અને \( B = C = \frac{1}{2} \).
હવે, આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકોનું સંકલન કરીશું:
\( \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{1/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1} \right) dx \)
\( y = -\int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx \)
\( y = -\log |x| + \frac{1}{2} \log |x-1| + \frac{1}{2} \log |x+1| + K \)
\( y = \frac{1}{2} (\log |x-1| + \log |x+1|) - \log |x| + K \)
\( y = \frac{1}{2} \log |(x-1)(x+1)| - \log |x| + K \)
\( y = \frac{1}{2} \log |x^2-1| - \log |x| + K \)
હવે, આપેલી શરતનો ઉપયોગ કરીએ: જ્યારે \( x = 2 \), ત્યારે \( y = 0 \).
\( 0 = \frac{1}{2} \log |2^2-1| - \log |2| + K \)
\( 0 = \frac{1}{2} \log |3| - \log 2 + K \)
\( 0 = \log (3^{1/2}) - \log 2 + K \)
\( 0 = \log \sqrt{3} - \log 2 + K \)
\( 0 = \log \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + K \)
\( K = -\log \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \log \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) \)
આ \( K \) ની કિંમતને સામાન્ય ઉકેલમાં મુકતાં, વિશિષ્ટ ઉકેલ મળે છે:
\( y = \frac{1}{2} \log |x^2-1| - \log |x| + \log \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલાં, આપણે x વાળા પદોને dx સાથે અને dy ને અલગ કરીને સમીકરણને ફરીથી લખ્યું. પછી, આંશિક અપૂર્ણાંક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સંકલન કર્યું. સામાન્ય ઉકેલ મળ્યા પછી, આપેલી શરતો \( x=2 \) અને \( y=0 \) નો ઉપયોગ કરીને અચળાંક \( K \) ની કિંમત શોધી અને વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવ્યો.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં ત્રણ અલગ-અલગ રેખીય અવયવો હોય, ત્યારે આંશિક અપૂર્ણાંક \( \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1} \) નો ઉપયોગ કરો. અચળાંકો A, B, C ની કિંમતો શોધવા માટે ગુણાંકોની સરખામણી એ એક સામાન્ય અને વિશ્વસનીય પદ્ધતિ છે.

Question 13. \( \cos \left( \frac{dy}{dx} \right) = a \quad (a \in R) \); જ્યારે \( x = 0 \) ત્યારે \( y = 2 \).
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( \cos \left( \frac{dy}{dx} \right) = a \) છે.
સમીકરણને ફરીથી લખી શકાય:
\( \frac{dy}{dx} = \cos^{-1} a \)
અહીં, \( \cos^{-1} a \) એ એક અચળ કિંમત છે, કારણ કે \( a \) એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
ધારો કે \( k = \cos^{-1} a \). (જ્યાં k એક અચળ છે.)
તેથી,
\( \frac{dy}{dx} = k \)
ચલોને અલગ કરીને:
\( dy = k \, dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int dy = \int k \, dx \)
\( y = kx + C \)
\( y = (\cos^{-1} a) x + C \)
હવે, આપેલી શરતનો ઉપયોગ કરીએ: જ્યારે \( x = 0 \), ત્યારે \( y = 2 \).
\( 2 = (\cos^{-1} a) (0) + C \)
\( 2 = 0 + C \)
\( C = 2 \)
આ \( C \) ની કિંમતને સામાન્ય ઉકેલમાં મુકતાં, વિશિષ્ટ ઉકેલ મળે છે:
\( y = (\cos^{-1} a) x + 2 \)
આને ફરીથી ગોઠવી શકાય:
\( y - 2 = x \cos^{-1} a \)
\( \frac{y-2}{x} = \cos^{-1} a \)
\( \cos \left( \frac{y-2}{x} \right) = a \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલાં, આપણે \( \frac{dy}{dx} \) ને \( \cos^{-1} a \) બરાબર કરીને, તેને એક સ્થિર અચળ તરીકે લીધું. પછી, બંને બાજુનું સંકલન કરીને, y માટેનું સામાન્ય સમીકરણ મેળવ્યું. છેલ્લે, આપેલી શરતો \( x=0 \) અને \( y=2 \) નો ઉપયોગ કરીને અચળાંક \( C \) ની કિંમત શોધી અને વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવ્યો.

