GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 7 સંકલન Exercise 7.4

પ્રશ્નો 1 થી 23 માં આપેલાં વિધેયોના સંકલિત મેળવો :

Question 1. \( \frac{3 x^2}{x^6+1} \)
Answer: આપણે આપેલું વિધેય \( \frac{3 x^2}{x^6+1} \) માટે સંકલન શોધીશું.
ધારો કે \( x^3 = t \).
પછી \( 3x^2 dx = dt \).
તેથી, આપણું સંકલન \( I = \int \frac{3 x^2}{\left(x^3\right)^2+1}dx \) બને છે.
\( I = \int \frac{dt}{t^2+1}dt \)
હવે, આ જાણીતું સૂત્ર છે, તેથી \( I = \tan^{-1}(t) + C \).
છેલ્લે, \( t \) ની કિંમત પાછી મૂકતાં, \( I = \tan^{-1}(x^3) + C \).
In simple words: પહેલાં, આપણે \( x^3 \) ને \( t \) ધારીને આદેશ લઈશું. પછી \( 3x^2 dx \) ને \( dt \) માં બદલીશું. આનાથી સંકલન સરળ થઈ જશે અને \( \int \frac{1}{t^2+1}dt \) જેવું બનશે. આ સંકલનનું પરિણામ \( \tan^{-1}(t) \) છે. અંતે, \( t \) ની જગ્યાએ \( x^3 \) પાછું મૂકીને આપણને છેલ્લો જવાબ મળશે.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં \( x^6 \) જેવો પદ હોય, ત્યારે \( x^3 \) ને \( t \) ધારીને આદેશ લેવાનો પ્રયાસ કરો, કારણ કે તેનો વિકલિત \( x^2 \) ના ગુણાકારમાં હોય છે, જે અંશમાં મદદરૂપ થાય છે. આ જાણીતા સંકલન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાનું સરળ બનાવે છે.

Question 2. \( \frac{1}{\sqrt{1+4 x^2}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{1+4 x^2}}dx \) છે.
આપણે તેને \( I = \int \frac{d x}{\sqrt{1+(2 x)^2}} \) તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
હવે, ધારો કે \( 2x = t \).
તો, \( 2 dx = dt \), જેનો અર્થ થાય છે \( dx = \frac{dt}{2} \).
તેથી, \( I = \int \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \frac{dt}{2} \)
\( I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+1^2}} \)
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \log|x+\sqrt{x^2+a^2}| + c \) છે.
તેથી, \( I = \frac{1}{2} \log|t+\sqrt{t^2+1}| + C \).
હવે, \( t \) ની કિંમત પાછી મૂકતાં, \( t=2x \).
\( I = \frac{1}{2} \log|2x+\sqrt{(2x)^2+1}| + C \).
આપણો અંતિમ જવાબ છે \( I = \frac{1}{2} \log|2x+\sqrt{4x^2+1}| + C \).
In simple words: આપણે પહેલાં \( 2x \) ને \( t \) તરીકે બદલીએ છીએ, જેથી \( dx \) પણ બદલાઈ જાય છે. પછી આપણે જાણીતા સૂત્ર \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx \) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે \( \log|x+\sqrt{x^2+a^2}| \) આપે છે. છેલ્લે, \( t \) ની કિંમત પાછી મૂકીને જવાબ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે વર્ગમૂળમાં \( ax^2+b \) જેવું પદ હોય, ત્યારે \( \sqrt{a}x \) ને \( t \) ધારીને આદેશ લેવાનો પ્રયાસ કરો જેથી જાણીતા સંકલન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકાય.

Question 3. \( \frac{1}{\sqrt{(2-x)^2+1}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{(2-x)^2+1}}dx \) છે.
ધારો કે \( 2-x = t \).
તો, \( -dx = dt \), જેનો અર્થ થાય છે \( dx = -dt \).
તેથી, \( I = \int \frac{-dt}{\sqrt{t^2+1}} \)
\( I = - \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+1^2}} \).
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \log|x+\sqrt{x^2+a^2}| + c \) છે.
તેથી, \( I = - \log|t+\sqrt{t^2+1}| + c \).
હવે, \( t \) ની કિંમત પાછી મૂકતાં, \( t=2-x \).
\( I = - \log|(2-x)+\sqrt{(2-x)^2+1}| + c \).
આપણે આને વધુ સરળ બનાવી શકીએ:
\( (2-x)^2+1 = 4-4x+x^2+1 = x^2-4x+5 \).
તેથી, \( I = - \log|(2-x)+\sqrt{x^2-4x+5}| + c \).
અથવા, \( \log \left| \frac{1}{(2-x)+\sqrt{(2-x)^2+1}} \right| + c \).
In simple words: આપણે \( (2-x) \) ને \( t \) ધારીને બદલીશું, જેના કારણે \( dx \) પણ બદલાઈ જશે. પછી આપણે \( \int \frac{1}{\sqrt{t^2+a^2}}dt \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંકલન કરીશું. છેલ્લે, \( t \) ની જગ્યાએ \( (2-x) \) પાછું મૂકીને જવાબ મેળવીશું. આ દાખલો \( 2-x = \tan \theta \) આદેશ લઈને પણ કરી શકાય છે.

Exam Tip: જ્યારે સંકલન કરવા માટે \( (a-x) \) કે \( (a+x) \) જેવા પદ દેખાય, ત્યારે તેને \( t \) ધારીને આદેશ લેવાથી ઘણીવાર ગણતરી સરળ બની જાય છે. ઋણ ચિન્હનું ધ્યાન રાખવું.

Question 4. \( \frac{1}{\sqrt{9-25 x^2}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{9-25 x^2}}dx \) છે.
આપણે છેદમાંથી 25 ને સામાન્ય કાઢીશું:
\( I = \int \frac{dx}{\sqrt{25(\frac{9}{25}-x^2)}} = \int \frac{dx}{5\sqrt{(\frac{3}{5})^2-x^2}} \)
\( I = \frac{1}{5} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{5})^2-x^2}} \).
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c \) છે.
અહીં, \( a = \frac{3}{5} \).
તેથી, \( I = \frac{1}{5} \sin^{-1}\left(\frac{x}{\frac{3}{5}}\right) + c \).
આપણો અંતિમ જવાબ છે \( I = \frac{1}{5} \sin^{-1}\left(\frac{5x}{3}\right) + c \).
In simple words: પહેલાં, આપણે વર્ગમૂળમાંથી 25 ને બહાર કાઢીશું, જેથી \( 5 \) બહાર આવે. પછી બાકીના પદને \( a^2-x^2 \) જેવા રૂપમાં ગોઠવીશું. આ પછી, આપણે \( \sin^{-1}(\frac{x}{a}) \) ના જાણીતા સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં \( a^2-x^2 \) જેવું પદ હોય, ત્યારે \( \sin^{-1}(\frac{x}{a}) \) નું સૂત્ર લાગુ પડે છે. જો \( x^2 \) નો સહગુણક 1 ન હોય, તો તેને સામાન્ય કાઢીને પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

