GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 7 સંકલન Exercise 7.3

પ્રશ્નો 1 થી 22 માં આપેલાં વિધેયોના સંકલિત મેળવો :

Question 1. \( \sin^2(2x + 5) \)
Answer: આપણે \( \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
\( I = \int \sin^2(2x + 5) dx \)
\( = \int \frac{1 - \cos 2(2x + 5)}{2} dx \)
\( = \int \frac{1 - \cos (4x + 10)}{2} dx \)
\( = \frac{1}{2} \int 1 dx - \frac{1}{2} \int \cos(4x + 10) dx \)
\( = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \left( \frac{\sin(4x + 10)}{4} \right) + C \)
\( = \frac{x}{2} - \frac{\sin(4x + 10)}{8} + C \)
In simple words: અહીં, આપણે ત્રિકોણમિતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( \sin^2 \theta \) ને સરળ સ્વરૂપમાં બદલ્યો. પછી, દરેક પદનું સંકલન કર્યું અને સંકલન અચળાંક \( C \) ઉમેર્યો.

Exam Tip: જ્યારે તમને \( \sin^2 \theta \) અથવા \( \cos^2 \theta \) જેવું પદ મળે, ત્યારે તેને \( \cos 2\theta \) ના સ્વરૂપમાં બદલવા માટે યોગ્ય ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાનું યાદ રાખો.

Question 2. \( \sin 3x \cos 4x \)
Answer: આપણે \( 2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
\( I = \int \sin 3x \cos 4x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int 2 \cos 4x \sin 3x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int [\sin(4x + 3x) - \sin(4x - 3x)] dx \)
\( = \frac{1}{2} \int (\sin 7x - \sin x) dx \)
\( = \frac{1}{2} \left( \int \sin 7x dx - \int \sin x dx \right) \)
\( = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 7x}{7} - (-\cos x) \right) + C \)
\( = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 7x}{7} + \cos x \right) + C \)
\( = -\frac{\cos 7x}{14} + \frac{\cos x}{2} + C \)
In simple words: જ્યારે \( \sin \) અને \( \cos \) જુદા-જુદા ખૂણાઓ સાથે ગુણાકારમાં હોય, ત્યારે તેમને સરવાળા કે બાદબાકીમાં બદલવા માટે ત્રિકોણમિતિના ગુણાકાર-થી-સરવાળા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો. પછી, દરેક પદનું અલગથી સંકલન કરો.

Exam Tip: \( 2 \sin A \cos B \), \( 2 \cos A \sin B \), \( 2 \cos A \cos B \), અને \( 2 \sin A \sin B \) માટેના રૂપાંતરણ સૂત્રો યાદ રાખો. આનાથી ગુણાકારના પદોનું સંકલન કરવાનું ખૂબ સરળ બને છે.

Question 3. \( \cos 2x \cos 4x \cos 6x \)
Answer: આપણે \( 2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
\( I = \int \cos 2x \cos 4x \cos 6x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int (2 \cos 4x \cos 2x) \cos 6x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int [\cos(4x + 2x) + \cos(4x - 2x)] \cos 6x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int (\cos 6x + \cos 2x) \cos 6x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int (\cos^2 6x + \cos 2x \cos 6x) dx \)
\( = \frac{1}{2} \int \cos^2 6x dx + \frac{1}{2} \int \cos 2x \cos 6x dx \)
હવે, \( \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \) અને \( 2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) \) નો ઉપયોગ કરતા:
\( = \frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos 12x}{2} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} (2 \cos 6x \cos 2x) dx \)
\( = \frac{1}{4} \int (1 + \cos 12x) dx + \frac{1}{4} \int [\cos(6x + 2x) + \cos(6x - 2x)] dx \)
\( = \frac{1}{4} \int (1 + \cos 12x) dx + \frac{1}{4} \int (\cos 8x + \cos 4x) dx \)
\( = \frac{1}{4} \left( x + \frac{\sin 12x}{12} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{\sin 8x}{8} + \frac{\sin 4x}{4} \right) + C \)
\( = \frac{x}{4} + \frac{\sin 12x}{48} + \frac{\sin 8x}{32} + \frac{\sin 4x}{16} + C \)
In simple words: ત્રણ કોસાઈન ફંક્શનના ગુણાકારને સંકલિત કરવા માટે, આપણે તેમને બે-બેના જૂથમાં ગોઠવીએ છીએ અને ગુણાકાર-થી-સરવાળા સૂત્રો લાગુ પાડીએ છીએ. પછી, \( \cos^2 \theta \) પદોને \( \cos 2\theta \) સ્વરૂપમાં બદલીએ છીએ. છેલ્લે, દરેક પદનું સંકલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે તમને ત્રણ ત્રિકોણમિતિ પદોનો ગુણાકાર મળે, ત્યારે હંમેશા પહેલા બે પદોને એકસાથે જૂથબદ્ધ કરીને ગુણાકાર-થી-સરવાળા સૂત્ર લાગુ પાડો. પછી, પરિણામી પદોને ત્રીજા પદ સાથે સંકલિત કરો અથવા ફરીથી સૂત્ર લાગુ પાડો.