Exam Tip: જ્યારે \( \frac{dy}{dx} \) એ કોઈ અચળ વિધેય બરાબર હોય, ત્યારે સંકલન સરળ હોય છે. વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધવા માટે આપેલી શરતોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો એ નિર્ણાયક છે.

Question 14. \( \frac{dy}{dx} = y \tan x \); જ્યારે \( x = 0 \) ત્યારે \( y = 1 \).
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( \frac{dy}{dx} = y \tan x \) છે.
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( \frac{dy}{y} = \tan x \, dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int \frac{dy}{y} = \int \tan x \, dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C \) અને \( \int \tan x \, dx = \log |\sec x| + C \).
તેથી,
\( \log |y| = \log |\sec x| + C \)
હવે, આપેલી શરતનો ઉપયોગ કરીએ: જ્યારે \( x = 0 \), ત્યારે \( y = 1 \).
\( \log |1| = \log |\sec 0| + C \)
\( 0 = \log |1| + C \)
\( 0 = 0 + C \)
\( C = 0 \)
આ \( C \) ની કિંમતને સામાન્ય ઉકેલમાં મુકતાં, વિશિષ્ટ ઉકેલ મળે છે:
\( \log |y| = \log |\sec x| + 0 \)
\( \log |y| = \log |\sec x| \)
બંને બાજુથી લોગ હટાવતાં,
\( y = \sec x \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ છે.
In simple words: આપણે y વાળા પદોને dy સાથે અને x વાળા પદોને dx સાથે અલગ કર્યા. પછી, બંને બાજુનું સંકલન કર્યું, જેમાં લોગ અને ટેન્જેન્ટ સંકલનના સૂત્રો વાપર્યા. છેલ્લે, આપેલી શરતો \( x=0 \) અને \( y=1 \) નો ઉપયોગ કરીને અચળાંક \( C \) ની કિંમત શોધી અને વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવ્યો.

Exam Tip: \( \int \tan x \, dx = \log |\sec x| \) અથવા \( -\log |\cos x| \) યાદ રાખવું ખૂબ અગત્યનું છે. વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવવા માટે પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરો અને અચળાંકનું મૂલ્ય શોધો.

Question 15. જેનું વિકલ સમીકરણ \( y' = e^x \sin x \) હોય તેવા બિંદુ \( (0, 0) \) માંથી પસાર થતાં વક્રનું સમીકરણ શોધો.
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( y' = e^x \sin x \) છે, જેને આપણે \( \frac{dy}{dx} = e^x \sin x \) તરીકે લખી શકીએ.
સમીકરણને ફરીથી લખી શકાય:
\( dy = e^x \sin x \, dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int dy = \int e^x \sin x \, dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin(bx) - b \cos(bx)) + C \).
અહીં \( a=1 \) અને \( b=1 \).
તેથી,
\( y = \frac{e^x}{1^2+1^2} (1 \sin x - 1 \cos x) + C \)
\( y = \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x) + C \)
હવે, આપેલી શરતનો ઉપયોગ કરીએ: વક્ર બિંદુ \( (0, 0) \) માંથી પસાર થાય છે, એટલે કે જ્યારે \( x = 0 \), ત્યારે \( y = 0 \).
\( 0 = \frac{e^0}{2} (\sin 0 - \cos 0) + C \)
\( 0 = \frac{1}{2} (0 - 1) + C \)
\( 0 = -\frac{1}{2} + C \)
\( C = \frac{1}{2} \)
આ \( C \) ની કિંમતને સામાન્ય ઉકેલમાં મુકતાં, વિશિષ્ટ ઉકેલ મળે છે:
\( y = \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x) + \frac{1}{2} \)
આને ફરીથી ગોઠવી શકાય:
\( 2y = e^x (\sin x - \cos x) + 1 \)
\( 2y - 1 = e^x (\sin x - \cos x) \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલાં, આપણે \( y' \) ને \( \frac{dy}{dx} \) તરીકે લખીને બંને બાજુનું સંકલન કર્યું. \( e^x \sin x \) ના સંકલન માટે, આપણે એક ખાસ સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો. સામાન્ય ઉકેલ મળ્યા પછી, આપણે આપેલી શરત \( (0, 0) \) નો ઉપયોગ કરીને અચળાંક \( C \) ની કિંમત શોધી અને વક્રનું વિશિષ્ટ સમીકરણ મેળવ્યું.

