GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Exercise 6.4

Question 1. વિકલના ઉપયોગથી, 3 દશાંશસ્થળ સુધી મેળવો :
(i) \( \sqrt{25.3} \)
Answer: પ્રથમ રીત:
ધારો કે, \( y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \).
આપણે \( x = 25 \) અને \( \Delta x = 0.3 \) લઈએ છીએ.
\( \Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \)
\( = (25 + 0.3)^{\frac{1}{2}} - (25)^{\frac{1}{2}} \)
\( = (25.3)^{\frac{1}{2}} - 5 \)
અહીં, \( (25.3)^{\frac{1}{2}} = \Delta y + 5 \).
હવે, \( dy = \Delta y \)
\( \implies dy = \frac{dy}{dx} \times \Delta x \)
\( \implies dy = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) \times \Delta x \)
\( \implies dy = \frac{1}{2\sqrt{x}} \times \Delta x \)
\( \implies dy = \frac{1}{2\sqrt{25}} \times 0.3 \)
\( \implies dy = \frac{1}{2 \times 5} \times 0.3 \)
\( \implies dy = \frac{0.3}{10} \)
\( \implies dy = 0.03 \)
તેથી, \( \sqrt{25.3} \) નું આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે,
\( (25.3)^{\frac{1}{2}} = \Delta y + 5 \)
\( = 0.03 + 5 \)
\( = 5.03 \)

બીજી રીત:
ધારો કે \( f(x) = \sqrt{x} \).
\( \implies f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
આપણે \( x + \Delta x = 25.3 \) લઈ શકીએ, જેને \( 25 + 0.3 \) તરીકે લખી શકાય.
તેથી, \( x = 25 \) અને \( \Delta x = 0.3 \) થાય.
આથી, \( f(25) = \sqrt{25} = 5 \)
અને \( f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10} \)
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, \( f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x \)
\( \implies \sqrt{25.3} = f(25) + f'(25) \cdot \Delta x \)
\( \implies \sqrt{25.3} = 5 + \frac{1}{10} \times 0.3 \)
\( \implies \sqrt{25.3} = 5 + 0.03 \)
\( \implies \sqrt{25.3} = 5.03 \)
In simple words: આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે \( y = \sqrt{x} \) ફોર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. \( x \) તરીકે 25 અને \( \Delta x \) તરીકે 0.3 લઈએ છીએ. પછી, \( \Delta y \) અને \( dy \) ની કિંમત શોધીએ છીએ. અંતે, \( \sqrt{25.3} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 5.03 \) મળે છે. બીજી રીતમાં, આપણે \( f(x) = \sqrt{x} \) અને તેના ડેરિવેટિવ \( f'(x) \) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, અને \( f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x \) સૂત્રથી સમાન જવાબ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે તમે વર્ગમૂળનું આસન્ન મૂલ્ય શોધી રહ્યા હો, ત્યારે \( \Delta y \) અને \( dy \) નો ઉપયોગ કરીને એક રીત અને ફંક્શન \( f(x) \) અને તેના ડેરિવેટિવ \( f'(x) \) નો ઉપયોગ કરીને બીજી રીત ધ્યાનમાં લો. બંને પદ્ધતિઓ સાચી રીતે ગણતરી કરવામાં આવે તો સમાન પરિણામ આપવી જોઈએ. આપેલ સંખ્યાની નજીકનો સંપૂર્ણ વર્ગ \( x \) તરીકે પસંદ કરો અને \( \Delta x \) ને તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો.

(ii) \( \sqrt{49.5} \)
Answer: પ્રથમ રીત:
ધારો કે \( y = \sqrt{x} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
હવે, આપણે \( x = 49 \) અને \( \Delta x = 0.5 \) લઈએ છીએ.
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( \sqrt{x + \Delta x} = y + \Delta y \approx \sqrt{x} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies \sqrt{49 + 0.5} \approx \sqrt{49} + \frac{1}{2\sqrt{49}} \times 0.5 \)
\( \implies \sqrt{49.5} \approx 7 + \frac{1}{2 \times 7} \times 0.5 \)
\( \implies \sqrt{49.5} \approx 7 + \frac{0.5}{14} \)
\( \implies \sqrt{49.5} \approx \frac{98 + 0.5}{14} \)
\( \implies \sqrt{49.5} \approx \frac{98.5}{14} \)
\( \implies \sqrt{49.5} \approx 7.03571 \dots \)
આથી, \( \sqrt{49.5} \approx 7.036 \) (ત્રણ દશાંશસ્થળ સુધી)

બીજી રીત:
આપણે \( x + \Delta x = 49.5 \) તરીકે લઈએ, તેથી \( x = 49 \) અને \( \Delta x = 0.5 \).
ધારો કે \( f(x) = \sqrt{x} \).
\( \implies f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
હવે, \( f(49) = \sqrt{49} = 7 \) અને
\( f'(49) = \frac{1}{2\sqrt{49}} = \frac{1}{2 \times 7} = \frac{1}{14} \)
સૂત્ર \( f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x \) મુજબ:
\( \implies \sqrt{49.5} = f(49) + f'(49) \Delta x \)
\( \implies \sqrt{49.5} = 7 + \frac{1}{14} \times 0.5 \)
\( \implies \sqrt{49.5} = 7 + 0.03571 \)
\( \implies \sqrt{49.5} = 7.03571 \)
આથી, \( \sqrt{49.5} \approx 7.036 \) (ત્રણ દશાંશસ્થળ સુધી).
In simple words: આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે \( x = 49 \) અને \( \Delta x = 0.5 \) લઈએ છીએ. \( y = \sqrt{x} \) ના ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને \( \Delta y \) ગણીએ છીએ. \( \sqrt{49.5} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 7 + \frac{0.5}{14} \) બરાબર છે, જે આશરે \( 7.036 \) થાય છે.