Question 5. \( \frac{3 x}{1+2 x^4} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{3 x}{1+2 x^4}dx \) છે.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: \( I = \int \frac{3 x}{1+(\sqrt{2} x^2)^2}dx \).
હવે, ધારો કે \( \sqrt{2}x^2 = t \).
તો, \( \sqrt{2} \cdot 2x \, dx = dt \implies 2\sqrt{2} x \, dx = dt \implies x \, dx = \frac{dt}{2\sqrt{2}} \).
તેથી, \( I = \int \frac{3}{1+t^2} \frac{dt}{2\sqrt{2}} \)
\( I = \frac{3}{2\sqrt{2}} \int \frac{dt}{1+t^2} \).
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c \) છે. અહીં \( a=1 \).
તેથી, \( I = \frac{3}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}(t) + C \).
હવે, \( t \) ની કિંમત પાછી મૂકતાં, \( t=\sqrt{2}x^2 \).
આપણો અંતિમ જવાબ છે \( I = \frac{3}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}(\sqrt{2}x^2) + C \).
In simple words: પહેલાં, આપણે \( \sqrt{2}x^2 \) ને \( t \) તરીકે બદલીશું. પછી \( x \, dx \) ને \( dt \) માં રૂપાંતરિત કરીશું. આનાથી સંકલન \( \int \frac{1}{1+t^2}dt \) જેવું બને છે, જેનો જવાબ \( \tan^{-1}(t) \) છે. અંતે, \( t \) ની જગ્યાએ \( \sqrt{2}x^2 \) પાછું મૂકીને જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં \( x^4 \) જેવું પદ હોય અને અંશમાં \( x \) હોય, ત્યારે \( x^2 \) અથવા \( ax^2 \) ને \( t \) ધારીને આદેશ લેવાનો પ્રયાસ કરો. આનાથી \( \tan^{-1} \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો શક્ય બને છે.

Question 6. \( \frac{x^2}{1-x^6} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{x^2}{1-x^6}dx \) છે.
આપણે તેને \( I = \int \frac{x^2}{1-(x^3)^2}dx \) તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
હવે, ધારો કે \( x^3 = t \).
તો, \( 3x^2 dx = dt \), જેનો અર્થ થાય છે \( x^2 dx = \frac{dt}{3} \).
તેથી, \( I = \int \frac{1}{1-t^2} \frac{dt}{3} \)
\( I = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{1^2-t^2} \).
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\log\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + c \) છે. અહીં \( a=1 \).
તેથી, \( I = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2(1)}\log\left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C \).
\( I = \frac{1}{6}\log\left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C \).
હવે, \( t \) ની કિંમત પાછી મૂકતાં, \( t=x^3 \).
આપણો અંતિમ જવાબ છે \( I = \frac{1}{6}\log\left|\frac{1+x^3}{1-x^3}\right| + C \).
In simple words: આપણે \( x^3 \) ને \( t \) ધારીને બદલીશું, જેના કારણે \( x^2 dx \) પણ બદલાઈ જશે. પછી આપણે જાણીતા સૂત્ર \( \int \frac{1}{a^2-x^2}dx \) નો ઉપયોગ કરીશું, જે \( \frac{1}{2a}\log\left|\frac{a+x}{a-x}\right| \) આપે છે. છેલ્લે, \( t \) ની કિંમત પાછી મૂકીને જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં \( x^6 \) જેવું પદ હોય અને અંશમાં \( x^2 \) હોય, ત્યારે \( x^3 \) ને \( t \) ધારીને આદેશ લેવાનો પ્રયાસ કરો. આનાથી \( \log \) ના જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો સરળ બને છે.

Question 7. \( \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}dx \) છે.
આપણે આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજીત કરી શકીએ:
\( I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx - \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx \).
આપણે આને \( I = I_1 - I_2 \) કહીશું. ....(i)
પ્રથમ ભાગ \( I_1 = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx \).
ધારો કે \( x^2-1 = t \).
તો, \( 2x dx = dt \), જેનો અર્થ થાય છે \( x dx = \frac{dt}{2} \).
તેથી, \( I_1 = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt \).
\( I_1 = \frac{1}{2} \frac{t^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + c_1 = \frac{1}{2} \frac{t^{1/2}}{1/2} + c_1 = \sqrt{t} + c_1 \).
\( I_1 = \sqrt{x^2-1} + c_1 \).
બીજો ભાગ \( I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx \).
આ જાણીતું સંકલન સૂત્ર છે: \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \log|x+\sqrt{x^2-a^2}| + c \).
અહીં, \( a=1 \).
તેથી, \( I_2 = \log|x+\sqrt{x^2-1}| + c_2 \).
સમીકરણ (i) માં \( I_1 \) અને \( I_2 \) ની કિંમતો મૂકતાં:
\( I = (\sqrt{x^2-1} + c_1) - (\log|x+\sqrt{x^2-1}| + c_2) \).
\( I = \sqrt{x^2-1} - \log|x+\sqrt{x^2-1}| + (c_1-c_2) \).
આપણો અંતિમ જવાબ છે \( I = \sqrt{x^2-1} - \log|x+\sqrt{x^2-1}| + C \), જ્યાં \( C = c_1-c_2 \).
In simple words: આ સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું. પહેલા ભાગ માટે, \( x^2-1 \) ને \( t \) ધારીને આદેશ લઈશું. બીજા ભાગ માટે, \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx \) ના સીધા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું. પછી બંને ભાગના જવાબોને બાદ કરીને અંતિમ જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે અંશમાં \( (x \pm k) \) હોય અને છેદમાં \( \sqrt{ax^2+bx+c} \) જેવું પદ હોય, ત્યારે તેને \( \int \frac{x}{\sqrt{...}}dx \) અને \( \int \frac{1}{\sqrt{...}}dx \) એમ બે ભાગમાં વહેંચવાથી સરળતા રહે છે.

Question 8. \( \frac{x^2}{x^6+a^6} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{x^2}{x^6+a^6}dx \) છે.
આપણે તેને \( I = \int \frac{x^2}{(x^3)^2+(a^3)^2}dx \) તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
હવે, ધારો કે \( x^3 = t \).
તો, \( 3x^2 dx = dt \), જેનો અર્થ થાય છે \( x^2 dx = \frac{dt}{3} \).
તેથી, \( I = \int \frac{1}{t^2+(a^3)^2} \frac{dt}{3} \)
\( I = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{t^2+(a^3)^2} \).
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{x^2+A^2} = \frac{1}{A}\tan^{-1}(\frac{x}{A}) + c \) છે. અહીં \( A=a^3 \).
તેથી, \( I = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{a^3}\tan^{-1}\left(\frac{t}{a^3}\right) + C \).
\( I = \frac{1}{3a^3}\tan^{-1}\left(\frac{t}{a^3}\right) + C \).
હવે, \( t \) ની કિંમત પાછી મૂકતાં, \( t=x^3 \).
આપણો અંતિમ જવાબ છે \( I = \frac{1}{3a^3}\tan^{-1}\left(\frac{x^3}{a^3}\right) + C \).
In simple words: આપણે \( x^3 \) ને \( t \) ધારીશું, જેથી \( x^2 dx \) પદ \( dt \) માં રૂપાંતરિત થાય. આનાથી સંકલન જાણીતા \( \int \frac{1}{t^2+A^2}dt \) સ્વરૂપમાં આવી જશે, જેનો ઉકેલ \( \frac{1}{A}\tan^{-1}(\frac{t}{A}) \) છે. છેલ્લે, \( t \) ની જગ્યાએ \( x^3 \) પાછું મૂકીને અંતિમ જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે સંકલનમાં \( x^6 \) અને \( x^2 \) ના પદો હોય, ત્યારે \( x^3 \) ને \( t \) ધારીને આદેશ લેવાનો વિચાર કરો. આનાથી \( \tan^{-1} \) અથવા \( \log \) ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો શક્ય બને છે.