Exam Tip: \( \int e^{ax} \sin(bx) \, dx \) અને \( \int e^{ax} \cos(bx) \, dx \) જેવા સંકલનો માટેનું સૂત્ર યાદ રાખવું ખૂબ ફાયદાકારક છે. જો તમને સૂત્ર યાદ ન હોય, તો ખંડશઃ સંકલનનો બે વાર ઉપયોગ કરીને તેને ઉકેલી શકાય છે.

Question 16. બિંદુ \( (1, -1) \) માંથી પસાર થતો વિકલ સમીકરણ \( xy \frac{dy}{dx} = (x + 2) (y + 2) \) નો ઉકેલ વક્ર શોધો.
Answer: આપેલ વિકલ સમીકરણ \( xy \frac{dy}{dx} = (x + 2) (y + 2) \) છે.
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( \frac{y \, dy}{y+2} = \frac{(x+2) \, dx}{x} \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int \frac{y}{y+2} \, dy = \int \frac{x+2}{x} \, dx \)
ડાબી બાજુના સંકલન માટે:
\( \int \frac{y+2-2}{y+2} \, dy = \int \left( 1 - \frac{2}{y+2} \right) dy = y - 2 \log |y+2| \)
જમણી બાજુના સંકલન માટે:
\( \int \left( 1 + \frac{2}{x} \right) dx = x + 2 \log |x| \)
તેથી, સામાન્ય ઉકેલ આ રીતે મળે છે:
\( y - 2 \log |y+2| = x + 2 \log |x| + C \)
હવે, આપેલી શરતનો ઉપયોગ કરીએ: વક્ર બિંદુ \( (1, -1) \) માંથી પસાર થાય છે, એટલે કે જ્યારે \( x = 1 \), ત્યારે \( y = -1 \).
\( -1 - 2 \log |-1+2| = 1 + 2 \log |1| + C \)
\( -1 - 2 \log |1| = 1 + 2 (0) + C \)
\( -1 - 2 (0) = 1 + 0 + C \)
\( -1 = 1 + C \)
\( C = -2 \)
આ \( C \) ની કિંમતને સામાન્ય ઉકેલમાં મુકતાં, વિશિષ્ટ ઉકેલ મળે છે:
\( y - 2 \log |y+2| = x + 2 \log |x| - 2 \)
આને ફરીથી ગોઠવી શકાય:
\( y - x + 2 = 2 \log |x| + 2 \log |y+2| \)
\( y - x + 2 = 2 (\log |x| + \log |y+2|) \)
\( y - x + 2 = 2 \log |x(y+2)| \)
આ આપેલા વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ છે.
In simple words: પહેલાં, આપણે y વાળા પદોને dy સાથે અને x વાળા પદોને dx સાથે અલગ કર્યા. પછી, બંને બાજુનું સંકલન કર્યું. ડાબી અને જમણી બાજુના સંકલન માટે, આપણે અંશને છેદના સ્વરૂપમાં ગોઠવીને સરળ બનાવ્યો. સામાન્ય ઉકેલ મળ્યા પછી, આપણે આપેલી શરત \( (1, -1) \) નો ઉપયોગ કરીને અચળાંક \( C \) ની કિંમત શોધી અને વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવ્યો.

