GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Exercise 6.3

Question 1. વક્ર \( y = 3x^4 – 4x \) ને \( x = 4 \) આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = 3x^4 – 4x \).
વક્રનાં સ્પર્શકનો \( (x, y) \) બિંદુએ ઢાળ \( = \frac{dy}{dx} \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^4 – 4x) \)
\( = 12x^3 - 4 \)
\( \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=4} = 12(4)^3 – 4 \)
\( = 12(64) - 4 \)
\( = 768 - 4 \)
\( = 764 \)
આથી, આપેલ વક્રનાં \( x = 4 \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ 764 છે.
In simple words: પહેલા વક્રનું સમીકરણ લો. પછી તેને x ની સાપેક્ષમાં વિકલિત કરો. આનાથી સ્પર્શકનો ઢાળ મળે. અંતે, x = 4 મૂકીને ઢાળની કિંમત શોધો.

Exam Tip: સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે, આપેલ વક્રનું x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો અને પછી આપેલ x ની કિંમત વિકલનમાં મૂકો.

Question 2. વક્ર \( y = \frac{x-1}{x-2}, x \neq 2 \) ને \( x = 10 \) આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = \frac{x-1}{x-2}, (x \neq 2) \).
વક્રનાં સ્પર્શકનો \( (x, y) \) બિંદુએ ઢાળ \( = \frac{dy}{dx} \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x-2}\right) \)
\( = \frac{(x-2)(1) - (x-1)(1)}{(x-2)^2} \)
\( = \frac{x-2-x+1}{(x-2)^2} \)
\( = \frac{-1}{(x-2)^2} \)
\( \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=10} = \frac{-1}{(10-2)^2} \)
\( = \frac{-1}{(8)^2} \)
\( = -\frac{1}{64} \)
આથી, આપેલ વક્રનો \( x = 10 \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ \( -\frac{1}{64} \) છે.
In simple words: સૌપ્રથમ વક્રનું સમીકરણ લખો. પછી, ગુણોત્તર નિયમનો ઉપયોગ કરીને x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો. અંતે, વિકલનમાં x = 10 મૂકીને સ્પર્શકનો ઢાળ મેળવો.

Exam Tip: ભાગાકાર નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતી વખતે સાવચેત રહો અને છેદને શૂન્ય થતો અટકાવવા માટે \( x \neq 2 \) જેવી શરતો ધ્યાનમાં રાખો.

Question 3. વક્ર \( y = x^3 - x + 1 \) ના જે બિંદુનો x- યામ 2 હોય તે બિંદુ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = x^3 - x + 1 \).
વક્રનાં સ્પર્શકનો \( (x, y) \) બિંદુએ ઢાળ \( = \frac{dy}{dx} \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - x + 1) \)
\( = 3x^2 - 1 \)
\( \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2} = 3(2)^2 - 1 \)
\( = 3(4) - 1 \)
\( = 12 - 1 \)
\( = 11 \)
આથી, આપેલ વક્રનાં \( x = 2 \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ 11 છે.
In simple words: પહેલા વક્રનું સમીકરણ લખો. પછી x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને ઢાળનું સૂત્ર મેળવો. અંતે, x = 2 મૂકીને સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.

Exam Tip: વિકલનના મૂળભૂત નિયમો યાદ રાખો અને ગણતરીમાં કોઈ ભૂલ ન થાય તેની ખાતરી કરો.

Question 4. વક્ર \( y = x^3 - 3x + 2 \) ના જે બિંદુનો x- યામ 3 હોય તે બિંદુ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = x^3 - 3x + 2 \).
વક્રનાં સ્પર્શકનો \( (x, y) \) બિંદુએ ઢાળ \( = \frac{dy}{dx} \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) \)
\( = 3x^2 - 3 \)
\( \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=3} = 3(3)^2 - 3 \)
\( = 3(9) - 3 \)
\( = 27 - 3 \)
\( = 24 \)
આથી, આપેલ વક્રનાં \( x = 3 \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ 24 છે.
In simple words: વક્રનું સમીકરણ શોધો. પછી x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને ઢાળ માટેનું સૂત્ર મેળવો. છેલ્લે, x = 3 ની કિંમત મૂકીને સ્પર્શકનો ઢાળ નક્કી કરો.

Exam Tip: સાદી ગણતરીઓમાં ભૂલો ટાળવા માટે ધ્યાન આપો, ખાસ કરીને જ્યારે ઘાત અને ગુણાકાર શામેલ હોય.

Question 5. \( x = a \cos^3\theta, y = a \sin^3\theta \) પ્રચલ સમીકરણવાળા વક્રને \( \theta = \frac{\pi}{4} \) આગળના અભિલંબનો ઢાળ શોધો.
Answer: આપેલ છે: \( x = a \cos^3\theta \) અને \( y = a \sin^3\theta \), \( \theta = \frac{\pi}{4} \).
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(a \cos^3\theta) = a \cdot 3 \cos^2\theta (-\sin\theta) = -3a \cos^2\theta \sin\theta \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(a \sin^3\theta) = a \cdot 3 \sin^2\theta (\cos\theta) = 3a \sin^2\theta \cos\theta \)
હવે, વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{3a \sin^2\theta \cos\theta}{-3a \cos^2\theta \sin\theta} = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta \)
\( \theta = \frac{\pi}{4} \) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( \left.\frac{dy}{dx}\right|_{\theta=\frac{\pi}{4}} = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 \)
અભિલંબનો ઢાળ \( = \frac{-1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} \)
\( = \frac{-1}{-1} \)
\( = 1 \)
આથી, \( \theta = \frac{\pi}{4} \) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ 1 છે.
In simple words: પહેલા x અને y ના \(\theta\) ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો. પછી \(\frac{dy}{dx}\) શોધવા માટે તેમને ભાગો. \(\theta = \frac{\pi}{4}\) ની કિંમત મૂકીને સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો. અભિલંબનો ઢાળ શોધવા માટે, સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી લો.

Exam Tip: પ્રચલિત સમીકરણોમાં ઢાળ શોધતી વખતે, ચેઇન રૂલ (chain rule) નો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો અને \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}\) સૂત્ર યાદ રાખો.

Question 6. \( x = 1 - a \sin\theta, y = b \cos 2\theta \) પ્રચલ સમીકરણવાળા વક્રને \( \theta = \frac{\pi}{2} \) આગળના અભિલંબનો ઢાળ શોધો.
Answer: આપેલ છે: \( x = 1 - a \sin\theta \) અને \( y = b \cos 2\theta \), \( \theta = \frac{\pi}{2} \).
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(1 - a \sin\theta) = -a \cos\theta \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(b \cos 2\theta) = b (- \sin 2\theta) (2) = -2b \sin 2\theta \)
હવે, વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-2b \sin 2\theta}{-a \cos\theta} = \frac{2b \sin 2\theta}{a \cos\theta} \)
\( \theta = \frac{\pi}{2} \) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( \left.\frac{dy}{dx}\right|_{\theta=\frac{\pi}{2}} = \frac{2b \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)}{a \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{2b \sin(\pi)}{a \cdot 0} \)
\( = \frac{2b \cdot 0}{a \cdot 0} = \frac{0}{0} \). આ સ્વરૂપ અનિર્ધારિત છે. આથી, આપણે અન્ય રીતે ગણતરી કરવી પડશે.
નોંધો કે \( \sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta \).
તો, \( \frac{dy}{dx} = \frac{2b (2 \sin\theta \cos\theta)}{a \cos\theta} = \frac{4b \sin\theta}{a} \) (જ્યાં \( \cos\theta \neq 0 \)).
\( \theta = \frac{\pi}{2} \) આગળ, \( \cos\theta = 0 \). તેથી, આ રીતે ઢાળ અનંત (undefined) થાય છે.
જ્યારે સ્પર્શકનો ઢાળ અનંત હોય, ત્યારે સ્પર્શક Y-અક્ષને સમાંતર હોય છે. તેથી, સ્પર્શક એક ઊભી રેખા છે.
જો સ્પર્શક ઊભી રેખા હોય, તો અભિલંબ X-અક્ષને સમાંતર (આડી રેખા) હોય છે, અને તેનો ઢાળ 0 હોય છે.
આથી, \( \theta = \frac{\pi}{2} \) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ 0 છે.
In simple words: પહેલા x અને y ને \(\theta\) ની સાપેક્ષમાં વિકલિત કરો. પછી \(\frac{dy}{dx}\) શોધવા માટે તેમને ભાગો. જો \(\theta = \frac{\pi}{2}\) આગળ ઢાળ અનંત (undefined) હોય, તો સ્પર્શક ઊભો હોય છે, અને તેનો અભિલંબ આડો હોય છે, જેનો ઢાળ શૂન્ય હોય છે.