Question 9. \( \frac{\sec ^2 x}{\sqrt{\tan ^2 x+4}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{\sec ^2 x}{\sqrt{\tan ^2 x+4}}dx \) છે.
હવે, ધારો કે \( \tan x = \theta \).
તો, \( \sec^2 x \, dx = d\theta \).
તેથી, \( I = \int \frac{d\theta}{\sqrt{\theta^2+4}} \).
આપણે તેને \( I = \int \frac{d\theta}{\sqrt{\theta^2+2^2}} \) તરીકે લખી શકીએ.
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \log|x+\sqrt{x^2+a^2}| + c \) છે. અહીં \( a=2 \).
તેથી, \( I = \log|\theta+\sqrt{\theta^2+2^2}| + c \).
\( I = \log|\theta+\sqrt{\theta^2+4}| + c \).
હવે, \( \theta \) ની કિંમત પાછી મૂકતાં, \( \theta=\tan x \).
આપણો અંતિમ જવાબ છે \( I = \log|\tan x+\sqrt{\tan^2 x+4}| + c \).
In simple words: આપણે \( \tan x \) ને \( \theta \) ધારીશું. પછી \( \sec^2 x \, dx \) પદ \( d\theta \) માં બદલાઈ જશે. આનાથી સંકલન જાણીતા \( \int \frac{1}{\sqrt{\theta^2+a^2}}d\theta \) સ્વરૂપમાં આવે છે, જેનો ઉકેલ \( \log|\theta+\sqrt{\theta^2+a^2}| \) છે. છેલ્લે, \( \theta \) ની જગ્યાએ \( \tan x \) પાછું મૂકીને જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે અંશમાં \( \sec^2 x \) હોય અને છેદમાં \( \tan^2 x \) હોય, ત્યારે \( \tan x \) ને \( t \) ધારીને આદેશ લેવાનો પ્રયાસ કરો. આનાથી સંકલન સરળ બની જાય છે.

Question 10. \( \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx \) છે.
છેદમાં રહેલા પદ \( x^2+2x+2 \) ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીશું:
\( x^2+2x+2 = (x^2+2x+1)+1 = (x+1)^2+1^2 \).
તેથી, સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+1^2}}dx \) બને છે.
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \log|x+\sqrt{x^2+a^2}| + c \) છે.
અહીં, \( x \) ની જગ્યાએ \( (x+1) \) છે અને \( a=1 \).
તેથી, \( I = \log|(x+1)+\sqrt{(x+1)^2+1^2}| + c \).
\( I = \log|(x+1)+\sqrt{x^2+2x+1+1}| + c \).
આપણો અંતિમ જવાબ છે \( I = \log|(x+1)+\sqrt{x^2+2x+2}| + c \).
In simple words: પહેલાં, આપણે છેદમાં આપેલા \( x^2+2x+2 \) પદને પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું. આનાથી તે \( (x+1)^2+1^2 \) જેવું બનશે. પછી, આપણે \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx \) ના જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું, જે \( \log|x+\sqrt{x^2+a^2}| \) આપે છે.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં \( ax^2+bx+c \) જેવું ત્રિપદી પદ હોય, ત્યારે તેને પૂર્ણવર્ગ બનાવવાનો પ્રયાસ કરો. આનાથી સંકલન જાણીતા સૂત્રોના સ્વરૂપમાં આવી જાય છે.

Question 11. \( \frac{1}{9 x^2+6x+5} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{1}{9 x^2+6x+5}dx \) છે.
છેદમાંથી 9 ને સામાન્ય કાઢીશું:
\( I = \int \frac{1}{9(x^2+\frac{6}{9}x+\frac{5}{9})}dx = \frac{1}{9} \int \frac{1}{x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{9}}dx \).
હવે, \( x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{9} \) ને પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું. મધ્યમ પદ \( \frac{2}{3}x \) છે, તેથી અંતિમ પદ \( (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \) હોવું જોઈએ.
\( x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{9} = (x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}) - \frac{1}{9} + \frac{5}{9} = (x+\frac{1}{3})^2 + \frac{4}{9} = (x+\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 \).
તેથી, સંકલન \( I = \frac{1}{9} \int \frac{1}{(x+\frac{1}{3})^2+(\frac{2}{3})^2}dx \) બને છે.
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c \) છે.
અહીં, \( x \) ની જગ્યાએ \( (x+\frac{1}{3}) \) છે અને \( a=\frac{2}{3} \).
તેથી, \( I = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}\tan^{-1}\left(\frac{x+\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}\right) + c \).
\( I = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2}\tan^{-1}\left(\frac{\frac{3x+1}{3}}{\frac{2}{3}}\right) + c \).
\( I = \frac{1}{6}\tan^{-1}\left(\frac{3x+1}{2}\right) + c \).
In simple words: પહેલાં, આપણે છેદમાંથી 9 ને સામાન્ય કાઢીશું. પછી બાકીના ત્રિપદી પદને પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું, જેથી તે \( (x+k)^2+a^2 \) જેવું દેખાય. આ પછી, આપણે \( \int \frac{1}{x^2+a^2}dx \) ના જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં \( ax^2+bx+c \) હોય અને અંશમાં 1 હોય, ત્યારે \( a \) ને સામાન્ય કાઢીને છેદને પૂર્ણવર્ગ બનાવો. પછી \( \tan^{-1} \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

Question 12. \( \frac{1}{\sqrt{7-6 x-x^2}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{7-6 x-x^2}}dx \) છે.
છેદમાં રહેલા પદ \( 7-6x-x^2 \) ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીશું. આપણે \( -(x^2+6x-7) \) ને ધ્યાનમાં લઈશું.
\( x^2+6x-7 \). મધ્યમ પદ \( 6x \) છે, તેથી અંતિમ પદ \( (\frac{1}{2} \cdot 6)^2 = 3^2 = 9 \) હોવું જોઈએ.
\( x^2+6x-7 = (x^2+6x+9) - 9 - 7 = (x+3)^2 - 16 = (x+3)^2 - 4^2 \).
તેથી, \( 7-6x-x^2 = -((x+3)^2-4^2) = 4^2-(x+3)^2 \).
સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{4^2-(x+3)^2}}dx \) બને છે.
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c \) છે.
અહીં, \( a=4 \) અને \( x \) ની જગ્યાએ \( (x+3) \) છે.
તેથી, \( I = \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + c \).
In simple words: પહેલાં, આપણે છેદમાં આપેલા પદ \( 7-6x-x^2 \) ને \( a^2-(x+k)^2 \) જેવા રૂપમાં લાવવા માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું. આના માટે ઋણ ચિન્હનું ધ્યાન રાખવું પડશે. પછી, આપણે \( \sin^{-1}(\frac{x}{a}) \) ના જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં \( \sqrt{a-bx-cx^2} \) જેવું પદ હોય, ત્યારે \( -cx^2-bx+a \) માંથી \( -c \) ને સામાન્ય કાઢીને પછી પૂર્ણવર્ગ બનાવવાનો પ્રયાસ કરો.