Exam Tip: જ્યારે અંશમાં બહુપદી અને છેદમાં રેખીય બહુપદી હોય, ત્યારે અંશને છેદના ગુણાંકમાં વિભાજિત કરીને સંકલન સરળ બનાવી શકાય છે. લોગેરિથમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ ઉકેલને સરળ સ્વરૂપમાં લખો.

Question 17. જે વક્રના કોઈ પણ બિંદુ \( (x, y) \) આગળ સ્પર્શકના ઢાળ અને તે બિંદુના y યામનો ગુણાકાર તે બિંદુના x યામ જેટલો છે અને જે \( (0, -2) \) માંથી પસાર થાય છે તેવા વક્રનું સમીકરણ શોધો.
Answer: આપેલ માહિતી મુજબ, વક્રના કોઈ પણ બિંદુ \( (x, y) \) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ \( \frac{dy}{dx} \) છે.
પ્રશ્ન કહે છે કે સ્પર્શકના ઢાળ અને y યામનો ગુણાકાર x યામ જેટલો છે.
તેથી, \( y \cdot \frac{dy}{dx} = x \)
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( y \, dy = x \, dx \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int y \, dy = \int x \, dx \)
\( \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C' \)
બંને બાજુ \( 2 \) વડે ગુણતાં,
\( y^2 = x^2 + 2C' \)
ધારો કે \( C = 2C' \). તો,
\( y^2 = x^2 + C \)
હવે, આપેલી શરતનો ઉપયોગ કરીએ: વક્ર બિંદુ \( (0, -2) \) માંથી પસાર થાય છે, એટલે કે જ્યારે \( x = 0 \), ત્યારે \( y = -2 \).
\( (-2)^2 = (0)^2 + C \)
\( 4 = 0 + C \)
\( C = 4 \)
આ \( C \) ની કિંમતને સામાન્ય ઉકેલમાં મુકતાં, વિશિષ્ટ ઉકેલ મળે છે:
\( y^2 = x^2 + 4 \)
\( y^2 - x^2 = 4 \)
આ આપેલા વક્રનું સમીકરણ છે.
In simple words: આપણે આપેલી શરતને વિકલ સમીકરણમાં બદલી: \( y \frac{dy}{dx} = x \). પછી, y અને x ના પદોને અલગ કરીને સંકલન કર્યું. છેલ્લે, વક્ર \( (0, -2) \) માંથી પસાર થાય છે તે શરતનો ઉપયોગ કરીને અચળાંક \( C \) ની કિંમત શોધી અને વક્રનું સમીકરણ મેળવ્યું.

Exam Tip: જ્યારે પ્રશ્ન મૌખિક વર્ણનમાં વિકલ સમીકરણ આપે, ત્યારે તેને ગાણિતિક સ્વરૂપમાં યોગ્ય રીતે લખવું એ પ્રથમ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ પગલું છે. "સ્પર્શકનો ઢાળ" એટલે \( \frac{dy}{dx} \).