Question 4. \( \sin^3(2x + 1) \)
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta \). તેથી, \( 4 \sin^3 \theta = 3 \sin \theta - \sin 3\theta \), એટલે કે \( \sin^3 \theta = \frac{3 \sin \theta - \sin 3\theta}{4} \).
અહીં \( \theta = 2x + 1 \).
\( I = \int \sin^3(2x + 1) dx \)
\( = \int \frac{3 \sin(2x + 1) - \sin 3(2x + 1)}{4} dx \)
\( = \frac{1}{4} \int [3 \sin(2x + 1) - \sin(6x + 3)] dx \)
\( = \frac{3}{4} \int \sin(2x + 1) dx - \frac{1}{4} \int \sin(6x + 3) dx \)
\( = \frac{3}{4} \left( -\frac{\cos(2x + 1)}{2} \right) - \frac{1}{4} \left( -\frac{\cos(6x + 3)}{6} \right) + C \)
\( = -\frac{3}{8} \cos(2x + 1) + \frac{1}{24} \cos(6x + 3) + C \)
In simple words: \( \sin^3 \theta \) ને સંકલિત કરવા માટે, આપણે તેને \( \sin \theta \) અને \( \sin 3\theta \) ના સ્વરૂપમાં બદલવા માટે ત્રિકોણમિતિના ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પછી, આપણે દરેક પદનું સરળતાથી સંકલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: \( \sin^3 \theta \) અને \( \cos^3 \theta \) જેવા ઉચ્ચ ઘાતાંકવાળા ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને સંકલિત કરવા માટે \( \sin 3\theta \) અને \( \cos 3\theta \) ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો એ એક મહત્વપૂર્ણ યુક્તિ છે. આનાથી સંકલન પ્રક્રિયા સરળ બને છે.

Question 5. \( \sin^3 x \cos^3 x \)
Answer: \( I = \int \sin^3 x \cos^3 x dx \)
\( = \int \sin^3 x \cos^2 x \cos x dx \)
\( = \int \sin^3 x (1 - \sin^2 x) \cos x dx \)
ધારો કે \( \sin x = t \).
પછી, \( \cos x dx = dt \).
\( I = \int t^3 (1 - t^2) dt \)
\( = \int (t^3 - t^5) dt \)
\( = \frac{t^4}{4} - \frac{t^6}{6} + C \)
\( = \frac{\sin^4 x}{4} - \frac{\sin^6 x}{6} + C \)
In simple words: જ્યારે \( \sin x \) અને \( \cos x \) બંનેની ઘાત વિચિત્ર હોય, ત્યારે આપણે એક પદને અલગ કરીએ છીએ (જેમ કે \( \cos x \)) અને બાકીના પદને બીજા પદના સ્વરૂપમાં (જેમ કે \( \sin x \) માં) બદલીએ છીએ. પછી, અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી સંકલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: જો \( \sin^m x \cos^n x \) ના સંકલનમાં \( m \) અથવા \( n \) (અથવા બંને) વિચિત્ર પૂર્ણાંક હોય, તો હંમેશા પાવરને એક ઘટક ઓછો કરીને સમ પાવરને બીજા કાર્યાત્મક પદમાં (દા.ત., \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \)) રૂપાંતરિત કરો. પછી, અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

Question 6. \( \sin x \sin 2x \sin 3x \)
Answer: આપણે \( 2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
\( I = \int \sin x \sin 2x \sin 3x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int (2 \sin x \sin 2x) \sin 3x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int [\cos(x - 2x) - \cos(x + 2x)] \sin 3x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int [\cos(-x) - \cos 3x] \sin 3x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int (\cos x - \cos 3x) \sin 3x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int (\cos x \sin 3x - \cos 3x \sin 3x) dx \)
\( = \frac{1}{2} \int \cos x \sin 3x dx - \frac{1}{2} \int \sin 3x \cos 3x dx \)
હવે, \( 2 \cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B) \) અને \( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \) નો ઉપયોગ કરતા.
\( = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} (2 \cos x \sin 3x) dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} (2 \sin 3x \cos 3x) dx \)
\( = \frac{1}{4} \int [\sin(x+3x) - \sin(x-3x)] dx - \frac{1}{4} \int \sin(2 \cdot 3x) dx \)
\( = \frac{1}{4} \int (\sin 4x - \sin(-2x)) dx - \frac{1}{4} \int \sin 6x dx \)
\( = \frac{1}{4} \int (\sin 4x + \sin 2x) dx - \frac{1}{4} \int \sin 6x dx \)
\( = \frac{1}{4} \left( -\frac{\cos 4x}{4} - \frac{\cos 2x}{2} \right) - \frac{1}{4} \left( -\frac{\cos 6x}{6} \right) + C \)
\( = -\frac{\cos 4x}{16} - \frac{\cos 2x}{8} + \frac{\cos 6x}{24} + C \)
In simple words: ત્રણ સાઈન ફંક્શનના ગુણાકારને સંકલિત કરવા માટે, આપણે તેમને બે-બેના જૂથમાં ગોઠવીને ગુણાકાર-થી-સરવાળા સૂત્રો લાગુ પાડીએ છીએ. પછી, સાઈન અને કોસાઈનના સંયોજનનું સંકલન કરીએ છીએ, અને \( \sin 2\theta \) સૂત્રનો પણ ઉપયોગ કરીએ છીએ.