Question 13. \( \frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}dx \) છે.
છેદમાં રહેલા પદ \( (x-1)(x-2) \) ને ગુણીશું:
\( (x-1)(x-2) = x^2-2x-x+2 = x^2-3x+2 \).
તેથી, \( I = \int \frac{1}{\sqrt{x^2-3x+2}}dx \).
હવે, \( x^2-3x+2 \) ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીશું. મધ્યમ પદ \( -3x \) છે, તેથી અંતિમ પદ \( (\frac{1}{2} \cdot -3)^2 = (-\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} \) હોવું જોઈએ.
\( x^2-3x+2 = (x^2-3x+\frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 2 = (x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{8}{4} = (x-\frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4} = (x-\frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 \).
સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-(\frac{1}{2})^2}}dx \) બને છે.
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \log|x+\sqrt{x^2-a^2}| + c \) છે.
અહીં, \( x \) ની જગ્યાએ \( (x-\frac{3}{2}) \) છે અને \( a=\frac{1}{2} \).
તેથી, \( I = \log\left|(x-\frac{3}{2})+\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-(\frac{1}{2})^2}\right| + c \).
પાછળના પદને ફરીથી મૂળ રૂપમાં ફેરવતાં:
\( I = \log\left|(x-\frac{3}{2})+\sqrt{x^2-3x+2}\right| + c \).
In simple words: પહેલાં, આપણે કૌંસનો ગુણાકાર કરીને \( (x-1)(x-2) \) ને \( x^2-3x+2 \) માં બદલીશું. પછી, આ ત્રિપદી પદને પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું. આનાથી તે \( (x-k)^2-a^2 \) જેવું બનશે. છેલ્લે, આપણે \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx \) ના જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં \( \sqrt{(x-a)(x-b)} \) જેવા ગુણાકારવાળા પદો હોય, ત્યારે પહેલાં તેનો ગુણાકાર કરીને \( x^2+bx+c \) જેવા ત્રિપદી પદમાં રૂપાંતર કરો અને પછી તેને પૂર્ણવર્ગ બનાવો.

Question 14. \( \frac{1}{\sqrt{8+3 x-x^2}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{8+3 x-x^2}}dx \) છે.
છેદમાં રહેલા પદ \( 8+3x-x^2 \) ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીશું. આપણે \( -(x^2-3x-8) \) ને ધ્યાનમાં લઈશું.
\( x^2-3x-8 \). મધ્યમ પદ \( -3x \) છે, તેથી અંતિમ પદ \( (-\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} \) હોવું જોઈએ.
\( x^2-3x-8 = (x^2-3x+\frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 8 = (x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{32}{4} = (x-\frac{3}{2})^2 - \frac{41}{4} \).
તેથી, \( 8+3x-x^2 = -((x-\frac{3}{2})^2-\frac{41}{4}) = \frac{41}{4}-(x-\frac{3}{2})^2 = \left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2 - \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 \).
સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2 - \left(x-\frac{3}{2}\right)^2}}dx \) બને છે.
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c \) છે.
અહીં, \( a=\frac{\sqrt{41}}{2} \) અને \( x \) ની જગ્યાએ \( (x-\frac{3}{2}) \) છે.
તેથી, \( I = \sin^{-1}\left(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{41}}{2}}\right) + c \).
આપણો અંતિમ જવાબ છે \( I = \sin^{-1}\left(\frac{2x-3}{\sqrt{41}}\right) + c \).
In simple words: પહેલાં, આપણે છેદમાં આપેલા પદ \( 8+3x-x^2 \) ને \( a^2-(x-k)^2 \) જેવા રૂપમાં લાવવા માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું. આના માટે \( x^2 \) ના ઋણ ચિન્હનું ખાસ ધ્યાન રાખવું પડશે. પછી, આપણે \( \sin^{-1}(\frac{x}{a}) \) ના જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: \( \sqrt{a+bx-cx^2} \) જેવા પદમાં, \( -c \) ને સામાન્ય કાઢીને અંદરના પદને પૂર્ણવર્ગ બનાવો. હંમેશા \( a^2-x^2 \) કે \( x^2-a^2 \) ના સ્વરૂપમાં ગોઠવવાનો પ્રયાસ કરો.

Question 15. \( \frac{1}{\sqrt{(x-a)(x-b)}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{(x-a)(x-b)}}dx \) છે.
છેદમાં રહેલા પદ \( (x-a)(x-b) \) ને ગુણીશું:
\( (x-a)(x-b) = x^2-bx-ax+ab = x^2-(a+b)x+ab \).
તેથી, \( I = \int \frac{1}{\sqrt{x^2-(a+b)x+ab}}dx \).
હવે, \( x^2-(a+b)x+ab \) ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીશું. મધ્યમ પદ \( -(a+b)x \) છે, તેથી અંતિમ પદ \( \left(\frac{-(a+b)}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2}{4} \) હોવું જોઈએ.
\( x^2-(a+b)x+ab = \left(x^2-(a+b)x+\frac{(a+b)^2}{4}\right) - \frac{(a+b)^2}{4} + ab \)
\( = \left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2 - \frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4} \)
\( = \left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2 - \frac{a^2-2ab+b^2}{4} \)
\( = \left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2 - \frac{(a-b)^2}{4} = \left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 \).
સંકલન \( I = \int \frac{1}{\sqrt{\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}}dx \) બને છે.
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{\sqrt{X^2-A^2}} = \log|X+\sqrt{X^2-A^2}| + c \) છે.
અહીં, \( X = \left(x-\frac{a+b}{2}\right) \) અને \( A = \left(\frac{a-b}{2}\right) \).
તેથી, \( I = \log\left|\left(x-\frac{a+b}{2}\right)+\sqrt{\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}\right| + c \).
પાછળના પદને ફરીથી મૂળ રૂપમાં ફેરવતાં:
\( I = \log\left|\left(x-\frac{a+b}{2}\right)+\sqrt{(x-a)(x-b)}\right| + c \).
In simple words: પહેલાં, આપણે \( (x-a)(x-b) \) નો ગુણાકાર કરીને \( x^2-(a+b)x+ab \) મેળવીશું. પછી, આ પદને પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું, જેથી તે \( X^2-A^2 \) જેવા સ્વરૂપમાં આવે. છેલ્લે, આપણે \( \int \frac{1}{\sqrt{X^2-A^2}}dX \) ના જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં \( \sqrt{(x-a)(x-b)} \) જેવા ગુણાકારના પદો હોય, ત્યારે તેને ગુણીને \( x^2+Bx+C \) જેવા ત્રિપદી પદમાં ફેરવો. પછી તેને પૂર્ણવર્ગ બનાવીને જાણીતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો.