Question 18. વક્રના કોઈ પણ બિંદુ \( (x, y) \) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ એ સ્પર્શબિંદુ અને બિંદુ \( (-4, -3) \) માંથી પસાર થતી રેખાના ઢાળ કરતાં બમણો છે. વક્ર \( (-2, 1) \) માંથી પસાર થતો હોય, તો આ વક્રનું સમીકરણ શોધો.
Answer: આપેલ માહિતી મુજબ, વક્રના કોઈ પણ બિંદુ \( (x, y) \) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ \( \frac{dy}{dx} \) છે.
બિંદુ \( (x, y) \) અને \( (-4, -3) \) માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ \( m = \frac{y - (-3)}{x - (-4)} = \frac{y+3}{x+4} \) છે.
પ્રશ્ન કહે છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ આ રેખાના ઢાળ કરતાં બમણો છે.
તેથી, \( \frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{y+3}{x+4} \right) \)
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( \frac{dy}{y+3} = 2 \frac{dx}{x+4} \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int \frac{dy}{y+3} = \int 2 \frac{dx}{x+4} \)
\( \log |y+3| = 2 \log |x+4| + C \)
\( \log |y+3| = \log (x+4)^2 + C \)
હવે, આપેલી શરતનો ઉપયોગ કરીએ: વક્ર બિંદુ \( (-2, 1) \) માંથી પસાર થાય છે, એટલે કે જ્યારે \( x = -2 \), ત્યારે \( y = 1 \).
\( \log |1+3| = 2 \log |-2+4| + C \)
\( \log |4| = 2 \log |2| + C \)
\( \log 4 = 2 \log 2 + C \)
\( \log (2^2) = 2 \log 2 + C \)
\( 2 \log 2 = 2 \log 2 + C \)
\( C = 0 \)
આ \( C \) ની કિંમતને સામાન્ય ઉકેલમાં મુકતાં, વિશિષ્ટ ઉકેલ મળે છે:
\( \log |y+3| = 2 \log |x+4| + 0 \)
\( \log |y+3| = \log (x+4)^2 \)
બંને બાજુથી લોગ હટાવતાં,
\( y+3 = (x+4)^2 \)
આ આપેલા વક્રનું સમીકરણ છે.
In simple words: પહેલાં, આપણે સ્પર્શકના ઢાળ અને બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના ઢાળ વચ્ચેના સંબંધને વિકલ સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કર્યો. પછી, y અને x ના પદોને અલગ કરીને સંકલન કર્યું. છેલ્લે, વક્ર \( (-2, 1) \) માંથી પસાર થાય છે તે શરતનો ઉપયોગ કરીને અચળાંક \( C \) ની કિંમત શોધી અને વક્રનું સમીકરણ મેળવ્યું.

Exam Tip: બે બિંદુઓ \( (x_1, y_1) \) અને \( (x_2, y_2) \) માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ \( \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે. લોગેરિથમના ગુણધર્મો \( a \log b = \log b^a \) અને \( \log a = \log b \implies a = b \) યાદ રાખવા જરૂરી છે.