Exam Tip: વર્ગમૂળના આસન્ન મૂલ્ય માટે \( \sqrt{N + \Delta N} \), \( N \) ને આપેલ સંખ્યાની નજીકનો સંપૂર્ણ વર્ગ પસંદ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે. \( x \) અને \( \Delta x \) ના પસંદ કરેલા મૂલ્યોને સ્પષ્ટ રીતે લખો. આપેલ ફંક્શન માટે ડેરિવેટિવ \( \frac{dy}{dx} \) ની ગણતરી સાચી રીતે કરવાની ખાતરી કરો.

(iii) \( \sqrt{0.6} \)
Answer: પ્રથમ રીત:
ધારો કે \( y = \sqrt{x} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
હવે, આપણે \( x = 1 \) અને \( \Delta x = -0.4 \) લઈએ છીએ.
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( \sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies \sqrt{1 + (-0.4)} \approx \sqrt{1} + \frac{1}{2\sqrt{1}} \times (-0.4) \)
\( \implies \sqrt{0.6} \approx 1 + \frac{1}{2} \times (-0.4) \)
\( \implies \sqrt{0.6} \approx 1 - 0.2 \)
\( \implies \sqrt{0.6} \approx 0.8 \)
આમ, \( \sqrt{0.6} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 0.8 \) મળે છે.

બીજી રીત:
આપણે \( x + \Delta x = 0.6 \) ને \( 0.64 - 0.04 \) તરીકે લખીએ.
તેથી, \( x = 0.64 \) અને \( \Delta x = -0.04 \).
ધારો કે \( f(x) = \sqrt{x} \).
\( \implies f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
હવે, \( f(0.64) = \sqrt{0.64} = 0.8 \)
અને \( f'(0.64) = \frac{1}{2\sqrt{0.64}} = \frac{1}{2 \times 0.8} = \frac{1}{1.6} = 0.625 \)
સૂત્ર \( f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x \) મુજબ:
\( \implies \sqrt{0.6} = f(0.64) + f'(0.64) \Delta x \)
\( \implies \sqrt{0.6} = 0.8 + (0.625) \times (-0.04) \)
\( \implies \sqrt{0.6} = 0.8 - 0.025 \)
\( \implies \sqrt{0.6} = 0.775 \)
આસન્ન મૂલ્ય \( 0.8 \) છે.
In simple words: \( \sqrt{0.6} \) નું આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે \( x = 1 \) અને \( \Delta x = -0.4 \) પસંદ કરી શકીએ. અથવા, \( x = 0.64 \) અને \( \Delta x = -0.04 \) પસંદ કરી શકાય. બંને પદ્ધતિઓ \( \sqrt{x} \) ના ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને આસન્ન મૂલ્ય \( 0.8 \) આપે છે.

Exam Tip: જ્યારે તમે દશાંશ મૂલ્યોના વર્ગમૂળ સાથે કામ કરો છો, ત્યારે \( x \) મૂલ્યને એક સંપૂર્ણ વર્ગ તરીકે પસંદ કરવાનો પ્રયાસ કરો જે આપેલ સંખ્યાની નજીક હોય (દા.ત., \( 0.6 \) માટે \( 1 \) અથવા \( 0.64 \)). આ \( \sqrt{x} \) માટે ગણતરીઓને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.

(iv) \( (0.009)^{\frac{1}{3}} \)
Answer: ધારો કે \( y = x^{\frac{1}{3}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \)
હવે, આપણે \( x = 0.008 \) અને \( \Delta x = 0.001 \) લઈએ છીએ.
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( (x + \Delta x)^{\frac{1}{3}} \approx x^{\frac{1}{3}} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies (0.008 + 0.001)^{\frac{1}{3}} \approx (0.008)^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3}(0.008)^{-\frac{2}{3}} \times 0.001 \)
\( \implies (0.009)^{\frac{1}{3}} \approx ((0.2)^3)^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3}((0.2)^3)^{-\frac{2}{3}} \times 0.001 \)
\( \implies (0.009)^{\frac{1}{3}} \approx 0.2 + \frac{1}{3(0.2)^2} \times 0.001 \)
\( \implies (0.009)^{\frac{1}{3}} \approx 0.2 + \frac{1}{3 \times 0.04} \times 0.001 \)
\( \implies (0.009)^{\frac{1}{3}} \approx 0.2 + \frac{0.001}{0.12} \)
\( \implies (0.009)^{\frac{1}{3}} \approx 0.2 + 0.008333 \)
\( \implies (0.009)^{\frac{1}{3}} \approx 0.208333 \)
આમ, \( (0.009)^{\frac{1}{3}} \approx 0.208 \) (ત્રણ દશાંશસ્થળ સુધી).
In simple words: \( (0.009)^{\frac{1}{3}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય મેળવવા માટે, આપણે \( y = x^{\frac{1}{3}} \) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. \( x = 0.008 \) (જે \( 0.2^3 \) છે) અને \( \Delta x = 0.001 \) લઈએ. પછી, \( \frac{dy}{dx} \) શોધીને સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ, જેથી \( 0.208 \) ની આસપાસનો જવાબ મળે.

Exam Tip: ઘનમૂળના આસન્ન મૂલ્ય માટે, \( x \) ને આપેલ સંખ્યાની નજીકનો સંપૂર્ણ ઘન (અથવા \( 10^3 \) નો ગુણાકાર) તરીકે પસંદ કરો. ડિફરન્સિયેશન દરમિયાન નકારાત્મક ઘાતાંકને યોગ્ય રીતે હેન્ડલ કરવાની ખાતરી કરો.