Question 16. \( \frac{4 x+1}{\sqrt{2 x^2+x-3}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{4 x+1}{\sqrt{2 x^2+x-3}}dx \) છે.
અહીં, આપણે ધારીશું કે અંશ \( (4x+1) \) એ છેદમાં રહેલા પદ \( (2x^2+x-3) \) ના વિકલિત અને એક અચળાંકના સરવાળા બરાબર છે.
ધારો કે \( (2x^2+x-3) = t \).
તો, \( (4x+1)dx = dt \).
તેથી, સંકલન \( I = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} \) બને છે.
\( I = \int t^{-1/2} dt \).
\( I = \frac{t^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + C = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t} + C \).
હવે, \( t \) ની કિંમત પાછી મૂકતાં, \( t = 2x^2+x-3 \).
આપણો અંતિમ જવાબ છે \( I = 2\sqrt{2x^2+x-3} + C \).
In simple words: આપણે જોશું કે અંશમાંનું પદ, છેદમાંના વર્ગમૂળની અંદરના પદનું વિકલિત છે. તેથી, આપણે \( 2x^2+x-3 \) ને \( t \) ધારીશું. આનાથી સંકલન \( \int \frac{1}{\sqrt{t}}dt \) જેવું સરળ સ્વરૂપ લેશે, જેનો ઉકેલ \( 2\sqrt{t} \) છે. અંતે, \( t \) ની કિંમત પાછી મૂકીને જવાબ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે સંકલન \( \int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}dx \) ના સ્વરૂપમાં હોય, ત્યારે તેનો સીધો જવાબ \( 2\sqrt{f(x)}+C \) થાય છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી ઘણી ઝડપી કરી શકાય છે.

Question 17. \( \frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}dx \) છે.
આપણે આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજીત કરી શકીએ:
\( I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx + \int \frac{2}{\sqrt{x^2-1}}dx \).
આપણે આને \( I = I_1 + I_2 \) કહીશું.
પ્રથમ ભાગ \( I_1 = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx \).
ધારો કે \( x^2-1 = t \).
તો, \( 2x dx = dt \), જેનો અર્થ થાય છે \( x dx = \frac{dt}{2} \).
તેથી, \( I_1 = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt \).
\( I_1 = \frac{1}{2} \frac{t^{1/2}}{1/2} + c_1 = \sqrt{t} + c_1 = \sqrt{x^2-1} + c_1 \).
બીજો ભાગ \( I_2 = \int \frac{2}{\sqrt{x^2-1}}dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1^2}}dx \).
આ જાણીતું સંકલન સૂત્ર છે: \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \log|x+\sqrt{x^2-a^2}| + c \).
અહીં, \( a=1 \).
તેથી, \( I_2 = 2 \log|x+\sqrt{x^2-1}| + c_2 \).
\( I_1 \) અને \( I_2 \) ની કિંમતો ઉમેરતાં:
\( I = (\sqrt{x^2-1} + c_1) + (2 \log|x+\sqrt{x^2-1}| + c_2) \).
આપણો અંતિમ જવાબ છે \( I = \sqrt{x^2-1} + 2 \log|x+\sqrt{x^2-1}| + C \), જ્યાં \( C = c_1+c_2 \).
In simple words: આપણે આ સંકલનને બે અલગ અલગ ભાગમાં વહેંચીશું. પહેલા ભાગ માટે \( x^2-1 \) ને \( t \) ધારીને આદેશ લઈશું, અને બીજા ભાગ માટે \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx \) ના સીધા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું. પછી બંને ભાગના જવાબોને ઉમેરીને અંતિમ ઉકેલ મેળવીશું.

Exam Tip: જ્યારે અંશમાં \( (Ax+B) \) હોય અને છેદમાં \( \sqrt{ax^2+bx+c} \) હોય, ત્યારે તેને \( A_1 \cdot \frac{d}{dx}(ax^2+bx+c) + B_1 \) ના રૂપમાં લખીને બે અલગ સંકલન તરીકે ઉકેલો.

Question 18. \( \frac{5 x-2}{1+2x+3 x^2} \)
Answer: આપેલું સંકલન \( I = \int \frac{5 x-2}{1+2x+3 x^2}dx \) છે.
અહીં, આપણે અંશ \( (5x-2) \) ને છેદના વિકલિત અને અચળાંકના સ્વરૂપમાં લખીશું:
ધારો કે \( 5x-2 = A \frac{d}{dx}(1+2x+3x^2) + B \).
\( 5x-2 = A(2+6x) + B \).
\( 5x-2 = 6Ax + 2A + B \).
બંને બાજુ \( x \) ના સહગુણકો સરખાવતાં:
\( 6A = 5 \implies A = \frac{5}{6} \).
બંને બાજુ અચળ પદો સરખાવતાં:
\( 2A+B = -2 \).
\( 2\left(\frac{5}{6}\right) + B = -2 \).
\( \frac{5}{3} + B = -2 \).
\( B = -2 - \frac{5}{3} = \frac{-6-5}{3} = -\frac{11}{3} \).
તેથી, \( 5x-2 = \frac{5}{6}(2+6x) - \frac{11}{3} \).
આ સંકલનને ફરીથી લખીએ:
\( I = \int \frac{\frac{5}{6}(2+6x) - \frac{11}{3}}{1+2x+3x^2}dx \)
\( I = \frac{5}{6} \int \frac{2+6x}{1+2x+3x^2}dx - \frac{11}{3} \int \frac{1}{1+2x+3x^2}dx \).
આપણે આને \( I = \frac{5}{6}I_1 - \frac{11}{3}I_2 \) કહીશું.
પ્રથમ ભાગ \( I_1 = \int \frac{2+6x}{1+2x+3x^2}dx \).
ધારો કે \( 1+2x+3x^2 = t \).
તો, \( (2+6x)dx = dt \).
તેથી, \( I_1 = \int \frac{dt}{t} = \log|t| + c_1 = \log|1+2x+3x^2| + c_1 \).
બીજો ભાગ \( I_2 = \int \frac{1}{1+2x+3x^2}dx \).
છેદમાંથી 3 ને સામાન્ય કાઢીને પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું:
\( 1+2x+3x^2 = 3(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}) \).
\( x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3} = (x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}) - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = (x+\frac{1}{3})^2 + \frac{-1+3}{9} = (x+\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} = (x+\frac{1}{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 \).
તેથી, \( I_2 = \int \frac{1}{3\left((x+\frac{1}{3})^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2\right)}dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{(x+\frac{1}{3})^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2}dx \).
આ સંકલન માટેનું સૂત્ર \( \int \frac{dx}{X^2+A^2} = \frac{1}{A}\tan^{-1}(\frac{X}{A}) + c \) છે.
\( I_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{3}}\tan^{-1}\left(\frac{x+\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}\right) + c_2 \)
\( I_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\left(\frac{3x+1}{\sqrt{2}}\right) + c_2 \).
છેલ્લે, \( I = \frac{5}{6}I_1 - \frac{11}{3}I_2 \) માં કિંમતો મૂકતાં:
\( I = \frac{5}{6}\log|1+2x+3x^2| - \frac{11}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\left(\frac{3x+1}{\sqrt{2}}\right) + C \), જ્યાં \( C = \frac{5}{6}c_1 - \frac{11}{3}c_2 \).
In simple words: આપણે અંશને છેદના વિકલિત અને અચળાંકના સરવાળા તરીકે લખીશું. આનાથી સંકલન બે ભાગમાં વિભાજીત થશે. પહેલા ભાગમાં \( f'(x)/f(x) \) સ્વરૂપ હશે, જેનો જવાબ \( \log|f(x)| \) છે. બીજા ભાગમાં છેદને પૂર્ણવર્ગ બનાવીને \( \tan^{-1} \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.