Question 19. ગોળાકાર બલૂનમાં એવી રીતે હવા ભરવામાં આવે છે કે, તેનું ધનફળ ચોક્કસ દરથી વધે છે. જો શરૂઆતમાં તેની ત્રિજ્યા 3 એકમ હોય અને 3 સેકન્ડ પછી તે 6 એકમ હોય તો t સેકન્ડ પછી બલૂનની ત્રિજ્યા શોધો.
Answer: ધારો કે t સમયે ગોળાકાર બલૂનની ત્રિજ્યા \( r \) છે અને તેનું ધનફળ \( V \) છે.
ગોળાનું ધનફળ \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \) છે.
સમય \( t \) ની સાપેક્ષમાં ધનફળનું વિકલન કરતાં:
\( \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi \cdot 3r^2 \frac{dr}{dt} \)
\( \frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \)
પ્રશ્ન મુજબ, બલૂનનું ધનફળ ચોક્કસ દરથી વધે છે, એટલે કે \( \frac{dV}{dt} \) એક અચળ છે. ધારો કે \( \frac{dV}{dt} = k \).
તેથી,
\( k = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \)
ચલોને અલગ કરીને (variable separable form) આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
\( k \, dt = 4 \pi r^2 \, dr \)
બંને બાજુએ સંકલન કરતાં,
\( \int k \, dt = \int 4 \pi r^2 \, dr \)
\( kt = 4 \pi \frac{r^3}{3} + C \)
\( kt = \frac{4}{3} \pi r^3 + C \)
હવે, આપેલી શરતોનો ઉપયોગ કરીને \( C \) અને \( k \) ની કિંમત શોધીશું.
શરત 1: શરૂઆતમાં, \( t = 0 \) સમયે, ત્રિજ્યા \( r = 3 \) એકમ છે.
\( k(0) = \frac{4}{3} \pi (3)^3 + C \)
\( 0 = \frac{4}{3} \pi (27) + C \)
\( 0 = 36 \pi + C \)
\( C = -36 \pi \)
આ \( C \) ની કિંમતને સામાન્ય ઉકેલમાં મુકતાં:
\( kt = \frac{4}{3} \pi r^3 - 36 \pi \) ... (A)
શરત 2: \( t = 3 \) સેકન્ડ પછી, ત્રિજ્યા \( r = 6 \) એકમ છે.
\( k(3) = \frac{4}{3} \pi (6)^3 - 36 \pi \)
\( 3k = \frac{4}{3} \pi (216) - 36 \pi \)
\( 3k = 4 \pi (72) - 36 \pi \)
\( 3k = 288 \pi - 36 \pi \)
\( 3k = 252 \pi \)
\( k = \frac{252 \pi}{3} \)
\( k = 84 \pi \)
આ \( k \) ની કિંમતને સમીકરણ (A) માં મુકતાં:
\( 84 \pi t = \frac{4}{3} \pi r^3 - 36 \pi \)
બંને બાજુ \( \pi \) વડે ભાગતાં અને \( 36 \pi \) ને ડાબી બાજુ લાવતાં:
\( 84t + 36 = \frac{4}{3} r^3 \)
બંને બાજુ \( \frac{3}{4} \) વડે ગુણતાં:
\( \frac{3}{4} (84t + 36) = r^3 \)
\( 3(21t) + 3(9) = r^3 \)
\( 63t + 27 = r^3 \)
તેથી,
\( r = (63t + 27)^{1/3} \)
આ t સેકન્ડ પછી બલૂનની ત્રિજ્યાનું સમીકરણ છે.
In simple words: આપણે પહેલાં બલૂનના ધનફળનું સૂત્ર લીધું અને સમયની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન કર્યું. આપેલ હતું કે ધનફળ વધવાનો દર અચળ છે. પછી, આપણે ચલોને અલગ કરીને સંકલન કર્યું. આપેલી બે શરતોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બંને અચળાંકો (k અને C) ની કિંમત શોધી. છેવટે, આ કિંમતોને સામાન્ય ઉકેલમાં મૂકીને, t સેકન્ડ પછી ત્રિજ્યા (r) માટેનું સમીકરણ મેળવ્યું.

Exam Tip: જ્યારે ભૌતિક જથ્થા (જેમ કે ધનફળ, ક્ષેત્રફળ) ના ફેરફારનો દર આપેલો હોય, ત્યારે વિકલનનો ઉપયોગ કરીને સંબંધ સ્થાપિત કરો. વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવવા માટે આપેલી બધી શરતોનો ક્રમિક ઉપયોગ કરીને અચળાંકો (constants) ના મૂલ્યો શોધો.

Question 20. બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ વાર્ષિક \( r\% \) ના દરે સતત વધી રહ્યુ છે. જો 10 વર્ષમાં બૅન્કમાં મૂકેલા Rs. 100 બમણા થતા હોય તો \( r \) ની કિંમત શોધો. (\( \log_{e}2 = 0.6931 \))
Answer: અહીં \( t \) સમયે બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ \( P \) છે. બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ \( r\% \) ના દરે સતત વધતું રહે છે.
\( \frac{d P}{d t}=\frac{r}{100} P \)
\( \frac{d P}{P}=\frac{r}{100} d t \)
બંને બાજુએ ઇન્ટિગ્રેશન કરતા,
\( \int \frac{d P}{P}=\int \frac{r}{100} d t \)
\( \log |P| = \frac{r}{100} \times t+c \)
જ્યારે \( t = 0 \) હોય, ત્યારે \( P = Rs. 100 \) છે.
\( \log 100 = 0 + c \implies c = \log 100 \)
\( \log P = \frac{r t}{100} + \log 100 \)
જ્યારે \( t = 10 \) વર્ષ હોય, ત્યારે \( P = Rs. 200 \) થાય છે.
\( \log 200 = \frac{r \times 10}{100} + \log 100 \)
\( \log 200 - \log 100 = \frac{r}{10} \)
\( r = 0.6931 \times 10 \)
\( r = 6.931 \)
In simple words: તમે બેંકમાં પૈસા મૂકો છો, તે દર વર્ષે વધે છે. જો 100 રૂપિયા 10 વર્ષમાં 200 રૂપિયા થઈ જાય, તો પૈસા કયા દરે વધ્યા તે શોધો. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે દર 6.931% છે.

Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં સામાન્ય રીતે સતત વૃદ્ધિના સૂત્રોનો ઉપયોગ થાય છે. સંકલન અચળાંકો અને અજ્ઞાત દર શોધવા માટે જુદા જુદા સમયબિંદુઓ પર આપેલી શરતોને બદલવાનું યાદ રાખો.

Question 21. બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ વાર્ષિક 5%ના દરે સતત વધી રહ્યું છે. બૅન્કમાં Rs. 1000 થાપણ તરીકે મૂક્યા છે, તો 10 વર્ષ પછી તે કેટલા થશે? (\( e^{0.5} = 1.648 \))
Answer: અહીં \( t \) સમયે બેંકમાં જમા કરેલી રકમ \( P \) છે. બેંકમાં જમા કરેલી રકમ વાર્ષિક 5% ના દરે સતત વધે છે.
\( \frac{d P}{d t}=\frac{5}{100} P \)
\( \frac{d P}{P}=\frac{1}{20} d t \)
બંને બાજુએ ઇન્ટિગ્રેશન કરતા,
\( \int \frac{d P}{P}=\frac{1}{20} \int d t \)
\( \log |P|=\frac{1}{20} \times t+c \)
જ્યારે \( t = 0 \) હોય, ત્યારે \( P = 1000 \) છે.
\( \log (1000) = 0+c \implies c = \log (1000) \)
\( \log P = \frac{1}{20} t + \log 1000 \)
જ્યારે \( t = 10 \) વર્ષ હોય, ત્યારે \( P \) કેટલો હશે?
\( \log P = \frac{1}{20} \times 10 + \log 1000 \)
\( \log P = \frac{1}{2} + \log 1000 \)
\( \log P = 0.5 + \log 1000 \)
\( P = 1000 \times e^{0.5} \)
\( P = 1000 \times 1.648 = 1648 \)
તેથી, 10 વર્ષ પછી જમા થયેલી રકમ \( Rs. 1648 \) થશે.
In simple words: જો તમે બેંકમાં 1000 રૂપિયા મૂકો છો અને તે દર વર્ષે 5% વધે છે, તો 10 વર્ષ પછી તમારી પાસે 1648 રૂપિયા હશે. આ ગણતરી \( e^{0.5} \) ના મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવી છે.

Exam Tip: સતત વૃદ્ધિના દાખલાઓને ઉકેલતી વખતે, હંમેશા સૂત્ર \( P = P_0 e^{rt} \) નો ઉપયોગ કરો. પ્રારંભિક શરતો અને દાખલામાં આપેલા \( e \) ના મૂલ્ય પર ધ્યાન આપો.