Exam Tip: જ્યારે \(\frac{dy}{dx}\) અનંત હોય, ત્યારે સ્પર્શક ઊભો હોય છે અને અભિલંબ આડો હોય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, અભિલંબનો ઢાળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

Question 7. વક્ર \( y = x^3 - 3x^2 - 9x + 7 \) ને જે બિંદુઓ આગળના સ્પર્શકો X- અક્ષને સમાંતર હોય તે બિંદુઓ શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = x^3 - 3x^2 - 9x + 7 \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x + 7) \)
\( = 3x^2 - 6x - 9 \)
\( = 3(x^2 - 2x - 3) \)
\( = 3(x - 3)(x + 1) \)
વક્રનાં સ્પર્શકનો \( (x, y) \) બિંદુએ ઢાળ \( = \frac{dy}{dx} \).
આપેલ છે કે વક્રનો સ્પર્શક X- અક્ષને સમાંતર છે.
જો સ્પર્શક X- અક્ષને સમાંતર હોય, તો તેનો ઢાળ 0 હોય છે.
\( \implies \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 \)
\( \implies x - 3 = 0 \) અથવા \( x + 1 = 0 \)
\( \implies x = 3 \) અથવા \( x = -1 \)
જ્યારે \( x = 3 \): \( y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 7 \)
\( = 27 - 3(9) - 27 + 7 \)
\( = 27 - 27 - 27 + 7 = -20 \)
જ્યારે \( x = -1 \): \( y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7 \)
\( = -1 - 3(1) + 9 + 7 \)
\( = -1 - 3 + 9 + 7 = 12 \)
આથી, માંગેલ બિંદુઓ \( (3, -20) \) અને \( (-1, 12) \) છે, જ્યાં સ્પર્શકો X- અક્ષને સમાંતર હોય.
In simple words: પહેલા વક્રનું વિકલન કરો. જો સ્પર્શક X- અક્ષને સમાંતર હોય, તો તેનો ઢાળ 0 હોય છે. ઢાળને 0 ની બરાબર સેટ કરીને x ની કિંમતો શોધો. પછી આ x ની કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકીને y ની કિંમતો શોધો.

Exam Tip: જ્યારે સ્પર્શક X-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે ઢાળ શૂન્ય હોય છે, અને જ્યારે Y-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે ઢાળ અનંત હોય છે. આ મૂળભૂત સિદ્ધાંતો યાદ રાખો.

Question 8. વક્ર \( y = (x - 2)^2 \) નો એક સ્પર્શક વક્ર પરનાં બિંદુઓ \( (2, 0) \) અને \( (4, 4) \) ને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય, તો તે સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = (x - 2)^2 \).
વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ: \( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x - 2)^2 = 2(x - 2) \).
બિંદુઓ \( A(2, 0) \) અને \( B(4, 4) \) ને જોડતી જીવાનો ઢાળ:
\( m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4-0}{4-2} = \frac{4}{2} = 2 \).
આપેલ છે કે વક્રનો સ્પર્શક જીવા \( \overline{AB} \) ને સમાંતર છે.
જો બે રેખાઓ સમાંતર હોય, તો તેમના ઢાળ સરખા હોય છે.
\( \implies \) વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ = જીવાનો ઢાળ
\( \implies 2(x - 2) = 2 \)
\( \implies x - 2 = 1 \)
\( \implies x = 3 \)
\( x = 3 \) ની કિંમત વક્રના સમીકરણમાં મૂકતાં:
\( y = (3 - 2)^2 = (1)^2 = 1 \).
આથી, સ્પર્શબિંદુ \( (3, 1) \) છે. આ બિંદુએ દોરેલ સ્પર્શક બિંદુઓ \( (2, 0) \) અને \( (4, 4) \) ને જોડતી જીવાને સમાંતર છે.
In simple words: પહેલા વક્રનું વિકલન કરીને સ્પર્શકનો ઢાળ મેળવો. પછી આપેલ બે બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને જીવાનો ઢાળ શોધો. સ્પર્શક જીવાને સમાંતર હોવાથી, બંને ઢાળને સરખા કરો અને x ની કિંમત શોધો. છેલ્લે, આ x ની કિંમતને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકીને y ની કિંમત શોધી સ્પર્શબિંદુ નક્કી કરો.

Exam Tip: બે રેખાઓ સમાંતર હોય ત્યારે તેમના ઢાળ સરખા હોય છે, અને જો તે લંબ હોય તો તેમના ઢાળનો ગુણાકાર -1 થાય છે. આ ગુણધર્મો યાદ રાખવા જરૂરી છે.

Question 9. વક્ર \( y = x^3 - 11x + 5 \) ના કોઈ બિંદુ આગળનો સ્પર્શક \( y = x - 11 \) હોય, તો વક્ર પરનું તે બિંદુ શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = x^3 - 11x + 5 \).
વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ: \( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 11x + 5) = 3x^2 - 11 \).
સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ છે: \( y = x - 11 \). આ રેખાનો ઢાળ 1 છે (કારણ કે \( y = mx + c \) સાથે સરખાવતાં \( m = 1 \)).
સ્પર્શબિંદુ \( (x, y) \) આગળ વક્રને દોરેલ સ્પર્શકનો ઢાળ એ રેખાના ઢાળ બરાબર હોવો જોઈએ.
\( \implies 3x^2 - 11 = 1 \)
\( \implies 3x^2 = 12 \)
\( \implies x^2 = 4 \)
\( \implies x = \pm 2 \)
જ્યારે \( x = 2 \): \( y = (2)^3 - 11(2) + 5 \)
\( = 8 - 22 + 5 = -9 \).
જ્યારે \( x = -2 \): \( y = (-2)^3 - 11(-2) + 5 \)
\( = -8 + 22 + 5 = 19 \).
તેથી, માંગેલ બિંદુઓ \( (2, -9) \) અને \( (-2, 19) \) છે.
In simple words: પહેલા વક્રનું વિકલન કરો જેથી સ્પર્શકનો ઢાળ મળે. આપેલ સ્પર્શક રેખાનો ઢાળ શોધો. બંને ઢાળને સરખા કરો અને x ની કિંમતો મેળવો. છેલ્લે, આ x ની કિંમતોને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકીને y ની કિંમતો શોધો.

Exam Tip: આપેલ રેખાના ઢાળ સાથે વક્રના ઢાળને સરખાવીને x ની કિંમતો શોધો અને પછી તેમને મૂળ સમીકરણમાં મૂકીને y ની કિંમતો શોધી સ્પર્શબિંદુઓ મેળવો.

Question 10. વક્ર \( y = \frac{1}{x-1}, x \neq 1 \) ને -1 ઢાળવાળા તમામ સ્પર્શકોનાં સમીકરણો શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = \frac{1}{x-1}, x \neq 1 \).
આપેલ વક્રનાં \( (x, y) \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x-1}\right) = \frac{-1}{(x-1)^2} \).
પરંતુ ઢાળ \( = -1 \) આપેલ છે.
\( \implies \frac{-1}{(x-1)^2} = -1 \)
\( \implies (x-1)^2 = 1 \)
\( \implies x-1 = \pm 1 \)
\( \implies x-1 = 1 \) અથવા \( x-1 = -1 \)
\( \implies x = 2 \) અથવા \( x = 0 \)
જ્યારે \( x = 0 \): \( y = \frac{1}{0-1} = -1 \). તેથી બિંદુ \( (0, -1) \).
જ્યારે \( x = 2 \): \( y = \frac{1}{2-1} = 1 \). તેથી બિંદુ \( (2, 1) \).
\( (0, -1) \) બિંદુમાંથી પસાર થતાં અને \( -1 \) ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ:
\( y - (-1) = -1 (x - 0) \)
\( y + 1 = -x \)
\( x + y + 1 = 0 \).
\( (2, 1) \) બિંદુમાંથી પસાર થતાં અને \( -1 \) ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ:
\( y - 1 = -1 (x - 2) \)
\( y - 1 = -x + 2 \)
\( x + y - 3 = 0 \).
આથી, માંગેલ સ્પર્શક રેખાઓનાં સમીકરણો છે: \( x + y + 1 = 0 \) અને \( x + y - 3 = 0 \).
In simple words: પહેલા વક્રનું વિકલન કરીને ઢાળનું સૂત્ર મેળવો. ઢાળને -1 ની બરાબર સેટ કરીને x ની કિંમતો શોધો. આ x ની કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકીને y ની કિંમતો શોધી સ્પર્શબિંદુઓ મેળવો. પછી, સ્પર્શકના સમીકરણ \( y - y_1 = m(x - x_1) \) નો ઉપયોગ કરીને દરેક બિંદુ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ લખો.

Exam Tip: સ્પર્શકોના સમીકરણો શોધતી વખતે, સ્પર્શકનો ઢાળ અને સ્પર્શબિંદુ બંનેની ચોક્કસ ગણતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 11. વક્ર \( y = \frac{1}{x-3}, x \neq 3 \) ને 2 ઢાળવાળા તમામ સ્પર્શકોનાં સમીકરણો શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = \frac{1}{x-3}, x \neq 3 \).
આપેલ વક્રનાં \( (x, y) \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x-3}\right) = \frac{-1}{(x-3)^2} \).
પરંતુ ઢાળ \( = 2 \) આપેલ છે.
\( \implies \frac{-1}{(x-3)^2} = 2 \)
\( \implies -1 = 2(x-3)^2 \)
\( \implies (x-3)^2 = -\frac{1}{2} \).
આ શક્ય નથી, કારણ કે \( (x-3)^2 \) હંમેશા શૂન્ય અથવા ધન સંખ્યા હોય છે, તે ક્યારેય ઋણ સંખ્યા હોઈ શકે નહીં.
આથી, વક્ર \( y = \frac{1}{x-3} \) ને 2 ઢાળવાળો કોઈ સ્પર્શક મળતો નથી.
In simple words: પહેલા વક્રનું વિકલન કરીને ઢાળનું સૂત્ર મેળવો. ઢાળને 2 ની બરાબર સેટ કરો. જો તમને કોઈ અશક્ય પરિણામ મળે (જેમ કે ધન સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ આવે), તો તેનો અર્થ છે કે તે ઢાળવાળો કોઈ સ્પર્શક નથી.

Exam Tip: ગણતરી કરતી વખતે, ધ્યાન રાખો કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં વર્ગ હંમેશા શૂન્ય અથવા ધન હોય છે. જો તમને ઋણ વર્ગ મળે, તો તે સંકેત આપે છે કે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

Question 12. વક્ર \( y = \frac{1}{x^2-2x+3} \) ને 0 ઢાળવાળા તમામ સ્પર્શકોનાં સમીકરણો શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = \frac{1}{x^2-2x+3} \).
આપેલ વક્રનાં \( (x, y) \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2-2x+3}\right) \)
\( = \frac{-1}{(x^2-2x+3)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2-2x+3) \)
\( = \frac{-1}{(x^2-2x+3)^2} \cdot (2x - 2) \)
\( = \frac{-2(x - 1)}{(x^2-2x+3)^2} \).
પરંતુ ઢાળ \( = 0 \) આપેલ છે.
\( \implies \frac{-2(x - 1)}{(x^2-2x+3)^2} = 0 \)
આપણી પાસે \( (x^2-2x+3) = (x-1)^2 + 2 \) છે, જે ક્યારેય શૂન્ય નથી, તેથી છેદ શૂન્ય બની શકે નહીં.
\( \implies -2(x - 1) = 0 \)
\( \implies x - 1 = 0 \)
\( \implies x = 1 \).
\( x = 1 \) ની કિંમત વક્રના સમીકરણમાં મૂકતાં:
\( y = \frac{1}{(1)^2 - 2(1) + 3} = \frac{1}{1 - 2 + 3} = \frac{1}{2} \).
આથી, સ્પર્શબિંદુ \( \left(1, \frac{1}{2}\right) \) છે.
\( \left(1, \frac{1}{2}\right) \) બિંદુએ 0 ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ (સ્પર્શકનું સમીકરણ):
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - \frac{1}{2} = 0(x - 1) \)
\( y - \frac{1}{2} = 0 \)
\( y = \frac{1}{2} \).
આથી, માંગેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ \( y = \frac{1}{2} \) છે.
In simple words: પહેલા વક્રનું વિકલન કરીને ઢાળનું સૂત્ર મેળવો. ઢાળને 0 ની બરાબર સેટ કરીને x ની કિંમત શોધો. આ x ની કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકીને y ની કિંમત શોધી સ્પર્શબિંદુ મેળવો. પછી, સ્પર્શકના સમીકરણ \( y - y_1 = m(x - x_1) \) નો ઉપયોગ કરીને સ્પર્શકનું સમીકરણ લખો.

Exam Tip: છેદમાં \( (x^2-2x+3) \) પદને પૂર્ણ વર્ગ સ્વરૂપમાં લખીને તે ક્યારેય શૂન્ય નથી થતું તે ચકાસવું, જેથી ભાગાકારની સમસ્યા ટાળી શકાય.

Question 13. વક્ર \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16} = 1 \) ના જે બિંદુ આગળના સ્પર્શકો
(i) X- અક્ષને સમાંતર હોય,
(ii) Y- અક્ષને સમાંતર હોય તે બિંદુઓ શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16} = 1 \).
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં:
\( \frac{2x}{9} + \frac{2y}{16}\frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \frac{2y}{16}\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{9} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{9} \cdot \frac{16}{2y} = -\frac{16x}{9y} \).
\( (x, y) \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ \( \frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{9y} \).

(i) વક્રનો સ્પર્શક X- અક્ષને સમાંતર હોય.
જો સ્પર્શક X- અક્ષને સમાંતર હોય, તો તેનો ઢાળ 0 હોય છે.
\( \implies \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies -\frac{16x}{9y} = 0 \)
\( \implies -16x = 0 \)
\( \implies x = 0 \).
\( x = 0 \) ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતાં:
\( \frac{0^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \)
\( \frac{y^2}{16} = 1 \)
\( y^2 = 16 \)
\( y = \pm 4 \).
આથી, બિંદુઓ \( (0, 4) \) તથા \( (0, -4) \) છે, જ્યાં સ્પર્શકો X- અક્ષને સમાંતર હોય.

(ii) વક્રનો સ્પર્શક Y- અક્ષને સમાંતર હોય.
જો સ્પર્શક Y- અક્ષને સમાંતર હોય, તો તેનો ઢાળ અનંત હોય છે, એટલે કે \( \frac{dx}{dy} = 0 \).
\( \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{-\frac{16x}{9y}} = -\frac{9y}{16x} \).
\( \implies -\frac{9y}{16x} = 0 \)
\( \implies -9y = 0 \)
\( \implies y = 0 \).
\( y = 0 \) ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતાં:
\( \frac{x^2}{9} + \frac{0^2}{16} = 1 \)
\( \frac{x^2}{9} = 1 \)
\( x^2 = 9 \)
\( x = \pm 3 \).
આથી, બિંદુઓ \( (3, 0) \) અને \( (-3, 0) \) છે, જ્યાં સ્પર્શકો Y- અક્ષને સમાંતર હોય.
In simple words: પહેલા વક્રનું x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને સ્પર્શકનો ઢાળ \( \frac{dy}{dx} \) શોધો.
(i) X-અક્ષને સમાંતર સ્પર્શકો માટે, ઢાળને શૂન્યની બરાબર કરો અને x ની કિંમત શોધી તેને મૂળ સમીકરણમાં મૂકી y ની કિંમત મેળવો.
(ii) Y-અક્ષને સમાંતર સ્પર્શકો માટે, ઢાળ અનંત હોય છે, એટલે કે \( \frac{dx}{dy} = 0 \) સેટ કરીને y ની કિંમત શોધો અને તેને મૂળ સમીકરણમાં મૂકી x ની કિંમત મેળવો.

Exam Tip: લંબગોળ જેવા વક્રો માટે, X-અક્ષને સમાંતર સ્પર્શકો હંમેશા દીર્ઘવૃત્તના ટોચના અને નીચલા બિંદુઓ પર હોય છે, જ્યારે Y-અક્ષને સમાંતર સ્પર્શકો ડાબા અને જમણા છેડાના બિંદુઓ પર હોય છે.

Question 14. નીચે આપેલ વક્રોને દર્શાવેલ બિંદુ આગળ સ્પર્શક તથા અભિલંબનાં સમીકરણો શોધો :
(i) \( y = x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 10x + 5 \) ને \( (0, 5) \) બિંદુ આગળ
(ii) \( y = x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 10x + 5 \) ને \( (1, 3) \) બિંદુ આગળ
(iii) \( y = x^3 \) પરના \( (1, 1) \) બિંદુ આગળ
(iv) \( y = x^2 \) પરના \( (0, 0) \) બિંદુ આગળ
(v) \( x = \cos t, y = \sin t \) પરના \( t = \frac{\pi}{4} \) ને સંગત બિંદુ પર
Answer:
(i) વક્ર: \( y = x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 10x + 5 \), બિંદુ \( (0, 5) \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 10x + 5) = 4x^3 – 18x^2 + 26x – 10 \).
\( (0, 5) \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( m_{સ્પર્શક} = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(0,5)} = 4(0)^3 – 18(0)^2 + 26(0) – 10 = -10 \).
\( (0, 5) \) બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
\( y - y_1 = m_{સ્પર્શક}(x - x_1) \)
\( y - 5 = -10(x - 0) \)
\( y - 5 = -10x \)
\( 10x + y - 5 = 0 \).
\( (0, 5) \) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ:
\( m_{અભિલંબ} = \frac{-1}{m_{સ્પર્શક}} = \frac{-1}{-10} = \frac{1}{10} \).
\( (0, 5) \) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ:
\( y - y_1 = m_{અભિલંબ}(x - x_1) \)
\( y - 5 = \frac{1}{10}(x - 0) \)
\( 10(y - 5) = x \)
\( 10y - 50 = x \)
\( x - 10y + 50 = 0 \).

(ii) વક્ર: \( y = x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 10x + 5 \), બિંદુ \( (1, 3) \).
\( \frac{dy}{dx} = 4x^3 – 18x^2 + 26x – 10 \) (ભાગ (i) માંથી).
\( (1, 3) \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( m_{સ્પર્શક} = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,3)} = 4(1)^3 – 18(1)^2 + 26(1) – 10 \)
\( = 4 - 18 + 26 - 10 \)
\( = 30 - 28 = 2 \).
\( (1, 3) \) બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
\( y - 3 = 2(x - 1) \)
\( y - 3 = 2x - 2 \)
\( y = 2x + 1 \).
\( (1, 3) \) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ:
\( m_{અભિલંબ} = \frac{-1}{m_{સ્પર્શક}} = \frac{-1}{2} \).
\( (1, 3) \) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ:
\( y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 1) \)
\( 2(y - 3) = -(x - 1) \)
\( 2y - 6 = -x + 1 \)
\( x + 2y - 7 = 0 \).

(iii) વક્ર: \( y = x^3 \), બિંદુ \( (1, 1) \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \).
\( (1, 1) \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( m_{સ્પર્શક} = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,1)} = 3(1)^2 = 3 \).
\( (1, 1) \) બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
\( y - 1 = 3(x - 1) \)
\( y - 1 = 3x - 3 \)
\( 3x - y - 2 = 0 \).
\( (1, 1) \) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ:
\( m_{અભિલંબ} = \frac{-1}{m_{સ્પર્શક}} = \frac{-1}{3} \).
\( (1, 1) \) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ:
\( y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 1) \)
\( 3(y - 1) = -(x - 1) \)
\( 3y - 3 = -x + 1 \)
\( x + 3y - 4 = 0 \).

(iv) વક્ર: \( y = x^2 \), બિંદુ \( (0, 0) \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \).
\( (0, 0) \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( m_{સ્પર્શક} = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(0,0)} = 2(0) = 0 \).
\( (0, 0) \) બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
\( y - 0 = 0(x - 0) \)
\( y = 0 \).
\( (0, 0) \) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ:
\( m_{અભિલંબ} = \frac{-1}{m_{સ્પર્શક}} = \frac{-1}{0} \).
આ ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત (અનંત) છે. જ્યારે અભિલંબનો ઢાળ અનંત હોય, ત્યારે અભિલંબ Y-અક્ષને સમાંતર ઊભી રેખા હોય છે.
\( (0, 0) \) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ:
\( x = 0 \).

(v) વક્ર: \( x = \cos t, y = \sin t \), \( t = \frac{\pi}{4} \) ને સંગત બિંદુ પર.
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t \).
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t \).
સ્પર્શકનો ઢાળ \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t \).
\( t = \frac{\pi}{4} \) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( m_{સ્પર્શક} = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\frac{\pi}{4}} = -\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 \).
\( t = \frac{\pi}{4} \) પર બિંદુના યામ શોધો:
\( x = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
\( y = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
આથી, બિંદુ \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) છે.
\( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
\( y - \frac{1}{\sqrt{2}} = -1\left(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)
\( y - \frac{1}{\sqrt{2}} = -x + \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( x + y = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( x + y = \frac{2}{\sqrt{2}} \)
\( x + y = \sqrt{2} \).
\( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ:
\( m_{અભિલંબ} = \frac{-1}{m_{સ્પર્શક}} = \frac{-1}{-1} = 1 \).
\( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ:
\( y - \frac{1}{\sqrt{2}} = 1\left(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)
\( y - \frac{1}{\sqrt{2}} = x - \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( y = x \).
In simple words: દરેક ભાગ માટે, પહેલા વક્રનું વિકલન કરીને સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો. પછી સ્પર્શકનું સમીકરણ \( y - y_1 = m(x - x_1) \) નો ઉપયોગ કરીને સ્પર્શકનું સમીકરણ લખો. અભિલંબનો ઢાળ શોધવા માટે, સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી લો, અને પછી અભિલંબનું સમીકરણ લખો.

Exam Tip: પ્રચલિત સમીકરણોમાં, ઢાળ શોધવા માટે \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. જો ઢાળ અનંત આવે, તો તે Y-અક્ષને સમાંતર સ્પર્શક દર્શાવે છે, અને તેનો અભિલંબ X-અક્ષને સમાંતર હોય છે.

Question 15. વક્ર \( y = x^2 – 2x + 7 \) ના (a) રેખા \( 2x – y + 9 = 0 \) ને સમાંતર તથા (b) રેખા \( 5y – 15x = 13 \) ને લંબ સ્પર્શકોનાં સમીકરણો શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = x^2 – 2x + 7 \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 – 2x + 7) = 2x - 2 \).

(a) સ્પર્શક રેખા \( 2x – y + 9 = 0 \) ને સમાંતર છે.
રેખા \( 2x – y + 9 = 0 \) નો ઢાળ શોધવા માટે, તેને \( y = mx + c \) સ્વરૂપમાં લખો:
\( y = 2x + 9 \).
આથી, રેખાનો ઢાળ \( m = 2 \) છે.
જો સ્પર્શક આ રેખાને સમાંતર હોય, તો તેનો ઢાળ પણ 2 હોય છે.
\( \implies 2x - 2 = 2 \)
\( \implies 2x = 4 \)
\( \implies x = 2 \).
\( x = 2 \) ની કિંમત વક્રના સમીકરણમાં મૂકતાં:
\( y = (2)^2 - 2(2) + 7 = 4 - 4 + 7 = 7 \).
આથી, સ્પર્શબિંદુ \( (2, 7) \) છે.
\( (2, 7) \) બિંદુએ 2 ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ (સ્પર્શકનું સમીકરણ):
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 7 = 2(x - 2) \)
\( y - 7 = 2x - 4 \)
\( 2x - y + 3 = 0 \).

(b) સ્પર્શક રેખા \( 5y – 15x = 13 \) ને લંબ છે.
રેખા \( 5y – 15x = 13 \) નો ઢાળ શોધવા માટે, તેને \( y = mx + c \) સ્વરૂપમાં લખો:
\( 5y = 15x + 13 \)
\( y = 3x + \frac{13}{5} \).
આથી, રેખાનો ઢાળ \( m_1 = 3 \) છે.
જો સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોય, તો સ્પર્શકનો ઢાળ \( m_2 = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{3} \).
હવે, વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ \( 2x - 2 \) ને \( -\frac{1}{3} \) ની બરાબર સેટ કરો.
\( \implies 2x - 2 = -\frac{1}{3} \)
\( \implies 2x = 2 - \frac{1}{3} \)
\( \implies 2x = \frac{6 - 1}{3} = \frac{5}{3} \)
\( \implies x = \frac{5}{6} \).
\( x = \frac{5}{6} \) ની કિંમત વક્રના સમીકરણમાં મૂકતાં:
\( y = \left(\frac{5}{6}\right)^2 - 2\left(\frac{5}{6}\right) + 7 \)
\( = \frac{25}{36} - \frac{10}{6} + 7 \)
\( = \frac{25}{36} - \frac{60}{36} + \frac{252}{36} \)
\( = \frac{25 - 60 + 252}{36} = \frac{217}{36} \).
આથી, સ્પર્શબિંદુ \( \left(\frac{5}{6}, \frac{217}{36}\right) \) છે.
\( \left(\frac{5}{6}, \frac{217}{36}\right) \) બિંદુએ \( -\frac{1}{3} \) ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ (સ્પર્શકનું સમીકરણ):
\( y - \frac{217}{36} = -\frac{1}{3}\left(x - \frac{5}{6}\right) \)
\( \frac{36y - 217}{36} = -\frac{1}{3}\left(\frac{6x - 5}{6}\right) \)
\( \frac{36y - 217}{36} = -\frac{6x - 5}{18} \)
\( 36y - 217 = -2(6x - 5) \)
\( 36y - 217 = -12x + 10 \)
\( 12x + 36y - 227 = 0 \).
In simple words: પહેલા વક્રનું વિકલન કરીને સ્પર્શકનો ઢાળ મેળવો.
(a) આપેલ રેખાનો ઢાળ શોધો. જો સ્પર્શક સમાંતર હોય, તો બંને ઢાળ સરખા હોય. આનાથી x શોધો અને પછી y શોધી સ્પર્શકનું સમીકરણ બનાવો.
(b) આપેલ રેખાનો ઢાળ શોધો. જો સ્પર્શક લંબ હોય, તો સ્પર્શકનો ઢાળ આપેલ રેખાના ઢાળનો ઋણ વ્યસ્ત હોય. આનાથી x શોધો અને પછી y શોધી સ્પર્શકનું સમીકરણ બનાવો.

Exam Tip: સમાંતર રેખાઓના ઢાળ સરખા હોય છે, જ્યારે લંબ રેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર -1 હોય છે. આ નિયમોનો યોગ્ય ઉપયોગ કરો.

Question 16. વક્ર \( y = 7x^3 + 11 \) x = 2 તથા x = −2 આગળના સ્પર્શકો પરસ્પર સમાંતર છે તેમ સાબિત કરો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = 7x^3 + 11 \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(7x^3 + 11) = 21x^2 \).
\( x = 2 \) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( m_1 = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2} = 21(2)^2 = 21(4) = 84 \).
\( x = -2 \) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( m_2 = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=-2} = 21(-2)^2 = 21(4) = 84 \).
અહીં, \( m_1 = m_2 = 84 \).
કારણ કે \( x = 2 \) અને \( x = -2 \) બિંદુએ વક્ર \( y = 7x^3 + 11 \) ને દોરેલ સ્પર્શકોના ઢાળ સરખા છે, તેથી તે સ્પર્શકો પરસ્પર સમાંતર છે.
In simple words: પહેલા વક્રનું વિકલન કરીને ઢાળનું સૂત્ર મેળવો. પછી x = 2 અને x = -2 ની કિંમતો મૂકીને દરેક બિંદુ પર સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો. જો બંને ઢાળ સરખા આવે, તો સાબિત થાય કે સ્પર્શકો સમાંતર છે.

Exam Tip: બે રેખાઓ સમાંતર ત્યારે જ હોય છે જ્યારે તેમના ઢાળ સરખા હોય. આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને આવા પ્રશ્નો સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

Question 17. વક્ર \( y = x^3 \) ના જે બિંદુ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ તે બિંદુના y- યામ જેટલો હોય, તે બિંદુઓ શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = x^3 \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \).
વક્રનાં સ્પર્શકનો \( (x, y) \) બિંદુએ ઢાળ \( = \frac{dy}{dx} \).
આપેલ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ તે બિંદુના y- યામ જેટલો હોય છે.
\( \implies \frac{dy}{dx} = y \)
\( \implies 3x^2 = y \).
હવે, \( y = x^3 \) હોવાથી, y ની કિંમત મૂકતાં:
\( 3x^2 = x^3 \)
\( x^3 - 3x^2 = 0 \)
\( x^2(x - 3) = 0 \).
\( \implies x^2 = 0 \) અથવા \( x - 3 = 0 \)
\( \implies x = 0 \) અથવા \( x = 3 \).
જ્યારે \( x = 0 \): \( y = (0)^3 = 0 \). તેથી બિંદુ \( (0, 0) \).
જ્યારે \( x = 3 \): \( y = (3)^3 = 27 \). તેથી બિંદુ \( (3, 27) \).
આથી, માંગેલ બિંદુઓ \( (0, 0) \) અને \( (3, 27) \) છે.
In simple words: પહેલા વક્રનું વિકલન કરીને સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો. પછી ઢાળને y-યામની બરાબર સેટ કરો. આ સમીકરણને મૂળ વક્રના સમીકરણ સાથે હલ કરો જેથી x અને y ની કિંમતો મળી શકે, જે માંગેલ બિંદુઓ દર્શાવે છે.

Exam Tip: પ્રશ્નની શરતને ગાણિતિક સ્વરૂપમાં યોગ્ય રીતે રજૂ કરો (\( \frac{dy}{dx} = y \)), અને પછી સમીકરણોને સાવચેતીપૂર્વક હલ કરો.

Question 18. વક્ર \( y = 4x^3 – 2x^5 \) માટે, ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સ્પર્શકોનાં સ્પર્શબિંદુઓ શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ છે: \( y = 4x^3 – 2x^5 \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^3 – 2x^5) = 12x^2 - 10x^4 \).
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ \( (a, b) \) છે. આ બિંદુ વક્ર પર આવેલું છે, તેથી \( b = 4a^3 - 2a^5 \).
\( (a, b) \) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ:
\( m_{સ્પર્શક} = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(a, b)} = 12a^2 - 10a^4 \).
\( (a, b) \) બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
\( y - b = (12a^2 - 10a^4)(x - a) \).
આ સ્પર્શક ઊગમબિંદુ \( (0, 0) \) માંથી પસાર થાય છે. તેથી, x=0 અને y=0 ને સમીકરણમાં મૂકો.
\( 0 - b = (12a^2 - 10a^4)(0 - a) \)
\( -b = -a(12a^2 - 10a^4) \)
\( b = a(12a^2 - 10a^4) \)
\( b = 12a^3 - 10a^5 \). (સમીકરણ 1)
આપણને ખબર છે કે \( b = 4a^3 - 2a^5 \). (સમીકરણ 2)
સમીકરણ 1 અને 2 ને સરખાવતાં:
\( 12a^3 - 10a^5 = 4a^3 - 2a^5 \)
\( 12a^3 - 4a^3 = 10a^5 - 2a^5 \)
\( 8a^3 = 8a^5 \)
\( 8a^5 - 8a^3 = 0 \)
\( 8a^3(a^2 - 1) = 0 \).
\( \implies 8a^3 = 0 \) અથવા \( a^2 - 1 = 0 \)
\( \implies a = 0 \) અથવા \( a^2 = 1 \)
\( \implies a = 0 \) અથવા \( a = \pm 1 \).
જ્યારે \( a = 0 \): \( b = 4(0)^3 - 2(0)^5 = 0 \). તેથી સ્પર્શબિંદુ \( (0, 0) \).
જ્યારે \( a = 1 \): \( b = 4(1)^3 - 2(1)^5 = 4 - 2 = 2 \). તેથી સ્પર્શબિંદુ \( (1, 2) \).
જ્યારે \( a = -1 \): \( b = 4(-1)^3 - 2(-1)^5 = 4(-1) - 2(-1) = -4 + 2 = -2 \). તેથી સ્પર્શબિંદુ \( (-1, -2) \).
આથી, માંગેલ સ્પર્શબિંદુઓ \( (0, 0), (1, 2) \) અને \( (-1, -2) \) છે.
In simple words: પહેલા વક્રનું વિકલન કરીને સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો. ધારો કે સ્પર્શબિંદુ \( (a, b) \) છે. \( (a, b) \) પર સ્પર્શકનું સમીકરણ બનાવો. આ સ્પર્શક ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતો હોવાથી, \( (0, 0) \) ને સમીકરણમાં મૂકી એક સમીકરણ મેળવો. \( (a, b) \) વક્ર પર હોવાથી, બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરો. બંને સમીકરણોને હલ કરીને a અને b ની કિંમતો શોધી સ્પર્શબિંદુઓ નક્કી કરો.

Exam Tip: ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સ્પર્શકોના પ્રશ્નોમાં, સ્પર્શકના સમીકરણમાં \( (0, 0) \) મૂકીને સ્પર્શબિંદુના યામ (a, b) શોધવા માટેના સમીકરણો મેળવો.

Question 19. વક્ર \( x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0 \) નાં જે બિંદુ આગળના સ્પર્શકો X- અક્ષને સમાંતર હોય, તે બિંદુઓ મેળવો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ \( x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0 \) છે.
x ના સંદર્ભમાં વિકલન કરતાં, આપણને મળે છે:
\( 2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2 = 0 \)
\( \implies 2y \frac{dy}{dx} = 2 - 2x \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2 - 2x}{2y} = \frac{1 - x}{y} \)
બિંદુ \( (x, y) \) પર સ્પર્શકનો ઢાળ \( \frac{dy}{dx} \) છે.
જો સ્પર્શક X- અક્ષને સમાંતર હોય, તો તેનો ઢાળ 0 હોવો જોઈએ.
તેથી, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies \frac{1 - x}{y} = 0 \)
\( \implies 1 - x = 0 \)
\( \implies x = 1 \)
વક્રના સમીકરણ \( x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0 \) માં \( x = 1 \) બદલતા:
\( (1)^2 + y^2 - 2(1) - 3 = 0 \)
\( 1 + y^2 - 2 - 3 = 0 \)
\( y^2 - 4 = 0 \)
\( y^2 = 4 \)
\( \implies y = \pm 2 \)
આથી, માંગેલા બિંદુઓ \( (1, 2) \) અને \( (1, -2) \) છે.
In simple words: First, we find the slope of the curve using differentiation. Since the tangent is parallel to the X-axis, its slope is zero. We set the derivative to zero to find the x-coordinate. Then, we substitute this x-value into the original curve equation to get the y-coordinates.

Exam Tip: Remember that a line parallel to the X-axis has a slope of zero. This is a key concept for solving problems involving horizontal tangents.

Question 20. વક્ર \( ay^2 = x^3 \) ના \( (am^2, am^3) \) બિંદુ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ \( ay^2 = x^3 \) છે.
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા આપણને મળે છે:
\( a(2y \frac{dy}{dx}) = 3x^2 \)
\( \implies 2ay \frac{dy}{dx} = 3x^2 \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2ay} \)
બિંદુ \( (am^2, am^3) \) પરના સ્પર્શકનો ઢાળ \( m_T \) છે:
\( m_T = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(am^2, am^3)} = \frac{3(am^2)^2}{2a(am^3)} = \frac{3a^2m^4}{2a^2m^3} = \frac{3m}{2} \)
બિંદુ \( (am^2, am^3) \) પરના અભિલંબનો ઢાળ \( m_N \) છે:
\( m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{\frac{3m}{2}} = -\frac{2}{3m} \)
બિંદુ \( (am^2, am^3) \) પરના અભિલંબનું સમીકરણ આ પ્રમાણે છે:
\( y - y_1 = m_N(x - x_1) \)
\( y - am^3 = -\frac{2}{3m}(x - am^2) \)
બંને બાજુ \( 3m \) વડે ગુણતા:
\( 3m(y - am^3) = -2(x - am^2) \)
\( 3my - 3am^4 = -2x + 2am^2 \)
પદોને ફરી ગોઠવતા, અભિલંબનું સમીકરણ આ રીતે મળે છે:
\( 2x + 3my - 3am^4 - 2am^2 = 0 \)
\( \implies 2x + 3my - am^2(3m^2 + 2) = 0 \)
In simple words: We find the slope of the tangent by differentiating the curve. Then, we get the slope of the normal, which is the negative reciprocal of the tangent's slope. Finally, we use the point-slope formula to write the equation of the normal line.

Exam Tip: Remember that the slope of the normal is the negative reciprocal of the tangent's slope. Carefully apply the point-slope form \( y - y_1 = m(x - x_1) \) to get the final equation.

Question 21. \( y = x^3 + 2x + 6 \) ના રેખા \( x + 14y + 4 = 0 \) ને સમાંતર અભિલંબનાં સમીકરણો શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ \( y = x^3 + 2x + 6 \) છે.
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં, આપણને મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2 \)
બિંદુ \( (x, y) \) પર સ્પર્શકનો ઢાળ \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2 \) છે.
બિંદુ \( (x, y) \) પર અભિલંબનો ઢાળ \( -\frac{1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)} = -\frac{1}{3x^2 + 2} \) છે.
વક્રનો અભિલંબ રેખા \( x + 14y + 4 = 0 \) ને સમાંતર છે.
પ્રથમ, રેખા \( x + 14y + 4 = 0 \) નો ઢાળ શોધીએ.
રેખાના સમીકરણને ફરી ગોઠવતા:
\( 14y = -x - 4 \)
\( y = -\frac{1}{14}x - \frac{4}{14} \)
આથી, રેખાનો ઢાળ \( -\frac{1}{14} \) છે.
અભિલંબ આ રેખાને સમાંતર હોવાથી, તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ.
\( -\frac{1}{3x^2 + 2} = -\frac{1}{14} \)
\( \implies 3x^2 + 2 = 14 \)
\( \implies 3x^2 = 12 \)
\( \implies x^2 = 4 \)
\( \implies x = \pm 2 \)
હવે, વક્રના સમીકરણ \( y = x^3 + 2x + 6 \) નો ઉપયોગ કરીને અનુરૂપ y-મૂલ્યો શોધીએ.
જ્યારે \( x = 2 \):
\( y = (2)^3 + 2(2) + 6 = 8 + 4 + 6 = 18 \)
આથી, એક બિંદુ \( (2, 18) \) છે.
જ્યારે \( x = -2 \):
\( y = (-2)^3 + 2(-2) + 6 = -8 - 4 + 6 = -6 \)
આથી, બીજું બિંદુ \( (-2, -6) \) છે.
હવે, આ દરેક બિંદુએ \( -\frac{1}{14} \) ના ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ શોધીએ.
બિંદુ \( (2, 18) \) માટે:
અભિલંબનું સમીકરણ છે:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 18 = -\frac{1}{14}(x - 2) \)
14 વડે ગુણતા:
\( 14(y - 18) = -1(x - 2) \)
\( 14y - 252 = -x + 2 \)
\( \implies x + 14y - 254 = 0 \)
બિંદુ \( (-2, -6) \) માટે:
અભિલંબનું સમીકરણ છે:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - (-6) = -\frac{1}{14}(x - (-2)) \)
\( y + 6 = -\frac{1}{14}(x + 2) \)
14 વડે ગુણતા:
\( 14(y + 6) = -1(x + 2) \)
\( 14y + 84 = -x - 2 \)
\( \implies x + 14y + 86 = 0 \)
આથી, અભિલંબના માંગેલા સમીકરણો \( x + 14y - 254 = 0 \) અને \( x + 14y + 86 = 0 \) છે.
In simple words: We first find the slope of the curve's tangent and then its normal. Since the normal is parallel to a given line, their slopes are identical. We use this to find the x-coordinates on the curve, then their matching y-coordinates. Finally, for each point, we write the equation of the normal line.

Exam Tip: When finding equations of parallel lines, remember that their slopes are equal. For normal lines, calculate the negative reciprocal of the tangent's slope, and be sure to verify both points of tangency.

Question 22. પરવલય \( y^2 = 4ax \) ના \( (at^2, 2at) \) બિંદુ આગળ સ્પર્શક તથા અભિલંબનાં સમીકરણો મેળવો.
Answer: પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = 4ax \) છે.
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં:
\( 2y \frac{dy}{dx} = 4a \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{4a}{2y} = \frac{2a}{y} \)
બિંદુ \( (at^2, 2at) \) પરના સ્પર્શકનો ઢાળ \( m_T \) છે:
\( m_T = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(at^2, 2at)} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t} \)
બિંદુ \( (at^2, 2at) \) પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ આ પ્રમાણે છે:
\( y - y_1 = m_T(x - x_1) \)
\( y - 2at = \frac{1}{t}(x - at^2) \)
t વડે ગુણતા:
\( t(y - 2at) = x - at^2 \)
\( ty - 2at^2 = x - at^2 \)
\( \implies ty = x + at^2 \)
બિંદુ \( (at^2, 2at) \) પરના અભિલંબનો ઢાળ \( m_N \) છે:
\( m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{\frac{1}{t}} = -t \)
બિંદુ \( (at^2, 2at) \) પરના અભિલંબનું સમીકરણ આ પ્રમાણે છે:
\( y - y_1 = m_N(x - x_1) \)
\( y - 2at = -t(x - at^2) \)
\( y - 2at = -tx + at^3 \)
\( \implies y = -tx + 2at + at^3 \)
આમ, સ્પર્શકનું સમીકરણ \( ty = x + at^2 \) અને અભિલંબનું સમીકરણ \( y = -tx + 2at + at^3 \) છે.
In simple words: We find the tangent's slope by differentiating the parabola's equation. Then, we use the point-slope formula to write the tangent's equation. For the normal, we use the negative reciprocal of the tangent's slope and the same point to write its equation.

Exam Tip: Pay close attention to the parameter 't' in the coordinates when differentiating and substituting. Clearly distinguish between the tangent and normal slopes and their respective equations.

Question 23. જો બે વક્રોના છેદબિંદુ આગળના સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય, તો તે બે વક્રો લંબચ્છેદી છે તેમ કહેવાય. જો \( 8k^2 = 1 \) હોય, તો વક્રો \( y^2 = x \) તથા \( xy = k \) લંબચ્છેદી છે, તેમ સાબિત કરો.
Answer: બે વક્રોના સમીકરણો આ પ્રમાણે છે:
વક્ર 1: \( x = y^2 \)
વક્ર 2: \( xy = k \)
પ્રથમ, વક્ર 1 ને x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
\( 1 = 2y \frac{dy}{dx} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \)
બિંદુ \( (x_1, y_1) \) પર વક્ર 1 ના સ્પર્શકનો ઢાળ \( m_1 \) છે:
\( m_1 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(x_1, y_1)} = \frac{1}{2y_1} \)
હવે, વક્ર 2 ને x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
\( x \frac{dy}{dx} + y(1) = 0 \)
\( x \frac{dy}{dx} = -y \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \)
બિંદુ \( (x_1, y_1) \) પર વક્ર 2 ના સ્પર્શકનો ઢાળ \( m_2 \) છે:
\( m_2 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(x_1, y_1)} = -\frac{y_1}{x_1} \)
વક્રો લંબચ્છેદી હોય તે માટે, છેદબિંદુ પરના તેમના સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર -1 હોવો જોઈએ.
\( m_1 m_2 = -1 \)
\( \implies \left( \frac{1}{2y_1} \right) \left( -\frac{y_1}{x_1} \right) = -1 \)
\( \implies -\frac{1}{2x_1} = -1 \)
\( \implies \frac{1}{2x_1} = 1 \)
\( \implies 2x_1 = 1 \)
\( \implies x_1 = \frac{1}{2} \)
ચूंकि \( (x_1, y_1) \) એ વક્ર 1 પરનું બિંદુ છે, તેથી \( x_1 = y_1^2 \).
\( x_1 = \frac{1}{2} \) ને બદલતા:
\( \frac{1}{2} = y_1^2 \)
ચूंकि \( (x_1, y_1) \) એ વક્ર 2 પરનું પણ બિંદુ છે, તેથી \( x_1 y_1 = k \).
\( x_1 = \frac{1}{2} \) અને \( y_1^2 = \frac{1}{2} \) ને બદલતા:
\( \left( \frac{1}{2} \right) y_1 = k \)
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
\( \left( \frac{1}{2} \right)^2 y_1^2 = k^2 \)
\( \frac{1}{4} y_1^2 = k^2 \)
\( y_1^2 = \frac{1}{2} \) ને બદલતા:
\( \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \right) = k^2 \)
\( \frac{1}{8} = k^2 \)
\( \implies 8k^2 = 1 \)
આમ, જો \( 8k^2 = 1 \) હોય, તો વક્રો \( y^2 = x \) અને \( xy = k \) લંબચ્છેદી છે.
In simple words: We find the slopes of the tangents for both curves at their intersection point. For them to be orthogonal, the product of these slopes must be -1. We use this condition to solve for x and y, then substitute them into the original equations to prove the given condition for k.

Exam Tip: To prove orthogonality, always show that the product of the tangent slopes at the intersection point equals -1. Carefully find the intersection points first, as these are critical for the slopes.

Question 24. અતિવલય \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) ના \( (x_0, y_0) \) બિંદુ આગળના સ્પર્શક તથા અભિલંબનાં સમીકરણો મેળવો.
Answer: અતિવલયનું સમીકરણ \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) છે.
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં:
\( \frac{1}{a^2}(2x) - \frac{1}{b^2}(2y \frac{dy}{dx}) = 0 \)
\( \implies \frac{2x}{a^2} = \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2} \cdot \frac{b^2}{2y} = \frac{b^2x}{a^2y} \)
બિંદુ \( (x_0, y_0) \) પર સ્પર્શકનો ઢાળ \( m_T \) છે:
\( m_T = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(x_0, y_0)} = \frac{b^2x_0}{a^2y_0} \)
બિંદુ \( (x_0, y_0) \) પર સ્પર્શકનું સમીકરણ આ પ્રમાણે છે:
\( y - y_0 = m_T(x - x_0) \)
\( y - y_0 = \frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x - x_0) \)
\( a^2y_0(y - y_0) = b^2x_0(x - x_0) \)
\( a^2yy_0 - a^2y_0^2 = b^2xx_0 - b^2x_0^2 \)
પદોને ફરી ગોઠવતા:
\( b^2xx_0 - a^2yy_0 = b^2x_0^2 - a^2y_0^2 \)
ચूंकि \( (x_0, y_0) \) એ અતિવલય \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) પરનું બિંદુ છે, તેથી \( \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \).
આને \( a^2b^2 \) વડે ગુણતા, \( b^2x_0^2 - a^2y_0^2 = a^2b^2 \) મળે છે.
આ મૂલ્યને સ્પર્શકના સમીકરણમાં બદલતા:
\( b^2xx_0 - a^2yy_0 = a^2b^2 \)
\( a^2b^2 \) વડે ભાગતા:
\( \frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1 \)
આ સ્પર્શકનું સમીકરણ છે.
હવે, અભિલંબ માટે:
બિંદુ \( (x_0, y_0) \) પર અભિલંબનો ઢાળ \( m_N \) છે:
\( m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{\frac{b^2x_0}{a^2y_0}} = -\frac{a^2y_0}{b^2x_0} \)
બિંદુ \( (x_0, y_0) \) પર અભિલંબનું સમીકરણ આ પ્રમાણે છે:
\( y - y_0 = m_N(x - x_0) \)
\( y - y_0 = -\frac{a^2y_0}{b^2x_0}(x - x_0) \)
આ સમીકરણને ફરી ગોઠવતા:
\( \frac{y - y_0}{y_0/b^2} + \frac{x - x_0}{x_0/a^2} = 0 \)
In simple words: We differentiate the hyperbola equation to find the tangent's slope at point \( (x_0, y_0) \). We then use this slope with the point-slope formula to get the tangent's equation. For the normal, we take the negative reciprocal of the tangent's slope and write its equation using the same point.

Exam Tip: Remember to utilize the fact that \( (x_0, y_0) \) lies on the hyperbola to simplify the tangent equation. Ensure you handle the negative reciprocal correctly for the normal's slope.

Question 25. વક્ર \( y = \sqrt{3x - 2} \) ના રેખા \( 4x - 2y + 5 = 0 \) ને સમાંતર સ્પર્શકોનાં સમીકરણો શોધો.
Answer: વક્રનું સમીકરણ \( y = \sqrt{3x - 2} \) છે.
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{3x - 2}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 2}} \)
રેખા \( 4x - 2y + 5 = 0 \) નો ઢાળ શોધવાની જરૂર છે.
રેખાના સમીકરણને ફરી ગોઠવતા:
\( 2y = 4x + 5 \)
\( y = 2x + \frac{5}{2} \)
આથી, રેખાનો ઢાળ \( m_{\text{line}} = 2 \) છે.
વક્રનો સ્પર્શક આ રેખાને સમાંતર છે. તેથી, તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ.
\( \frac{dy}{dx} = m_{\text{line}} \)
\( \implies \frac{3}{2\sqrt{3x - 2}} = 2 \)
\( \implies 3 = 4\sqrt{3x - 2} \)
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં:
\( 3^2 = (4\sqrt{3x - 2})^2 \)
\( 9 = 16(3x - 2) \)
\( 9 = 48x - 32 \)
\( 48x = 9 + 32 \)
\( 48x = 41 \)
\( \implies x = \frac{41}{48} \)
હવે, વક્રના સમીકરણ \( y = \sqrt{3x - 2} \) નો ઉપયોગ કરીને અનુરૂપ y-મૂલ્ય શોધીએ.
જ્યારે \( x = \frac{41}{48} \):
\( y = \sqrt{3\left(\frac{41}{48}\right) - 2} = \sqrt{\frac{41}{16} - 2} = \sqrt{\frac{41 - 32}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \)
આથી, સ્પર્શબિંદુ \( \left(\frac{41}{48}, \frac{3}{4}\right) \) છે.
આ બિંદુએ 2 ના ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ છે:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - \frac{3}{4} = 2\left(x - \frac{41}{48}\right) \)
ભિન્નતા દૂર કરવા માટે 48 વડે ગુણતા:
\( 48\left(y - \frac{3}{4}\right) = 48 \cdot 2\left(x - \frac{41}{48}\right) \)
\( 48y - 36 = 96x - 82 \)
પદોને ફરી ગોઠવતા:
\( 96x - 48y - 82 + 36 = 0 \)
\( 96x - 48y - 46 = 0 \)
2 વડે ભાગતા:
\( 48x - 24y - 23 = 0 \)
આમ, સ્પર્શકનું માંગેલું સમીકરણ \( 48x - 24y - 23 = 0 \) છે.
In simple words: First, we find the slope of the curve by differentiating it. We also find the slope of the given line. Since the tangent is parallel to this line, their slopes are equal. We set the derivatives equal to find the x-coordinate of the tangency point. Then, we find the y-coordinate using the original curve equation. Finally, we use the point-slope formula to write the tangent's equation.

Exam Tip: Be careful with fractional calculations when squaring both sides of the equation. Always double-check your arithmetic to avoid errors in the final equation.

Question 26. વક્ર \( y = 2x^2 + 3\sin x \) ને \( x = 0 \) આગળ દોરેલ અભિલંબનો ઢાળ છે.
(A) 3
(B) \( \frac{1}{3} \)
(C) -3
(D) \( -\frac{1}{3} \)
Answer: (D) \( -\frac{1}{3} \)
વક્રનું સમીકરણ \( y = 2x^2 + 3\sin x \) છે.
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં:
\( \frac{dy}{dx} = 4x + 3\cos x \)
બિંદુ \( x = 0 \) પર સ્પર્શકનો ઢાળ \( m_T \) છે:
\( m_T = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = 4(0) + 3\cos(0) = 0 + 3(1) = 3 \)
બિંદુ \( x = 0 \) પર અભિલંબનો ઢાળ \( m_N \) છે:
\( m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{3} \)
આથી, સાચો વિકલ્પ (D) છે.
In simple words: First, differentiate the curve's equation to find the slope of the tangent. Then, put x = 0 to get the tangent's slope at that point. The normal's slope is the negative reciprocal of the tangent's slope.

Exam Tip: Recall that \( \cos(0) = 1 \) and \( \sin(0) = 0 \). These trigonometric values are essential for evaluating slopes at \( x=0 \).

Question 27. વક્ર \( y^2 = 4x \) ના ...... બિંદુ આગળનો સ્પર્શક \( y = x + 1 \) છે.
(A) (1, 2)
(B) (2, 1)
(C) (1, -2)
(D) (-1, 2)
Answer: (A) (1, 2)
વક્રનું સમીકરણ \( y^2 = 4x \) છે.
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં:
\( 2y \frac{dy}{dx} = 4 \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{4}{2y} = \frac{2}{y} \)
બિંદુ \( (x, y) \) પર સ્પર્શકનો ઢાળ \( \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y} \) છે.
આપેલી રેખા \( y = x + 1 \) છે.
આ રેખાનો ઢાળ 1 છે.
ચूंकि આ રેખા વક્રનો સ્પર્શક છે, તેથી સ્પર્શબિંદુ પર તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ.
\( \frac{2}{y} = 1 \)
\( \implies y = 2 \)
હવે, \( y = 2 \) ને વક્રના સમીકરણ \( y^2 = 4x \) માં બદલતા:
\( (2)^2 = 4x \)
\( 4 = 4x \)
\( \implies x = 1 \)
આથી, સ્પર્શબિંદુ \( (1, 2) \) છે.
આથી, સાચો વિકલ્પ (A) છે.
In simple words: First, find the slope of the curve using differentiation. Then, find the slope of the given tangent line. Since they are the same at the point of contact, set the slopes equal to find the y-coordinate. Substitute this y-value back into the curve's equation to find the x-coordinate, which gives the point of tangency.

Exam Tip: In MCQ questions like this, you can also test each option by checking if the point lies on both the curve and the tangent line. Additionally, ensure the derivative at that point equals the tangent's slope.