Exam Tip: \( \int \frac{Px+Q}{ax^2+bx+c}dx \) જેવા સંકલનોમાં, હંમેશા \( Px+Q = A \frac{d}{dx}(ax^2+bx+c) + B \) ના સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરો. આ પદ્ધતિ ખૂબ જ કાર્યક્ષમ છે.

Question 18. Determine the integral of \( \frac{5 x-2}{1+2x+3 x^2} \).
Answer: Let the given integral be \( I = \int \frac{5 x-2}{1+2x+3 x^2} dx \).
First, we express the numerator \( 5x-2 \) in terms of the derivative of the denominator \( 1+2x+3x^2 \).
The derivative of \( 1+2x+3x^2 \) is \( 2+6x \).
So, we write \( 5x-2 = A(2+6x) + B \).
Comparing the coefficients of \( x \):
\( 5 = 6A \implies A = \frac{5}{6} \).
Comparing the constant terms:
\( -2 = 2A + B \)
\( -2 = 2\left(\frac{5}{6}\right) + B \)
\( -2 = \frac{5}{3} + B \)
\( B = -2 - \frac{5}{3} = -\frac{6-5}{3} = -\frac{11}{3} \).
Now, substitute these values of A and B back into the integral:
\( I = \int \frac{\frac{5}{6}(2+6x) - \frac{11}{3}}{1+2x+3x^2} dx \)
\( I = \frac{5}{6} \int \frac{2+6x}{1+2x+3x^2} dx - \frac{11}{3} \int \frac{1}{1+2x+3x^2} dx \)
Let \( I_1 = \int \frac{2+6x}{1+2x+3x^2} dx \) and \( I_2 = \int \frac{1}{1+2x+3x^2} dx \).
For \( I_1 \):
Let \( t = 1+2x+3x^2 \). Then \( dt = (2+6x) dx \).
\( I_1 = \int \frac{dt}{t} = \log|t| + C_1 \)
\( I_1 = \log|1+2x+3x^2| + C_1 \).
For \( I_2 \):
We complete the square in the denominator \( 1+2x+3x^2 \).
\( 1+2x+3x^2 = 3\left(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\right) \)
\( = 3\left(x^2 + \frac{2}{3}x + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3}\right) \)
\( = 3\left(\left(x+\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9} + \frac{3}{9}\right) \)
\( = 3\left(\left(x+\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{9}\right) \)
\( = 3\left(\left(x+\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2\right) \).
So, \( I_2 = \int \frac{1}{3\left(\left(x+\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2\right)} dx \)
\( I_2 = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\left(x+\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2} dx \).
Using the standard integral formula \( \int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \):
Here, \( x \) is \( x+\frac{1}{3} \) and \( a \) is \( \frac{\sqrt{2}}{3} \).
\( I_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{3}} \tan^{-1}\left(\frac{x+\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}\right) + C_2 \)
\( I_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{3x+1}{\sqrt{2}}\right) + C_2 \).
Finally, combining \( I_1 \) and \( I_2 \) to get the main integral \( I \):
\( I = \frac{5}{6} \log|1+2x+3x^2| - \frac{11}{3} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{3x+1}{\sqrt{2}}\right)\right) + C \)
\( I = \frac{5}{6} \log|1+2x+3x^2| - \frac{11}{3\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{3x+1}{\sqrt{2}}\right) + C \).
Here, \( C = C_1 - \frac{11}{3}C_2 \) is the new integration constant.
In simple words: To solve this integral, we first wrote the top part as a sum involving the derivative of the bottom part. Then we split it into two simpler integrals. For the second integral, we completed the square in the denominator to use a known formula for inverse tangent. Finally, we put both parts together for the complete answer.

Exam Tip: For integrals of the form \( \int \frac{Px+Q}{Ax^2+Bx+C} dx \) or \( \int \frac{Px+Q}{\sqrt{Ax^2+Bx+C}} dx \), always express the numerator \( Px+Q \) as \( A'(2Ax+B) + B' \) to simplify the integration into two parts, one involving substitution and the other completing the square.

Question 19. Determine the integral of \( \frac{6 x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}} \).
Answer: Let the given integral be \( I = \int \frac{6 x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}} dx \).
First, expand the term inside the square root: \( (x-5)(x-4) = x^2 - 4x - 5x + 20 = x^2 - 9x + 20 \).
So, \( I = \int \frac{6 x+7}{\sqrt{x^2 - 9x + 20}} dx \).
Next, we express the numerator \( 6x+7 \) in terms of the derivative of \( x^2 - 9x + 20 \).
The derivative of \( x^2 - 9x + 20 \) is \( 2x - 9 \).
So, we write \( 6x+7 = A(2x-9) + B \).
Comparing coefficients of \( x \):
\( 6 = 2A \implies A = 3 \).
Comparing constant terms:
\( 7 = -9A + B \)
\( 7 = -9(3) + B \)
\( 7 = -27 + B \)
\( B = 7 + 27 = 34 \).
Now, substitute these values of A and B back into the integral:
\( I = \int \frac{3(2x-9) + 34}{\sqrt{x^2 - 9x + 20}} dx \)
\( I = 3 \int \frac{2x-9}{\sqrt{x^2 - 9x + 20}} dx + 34 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9x + 20}} dx \).
Let \( I_1 = \int \frac{2x-9}{\sqrt{x^2 - 9x + 20}} dx \) and \( I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9x + 20}} dx \).
For \( I_1 \):
Let \( t = x^2 - 9x + 20 \). Then \( dt = (2x-9) dx \).
\( I_1 = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-1/2} dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C_1 = 2\sqrt{t} + C_1 \).
\( I_1 = 2\sqrt{x^2 - 9x + 20} + C_1 \).
For \( I_2 \):
We complete the square for the quadratic term \( x^2 - 9x + 20 \).
\( x^2 - 9x + 20 = x^2 - 9x + \left(\frac{9}{2}\right)^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2 + 20 \)
\( = \left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \frac{81}{4} + \frac{80}{4} \)
\( = \left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \)
\( = \left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \).
So, \( I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{\left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}} dx \).
Using the standard integral formula \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \log|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C \):
Here, \( x \) is \( x-\frac{9}{2} \) and \( a \) is \( \frac{1}{2} \).
\( I_2 = \log\left|x - \frac{9}{2} + \sqrt{\left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}\right| + C_2 \)
\( I_2 = \log\left|x - \frac{9}{2} + \sqrt{x^2 - 9x + 20}\right| + C_2 \).
Finally, combining \( I_1 \) and \( I_2 \) to get the main integral \( I \):
\( I = 3(2\sqrt{x^2 - 9x + 20}) + 34 \log\left|x - \frac{9}{2} + \sqrt{x^2 - 9x + 20}\right| + C \)
\( I = 6\sqrt{x^2 - 9x + 20} + 34 \log\left|x - \frac{9}{2} + \sqrt{x^2 - 9x + 20}\right| + C \).
Here, \( C = 3C_1 + 34C_2 \) is the new integration constant.
In simple words: We first simplified the expression inside the square root. Then, we rewrote the top part using the derivative of the inside function, which allowed us to split the integral into two parts. One part was solved by a simple substitution, and the other required completing the square in the denominator to use a standard integral formula involving logarithms.