Question 22. એક સંવર્ધન કેન્દ્રમાં બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા 1,00,000 છે. 2 કલાકમાં તેની સંખ્યા 10%ના દરે વધે છે. જો બૅક્ટેરિયાનો વૃદ્ધિ-દર કોઈ પણ સમયે હાજર બૅક્ટેરિયાની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય, તો કેટલા કલાકમાં તેની સંખ્યા 2,00,000 થશે?
Answer: અહીં \( t \) સમયે મોજૂદ બેક્ટેરિયાની સંખ્યા \( x \) છે. બેક્ટેરિયાનો વૃદ્ધિ દર કોઈપણ સમયે હાજર બેક્ટેરિયાની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
\( \frac{d x}{d t} \propto x \)
\( \frac{d x}{d t} = k x \)
\( \frac{d x}{x} = k d t \)
બંને બાજુએ ઇન્ટિગ્રેશન કરતા,
\( \int \frac{d x}{x} = \int k d t \)
\( \log x = k t + c \)
જ્યારે \( t = 0 \) હોય, ત્યારે \( x = 100000 \) છે.
\( \log 100000 = 0 + c \implies c = \log 100000 \)
\( \log x = k t + \log 100000 \)
જ્યારે \( t = 2 \) કલાક હોય, ત્યારે,
\( x = 100000 + \frac{10}{100} \times 100000 = 110000 \)
\( \log 110000 = 2k + \log 100000 \)
\( 2k = \log \frac{110000}{100000} \)
\( 2k = \log \frac{11}{10} \)
\( k = \frac{1}{2} \log \frac{11}{10} \)
\( \log x = \frac{1}{2} \log \frac{11}{10} \times t + \log 100000 \)
જ્યારે \( x = 200000 \) થાય, ત્યારે \( t \) કેટલો હશે?
\( \log 200000 = \frac{1}{2} \log \frac{11}{10} \times t + \log 100000 \)
\( \log 2 = \frac{1}{2} \log \frac{11}{10} t \)
\( t = \frac{2 \log 2}{\log \frac{11}{10}} \)
\( t = \frac{2 \log 2}{\log 1.1} \) કલાકે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા \( 200000 \) થઈ જશે.
In simple words: જો શરૂઆતમાં 1,00,000 બેક્ટેરિયા હોય અને 2 કલાકમાં તે 10% વધીને 1,10,000 થઈ જાય, તો તેમની સંખ્યા 2,00,000 થવા માટે કેટલો સમય લાગશે તે શોધો. વૃદ્ધિ દર હાજર બેક્ટેરિયાની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે.

Exam Tip: વસ્તી વૃદ્ધિ સંબંધિત સમસ્યાઓમાં ઘણીવાર વિકલ સમીકરણ \( \frac{dx}{dt} = kx \) નો ઉપયોગ થાય છે. સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે બંને બાજુનું સંકલન કરવાનું યાદ રાખો અને પછી અચળાંકોના ચોક્કસ મૂલ્યો શોધવા અને અજ્ઞાત માટે ઉકેલવા માટે પ્રારંભિક અને આપેલી શરતોનો ઉપયોગ કરો.

Question 23. વિકલ સમીકરણ \( \frac{d y}{d x} = e^{x+y} \) નો વ્યાપક ઉકેલ ..... થશે.
(A) \( e^x + e^{-y} = c \)
(B) \( e^x + e^y = c \)
(C) \( e^{-x} + e^y = c \)
(D) \( e^{-x} + e^{-y} = c \)
Answer: (A) \( e^x + e^{-y} = c \)
આપેલા વિકલ સમીકરણને વેરીએબલ સેપરેબલ ફોર્મમાં લખતા,
\( \frac{d y}{d x} = e^x \cdot e^y \)
\( \frac{d y}{e^y} = e^x d x \)
બંને બાજુએ ઇન્ટિગ્રેશન કરતા,
\( \int e^{-y} d y = \int e^x d x \)
\( -e^{-y} = e^x + C_1 \)
\( e^x + e^{-y} = -C_1 \)
\( e^x + e^{-y} = c \) (જ્યાં \( c = -C_1 \))
In simple words: આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, આપણે \( y \) વાળા પદો એક બાજુ અને \( x \) વાળા પદો બીજી બાજુ લઈએ. પછી બંને બાજુનું સંકલન કરીએ. આનાથી આપણને \( e^x + e^{-y} = c \) મળે છે.

Exam Tip: વિકલ સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે, પહેલા તપાસો કે તે ચલ-અલગ કરી શકાય તેવા પ્રકારનું છે કે નહીં. ચલોને અલગ કરો, બંને બાજુનું સંકલન કરો અને અંતિમ સામાન્ય ઉકેલમાં સંકલન અચળાંક \( c \) શામેલ કરવાનું યાદ રાખો.