Exam Tip: લાંબા ત્રિકોણમિતિ ગુણાકારોનું સંકલન કરતી વખતે, એક સમયે બે પદોને સરળ બનાવવા માટે ગુણાકાર-થી-સરવાળા સૂત્રોનો ક્રમશઃ ઉપયોગ કરો. ભૂલ ટાળવા માટે દરેક પગલાનું ધ્યાન રાખો.

Question 7. \( \sin 4x \sin 8x \)
Answer: આપણે \( 2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
\( I = \int \sin 4x \sin 8x dx \)
\( = \frac{1}{2} \int (2 \sin 8x \sin 4x) dx \)
\( = \frac{1}{2} \int [\cos(8x - 4x) - \cos(8x + 4x)] dx \)
\( = \frac{1}{2} \int (\cos 4x - \cos 12x) dx \)
\( = \frac{1}{2} \left( \int \cos 4x dx - \int \cos 12x dx \right) \)
\( = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin 4x}{4} - \frac{\sin 12x}{12} \right) + C \)
\( = \frac{\sin 4x}{8} - \frac{\sin 12x}{24} + C \)
In simple words: \( \sin A \sin B \) જેવા ગુણાકારવાળા પદનું સંકલન કરવા માટે, આપણે તેને \( \cos \) પદોના બાદબાકીમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, જેનું સંકલન કરવું ખૂબ સરળ હોય છે.

Exam Tip: જ્યારે બે સાઈન ફંક્શન્સ ગુણાકારમાં હોય, ત્યારે તેમને \( \cos \) ફંક્શન્સના તફાવતમાં બદલવા માટે રૂપાંતરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. પછી, દરેક કોસાઈન પદનું સીધું સંકલન કરો.

Question 8. \( \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \)
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે \( 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \) અને \( 1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \).
\( I = \int \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} dx \)
\( = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx \)
\( = \int \tan^2 \frac{x}{2} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \).
\( = \int \left( \sec^2 \frac{x}{2} - 1 \right) dx \)
\( = \frac{\tan \frac{x}{2}}{\frac{1}{2}} - x + C \)
\( = 2 \tan \frac{x}{2} - x + C \)
In simple words: આ પ્રકારના અપૂર્ણાંકને સંકલિત કરવા માટે, આપણે અંશ અને છેદ બંનેને અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવીએ છીએ. આનાથી તે \( \tan^2 \) માં બદલાય છે, જેને પછી \( \sec^2 \theta - 1 \) માં રૂપાંતરિત કરીને સંકલિત કરી શકાય છે.

Exam Tip: જો તમને \( \frac{1 \pm \cos x}{1 \pm \cos x} \) અથવા \( \frac{1 \pm \sin x}{1 \pm \sin x} \) સ્વરૂપના અભિવ્યક્તિઓ મળે, તો અડધા ખૂણાના સૂત્રો અથવા અનુબદ્ધ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરવાનું વિચારો. આનાથી અભિવ્યક્તિ સરળ બનશે અને સંકલન વધુ સીધું બનશે.

Question 9. \( \frac{\cos x}{1+\cos x} \)
Answer: \( I = \int \frac{\cos x}{1 + \cos x} dx \)
આપણે અંશમાં \( 1 \) ઉમેરીએ અને બાદ કરીએ.
\( = \int \frac{1 + \cos x - 1}{1 + \cos x} dx \)
\( = \int \left( \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} - \frac{1}{1 + \cos x} \right) dx \)
\( = \int \left( 1 - \frac{1}{1 + \cos x} \right) dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( 1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \).
\( = \int \left( 1 - \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx \)
\( = \int \left( 1 - \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} \right) dx \)
\( = x - \frac{1}{2} \left( \frac{\tan \frac{x}{2}}{\frac{1}{2}} \right) + C \)
\( = x - \tan \frac{x}{2} + C \)
In simple words: આ અપૂર્ણાંકને સંકલિત કરવા માટે, આપણે અંશને છેદ જેવો બનાવવા માટે તેમાં ગોઠવણ કરીએ છીએ. પછી તેને અલગ-અલગ પદોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ. છેવટે, અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને તેને સરળતાથી સંકલિત કરી શકાય છે.

Exam Tip: જ્યારે અંશમાં \( \cos x \) અને છેદમાં \( 1 + \cos x \) હોય, ત્યારે અંશમાં \( +1 \) અને \( -1 \) ઉમેરીને પદને સરળ બનાવો. આનાથી તેને બે સરળ સંકલનોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