Exam Tip: Remember to factorize the quadratic expression inside the square root correctly to identify \( (x-a)(x-b) \) or other forms. Then apply the method of expressing the numerator as \( A \cdot (derivative \ of \ denominator) + B \).

Question 20. Determine the integral of \( \frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^2}} \).
Answer: Let the given integral be \( I = \int \frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^2}} dx \).
First, we express the numerator \( x+2 \) in terms of the derivative of \( 4x-x^2 \).
The derivative of \( 4x-x^2 \) is \( 4-2x \).
So, we write \( x+2 = A(4-2x) + B \).
Comparing coefficients of \( x \):
\( 1 = -2A \implies A = -\frac{1}{2} \).
Comparing constant terms:
\( 2 = 4A + B \)
\( 2 = 4\left(-\frac{1}{2}\right) + B \)
\( 2 = -2 + B \)
\( B = 2 + 2 = 4 \).
Now, substitute these values of A and B back into the integral:
\( I = \int \frac{-\frac{1}{2}(4-2x) + 4}{\sqrt{4x-x^2}} dx \)
\( I = -\frac{1}{2} \int \frac{4-2x}{\sqrt{4x-x^2}} dx + 4 \int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} dx \).
Let \( I_1 = \int \frac{4-2x}{\sqrt{4x-x^2}} dx \) and \( I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} dx \).
For \( I_1 \):
Let \( t = 4x-x^2 \). Then \( dt = (4-2x) dx \).
\( I_1 = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-1/2} dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C_1 = 2\sqrt{t} + C_1 \).
\( I_1 = 2\sqrt{4x-x^2} + C_1 \).
For \( I_2 \):
We complete the square for the quadratic term \( 4x-x^2 \).
\( 4x-x^2 = -(x^2-4x) \)
\( = -(x^2-4x+4-4) \)
\( = -((x-2)^2 - 4) \)
\( = 4 - (x-2)^2 \)
\( = 2^2 - (x-2)^2 \).
So, \( I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{2^2 - (x-2)^2}} dx \).
Using the standard integral formula \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \):
Here, \( x \) is \( x-2 \) and \( a \) is \( 2 \).
\( I_2 = \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + C_2 \).
Finally, combining \( I_1 \) and \( I_2 \) to get the main integral \( I \):
\( I = -\frac{1}{2}(2\sqrt{4x-x^2}) + 4 \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + C \)
\( I = -\sqrt{4x-x^2} + 4 \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + C \).
Here, \( C = -\frac{1}{2}C_1 + 4C_2 \) is the new integration constant.
In simple words: We began by splitting the top part of the fraction to match the derivative of the expression under the square root. This broke the integral into two simpler parts. The first part used direct substitution, while the second part required rewriting the denominator by completing the square to use a formula for inverse sine.

Exam Tip: Be very careful when completing the square for expressions like \( ax-x^2 \). Remember to factor out \( -1 \) first before completing the square for \( x^2-ax \). This helps prevent sign errors when applying the integral formulas.

Question 21. Determine the integral of \( \frac{x+2}{\sqrt{x^2+2x+3}} \).
Answer: Let the given integral be \( I = \int \frac{x+2}{\sqrt{x^2+2x+3}} dx \).
First, we express the numerator \( x+2 \) in terms of the derivative of \( x^2+2x+3 \).
The derivative of \( x^2+2x+3 \) is \( 2x+2 \).
So, we write \( x+2 = A(2x+2) + B \).
Comparing coefficients of \( x \):
\( 1 = 2A \implies A = \frac{1}{2} \).
Comparing constant terms:
\( 2 = 2A + B \)
\( 2 = 2\left(\frac{1}{2}\right) + B \)
\( 2 = 1 + B \)
\( B = 1 \).
Now, substitute these values of A and B back into the integral:
\( I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+2) + 1}{\sqrt{x^2+2x+3}} dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+3}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+3}} dx \).
Let \( I_1 = \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+3}} dx \) and \( I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+3}} dx \).
For \( I_1 \):
Let \( t = x^2+2x+3 \). Then \( dt = (2x+2) dx \).
\( I_1 = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-1/2} dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C_1 = 2\sqrt{t} + C_1 \).
\( I_1 = 2\sqrt{x^2+2x+3} + C_1 \).
For \( I_2 \):
We complete the square for the quadratic term \( x^2+2x+3 \).
\( x^2+2x+3 = x^2+2x+1+2 = (x+1)^2 + 2 = (x+1)^2 + (\sqrt{2})^2 \).
So, \( I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2 + (\sqrt{2})^2}} dx \).
Using the standard integral formula \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \log|x + \sqrt{x^2+a^2}| + C \):
Here, \( x \) is \( x+1 \) and \( a \) is \( \sqrt{2} \).
\( I_2 = \log|x+1 + \sqrt{(x+1)^2 + (\sqrt{2})^2}| + C_2 \)
\( I_2 = \log|x+1 + \sqrt{x^2+2x+3}| + C_2 \).
Finally, combining \( I_1 \) and \( I_2 \) to get the main integral \( I \):
\( I = \frac{1}{2}(2\sqrt{x^2+2x+3}) + \log|x+1 + \sqrt{x^2+2x+3}| + C \)
\( I = \sqrt{x^2+2x+3} + \log|x+1 + \sqrt{x^2+2x+3}| + C \).
Here, \( C = \frac{1}{2}C_1 + C_2 \) is the new integration constant.
In simple words: We changed the top part of the fraction so it included the derivative of the expression under the square root. This helped us break the integral into two simpler parts. The first part was solved using direct substitution, and the second part required completing the square in the denominator to use a standard integral formula involving logarithms.

Exam Tip: Pay close attention to the signs when completing the square, especially when the \( x^2 \) term is negative. Ensure the constant term is split correctly to form a perfect square trinomial.