(v) \( (0.999)^{\frac{1}{10}} \)
Answer: ધારો કે \( y = x^{\frac{1}{10}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{10}x^{\frac{1}{10}-1} = \frac{1}{10}x^{-\frac{9}{10}} \)
હવે, આપણે \( x = 1 \) અને \( \Delta x = -0.001 \) લઈએ છીએ.
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( (x + \Delta x)^{\frac{1}{10}} \approx x^{\frac{1}{10}} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies (1 + (-0.001))^{\frac{1}{10}} \approx (1)^{\frac{1}{10}} + \frac{1}{10}(1)^{-\frac{9}{10}} \times (-0.001) \)
\( \implies (0.999)^{\frac{1}{10}} \approx 1 + \frac{1}{10} \times (-0.001) \)
\( \implies (0.999)^{\frac{1}{10}} \approx 1 - 0.0001 \)
\( \implies (0.999)^{\frac{1}{10}} \approx 0.9999 \)
આમ, \( (0.999)^{\frac{1}{10}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 0.9999 \) મળે છે.
In simple words: \( (0.999)^{\frac{1}{10}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય મેળવવા માટે, આપણે \( x = 1 \) અને \( \Delta x = -0.001 \) પસંદ કરીએ છીએ. પછી, \( y = x^{\frac{1}{10}} \) ના ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને \( \Delta y \) ગણીએ છીએ. ગણતરી કરતા, આપણને \( 0.9999 \) નું આસન્ન મૂલ્ય મળે છે.

Exam Tip: \( x^{\frac{1}{n}} \) જેવી ઘાતાંક માટે, \( x = 1 \) પસંદ કરવાથી \( x^{\frac{1}{n}} \) પદ \( 1 \) થઈ જાય છે અને \( x^{\frac{1}{n}-1} \) પણ \( 1 \) થાય છે, જે ગણતરીઓને ખૂબ જ સરળ બનાવે છે.

(vi) \( (15)^{\frac{1}{4}} \)
Answer: ધારો કે \( y = x^{\frac{1}{4}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} \)
હવે, આપણે \( x = 16 \) અને \( \Delta x = -1 \) લઈએ છીએ, કારણ કે 16 એ 15 ની નજીકનું સંપૂર્ણ ચોથું ઘાત છે (\( 2^4 = 16 \)).
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( (x + \Delta x)^{\frac{1}{4}} \approx x^{\frac{1}{4}} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies (16 + (-1))^{\frac{1}{4}} \approx (16)^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4}(16)^{-\frac{3}{4}} \times (-1) \)
\( \implies (15)^{\frac{1}{4}} \approx 2 + \frac{1}{4((2^4)^{\frac{3}{4}})} \times (-1) \)
\( \implies (15)^{\frac{1}{4}} \approx 2 + \frac{1}{4 \times 2^3} \times (-1) \)
\( \implies (15)^{\frac{1}{4}} \approx 2 - \frac{1}{4 \times 8} \)
\( \implies (15)^{\frac{1}{4}} \approx 2 - \frac{1}{32} \)
\( \implies (15)^{\frac{1}{4}} \approx 2 - 0.03125 \)
\( \implies (15)^{\frac{1}{4}} \approx 1.96875 \)
આમ, \( (15)^{\frac{1}{4}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 1.969 \) (ત્રણ દશાંશસ્થળ સુધી) મળે છે.
In simple words: \( (15)^{\frac{1}{4}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે \( x = 16 \) અને \( \Delta x = -1 \) લઈએ છીએ. \( y = x^{\frac{1}{4}} \) ના ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ. આનાથી આપણને આસન્ન મૂલ્ય \( 1.969 \) મળે છે.

Exam Tip: \( n^{th} \) મૂળના આસન્ન મૂલ્યો શોધતી વખતે, હંમેશા \( x \) ને આપેલ સંખ્યાની નજીકની સંપૂર્ણ \( n^{th} \) ઘાત તરીકે પસંદ કરો. આ પસંદગી \( x^{\frac{1}{n}} \) અને \( x^{\frac{1}{n}-1} \) ની ગણતરીને સરળ બનાવે છે.

(vii) \( (26)^{\frac{1}{3}} \)
Answer: ધારો કે \( y = x^{\frac{1}{3}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \)
હવે, આપણે \( x = 27 \) અને \( \Delta x = -1 \) લઈએ છીએ, કારણ કે 27 એ 26 ની નજીકનો સંપૂર્ણ ઘન છે (\( 3^3 = 27 \)).
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( (x + \Delta x)^{\frac{1}{3}} \approx x^{\frac{1}{3}} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies (27 + (-1))^{\frac{1}{3}} \approx (27)^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3}(27)^{-\frac{2}{3}} \times (-1) \)
\( \implies (26)^{\frac{1}{3}} \approx 3 + \frac{1}{3((3^3)^{\frac{2}{3}})} \times (-1) \)
\( \implies (26)^{\frac{1}{3}} \approx 3 + \frac{1}{3 \times 3^2} \times (-1) \)
\( \implies (26)^{\frac{1}{3}} \approx 3 - \frac{1}{3 \times 9} \)
\( \implies (26)^{\frac{1}{3}} \approx 3 - \frac{1}{27} \)
\( \implies (26)^{\frac{1}{3}} \approx 3 - 0.037037 \)
\( \implies (26)^{\frac{1}{3}} \approx 2.962963 \)
આમ, \( (26)^{\frac{1}{3}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 2.963 \) (ત્રણ દશાંશસ્થળ સુધી) મળે છે.
In simple words: \( (26)^{\frac{1}{3}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે \( x = 27 \) અને \( \Delta x = -1 \) લઈએ છીએ. \( y = x^{\frac{1}{3}} \) ના ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ. આનાથી આપણને આસન્ન મૂલ્ય \( 2.963 \) મળે છે.

Exam Tip: ઘનમૂળ માટે, હંમેશા \( x \) મૂલ્યને એક સંપૂર્ણ ઘન તરીકે પસંદ કરો જે તમે આસન્ન કરી રહ્યા છો તે સંખ્યાની નજીક હોય. આ ગણતરીઓને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.

(viii) \( (255)^{\frac{1}{4}} \)
Answer: ધારો કે \( y = x^{\frac{1}{4}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} \)
હવે, આપણે \( x = 256 \) અને \( \Delta x = -1 \) લઈએ છીએ, કારણ કે \( 256 = 4^4 \) એ 255 ની નજીકનું સંપૂર્ણ ચોથું ઘાત છે.
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( (x + \Delta x)^{\frac{1}{4}} \approx x^{\frac{1}{4}} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies (256 + (-1))^{\frac{1}{4}} \approx (256)^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4}(256)^{-\frac{3}{4}} \times (-1) \)
\( \implies (255)^{\frac{1}{4}} \approx 4 + \frac{1}{4((4^4)^{\frac{3}{4}})} \times (-1) \)
\( \implies (255)^{\frac{1}{4}} \approx 4 + \frac{1}{4 \times 4^3} \times (-1) \)
\( \implies (255)^{\frac{1}{4}} \approx 4 - \frac{1}{4 \times 64} \)
\( \implies (255)^{\frac{1}{4}} \approx 4 - \frac{1}{256} \)
\( \implies (255)^{\frac{1}{4}} \approx 4 - 0.00390625 \)
\( \implies (255)^{\frac{1}{4}} \approx 3.99609375 \)
આમ, \( (255)^{\frac{1}{4}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 3.996 \) (ત્રણ દશાંશસ્થળ સુધી) મળે છે.
In simple words: \( (255)^{\frac{1}{4}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે \( x = 256 \) અને \( \Delta x = -1 \) લઈએ છીએ. \( y = x^{\frac{1}{4}} \) ના ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ. આનાથી આપણને આસન્ન મૂલ્ય \( 3.996 \) મળે છે.

Exam Tip: \( n^{th} \) ઘાત માટે નજીકની સંપૂર્ણ \( n^{th} \) ઘાતને \( x \) તરીકે ઓળખવું એ આ પ્રકારની સમસ્યાઓમાં એક મુખ્ય પ્રથમ પગલું છે. \( x \) અથવા \( \Delta x \) પસંદ કરવામાં સહેજ ભૂલ પણ ખોટી આસન્નતા તરફ દોરી શકે છે.

(ix) \( (82)^{\frac{1}{4}} \)
Answer: ધારો કે \( y = x^{\frac{1}{4}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} \)
હવે, આપણે \( x = 81 \) અને \( \Delta x = 1 \) લઈએ છીએ, કારણ કે \( 81 = 3^4 \) એ 82 ની નજીકનું સંપૂર્ણ ચોથું ઘાત છે.
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( (x + \Delta x)^{\frac{1}{4}} \approx x^{\frac{1}{4}} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies (81 + 1)^{\frac{1}{4}} \approx (81)^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4}(81)^{-\frac{3}{4}} \times (1) \)
\( \implies (82)^{\frac{1}{4}} \approx 3 + \frac{1}{4((3^4)^{\frac{3}{4}})} \times (1) \)
\( \implies (82)^{\frac{1}{4}} \approx 3 + \frac{1}{4 \times 3^3} \)
\( \implies (82)^{\frac{1}{4}} \approx 3 + \frac{1}{4 \times 27} \)
\( \implies (82)^{\frac{1}{4}} \approx 3 + \frac{1}{108} \)
\( \implies (82)^{\frac{1}{4}} \approx 3 + 0.009259 \)
\( \implies (82)^{\frac{1}{4}} \approx 3.009259 \)
આમ, \( (82)^{\frac{1}{4}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 3.009 \) (ત્રણ દશાંશસ્થળ સુધી) મળે છે.
In simple words: \( (82)^{\frac{1}{4}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે \( x = 81 \) અને \( \Delta x = 1 \) લઈએ છીએ. \( y = x^{\frac{1}{4}} \) ના ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ. આનાથી આપણને આસન્ન મૂલ્ય \( 3.009 \) મળે છે.

Exam Tip: આપેલ સંખ્યા પસંદ કરેલી સંપૂર્ણ ઘાત \( x \) કરતાં મોટી છે કે નાની તેના આધારે \( + \Delta x \) અને \( - \Delta x \) વચ્ચે કાળજીપૂર્વક પસંદગી કરો.

(x) \( (401)^{\frac{1}{2}} \)
Answer: ધારો કે \( y = x^{\frac{1}{2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \)
હવે, આપણે \( x = 400 \) અને \( \Delta x = 1 \) લઈએ છીએ, કારણ કે \( 400 = 20^2 \) એ 401 ની નજીકનો સંપૂર્ણ વર્ગ છે.
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( (x + \Delta x)^{\frac{1}{2}} \approx x^{\frac{1}{2}} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies (400 + 1)^{\frac{1}{2}} \approx (400)^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(400)^{-\frac{1}{2}} \times (1) \)
\( \implies (401)^{\frac{1}{2}} \approx 20 + \frac{1}{2 \times 20} \times (1) \)
\( \implies (401)^{\frac{1}{2}} \approx 20 + \frac{1}{40} \)
\( \implies (401)^{\frac{1}{2}} \approx 20 + 0.025 \)
\( \implies (401)^{\frac{1}{2}} \approx 20.025 \)
આમ, \( (401)^{\frac{1}{2}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 20.025 \) મળે છે.
In simple words: \( (401)^{\frac{1}{2}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે \( x = 400 \) અને \( \Delta x = 1 \) લઈએ છીએ. \( y = x^{\frac{1}{2}} \) ના ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ. આનાથી આપણને આસન્ન મૂલ્ય \( 20.025 \) મળે છે.

Exam Tip: મોટી સંખ્યાઓના વર્ગમૂળનું આસન્ન મૂલ્ય શોધતી વખતે, ખાતરી કરો કે \( x \) સૌથી નજીકનો સંપૂર્ણ વર્ગ છે. \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) ની ગણતરીને ભૂલો ટાળવા માટે ફરીથી તપાસો.

(xi) \( (0.0037)^{\frac{1}{2}} \)
Answer: ધારો કે \( y = x^{\frac{1}{2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \)
હવે, આપણે \( x = 0.0036 \) અને \( \Delta x = 0.0001 \) લઈએ છીએ, કારણ કે \( 0.0036 = (0.06)^2 \) એ 0.0037 ની નજીકનો સંપૂર્ણ વર્ગ છે.
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( (x + \Delta x)^{\frac{1}{2}} \approx x^{\frac{1}{2}} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies (0.0036 + 0.0001)^{\frac{1}{2}} \approx (0.0036)^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(0.0036)^{-\frac{1}{2}} \times (0.0001) \)
\( \implies (0.0037)^{\frac{1}{2}} \approx 0.06 + \frac{1}{2 \times 0.06} \times 0.0001 \)
\( \implies (0.0037)^{\frac{1}{2}} \approx 0.06 + \frac{0.0001}{0.12} \)
\( \implies (0.0037)^{\frac{1}{2}} \approx 0.06 + 0.000833 \)
\( \implies (0.0037)^{\frac{1}{2}} \approx 0.060833 \)
આમ, \( (0.0037)^{\frac{1}{2}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 0.0608 \) (ચાર દશાંશસ્થળ સુધી) મળે છે.
In simple words: \( (0.0037)^{\frac{1}{2}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે \( x = 0.0036 \) અને \( \Delta x = 0.0001 \) લઈએ છીએ. \( y = x^{\frac{1}{2}} \) ના ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ. આનાથી આપણને આસન્ન મૂલ્ય \( 0.0608 \) મળે છે.

Exam Tip: ખૂબ નાના દશાંશ સંખ્યાઓ સાથે કામ કરતી વખતે, \( \sqrt{x} \) અને તેના ડેરિવેટિવની સચોટ ગણતરી સુનિશ્ચિત કરો. ચોકસાઈ જાળવવા માટે \( \Delta x \) માટે દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યા પર ધ્યાન આપો.

(xii) \( (26.57)^{\frac{1}{3}} \)
Answer: ધારો કે \( y = x^{\frac{1}{3}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \)
હવે, આપણે \( x = 27 \) અને \( \Delta x = -0.43 \) લઈએ છીએ, કારણ કે \( 27 = 3^3 \) એ 26.57 ની નજીકનો સંપૂર્ણ ઘન છે.
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( (x + \Delta x)^{\frac{1}{3}} \approx x^{\frac{1}{3}} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies (27 + (-0.43))^{\frac{1}{3}} \approx (27)^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3}(27)^{-\frac{2}{3}} \times (-0.43) \)
\( \implies (26.57)^{\frac{1}{3}} \approx 3 + \frac{1}{3((3^3)^{\frac{2}{3}})} \times (-0.43) \)
\( \implies (26.57)^{\frac{1}{3}} \approx 3 + \frac{1}{3 \times 3^2} \times (-0.43) \)
\( \implies (26.57)^{\frac{1}{3}} \approx 3 - \frac{0.43}{27} \)
\( \implies (26.57)^{\frac{1}{3}} \approx 3 - 0.015925 \)
\( \implies (26.57)^{\frac{1}{3}} \approx 2.984074 \)
આમ, \( (26.57)^{\frac{1}{3}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 2.984 \) (ત્રણ દશાંશસ્થળ સુધી) મળે છે.
In simple words: \( (26.57)^{\frac{1}{3}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય મેળવવા માટે, આપણે \( x = 27 \) અને \( \Delta x = -0.43 \) લઈએ છીએ. \( y = x^{\frac{1}{3}} \) ના ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ. આનાથી આપણને આસન્ન મૂલ્ય \( 2.984 \) મળે છે.

Exam Tip: હંમેશા \( x \) ને એવી રીતે પસંદ કરો કે \( \Delta x \) નાનું હોય. દશાંશ મૂલ્યો માટે, \( x^{\frac{1}{n}} \) અને તેના ડેરિવેટિવની સચોટ ગણતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે, અને અંતિમ જવાબમાં દશાંશ સ્થાનો પર ધ્યાન આપો.

(xiii) \( (81.5)^{\frac{1}{4}} \)
Answer: ધારો કે \( y = x^{\frac{1}{4}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} \)
હવે, આપણે \( x = 81 \) અને \( \Delta x = 0.5 \) લઈએ છીએ, કારણ કે \( 81 = 3^4 \) એ 81.5 ની નજીકનું સંપૂર્ણ ચોથું ઘાત છે.
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( (x + \Delta x)^{\frac{1}{4}} \approx x^{\frac{1}{4}} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies (81 + 0.5)^{\frac{1}{4}} \approx (81)^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4}(81)^{-\frac{3}{4}} \times 0.5 \)
\( \implies (81.5)^{\frac{1}{4}} \approx 3 + \frac{1}{4((3^4)^{\frac{3}{4}})} \times 0.5 \)
\( \implies (81.5)^{\frac{1}{4}} \approx 3 + \frac{1}{4 \times 3^3} \times 0.5 \)
\( \implies (81.5)^{\frac{1}{4}} \approx 3 + \frac{0.5}{108} \)
\( \implies (81.5)^{\frac{1}{4}} \approx 3 + 0.004629 \)
\( \implies (81.5)^{\frac{1}{4}} \approx 3.004629 \)
આમ, \( (81.5)^{\frac{1}{4}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 3.005 \) (ત્રણ દશાંશસ્થળ સુધી) મળે છે.
In simple words: \( (81.5)^{\frac{1}{4}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય મેળવવા માટે, આપણે \( x = 81 \) અને \( \Delta x = 0.5 \) લઈએ છીએ. \( y = x^{\frac{1}{4}} \) ના ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ. આનાથી આપણને આસન્ન મૂલ્ય \( 3.005 \) મળે છે.

Exam Tip: \( \Delta x \) ને આપેલ સંખ્યા \( x \) કરતા મોટી છે કે નાની તેના આધારે ધન કે ઋણ તરીકે યોગ્ય રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે તેની ખાતરી કરો. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક માટે ગણતરીમાં ચોકસાઈ મુખ્ય છે.

(xiv) \( (3.968)^{\frac{3}{2}} \)
Answer: ધારો કે \( y = x^{\frac{3}{2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \)
હવે, આપણે \( x = 4 \) અને \( \Delta x = -0.032 \) લઈએ છીએ, કારણ કે \( 4 \) એ 3.968 ની નજીકનો સંપૂર્ણ વર્ગ છે.
આસન્નતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, \( (x + \Delta x)^{\frac{3}{2}} \approx x^{\frac{3}{2}} + \frac{dy}{dx} \Delta x \)
\( \implies (4 + (-0.032))^{\frac{3}{2}} \approx (4)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2}(4)^{\frac{1}{2}} \times (-0.032) \)
\( \implies (3.968)^{\frac{3}{2}} \approx (2^2)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2} \times 2 \times (-0.032) \)
\( \implies (3.968)^{\frac{3}{2}} \approx 2^3 + 3 \times (-0.032) \)
\( \implies (3.968)^{\frac{3}{2}} \approx 8 - 0.096 \)
\( \implies (3.968)^{\frac{3}{2}} \approx 7.904 \)
આમ, \( (3.968)^{\frac{3}{2}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય \( 7.904 \) મળે છે.
In simple words: \( (3.968)^{\frac{3}{2}} \) નું આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે \( y = x^{\frac{3}{2}} \) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. \( x = 4 \) અને \( \Delta x = -0.032 \) પસંદ કરીએ છીએ. પછી, \( \frac{dy}{dx} \) ગણીને સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ, જેથી \( 7.904 \) ની આસપાસનો જવાબ મળે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક ઘાતાંકનું આસન્ન મૂલ્ય શોધતી વખતે, \( x^{\frac{m}{n}} \) ને \( (x^{\frac{1}{n}})^m \) તરીકે ગણતરી કરો જેથી પ્રક્રિયા સરળ બને. ગુણાકાર અને ચિહ્નો સાથે સાવચેત રહો, ખાસ કરીને જ્યારે \( \Delta x \) ઋણ હોય.

Question 1. (xv) (32.15)\(\frac{1}{5}\)
Answer: Let the function be \( y = x^{\frac{1}{5}} \).
Then its derivative is `\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5x^{\frac{4}{5}}} \)`.
The approximation for `\( (x + \Delta x)^{\frac{1}{5}} \)` is given by `\( y + \Delta y \)`.
We can find `\( \Delta y \)` approximately using the formula `\( \Delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \Delta x \)`.
We choose `\( x = 32 \)` and `\( \Delta x = 0.15 \)` for our calculation.
At `\( x = 32 \)`, the value of `\( y = (32)^{\frac{1}{5}} = 2 \)`.
Also, the derivative `\( \frac{dy}{dx} \)` at `\( x = 32 \)` is `\( \frac{1}{5(32)^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{5(2^5)^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{5 \times 2^4} = \frac{1}{5 \times 16} = \frac{1}{80} \)`.
Now, we calculate `\( \Delta y \)`:
`\( \Delta y \approx \frac{1}{80} \times 0.15 = 0.001875 \)`.
Therefore, the approximate value of `\( (32.15)^{\frac{1}{5}} \)` is `\( y + \Delta y = 2 + 0.001875 = 2.001875 \)`.
In simple words: We used differentiation to estimate the value. By choosing a nearby easy number (32) and a small change (0.15), we found the derivative and multiplied it by the change to get a small adjustment. Adding this adjustment to the known value of \( 32^{1/5} \) gave us the approximate answer.

Exam Tip: For approximation problems involving powers or roots, choose a value for 'x' that is very close to the given number and easy to compute with the specific power/root, ensuring 'Δx' is small.

Question 2. જો \( f(x) = 4x^2 + 5x + 2 \) હોય, તો \( f(2.01) \)નું આસન્ન મૂલ્ય શોધો.
Answer: Let the given function be \( f(x) = 4x^2 + 5x + 2 \).
First, we determine the derivative of the function: \( f'(x) = 8x + 5 \).
To find the approximate value of \( f(2.01) \), we select \( x = 2 \) and `\( \Delta x = 0.01 \)` (since \( 2.01 = 2 + 0.01 \)).
The approximation formula states that \( f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x \).
Now, we calculate \( f(2) \):
\( f(2) = 4(2)^2 + 5(2) + 2 = 4(4) + 10 + 2 = 16 + 10 + 2 = 28 \).
Next, we calculate \( f'(2) \):
\( f'(2) = 8(2) + 5 = 16 + 5 = 21 \).
Substituting these values into the approximation formula:
\( f(2.01) \approx f(2) + f'(2) \times 0.01 \)
\( f(2.01) \approx 28 + 21 \times 0.01 \)
\( f(2.01) \approx 28 + 0.21 \)
\( f(2.01) \approx 28.21 \).
In simple words: To estimate \( f(2.01) \), we found the function's value and its slope at a nearby whole number, 2. Then, we used the slope to adjust for the small change from 2 to 2.01, giving us the approximate value.

Exam Tip: Remember to calculate both \( f(x) \) and \( f'(x) \) at the chosen 'x' value, and then use the formula \( f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x \) for approximation.

Question 3. જો \( f(x) = x^3 - 7x^2 + 15 \) હોય, તો \( f(5.001) \)નું આસન્ન મૂલ્ય શોધો.
Answer: Let the given function be \( f(x) = x^3 - 7x^2 + 15 \).
First, we find the derivative of the function: \( f'(x) = 3x^2 - 14x \).
To determine the approximate value of \( f(5.001) \), we choose \( x = 5 \) and `\( \Delta x = 0.001 \)` (as \( 5.001 = 5 + 0.001 \)).
The approximation rule states that \( f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x \).
Now, we calculate \( f(5) \):
\( f(5) = (5)^3 - 7(5)^2 + 15 = 125 - 7(25) + 15 = 125 - 175 + 15 = -50 + 15 = -35 \).
Next, we calculate \( f'(5) \):
\( f'(5) = 3(5)^2 - 14(5) = 3(25) - 70 = 75 - 70 = 5 \).
Substituting these values into the approximation formula:
\( f(5.001) \approx f(5) + f'(5) \times 0.001 \)
\( f(5.001) \approx -35 + 5 \times 0.001 \)
\( f(5.001) \approx -35 + 0.005 \)
\( f(5.001) \approx -34.995 \).
In simple words: To approximate \( f(5.001) \), we calculated the function's value and its rate of change at \( x=5 \). We then added the product of the rate of change and the small increment \( (\Delta x) \) to the initial function value to get the estimated result.

Exam Tip: Be careful with calculations involving negative numbers and powers. Double-check your arithmetic, especially when substituting values into \( f(x) \) and \( f'(x) \).

Question 4. એક સમઘનની બાજુની લંબાઈ x મીટર છે. જો સમઘનની બાજુની લંબાઈમાં 1%નો વધારો થતો હોય, તો તેના ધનફળમાં થતા વધારાનું આસન્ન મૂલ્ય શોધો.
Answer: Let the side length of the cube be \( x \) meters.
The volume of the cube, denoted by \( V \), is given by the formula \( V = x^3 \) cubic meters.
We are given that the side length has an increase of `\( 1\% \)` of \( x \). This means `\( \Delta x = 0.01x \)` meters.
To find the approximate increase in volume, `\( \Delta V \)`, we use the differential approximation formula: `\( \Delta V \approx \frac{dV}{dx} \Delta x \)`
First, we calculate the derivative of the volume with respect to \( x \):
`\( \frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \)`
Now, we substitute this derivative and the value of `\( \Delta x \)` into the formula for `\( \Delta V \)`:
`\( \Delta V \approx 3x^2 \times (0.01x) \)`
`\( \Delta V \approx 0.03x^3 \)`
Therefore, if the side length of the cube increases by `\( 1\% \)`, the approximate increase in its volume is `\( 0.03x^3 \)` cubic meters.
In simple words: If a cube's side gets 1% longer, its volume will get bigger by roughly 0.03 times its original volume. This is figured out by how quickly the volume changes with the side length.

Exam Tip: Remember that "1% increase" means \( \Delta x = 0.01x \). Always identify the correct formula for the geometric shape's volume or area before differentiating.

Question 5. એક સમઘનની બાજુની લંબાઈ x મીટર છે, જો સમઘનની બાજુની લંબાઈમાં 1%નો ઘટાડો થતો હોય, તો તેના પૃષ્ઠફળમાં આશરે કેટલો ઘટાડો થાય તે શોધો.
Answer: Let the side length of the cube be \( x \) meters.
The surface area of the cube, denoted by \( S \), is given by the formula \( S = 6x^2 \) square meters.
We are given that the side length has a decrease of `\( 1\% \)` of \( x \). So, `\( \Delta x = -0.01x \)` meters.
To find the approximate change in surface area, `\( \Delta S \)`, we use the differential approximation formula: `\( \Delta S \approx \frac{dS}{dx} \Delta x \)`
First, we calculate the derivative of the surface area with respect to \( x \):
`\( \frac{dS}{dx} = \frac{d}{dx}(6x^2) = 12x \)`
Now, we substitute this derivative and the value of `\( \Delta x \)` into the formula for `\( \Delta S \)`:
`\( \Delta S \approx 12x \times (-0.01x) \)`
`\( \Delta S \approx -0.12x^2 \)`
The negative sign in the result shows a decrease in the surface area.
Therefore, if the side length of the cube decreases by `\( 1\% \)`, its surface area approximately decreases by `\( 0.12x^2 \)` square meters.
In simple words: When a cube's side shrinks by 1%, its total surface area reduces by about 0.12 times the square of its original side. This decrease is shown by the negative sign in our calculated change.

Exam Tip: Pay attention to keywords like "increase" or "decrease" as they determine the sign of \( \Delta x \). For "decrease", use a negative value for \( \Delta x \).

Question 6. એક ગોલકની ત્રિજ્યાના માપનમાં 0.02 મીટર ત્રુટિ રહી ગયેલ છે. જો ગોલકની ત્રિજ્યા 7 મીટર માપવામાં આવી હોય, તો તેના ઘનફળમાં પ્રવેશતી ત્રુટિનું આસન્ન મૂલ્ય શોધો.
Answer: Let the radius of the sphere be denoted by \( r \) meters.
The volume of the sphere, \( V \), is given by the formula `\( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)` cubic meters.
The error in measuring the radius is given as `\( \Delta r = 0.02 \)` meters.
The measured radius is `\( r = 7 \)` meters.
To find the approximate error in the volume, `\( \Delta V \)`, we use the differential approximation formula: `\( \Delta V \approx \frac{dV}{dr} \Delta r \)`
First, we calculate the derivative of the volume with respect to \( r \):
`\( \frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = 4\pi r^2 \)`
Now, we substitute this derivative, the given value of \( r \), and `\( \Delta r \)` into the formula for `\( \Delta V \)`:
`\( \Delta V \approx 4\pi (7)^2 \times 0.02 \)`
`\( \Delta V \approx 4\pi (49) \times 0.02 \)`
`\( \Delta V \approx 196\pi \times 0.02 \)`
`\( \Delta V \approx 3.92\pi \)`
Therefore, the approximate error that enters its volume is `\( 3.92\pi \)` cubic meters.
In simple words: We calculated how much the sphere's volume might be off. With a small error in measuring its radius, we used the rate of change of volume to estimate the total volume error.

Exam Tip: Distinguish between volume and surface area formulas for a sphere. For error approximation, always remember to differentiate the correct formula with respect to the variable that has an error.

Question 7. એક ગોલકની ત્રિજ્યાના માપનમાં 0.03 મીટર ત્રુટિ રહી ગયેલ છે. જો ગોલકની ત્રિજ્યા 9 મીટર માપવામાં આવી હોય, તો તેના પૃષ્ઠફળમાં પ્રવેશતી ત્રુટિનું આસન્ન મૂલ્ય શોધો.
Answer: Let the radius of the sphere be \( x \) meters.
The surface area of the sphere, denoted by \( S \), is given by `\( S = 4\pi x^2 \)` square meters.
The error in measuring the radius is given as `\( \Delta x = 0.03 \)` meters.
The measured radius is `\( x = 9 \)` meters.
To find the approximate error in the surface area, `\( \Delta S \)`, we use the differential approximation formula: `\( \Delta S \approx \frac{dS}{dx} \Delta x \)`
First, we calculate the derivative of the surface area with respect to \( x \):
`\( \frac{dS}{dx} = \frac{d}{dx}(4\pi x^2) = 8\pi x \)`
Now, we substitute this derivative, the given value of \( x \), and `\( \Delta x \)` into the formula for `\( \Delta S \)`:
`\( \Delta S \approx 8\pi (9) \times 0.03 \)`
`\( \Delta S \approx 72\pi \times 0.03 \)`
`\( \Delta S \approx 2.16\pi \)`
Therefore, the approximate error that enters its surface area is `\( 2.16\pi \)` square meters.
In simple words: With a small measurement error in the sphere's radius, we calculated the corresponding error in its surface area. This was done by figuring out how much the surface area changes for a small change in radius.

Exam Tip: Carefully differentiate between volume and surface area when solving approximation problems for spheres. Ensure the correct formula is used for differentiation based on the problem's requirement.

Question 8. જો \( f(x) = 3x^2 + 15x + 5 \) હોય, તો \( f(3.02) \)નું આસન્ન મૂલ્ય .......... છે.
(a) 47.66
(b) 57.66
(c) 67.66
(d) 77.66
Answer: (d) 77.66
Let the function be \( f(x) = 3x^2 + 15x + 5 \).
First, we find the derivative of the function: \( f'(x) = 6x + 15 \).
To approximate \( f(3.02) \), we choose \( x = 3 \) and `\( \Delta x = 0.02 \)` (because \( 3.02 = 3 + 0.02 \)).
The approximation rule states that \( f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x \).
Now, we calculate \( f(3) \):
\( f(3) = 3(3)^2 + 15(3) + 5 = 3(9) + 45 + 5 = 27 + 45 + 5 = 77 \).
Next, we calculate \( f'(3) \):
\( f'(3) = 6(3) + 15 = 18 + 15 = 33 \).
Substituting these values into the approximation formula:
\( f(3.02) \approx 77 + 33 \times 0.02 \)
\( f(3.02) \approx 77 + 0.66 \)
\( f(3.02) \approx 77.66 \).
Comparing this result with the given options, we find that it matches option (D).
In simple words: We used the function's value and its slope at \( x=3 \) to estimate \( f(3.02) \). The small change \( (\Delta x) \) multiplied by the slope was added to \( f(3) \) to get the final approximation.

Exam Tip: For MCQ questions, after calculating the approximate value, always match it with the correct option. Ensure your calculation for \( f'(x) \) and its value at 'x' is precise.

Question 9. એક સમઘનની બાજુની લંબાઈ x મીટર છે, જો તેની બાજુની લંબાઈમાં 3%નો વધારો થતો હોય, તો તેના ઘનફળમાં થતા વધારાનું આસન્ન મૂલ્ય ............... છે.
(a) 0.06 x\(^3\) (મીટર)\(^3\)
(b) 0.6 x\(^3\) (મીટર)\(^3\)
(c) 0.09 x\(^3\) (મીટર)\(^3\)
(d) 0.9 x\(^3\) (મીટર)\(^3\)
Answer: (c) 0.09 x\(^3\) (મીટર)\(^3\)
Let the side length of the cube be \( x \) meters.
The volume of the cube, denoted by \( V \), is given by the formula \( V = x^3 \) cubic meters.
We are given that the side length has an increase of `\( 3\% \)` of \( x \). This means `\( \Delta x = 0.03x \)` meters.
To find the approximate increase in volume, `\( \Delta V \)`, we use the differential approximation formula: `\( \Delta V \approx \frac{dV}{dx} \Delta x \)`
First, we calculate the derivative of the volume with respect to \( x \):
`\( \frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \)`
Now, we substitute this derivative and the value of `\( \Delta x \)` into the formula for `\( \Delta V \)`:
`\( \Delta V \approx 3x^2 \times (0.03x) \)`
`\( \Delta V \approx 0.09x^3 \)`
Therefore, if the side length of the cube increases by `\( 3\% \)`, the approximate increase in its volume is `\( 0.09x^3 \)` cubic meters.
Comparing this result with the given options, we find that it matches option (C).
In simple words: When a cube's side length grows by 3%, its volume increases by about 0.09 times the cube of its original side. This is determined by how quickly the volume changes relative to the side length.

Exam Tip: Be careful to correctly convert percentage changes into decimal form for \( \Delta x \). Always ensure the final answer matches one of the provided options for MCQs.