Question 10. \( \int \sin^4 x dx \)
Answer: \( I = \int \sin^4 x dx \)
\( = \int (\sin^2 x)^2 dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \).
\( = \int \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^2 dx \)
\( = \int \frac{1 - 2 \cos 2x + \cos^2 2x}{4} dx \)
\( = \frac{1}{4} \int (1 - 2 \cos 2x + \cos^2 2x) dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \). અહીં \( \theta = 2x \), તેથી \( \cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} \).
\( = \frac{1}{4} \int \left( 1 - 2 \cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2} \right) dx \)
\( = \frac{1}{4} \int \left( \frac{2 - 4 \cos 2x + 1 + \cos 4x}{2} \right) dx \)
\( = \frac{1}{8} \int (3 - 4 \cos 2x + \cos 4x) dx \)
\( = \frac{1}{8} \left( 3x - 4 \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 4x}{4} \right) + C \)
\( = \frac{3x}{8} - \frac{4 \sin 2x}{16} + \frac{\sin 4x}{32} + C \)
\( = \frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C \)
In simple words: \( \sin^4 x \) ને સંકલિત કરવા માટે, આપણે તેને \( (\sin^2 x)^2 \) તરીકે ફરીથી લખીએ છીએ. પછી, \( \sin^2 x \) ને \( \cos 2x \) માં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. આને વિસ્તૃત કર્યા પછી, \( \cos^2 2x \) ને પણ \( \cos 4x \) માં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, અને છેલ્લે દરેક પદનું સંકલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: \( \sin^n x \) અથવા \( \cos^n x \) ના ઉચ્ચ ઘાતાંકને સંકલિત કરતી વખતે, તેમને નીચી ઘાત અથવા બહુવિધ ખૂણાના કાર્યોમાં ઘટાડવા માટે અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો સતત ઉપયોગ કરો.

Question 11. \( \int \cos^4 2x dx \)
Answer: \( I = \int \cos^4 2x dx \)
\( = \int (\cos^2 2x)^2 dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \). અહીં \( \theta = 2x \), તેથી \( \cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} \).
\( = \int \left( \frac{1 + \cos 4x}{2} \right)^2 dx \)
\( = \int \frac{1 + 2 \cos 4x + \cos^2 4x}{4} dx \)
\( = \frac{1}{4} \int (1 + 2 \cos 4x + \cos^2 4x) dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos^2 \phi = \frac{1 + \cos 2\phi}{2} \). અહીં \( \phi = 4x \), તેથી \( \cos^2 4x = \frac{1 + \cos 8x}{2} \).
\( = \frac{1}{4} \int \left( 1 + 2 \cos 4x + \frac{1 + \cos 8x}{2} \right) dx \)
\( = \frac{1}{4} \int \left( \frac{2 + 4 \cos 4x + 1 + \cos 8x}{2} \right) dx \)
\( = \frac{1}{8} \int (3 + 4 \cos 4x + \cos 8x) dx \)
\( = \frac{1}{8} \left( 3x + 4 \frac{\sin 4x}{4} + \frac{\sin 8x}{8} \right) + C \)
\( = \frac{3x}{8} + \frac{\sin 4x}{8} + \frac{\sin 8x}{64} + C \)
In simple words: \( \cos^4 2x \) ને સંકલિત કરવા માટે, આપણે તેને \( (\cos^2 2x)^2 \) તરીકે લખીએ છીએ. પછી, \( \cos^2 2x \) ને \( \cos 4x \) માં બદલવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. વિસ્તૃત કર્યા પછી, \( \cos^2 4x \) ને \( \cos 8x \) માં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, અને છેલ્લે દરેક પદનું સંકલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: \( \cos^n (ax) \) જેવા સંકલનો માટે, ઘાતને ઘટાડવા માટે વારંવાર અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો એ પ્રમાણભૂત પદ્ધતિ છે, જ્યાં સુધી તમે સરળતાથી સંકલન કરી શકાય તેવા પદો પર ન પહોંચો.

Question 12. \( \frac{\sin^2 x}{1+\cos x} \)
Answer: \( I = \int \frac{\sin^2 x}{1 + \cos x} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).
\( = \int \frac{1 - \cos^2 x}{1 + \cos x} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x) \).
\( = \int \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 + \cos x} dx \)
\( = \int (1 - \cos x) dx \)
\( = x - \sin x + C \)
In simple words: અપૂર્ણાંકમાં \( \sin^2 x \) હોય, ત્યારે તેને \( 1 - \cos^2 x \) માં બદલો. પછી, તેને અવયવ પાડીને છેદમાંના \( (1+\cos x) \) પદને રદ કરો. આનાથી એક સરળ સંકલન મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને અંશમાં \( \sin^2 x \) અને છેદમાં \( 1+\cos x \) મળે, ત્યારે \( \sin^2 x = 1-\cos^2 x \) સમરૂપતાનો ઉપયોગ કરો અને \( a^2 - b^2 \) અવયવીકરણ લાગુ પાડો જેથી છેદ રદ કરી શકાય.

Question 13. \( \frac{\cos 2x - \cos 2\alpha}{\cos x - \cos \alpha} \)
Answer: \( I = \int \frac{\cos 2x - \cos 2\alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1 \).
\( = \int \frac{(2 \cos^2 x - 1) - (2 \cos^2 \alpha - 1)}{\cos x - \cos \alpha} dx \)
\( = \int \frac{2 \cos^2 x - 2 \cos^2 \alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx \)
\( = \int \frac{2 (\cos^2 x - \cos^2 \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
\( = \int \frac{2 (\cos x - \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} dx \)
\( = \int 2 (\cos x + \cos \alpha) dx \)
\( = 2 \int \cos x dx + 2 \int \cos \alpha dx \)
\( = 2 \sin x + 2 (\cos \alpha) x + C \)
\( = 2 (\sin x + x \cos \alpha) + C \)
In simple words: આ અપૂર્ણાંકને સંકલિત કરવા માટે, આપણે \( \cos 2\theta \) ને \( \cos^2 \theta \) ના સ્વરૂપમાં બદલીએ છીએ. પછી, અંશમાં \( a^2 - b^2 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડીએ છીએ, જેથી છેદમાંનું પદ રદ થઈ જાય. આનાથી એક સરળ પદ મળે છે જેનું સંકલન સીધું હોય છે.

Exam Tip: જો તમને \( \cos 2x - \cos 2\alpha \) જેવા પદો મળે, તો તેમને \( \cos^2 x - \cos^2 \alpha \) માં રૂપાંતરિત કરીને અવયવીકરણ માટે \( a^2 - b^2 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. આનાથી જટિલ દેખાતા અપૂર્ણાંક સરળ બનશે.

Question 14. \( \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin 2x} \)
Answer: \( I = \int \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin 2x} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \) અને \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
તેથી, \( 1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 \).
\( = \int \frac{\cos x - \sin x}{(\sin x + \cos x)^2} dx \)
ધારો કે \( t = \sin x + \cos x \).
પછી, \( dt = (\cos x - \sin x) dx \).
\( I = \int \frac{dt}{t^2} \)
\( = \int t^{-2} dt \)
\( = \frac{t^{-1}}{-1} + C \)
\( = -\frac{1}{t} + C \)
\( = -\frac{1}{\sin x + \cos x} + C \)
In simple words: આ સંકલનમાં, આપણે છેદને \( (\sin x + \cos x)^2 \) તરીકે ફરીથી લખીએ છીએ. પછી, \( \sin x + \cos x \) ને \( t \) તરીકે ધારીને અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, કારણ કે તેનો વિકલિત અંશમાં હાજર છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને \( \sin x + \cos x \) અથવા \( \sin x - \cos x \) જેવા પદો છેદમાં મળે અને તેમનો વિકલિત અંશમાં હોય, ત્યારે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું વિચારો. યાદ રાખો કે \( 1 + \sin 2x \) ને \( (\sin x + \cos x)^2 \) તરીકે લખી શકાય છે.

Question 15. \( \int \tan^3 2x \sec 2x dx \)
Answer: \( I = \int \tan^3 2x \sec 2x dx \)
આપણે તેને \( \tan^2 2x \cdot \tan 2x \sec 2x dx \) તરીકે ફરીથી લખીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \).
\( = \int (\sec^2 2x - 1) \tan 2x \sec 2x dx \)
ધારો કે \( t = \sec 2x \).
પછી, \( dt = 2 \sec 2x \tan 2x dx \). તેથી, \( \tan 2x \sec 2x dx = \frac{1}{2} dt \).
\( I = \int (t^2 - 1) \frac{1}{2} dt \)
\( = \frac{1}{2} \int (t^2 - 1) dt \)
\( = \frac{1}{2} \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + C \)
\( = \frac{1}{2} \left( \frac{\sec^3 2x}{3} - \sec 2x \right) + C \)
\( = \frac{\sec^3 2x}{6} - \frac{\sec 2x}{2} + C \)
In simple words: \( \tan^3 2x \sec 2x \) ને સંકલિત કરવા માટે, આપણે \( \tan^3 2x \) ને \( \tan^2 2x \cdot \tan 2x \) માં વિભાજીત કરીએ છીએ. પછી, \( \tan^2 2x \) ને \( \sec^2 2x - 1 \) માં બદલીએ છીએ. \( \sec 2x \) ને \( t \) તરીકે ધારીને અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે \( \tan^m x \sec^n x \) સ્વરૂપના સંકલનો હોય, અને \( n \) સમ હોય અથવા \( m \) વિચિત્ર હોય, ત્યારે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે યોગ્ય રૂપાંતરણોનો વિચાર કરો. જો \( m \) વિચિત્ર હોય, તો \( \tan x \sec x \) ને અલગ કરો અને \( t = \sec x \) લો.

Question 16. \( \int \tan^4 x dx \)
Answer: \( I = \int \tan^4 x dx \)
આપણે તેને \( \tan^2 x \cdot \tan^2 x dx \) તરીકે ફરીથી લખીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \).
\( = \int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) dx \)
\( = \int (\tan^2 x \sec^2 x - \tan^2 x) dx \)
\( = \int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int \tan^2 x dx \)
\( = \int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int (\sec^2 x - 1) dx \)
પ્રથમ પદ માટે, ધારો કે \( t = \tan x \).
પછી, \( dt = \sec^2 x dx \).
\( \int t^2 dt = \frac{t^3}{3} \).
તેથી, \( \int \tan^2 x \sec^2 x dx = \frac{\tan^3 x}{3} \).
બીજા પદ માટે, \( \int (\sec^2 x - 1) dx = \tan x - x \).
તેથી, \( I = \frac{\tan^3 x}{3} - (\tan x - x) + C \)
\( = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C \)
In simple words: \( \tan^4 x \) ને સંકલિત કરવા માટે, આપણે તેને \( \tan^2 x \cdot \tan^2 x \) માં વિભાજીત કરીએ છીએ અને એક \( \tan^2 x \) ને \( \sec^2 x - 1 \) માં બદલીએ છીએ. પછી, સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજીત કરીએ છીએ. એક ભાગ માટે \( t = \tan x \) અવેજીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, અને બીજા ભાગને સીધું સંકલિત કરીએ છીએ.

Exam Tip: \( \tan^n x \) અથવા \( \cot^n x \) ના સંકલનો માટે, ઘાતને ઘટાડવા માટે \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) અથવા \( \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \) સમરૂપતાનો વારંવાર ઉપયોગ કરો. આનાથી સંકલન સરળ બનશે.

Question 17. \( \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \)
Answer: \( I = \int \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx \)
આપણે અપૂર્ણાંકને બે અલગ-અલગ અપૂર્ણાંકમાં વિભાજીત કરીએ છીએ:
\( = \int \left( \frac{\sin^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx \)
\( = \int \left( \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) dx \)
\( = \int \left( \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} \right) dx \)
\( = \int (\tan x \sec x + \cot x \csc x) dx \)
\( = \sec x - \csc x + C \)
In simple words: આ સંકલનમાં, આપણે અપૂર્ણાંકને બે ભાગમાં વિભાજીત કરીએ છીએ, દરેક ભાગમાં અંશમાં એક જ પદ (જેમ કે \( \sin^3 x \)) હોય છે. પછી, દરેક પદને સરળ બનાવીને તેમને \( \tan x \sec x \) અને \( \cot x \csc x \) જેવા પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં બદલીએ છીએ, જેનું સંકલન સીધું હોય છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને અંશમાં સરવાળાવાળા પદો મળે અને છેદ એક જ હોય, ત્યારે તેમને અલગ અપૂર્ણાંકમાં વિભાજિત કરો. આનાથી દરેક પદને સરળ બનાવીને પ્રમાણભૂત સંકલન સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું સરળ બનશે.

Question 18. \( \frac{\cos 2x + 2 \sin^2 x}{\cos^2 x} \)
Answer: \( I = \int \frac{\cos 2x + 2 \sin^2 x}{\cos^2 x} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \).
\( = \int \frac{(1 - 2 \sin^2 x) + 2 \sin^2 x}{\cos^2 x} dx \)
\( = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \).
\( = \int \sec^2 x dx \)
\( = \tan x + C \)
In simple words: આ સંકલનમાં, આપણે \( \cos 2x \) ને \( 1 - 2 \sin^2 x \) માં બદલીએ છીએ, જેથી અંશમાંના \( 2 \sin^2 x \) પદો રદ થઈ જાય. આનાથી અંશમાં ફક્ત \( 1 \) રહે છે, જે \( \sec^2 x \) માં રૂપાંતરિત થાય છે, અને તેનું સંકલન \( \tan x \) હોય છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને \( \cos 2x \) ના પદ સાથે \( \sin^2 x \) અથવા \( \cos^2 x \) ના પદો હોય, ત્યારે \( \cos 2x \) માટેના યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પદને સરળ બનાવો. આનાથી ઘણીવાર રદબાતલ થાય છે અને સંકલન ખૂબ સરળ બની જાય છે.

Question 19. \( \frac{1}{\sin x \cos^3 x} \)
Answer: \( I = \int \frac{1}{\sin x \cos^3 x} dx \)
અંશમાં \( 1 \) ને \( \sin^2 x + \cos^2 x \) તરીકે લખીએ છીએ.
\( = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos^3 x} dx \)
આપણે અપૂર્ણાંકને બે અલગ-અલગ અપૂર્ણાંકમાં વિભાજીત કરીએ છીએ:
\( = \int \left( \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos^3 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos^3 x} \right) dx \)
\( = \int \left( \frac{\sin x}{\cos^3 x} + \frac{1}{\sin x \cos x} \right) dx \)
\( = \int \left( \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin x \cos x} \right) dx \)
\( = \int (\tan x \sec^2 x + \frac{1}{\sin x \cos x}) dx \)
હવે, \( \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} \cos^2 x} = \frac{1}{\tan x \cos^2 x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x} \).
તેથી, \( I = \int \left( \tan x \sec^2 x + \frac{\sec^2 x}{\tan x} \right) dx \)
\( = \int \sec^2 x \left( \tan x + \frac{1}{\tan x} \right) dx \)
ધારો કે \( t = \tan x \).
પછી, \( dt = \sec^2 x dx \).
\( I = \int \left( t + \frac{1}{t} \right) dt \)
\( = \frac{t^2}{2} + \ln |t| + C \)
\( = \frac{\tan^2 x}{2} + \ln |\tan x| + C \)
In simple words: આ સંકલનને ઉકેલવા માટે, આપણે અંશમાં \( 1 \) ને \( \sin^2 x + \cos^2 x \) માં બદલીએ છીએ અને અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરીએ છીએ. આનાથી આપણને \( \tan x \sec^2 x \) અને \( \frac{\sec^2 x}{\tan x} \) જેવા પદો મળે છે. પછી, \( t = \tan x \) અવેજીનો ઉપયોગ કરીને સંકલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે તમને છેદમાં \( \sin x \) અને \( \cos x \) ની ઘાતવાળા પદો મળે, ત્યારે અંશમાં \( 1 \) ને \( \sin^2 x + \cos^2 x \) તરીકે બદલવાનું વિચારો. પછી પદોને વિભાજિત કરો અને જરૂર મુજબ \( \tan x \) અથવા \( \cot x \) માટે અવેજીનો ઉપયોગ કરો.

Question 20. \( \frac{\cos 2x}{(\cos x + \sin x)^2} \)
Answer: \( I = \int \frac{\cos 2x}{(\cos x + \sin x)^2} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \).
\( = \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{(\cos x + \sin x)^2} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) \).
\( = \int \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2} dx \)
\( = \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx \)
ધારો કે \( t = \cos x + \sin x \).
પછી, \( dt = (-\sin x + \cos x) dx = (\cos x - \sin x) dx \).
\( I = \int \frac{dt}{t} \)
\( = \ln |t| + C \)
\( = \ln |\cos x + \sin x| + C \)
In simple words: આ સંકલનમાં, આપણે \( \cos 2x \) ને \( \cos^2 x - \sin^2 x \) માં બદલીએ છીએ અને તેને અવયવીકરણ કરીએ છીએ. આનાથી છેદમાંના એક પદ સાથે અંશ રદ થઈ જાય છે. પછી, બાકીના અપૂર્ણાંક માટે છેદને \( t \) તરીકે ધારીને અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે તમને \( \cos 2x \) અને \( (\cos x + \sin x)^2 \) જેવા પદો મળે, ત્યારે \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંશને અવયવ પાડો. આનાથી અપૂર્ણાંક સરળ બને છે અને છેદને \( t \) ધારીને સંકલન કરવું શક્ય બને છે.

Question 21. \( \sin^{-1}(\cos x) \)
Answer: \( I = \int \sin^{-1}(\cos x) dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos x = \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \).
\( = \int \sin^{-1} \left( \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \right) dx \)
\( = \int \left( \frac{\pi}{2} - x \right) dx \)
\( = \int \frac{\pi}{2} dx - \int x dx \)
\( = \frac{\pi}{2} x - \frac{x^2}{2} + C \)
In simple words: આ સંકલનમાં, આપણે \( \cos x \) ને \( \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \) માં બદલીએ છીએ. આનાથી \( \sin^{-1}(\sin \theta) \) રદ થઈ જાય છે અને ફક્ત \( \frac{\pi}{2} - x \) બાકી રહે છે, જેનું સંકલન સીધું હોય છે.

Exam Tip: \( \sin^{-1}(\cos x) \) અથવા \( \cos^{-1}(\sin x) \) જેવા પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને સંકલિત કરતી વખતે, \( \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) \) અથવા \( \sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x) \) જેવા સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને તેમને સરળ બનાવો.

Question 22. \( \frac{1}{\cos(x-a) \cos(x-b)} \)
Answer: \( I = \int \frac{1}{\cos(x-a) \cos(x-b)} dx \)
આપણે અંશમાં \( \sin(a-b) \) પદ ગુણીને અને ભાગીને ગોઠવણ કરીએ છીએ. (નોંધ: \( a-b \) એ સ્થિર અચળાંક છે).
\( = \frac{1}{\sin(a-b)} \int \frac{\sin(a-b)}{\cos(x-a) \cos(x-b)} dx \)
આપણે \( a-b = (x-b) - (x-a) \) તરીકે લખી શકીએ છીએ.
\( = \frac{1}{\sin(a-b)} \int \frac{\sin[(x-b) - (x-a)]}{\cos(x-a) \cos(x-b)} dx \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \).
\( = \frac{1}{\sin(a-b)} \int \frac{\sin(x-b) \cos(x-a) - \cos(x-b) \sin(x-a)}{\cos(x-a) \cos(x-b)} dx \)
આપણે અપૂર્ણાંકને બે અલગ-અલગ અપૂર્ણાંકમાં વિભાજીત કરીએ છીએ:
\( = \frac{1}{\sin(a-b)} \int \left( \frac{\sin(x-b) \cos(x-a)}{\cos(x-a) \cos(x-b)} - \frac{\cos(x-b) \sin(x-a)}{\cos(x-a) \cos(x-b)} \right) dx \)
\( = \frac{1}{\sin(a-b)} \int \left( \frac{\sin(x-b)}{\cos(x-b)} - \frac{\sin(x-a)}{\cos(x-a)} \right) dx \)
\( = \frac{1}{\sin(a-b)} \int (\tan(x-b) - \tan(x-a)) dx \)
\( = \frac{1}{\sin(a-b)} [\int \tan(x-b) dx - \int \tan(x-a) dx] \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \int \tan \theta d\theta = \ln |\sec \theta| + C \) અથવા \( -\ln |\cos \theta| + C \).
\( = \frac{1}{\sin(a-b)} [\ln |\sec(x-b)| - \ln |\sec(x-a)|] + C \)
\( = \frac{1}{\sin(a-b)} \ln \left| \frac{\sec(x-b)}{\sec(x-a)} \right| + C \)
\( = \frac{1}{\sin(a-b)} \ln \left| \frac{\cos(x-a)}{\cos(x-b)} \right| + C \)
In simple words: આ સંકલનમાં, આપણે અંશમાં \( \sin(a-b) \) પદ બનાવીને તેને \( (x-b) - (x-a) \) તરીકે લખીએ છીએ. પછી, \( \sin(A-B) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેને વિસ્તૃત કરીએ છીએ. આનાથી તેને \( \tan \) પદોમાં વિભાજીત કરી શકાય છે, જેનું સંકલન \( \ln |\sec \theta| \) હોય છે.

Exam Tip: \( \frac{1}{\cos(x-a)\cos(x-b)} \) જેવા અપૂર્ણાંકને સંકલિત કરવા માટે, અંશમાં \( \sin(a-b) \) પદ ગુણીને અને ભાગીને ગોઠવણ કરો. પછી \( a-b \) ને \( (x-b)-(x-a) \) તરીકે લખો અને \( \sin(A-B) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. આ એક સામાન્ય તકનીક છે.

Question 23. \( \int \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}dx \)
(A) \( \tan x + \cot x + C \)
(B) \( \tan x + \csc x + C \)
(C) \( -\tan x + \cot x + C \)
(D) \( \tan x + \sec x + C \)
Answer: (C) \( -\tan x + \cot x + C \)
\( I = \int \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx \)
આપણે અપૂર્ણાંકને બે અલગ-અલગ અપૂર્ણાંકમાં વિભાજીત કરીએ છીએ:
\( = \int \left( \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx \)
\( = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx \)
\( = \int (\sec^2 x - \csc^2 x) dx \)
\( = \int \sec^2 x dx - \int \csc^2 x dx \)
\( = \tan x - (-\cot x) + C \)
\( = \tan x + \cot x + C \)
અહીં, મૂળ પ્રશ્નમાં \( \sin^2 x - \cos^2 x \) છે, જે \( -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x \) છે. જ્યારે \( \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \). જો પ્રશ્ન \( \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx \) હોત, તો જવાબ \( -\tan x - \cot x + C \) આવત. પરંતુ વિકલ્પોમાંથી (C) મેળવવા માટે જવાબમાં \( \tan x + \cot x + C \) હોવું જોઈએ. જોકે વિકલ્પ (C) \( -\tan x + \cot x + C \) આપે છે, જેનો અર્થ છે કે કદાચ પ્રશ્ન \( \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx \) હોવો જોઈએ, અને પછી \( \int (\csc^2 x - \sec^2 x) dx = -\cot x - \tan x + C \) થાય. આપેલો વિકલ્પ (C) પણ બંધ બેસતો નથી. ચાલો પ્રશ્નને \( \frac{-(\cos^2 x - \sin^2 x)}{\sin^2 x \cos^2 x} \) ગણીએ, તો \( \int (-\csc^2 x + \sec^2 x) dx = \cot x + \tan x + C \) થાય. તેથી, આપેલો વિકલ્પ (A) \( \tan x + \cot x + C \) સાચો છે.
In simple words: આ અપૂર્ણાંકને સંકલિત કરવા માટે, આપણે તેને બે અલગ-અલગ અપૂર્ણાંકમાં વિભાજીત કરીએ છીએ. પછી, તેમને \( \sec^2 x \) અને \( \csc^2 x \) માં બદલીએ છીએ. \( \sec^2 x \) નું સંકલન \( \tan x \) છે અને \( \csc^2 x \) નું સંકલન \( -\cot x \) છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને અંશમાં સરવાળા કે બાદબાકીવાળા પદો મળે અને છેદ એક જ હોય, ત્યારે તેમને અલગ અપૂર્ણાંકમાં વિભાજિત કરો. આનાથી દરેક પદને સરળ બનાવીને પ્રમાણભૂત સંકલન સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું સરળ બનશે.

Question 24. \( \int \frac{e^x(1+x)}{\cos^2(e^x x)} dx \)
(A) \( -\cot(e^x x) + C \)
(B) \( \tan(x e^x) + C \)
(C) \( \tan(e^x) + C \)
(D) \( \cot(e^x) + C \)
Answer: (B) \( \tan(x e^x) + C \)
\( I = \int \frac{e^x(1+x)}{\cos^2(e^x x)} dx \)
ધારો કે \( t = e^x x \).
પછી, \( dt = \frac{d}{dx}(e^x x) dx \)
\( dt = (e^x \cdot 1 + x \cdot e^x) dx \)
\( dt = e^x (1 + x) dx \).
હવે, આપણે આ અવેજી સંકલનમાં લાગુ કરીએ છીએ:
\( I = \int \frac{dt}{\cos^2 t} \)
\( = \int \sec^2 t dt \)
\( = \tan t + C \)
\( = \tan(e^x x) + C \)
In simple words: આ સંકલનમાં, આપણે \( e^x x \) ને \( t \) તરીકે ધારીને અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તેનો વિકલિત \( e^x(1+x) \) અંશમાં હાજર છે. આનાથી સંકલન \( \int \sec^2 t dt \) માં બદલાય છે, જેનું સંકલન \( \tan t \) હોય છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને \( e^x(1+x) \) જેવું પદ મળે અને તેના ગુણાકારમાં \( \cos^2(e^x x) \) હોય, ત્યારે \( e^x x \) ને \( t \) તરીકે ધારીને અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું વિચારો. \( \frac{d}{dx}(e^x x) = e^x + x e^x = e^x(1+x) \) યાદ રાખો.