Question 22. Determine the integral of \( \frac{x+3}{x^2-2x-5} \).
Answer: Let the given integral be \( I = \int \frac{x+3}{x^2-2x-5} dx \).
First, we express the numerator \( x+3 \) in terms of the derivative of \( x^2-2x-5 \).
The derivative of \( x^2-2x-5 \) is \( 2x-2 \).
So, we write \( x+3 = A(2x-2) + B \).
Comparing coefficients of \( x \):
\( 1 = 2A \implies A = \frac{1}{2} \).
Comparing constant terms:
\( 3 = -2A + B \)
\( 3 = -2\left(\frac{1}{2}\right) + B \)
\( 3 = -1 + B \)
\( B = 3 + 1 = 4 \).
Now, substitute these values of A and B back into the integral:
\( I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-2) + 4}{x^2-2x-5} dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{x^2-2x-5} dx + 4 \int \frac{1}{x^2-2x-5} dx \).
Let \( I_1 = \int \frac{2x-2}{x^2-2x-5} dx \) and \( I_2 = \int \frac{1}{x^2-2x-5} dx \).
For \( I_1 \):
Let \( t = x^2-2x-5 \). Then \( dt = (2x-2) dx \).
\( I_1 = \int \frac{dt}{t} = \log|t| + C_1 \)
\( I_1 = \log|x^2-2x-5| + C_1 \).
For \( I_2 \):
We complete the square for the quadratic term \( x^2-2x-5 \).
\( x^2-2x-5 = x^2-2x+1-1-5 = (x-1)^2 - 6 = (x-1)^2 - (\sqrt{6})^2 \).
So, \( I_2 = \int \frac{1}{(x-1)^2 - (\sqrt{6})^2} dx \).
Using the standard integral formula \( \int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \log\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C \):
Here, \( x \) is \( x-1 \) and \( a \) is \( \sqrt{6} \).
\( I_2 = \frac{1}{2\sqrt{6}} \log\left|\frac{(x-1)-\sqrt{6}}{(x-1)+\sqrt{6}}\right| + C_2 \)
\( I_2 = \frac{1}{2\sqrt{6}} \log\left|\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}\right| + C_2 \).
Finally, combining \( I_1 \) and \( I_2 \) to get the main integral \( I \):
\( I = \frac{1}{2} \log|x^2-2x-5| + 4\left(\frac{1}{2\sqrt{6}} \log\left|\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}\right|\right) + C \)
\( I = \frac{1}{2} \log|x^2-2x-5| + \frac{2}{\sqrt{6}} \log\left|\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}\right| + C \).
Here, \( C = \frac{1}{2}C_1 + 4C_2 \) is the new integration constant.
In simple words: We first adjusted the numerator to be a combination of the denominator's derivative and a constant. This allowed us to split the integral into two parts. The first part was a straightforward logarithm, and the second part required completing the square in the denominator and using a specific logarithmic integral formula.

Exam Tip: For integrals with a linear numerator and a quadratic denominator, always express the numerator in terms of the derivative of the denominator. Remember the formulas for \( \int \frac{1}{x^2-a^2} dx \) and \( \int \frac{1}{a^2-x^2} dx \) and their logarithmic forms.

Question 23. Determine the integral of \( \frac{5 x+3}{\sqrt{x^2+4x+10}} \).
Answer: Let the given integral be \( I = \int \frac{5 x+3}{\sqrt{x^2+4x+10}} dx \).
First, we express the numerator \( 5x+3 \) in terms of the derivative of \( x^2+4x+10 \).
The derivative of \( x^2+4x+10 \) is \( 2x+4 \).
So, we write \( 5x+3 = A(2x+4) + B \).
Comparing coefficients of \( x \):
\( 5 = 2A \implies A = \frac{5}{2} \).
Comparing constant terms:
\( 3 = 4A + B \)
\( 3 = 4\left(\frac{5}{2}\right) + B \)
\( 3 = 10 + B \)
\( B = 3 - 10 = -7 \).
Now, substitute these values of A and B back into the integral:
\( I = \int \frac{\frac{5}{2}(2x+4) - 7}{\sqrt{x^2+4x+10}} dx \)
\( I = \frac{5}{2} \int \frac{2x+4}{\sqrt{x^2+4x+10}} dx - 7 \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+10}} dx \).
Let \( I_1 = \int \frac{2x+4}{\sqrt{x^2+4x+10}} dx \) and \( I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+10}} dx \).
For \( I_1 \):
Let \( t = x^2+4x+10 \). Then \( dt = (2x+4) dx \).
\( I_1 = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-1/2} dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C_1 = 2\sqrt{t} + C_1 \).
\( I_1 = 2\sqrt{x^2+4x+10} + C_1 \).
For \( I_2 \):
We complete the square for the quadratic term \( x^2+4x+10 \).
\( x^2+4x+10 = x^2+4x+4+6 = (x+2)^2 + 6 = (x+2)^2 + (\sqrt{6})^2 \).
So, \( I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2 + (\sqrt{6})^2}} dx \).
Using the standard integral formula \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \log|x + \sqrt{x^2+a^2}| + C \):
Here, \( x \) is \( x+2 \) and \( a \) is \( \sqrt{6} \).
\( I_2 = \log|x+2 + \sqrt{(x+2)^2 + (\sqrt{6})^2}| + C_2 \)
\( I_2 = \log|x+2 + \sqrt{x^2+4x+10}| + C_2 \).
Finally, combining \( I_1 \) and \( I_2 \) to get the main integral \( I \):
\( I = \frac{5}{2}(2\sqrt{x^2+4x+10}) - 7 \log|x+2 + \sqrt{x^2+4x+10}| + C \)
\( I = 5\sqrt{x^2+4x+10} - 7 \log|x+2 + \sqrt{x^2+4x+10}| + C \).
Here, \( C = \frac{5}{2}C_1 - 7C_2 \) is the new integration constant.
In simple words: We rewrote the top part of the fraction to match the derivative of the expression inside the square root. This helped us split the integral into two parts. The first part was solved by a direct substitution, while the second part involved completing the square in the denominator to use a standard integral formula for logarithms.

Exam Tip: Always double-check your arithmetic when determining the constants A and B. A small error in these values can significantly affect the final integral result.

પ્રશ્નો 24 તથા 25 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ lascuìniel uìvu lasey uzie sal :

Question 24. \( \int \frac{dx}{x^2+2x+2} = ............ . \)
(A) \( x \tan^{-1}(x + 1) + c \)
(B) \( \tan^{-1}(x + 1) + c \)
(C) \( (x + 1) \tan^{-1}x + c \)
(D) \( \tan^{-1}x + c \)
Answer: (B) \( \tan^{-1}(x + 1) + c \)
In simple words: To find the integral, we make the denominator into a perfect square by adding and subtracting numbers. Then we use a standard integration formula for expressions that look like \( \frac{1}{x^2 + a^2} \). This gives us the inverse tangent function.

Exam Tip: For integrals with quadratic denominators, always try completing the square to convert the expression into a standard integration form like \( \int \frac{dx}{x^2 + a^2} \) or \( \int \frac{dx}{x^2 - a^2} \).

Question 25. \( \int \frac{d x}{\sqrt{9 x-4 x^2}} = \)
(A) \( \frac{1}{9} \sin^{-1} (\frac{9x - 8}{8}) + c \)
(B) \( \frac{1}{2} \sin^{-1} (\frac{8x - 9}{9}) + c \)
(C) \( \frac{1}{3} \sin^{-1} (\frac{9x - 8}{8}) + c \)
(D) \( \frac{1}{2} \sin^{-1} (\frac{9x - 8}{9}) + c \)
Answer: (B) \( \frac{1}{2} \sin^{-1} (\frac{8x - 9}{9}) + c \)
In simple words: First, rewrite the term under the square root by taking out the coefficient of \( x^2 \) and completing the square. This changes the expression into a standard integration form like \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} \), which integrates to an inverse sine function.

Exam Tip: When integrating expressions with a quadratic under a square root, rearrange the quadratic by completing the square to fit standard formulas like \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} \) or \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \).