GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Exercise 6.2

 

Question 1. સાબિત કરો કે \( f(x) = 3x + 17 \) એ R પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
Answer: આપણે કાર્ય f(x) = 3x + 17 લઈએ છીએ. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = 3 \) મળે છે. કારણ કે 3 એ શૂન્ય કરતાં મોટો અંક છે, એટલે કે \( f'(x) > 0 \) છે. R ની કોઈપણ કિંમત માટે \( f'(x) > 0 \) જ રહે છે. આથી, કાર્ય f(x) એ R માં ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
In simple words: The function \( f(x) = 3x + 17 \) always gets bigger as x gets bigger, meaning it's strictly increasing across all real numbers.

Exam Tip: To prove a function is strictly increasing, calculate its first derivative \( f'(x) \) and show that \( f'(x) > 0 \) for all relevant values in its domain.

 

Question 2. સાબિત કરો કે \( f(x) = e^{2x} \), R પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
Answer: આપણે કાર્ય \( f(x) = e^{2x} \) લઈએ છીએ. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = 2e^{2x} \) મળે છે. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે, \( e^{2x} \) હંમેશાં શૂન્ય કરતાં મોટું હોય છે, અને 2 પણ શૂન્ય કરતાં મોટું છે. તેથી, \( f'(x) = 2e^{2x} \) પણ હંમેશાં શૂન્ય કરતાં મોટું રહેશે, એટલે કે \( f'(x) > 0 \) છે. આમ, કાર્ય \( f(x) \) એ R માં ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
In simple words: The function \( f(x) = e^{2x} \) always increases for any real number because its derivative is always positive.

Exam Tip: Remember that exponential functions like \( e^x \) are always positive, which simplifies determining the sign of derivatives involving them.

 

Question 3. Examine the function \( f(x) = \sin x \) and determine its behavior (strictly increasing, strictly decreasing, or neither) in the following intervals:
(a) \( (0, \frac{\pi}{2}) \) માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
(b) \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \) માં ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
(c) \( (0, \pi) \) માં વધતું કે ઘટતું વિધેય નથી.
Answer:
આપણી પાસે કાર્ય \( f(x) = \sin x \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = \cos x \) મળે છે.
(a) અંતરાલ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) એ પ્રથમ ચરણ દર્શાવે છે. પ્રથમ ચરણમાં \( \cos x > 0 \) હોય છે. તેથી, \( f'(x) > 0 \) થાય છે. આમ, \( (0, \frac{\pi}{2}) \) અંતરાલમાં કાર્ય \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
(b) અંતરાલ \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \) એ દ્વિતીય ચરણ દર્શાવે છે. દ્વિતીય ચરણમાં \( \cos x < 0 \) હોય છે. તેથી, \( f'(x) < 0 \) થાય છે. આમ, \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \) અંતરાલમાં કાર્ય \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે.
(c) અંતરાલ \( (0, \pi) \) એ પ્રથમ અને દ્વિતીય બંને ચરણ દર્શાવે છે. આ અંતરાલમાં x ની અમુક કિંમતો માટે \( \cos x > 0 \) હોય છે અને અમુક કિંમતો માટે \( \cos x < 0 \) હોય છે. તેથી, \( f(x) \) એ \( (0, \pi) \) અંતરાલમાં વધતું કે ઘટતું કાર્ય નથી.
In simple words: The function \( \sin x \) gets bigger in the first quarter of the circle (0 to 90 degrees) and gets smaller in the second quarter (90 to 180 degrees). So, for the whole first half (0 to 180 degrees), it's neither just increasing nor just decreasing.

Exam Tip: When analyzing trigonometric functions, always recall the signs of sine, cosine, and tangent in different quadrants to determine the sign of the derivative.

 

Question 4. વિધેય \( f(x) = 2x^2 - 3x \) કયા અંતરાલમાં (a) ચુસ્ત રીતે વધે (b) ચુસ્ત રીતે ઘટે તે શોધો.
Answer: આપણી પાસે કાર્ય \( f(x) = 2x^2 - 3x \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = 4x - 3 \) મળે છે. હવે, જો \( f'(x) = 0 \) લઈએ, તો \( 4x - 3 = 0 \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4} \) મળે છે. બિંદુ \( x = \frac{3}{4} \) સંખ્યા રેખાને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: \( (-\infty, \frac{3}{4}) \) અને \( (\frac{3}{4}, \infty) \).


અંતરાલ \( (-\infty, \frac{3}{4}) \) માટે, જો \( x \in (-\infty, \frac{3}{4}) \) હોય, તો \( 4x - 3 < 0 \) થાય. તેથી, \( f'(x) < 0 \) છે. આમ, \( (-\infty, \frac{3}{4}) \) અંતરાલમાં \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે.
અંતરાલ \( (\frac{3}{4}, \infty) \) માટે, જો \( x \in (\frac{3}{4}, \infty) \) હોય, તો \( 4x - 3 > 0 \) થાય. તેથી, \( f'(x) > 0 \) છે. આમ, \( (\frac{3}{4}, \infty) \) અંતરાલમાં \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
In simple words: We find where the function's slope is positive (increasing) or negative (decreasing). This function goes down until \( x = \frac{3}{4} \) and then goes up after that point.

Exam Tip: To find intervals of increasing/decreasing functions, first find the derivative, set it to zero to find critical points, and then test the sign of the derivative in the intervals created by these points on the number line.

 

Question 5. વિધેય \( f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 36x + 7 \) કયા અંતરાલમાં (a) ચુસ્ત રીતે વધે (b) ચુસ્ત રીતે ઘટે તે નક્કી કરો.
Answer: આપણી પાસે કાર્ય \( f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 36x + 7 \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = 6x^2 – 6x – 36 \) મળે છે. આપણે તેને \( f'(x) = 6(x^2 – x – 6) = 6(x – 3)(x + 2) \) તરીકે લખી શકીએ છીએ.
જો \( f'(x) = 0 \) લઈએ, તો \( x = -2 \) અને \( x = 3 \) મળે છે. આ બિંદુઓ સંખ્યા રેખાને ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 3) \), અને \( (3, \infty) \).

(a) અંતરાલ \( (– \infty, –2) \) અને \( (3, \infty) \) માં વિધેય \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે વધતું વિધેય છે.
(b) અંતરાલ \( (–2, 3) \) માં વિધેય \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે ઘટતું વિધેય છે.
In simple words: The function \( f(x) \) increases, then decreases, and then increases again. It increases when x is less than -2 or greater than 3. It decreases when x is between -2 and 3.

Exam Tip: For cubic functions, expect two critical points. Construct a sign table using these points and factors of the derivative to clearly identify increasing and decreasing intervals.

 

Question 6. નીચેનાં વિધેયો કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે વધે છે અથવા ચુસ્ત રીતે ઘટે છે તે નક્કી કરો :
(a) \( x^2 + 2x - 5 \)
(b) \( 10 - 6x - 2x^2 \)
(c) \( -2x^3 - 9x^2 – 12x + 1 \)
(d) \( 6 – 9x – x^2 \)
(e) \( (x + 1)^3 (x – 3)^3 \)
Answer:
(a) કાર્ય \( f(x) = x^2 + 2x - 5 \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, \( f'(x) = 2x + 2 \) મળે છે. જો \( f'(x) = 0 \) લઈએ, તો \( 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \) મળે છે. બિંદુ \( x = -1 \) સંખ્યા રેખાને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: \( (-\infty, -1) \) અને \( (-1, \infty) \).


અંતરાલ \( (-1, \infty) \) માં, \( f'(x) > 0 \) થાય છે. તેથી, \( (-1, \infty) \) અંતરાલમાં \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
અંતરાલ \( (-\infty, -1) \) માં, \( f'(x) < 0 \) થાય છે. તેથી, \( (-\infty, -1) \) અંતરાલમાં \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે.
(b) કાર્ય \( f(x) = 10 – 6x – 2x^2 \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, \( f'(x) = -6 – 4x \) મળે છે. જો \( f'(x) = 0 \) લઈએ, તો \( -6 – 4x = 0 \implies 4x = -6 \implies x = -\frac{3}{2} \) મળે છે. બિંદુ \( x = -\frac{3}{2} \) સંખ્યા રેખાને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) અને \( (-\frac{3}{2}, \infty) \).


અંતરાલ \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) માં, \( f'(x) > 0 \) થાય છે. તેથી, \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) અંતરાલમાં \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
અંતરાલ \( (-\frac{3}{2}, \infty) \) માં, \( f'(x) < 0 \) થાય છે. તેથી, \( (-\frac{3}{2}, \infty) \) અંતરાલમાં \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે.
(c) કાર્ય \( f(x) = -2x^3 – 9x^2 – 12x + 1 \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, \( f'(x) = -6x^2 – 18x – 12 = -6(x^2 + 3x + 2) = -6(x + 2)(x + 1) \) મળે છે. જો \( f'(x) = 0 \) લઈએ, તો \( x = -1 \) અને \( x = -2 \) મળે છે. આ બિંદુઓ સંખ્યા રેખાને ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, -1) \), અને \( (-1, \infty) \).

આમ, \( (– \infty, –2) \) તથા \( (–1, \infty) \) અંતરાલમાં \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે. અને \( (–2, –1) \) અંતરાલમાં \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
(d) કાર્ય \( f(x) = 6 – 9x – x^2 \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, \( f'(x) = -9 – 2x \) મળે છે. જો \( f'(x) = 0 \) લઈએ, તો \( -9 – 2x = 0 \implies x = -\frac{9}{2} \) મળે છે. બિંદુ \( x = -\frac{9}{2} \) સંખ્યા રેખાને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: \( (-\infty, -\frac{9}{2}) \) અને \( (-\frac{9}{2}, \infty) \).


જો \( x < -\frac{9}{2} \) હોય, ત્યારે \( f'(x) > 0 \) થાય છે. અર્થાત્ \( (-\infty, -\frac{9}{2}) \) અંતરાલમાં કાર્ય \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
જો \( x > -\frac{9}{2} \) હોય, ત્યારે \( f'(x) < 0 \) થાય છે. અર્થાત્ \( (-\frac{9}{2}, \infty) \) અંતરાલમાં કાર્ય \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે.
(e) કાર્ય \( f(x) = (x + 1)^3 (x – 3)^3 \) છે. તેનું વિકલન કરવા માટે ગુણાકાર નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
\( f'(x) = 3(x + 1)^2(x – 3)^3 + 3(x + 1)^3(x – 3)^2 \)
\( = 3(x + 1)^2(x – 3)^2 [ (x – 3) + (x + 1) ] \)
\( = 3(x + 1)^2(x – 3)^2 [2x – 2] \)
\( = 6(x + 1)^2(x – 3)^2 (x – 1) \)
જો \( f'(x) = 0 \) લઈએ, તો \( x = -1, 1, 3 \) મળે છે. આ બિંદુઓ સંખ્યા રેખાને ચાર ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), \( (1, 3) \) અને \( (3, \infty) \).


(i) જો \( x \in (1, 3) \cup (3, \infty) \) હોય, તો \( f'(x) = 6(x + 1)^2 (x – 3)^2 (x – 1) > 0 \) થાય છે. તેથી, \( (1, 3) \cup (3, \infty) \) માં \( f(x) \) ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
(ii) જો \( x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \) હોય, તો \( f'(x) = 6 (x + 1)^2 (x – 3)^2 (x – 1) < 0 \) થાય છે. તેથી, \( (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \) માં \( f(x) \) ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે.
In simple words: For each function, we check its slope. If the slope is positive, the function is going up; if negative, it's going down. We find the points where the slope is zero and check the behavior in between those points.

Exam Tip: For problems with multiple sub-parts, clearly show the derivative calculation and interval analysis for each part separately. Always factorize the derivative completely to easily determine its sign in different intervals.

 

Question 7. સાબિત કરો કે x પરનું વિધેય \( y = \log(1 + x) – \frac{2x}{2+x} \), \( x > -1 \) એ તેના પ્રદેશ પર વધતું વિધેય છે.
Answer: આપણી પાસે કાર્ય \( y = \log(1 + x) – \frac{2x}{2+x} \) છે, અને \( x > -1 \) છે. \( \log(1 + x) \) ફક્ત \( x > -1 \) માટે વ્યાખ્યાયિત છે. x પ્રત્યે વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) \) મળે છે:
\( f'(x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{(2 + x)(2) - 2x(1)}{(2 + x)^2} \)
\( = \frac{1}{1 + x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2 + x)^2} \)
\( = \frac{1}{1 + x} - \frac{4}{(2 + x)^2} \)
\( = \frac{(2 + x)^2 - 4(1 + x)}{(1 + x)(2 + x)^2} \)
\( = \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1 + x)(2 + x)^2} \)
\( = \frac{x^2}{(1 + x)(2 + x)^2} \)
આપણે \( x > -1 \) પ્રદેશમાં વિધેયની તપાસ કરીએ છીએ.
વિકલ્પ I: જો \( -1 < x < 0 \) હોય, તો \( f'(x) > 0 \) થાય છે. કારણ કે \( x + 1 > 0 \) તથા \( x^2 \) અને \( (2 + x)^2 \) કોઈપણ કિંમત માટે ધન જ છે. તેથી, \( (-1, 0) \) અંતરાલમાં \( f(x) \) એ વધતું કાર્ય છે.
વિકલ્પ II: જો \( x > 0 \) હોય, તો \( f'(x) > 0 \) થાય છે. તેથી, \( (0, \infty) \) અંતરાલમાં \( f(x) \) એ વધતું કાર્ય છે.
આમ, આપેલ કાર્ય \( f(x) \) તેના પ્રદેશમાં વધતું કાર્ય છે.
In simple words: For this function, we calculated its derivative. Since the derivative is always positive when x is greater than -1, the function itself is always increasing in that range.

Exam Tip: When differentiating complex functions, carefully apply the quotient rule and simplify the expression to determine the sign of the derivative. Remember that \( x^2 \) and \( (denominator)^2 \) are always non-negative.

 

Question 8. \( y = [x(x – 2)]^2 \) એ x ની જે કિંમતો માટે વધતું વિધેય હોય તે કિંમતો શોધો.
Answer: આપણી પાસે કાર્ય \( y = [x(x – 2)]^2 \) છે. આપણે તેને \( y = [x^2 – 2x]^2 \) તરીકે પણ લખી શકીએ છીએ. આને વિસ્તૃત કરતાં, \( y = x^4 – 4x^3 + 4x^2 \) મળે છે. હવે, x પ્રત્યે વિકલન કરતાં, આપણને \( \frac{dy}{dx} \) મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = 4x^3 – 12x^2 + 8x \)
\( = 4x(x^2 – 3x + 2) \)
\( = 4x(x – 2)(x – 1) \)
જો \( \frac{dy}{dx} = 0 \) લઈએ, તો \( 4x(x – 2)(x – 1) = 0 \implies x = 0, 1, 2 \) મળે છે. આ બિંદુઓ સંખ્યા રેખાને ચાર ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 2) \) અને \( (2, \infty) \).


આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
જ્યારે \( 0 < x < 1 \) હોય ત્યારે \( 4x(x – 1)(x – 2) > 0 \). અર્થાત્ \( \frac{dy}{dx} > 0 \). તેથી, \( (0, 1) \) અંતરાલમાં આપેલ કાર્ય એ વધતું કાર્ય છે.
વળી, જ્યારે \( x > 2 \) હોય ત્યારે પણ \( \frac{dy}{dx} > 0 \). તેથી, \( (2, \infty) \) અંતરાલમાં આપેલ કાર્ય એ વધતું કાર્ય છે.
આમ, \( 0 < x < 1 \) અને \( x > 2 \) માટે આપેલ કાર્ય એ વધતું કાર્ય છે.
In simple words: The function \( y = [x(x-2)]^2 \) increases when x is between 0 and 1, and also when x is greater than 2. This is found by checking when its slope is positive.

Exam Tip: When given a function with a square, expand it first, then differentiate. Critical points help divide the number line into test intervals. Always factorize the derivative to easily assess its sign in each interval.

 

Question 9. સાબિત કરો કે \( y = \frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)} – \theta \) એ \( \theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \) માં વધતું વિધેય છે.
Answer: આપણી પાસે કાર્ય \( y = f(\theta) = \frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)} – \theta \) છે. \( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(\theta) \) મળે છે:
\( f'(\theta) = \frac{(2 + \cos \theta) (4 \cos \theta) - 4 \sin \theta (-\sin \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} - 1 \)
\( = \frac{8 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta}{(2 + \cos \theta)^2} - 1 \)
\( = \frac{8 \cos \theta + 4 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} - 1 \)
\( = \frac{8 \cos \theta + 4(1)}{(2 + \cos \theta)^2} - 1 \)
\( = \frac{8 \cos \theta + 4 - (2 + \cos \theta)^2}{(2 + \cos \theta)^2} \)
\( = \frac{8 \cos \theta + 4 - (4 + 4 \cos \theta + \cos^2 \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} \)
\( = \frac{8 \cos \theta + 4 - 4 - 4 \cos \theta - \cos^2 \theta}{(2 + \cos \theta)^2} \)
\( = \frac{4 \cos \theta - \cos^2 \theta}{(2 + \cos \theta)^2} \)
\( = \frac{\cos \theta (4 - \cos \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} \)
આપણે \( \theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \) અંતરાલમાં કાર્યની તપાસ કરીએ છીએ.
આ અંતરાલમાં, \( \cos \theta \ge 0 \) હોય છે. વળી, \( 0 \le \cos \theta \le 1 \) હોય છે. તેથી, \( 4 - \cos \theta \) હંમેશાં \( 4 - 1 = 3 \) અને \( 4 - 0 = 4 \) ની વચ્ચે રહેશે, એટલે કે \( 4 - \cos \theta > 0 \) થશે. છેદમાં, \( (2 + \cos \theta)^2 \) પણ હંમેશાં ધન રહેશે.
તેથી, \( \frac{\cos \theta (4 - \cos \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} \ge 0 \) થાય છે. આમ, \( f'(\theta) \ge 0 \) છે.
કારણ કે \( f'(\theta) \ge 0 \) અંતરાલ \( [0, \frac{\pi}{2}] \) માં, આપેલ કાર્ય એ વધતું કાર્ય છે.
In simple words: We calculated the derivative of the function. For angles between 0 and 90 degrees, the derivative is always positive or zero. This means the function is always increasing in that range.

Exam Tip: When proving a trigonometric function is increasing, ensure you analyze the signs of each term in the derivative within the specified interval. Remember common identities like \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \).

 

Question 10. સાબિત કરો કે લઘુગણકીય વિધેય અંતરાલ \( (0, \infty) \) પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
Answer: આપણે લઘુગણકીય વિધેય \( f(x) = \log x \) લઈએ છીએ, જ્યાં તેનો પ્રદેશ \( x > 0 \) છે. x પ્રત્યે વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = \frac{1}{x} \) મળે છે.
કારણ કે આપેલ પ્રદેશ \( (0, \infty) \) માં, \( x \) હંમેશાં ધન હોય છે, તેથી \( \frac{1}{x} \) પણ હંમેશાં ધન જ રહેશે. આમ, \( f'(x) > 0 \) છે.
તેથી, \( (0, \infty) \) અંતરાલમાં લઘુગણકીય વિધેય \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે વધતું વિધેય છે.
In simple words: The logarithm function always increases for any positive number. Its slope is always positive, which means it keeps going up.

Exam Tip: For logarithmic functions, the domain is crucial. The derivative \( \frac{1}{x} \) is positive only for \( x > 0 \), confirming the increasing nature in that specific domain.

 

Question 11. સાબિત કરો કે \( f(x) = x^2 − x + 1 \), અંતરાલ \( (−1, 1) \) પર ચુસ્ત વધતું કે ઘટતું વિધેય નથી.
Answer: આપણી પાસે કાર્ય \( f(x) = x^2 − x + 1 \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = 2x - 1 \) મળે છે. જો \( f'(x) = 0 \) લઈએ, તો \( 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \) મળે છે.
અંતરાલ \( (−1, 1) \) માં, બિંદુ \( x = \frac{1}{2} \) બે પેટા-અંતરાલો બનાવે છે: \( (−1, \frac{1}{2}) \) અને \( (\frac{1}{2}, 1) \).
(1) જો \( -1 < x < \frac{1}{2} \) હોય, તો \( 2x < 1 \implies 2x - 1 < 0 \). તેથી, \( f'(x) < 0 \) થાય છે. આમ, \( (−1, \frac{1}{2}) \) અંતરાલમાં કાર્ય \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે.
(2) જો \( \frac{1}{2} < x < 1 \) હોય, તો \( 2x > 1 \implies 2x - 1 > 0 \). તેથી, \( f'(x) > 0 \) થાય છે. આમ, \( (\frac{1}{2}, 1) \) અંતરાલમાં કાર્ય \( f(x) \) એ ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
કારણ કે કાર્ય \( f(x) \) અંતરાલ \( (-1, 1) \) ના જુદા જુદા ભાગોમાં ઘટતું અને વધતું બંને છે, તેથી તે અંતરાલ \( (−1, 1) \) પર ચુસ્તપણે વધતું કે ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય નથી.
In simple words: For the function \( f(x) = x^2 - x + 1 \), it first decreases and then increases within the interval from -1 to 1. This means it doesn't just go up or just go down for the entire interval.

Exam Tip: A function is neither strictly increasing nor strictly decreasing in an interval if its derivative changes sign within that interval, indicating both increasing and decreasing behavior.

 

Question 12. નીચે આપેલાં વિધેયોમાંથી કયું વિધેય અંતરાલ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) પર ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે ?
(A) \( \cos x \)
(B) \( \cos 2x \)
(C) \( \cos 3x \)
(D) \( \tan x \)
Answer: (A) \( \cos x \)
આપેલ અંતરાલ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) માં દરેક વિકલ્પ માટે કાર્યના સ્વભાવની તપાસ કરીએ છીએ:
(A) કાર્ય \( f(x) = \cos x \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, \( f'(x) = -\sin x \) મળે છે. અંતરાલ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) માં \( \sin x > 0 \) હોય છે. તેથી, \( -\sin x < 0 \). આમ, \( f'(x) < 0 \). તેથી, \( (0, \frac{\pi}{2}) \) અંતરાલમાં \( \cos x \) એ ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે.
(B) કાર્ય \( f(x) = \cos 2x \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, \( f'(x) = -2 \sin 2x \) મળે છે. અંતરાલ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) માં, \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \implies 0 < 2x < \pi \). આ અંતરાલમાં \( \sin 2x > 0 \) હોય છે. તેથી, \( -2 \sin 2x < 0 \). આમ, \( f'(x) < 0 \). તેથી, \( (0, \frac{\pi}{2}) \) અંતરાલમાં \( \cos 2x \) એ ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે.
(C) કાર્ય \( f(x) = \cos 3x \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, \( f'(x) = -3 \sin 3x \) મળે છે. અંતરાલ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) માં, \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \implies 0 < 3x < \frac{3\pi}{2} \). આ અંતરાલમાં, \( 3x \) પ્રથમ, દ્વિતીય અને ત્રીજા ચરણમાં આવે છે. તેથી, \( \sin 3x \) અમુક ભાગમાં ધન હોય છે (પ્રથમ અને દ્વિતીય ચરણ) અને અમુક ભાગમાં ઋણ હોય છે (ત્રીજા ચરણ). આથી, \( f'(x) \) ની નિશાની બદલાય છે. આમ, \( (0, \frac{\pi}{2}) \) અંતરાલમાં \( \cos 3x \) એ ચુસ્તપણે વધતું કે ઘટતું કાર્ય નથી.
(D) કાર્ય \( f(x) = \tan x \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, \( f'(x) = \sec^2 x \) મળે છે. અંતરાલ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) માં, \( \sec^2 x \) હંમેશાં ધન હોય છે. તેથી, \( f'(x) > 0 \). આમ, \( (0, \frac{\pi}{2}) \) અંતરાલમાં \( \tan x \) એ ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
આમ, વિકલ્પો (A) અને (B) માં આપેલ વિધેયો ઘટતા વિધેયો છે. પરંતુ જો વિકલ્પોમાં ફક્ત એક જ જવાબ પસંદ કરવાનો હોય, તો (A) વધુ સામાન્ય પસંદગી છે.
In simple words: We are looking for a function that always goes down in the interval from 0 to 90 degrees. Cosine of x always decreases in this range because its derivative (negative sine of x) is always negative.

Exam Tip: For MCQ questions, evaluate the derivative of each option within the given interval. A function is strictly decreasing if its derivative is consistently negative throughout the interval.

 

Question 13. વિધેય \( f(x) = x^{100} + \sin x – 1 \) એ નીચે આપેલાં અંતરાલો પૈકી કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે ઘટે છે ?
(A) \( (0, 1) \)
(B) \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \)
(C) \( (0, \frac{\pi}{2}) \)
(D) આપેલ પૈકી એક પણ નહિ
Answer: (D) આપેલ પૈકી એક પણ નહિ
આપણી પાસે કાર્ય \( f(x) = x^{100} + \sin x – 1 \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = 100x^{99} + \cos x \) મળે છે.
ચાલો દરેક વિકલ્પમાં \( f'(x) \) ની નિશાનીની તપાસ કરીએ:
(A) અંતરાલ \( (0, 1) \):
જો \( x \in (0, 1) \) હોય, તો \( x^{99} > 0 \implies 100x^{99} > 0 \).
વળી, \( x \) એ 0 અને 1 રેડિયન વચ્ચે આવેલો છે. (1 રેડિયન આશરે 57 ડિગ્રી જેટલો હોય છે).
કારણ કે \( x \) પ્રથમ ચરણમાં છે, તેથી \( \cos x > 0 \).
આમ, \( 100x^{99} + \cos x > 0 \). તેથી, \( f'(x) > 0 \).
આથી, \( f(x) \) એ \( (0, 1) \) માં ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
(B) અંતરાલ \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \):
જો \( x \in (\frac{\pi}{2}, \pi) \) હોય, તો \( x^{99} > 1 \) (કારણ કે \( \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \)). તેથી, \( 100x^{99} > 100 \) ........(i)
વળી, \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \) અંતરાલમાં \( \cos x \) ઘટતું કાર્ય છે, અને \( \cos(\frac{\pi}{2}) > \cos x > \cos(\pi) \implies 0 > \cos x > -1 \). તેથી, \( -1 < \cos x < 0 \) ........(ii)
(i) અને (ii) પરથી, \( 100x^{99} + \cos x > 100 - 1 = 99 > 0 \). તેથી, \( f'(x) > 0 \).
આથી, \( f(x) \) એ \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \) અંતરાલમાં ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
(C) અંતરાલ \( (0, \frac{\pi}{2}) \):
જો \( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \) હોય, તો \( x^{99} > 0 \) અને \( \cos x > 0 \). તેથી, \( 100x^{99} + \cos x > 0 \). આમ, \( f'(x) > 0 \).
આથી, \( f(x) \) એ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) અંતરાલમાં ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
વિકલ્પ (A), (B) તથા (C) માં આપેલ અંતરાલ માટે કાર્ય \( f(x) \) ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે. તેથી, આપેલ કાર્ય કોઈ પણ વિકલ્પમાં ચુસ્તપણે ઘટતું નથી.
આમ, વિકલ્પ (D) સાચો જવાબ છે.
In simple words: We checked the derivative of the function \( f(x) = x^{100} + \sin x - 1 \) in all given intervals. In every case, the derivative was positive, meaning the function is always increasing. So, it's not strictly decreasing in any of the options.

Exam Tip: When dealing with powers like \( x^{99} \), consider the base x. For \( x > 1 \), \( x^{99} \) will be a large positive number. For \( 0 < x < 1 \), \( x^{99} \) will be a small positive number. Combine this with the sign of the trigonometric term.

 

Question 14. ‘a’ની નાનામાં નાની કઈ કિંમત માટે વિધેય \( f(x) = x^2 + ax + 1 \) એ અંતરાલ \( [1, 2] \) પર ચુસ્ત રીતે વધે છે ?
Answer: આપણી પાસે કાર્ય \( f(x) = x^2 + ax + 1 \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = 2x + a \) મળે છે.
કાર્ય \( f(x) \) અંતરાલ \( [1, 2] \) પર ચુસ્તપણે વધતું હોય તે માટે, \( f'(x) > 0 \) હોવું જોઈએ. તેથી, \( 2x + a > 0 \) હોવું જોઈએ.
આપેલ અંતરાલ \( [1, 2] \) માં, \( 1 \le x \le 2 \) હોય છે. તેથી,
\( 2(1) \le 2x \le 2(2) \)
\( \implies 2 \le 2x \le 4 \)
હવે, આપણે \( a \) ઉમેરીએ છીએ:
\( 2 + a \le 2x + a \le 4 + a \)
કારણ કે આપણે \( 2x + a > 0 \) ઇચ્છીએ છીએ, તેથી ઓછામાં ઓછી કિંમત \( 2 + a \) પણ શૂન્ય કરતાં મોટી હોવી જોઈએ.
\( 2 + a > 0 \implies a > -2 \).
તેથી, \( a \) ની નાનામાં નાની કિંમત \( -2 \) છે (વાસ્તવિક રીતે, \( a \) એ \( -2 \) થી મોટો હોવો જોઈએ, તેથી લઘુત્તમ પૂર્ણાંક મૂલ્ય \( -1 \) હોઈ શકે જો \( a \) પૂર્ણાંક હોય, પરંતુ જો \( a \) કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તો કોઈ ચોક્કસ લઘુત્તમ કિંમત આપી શકાતી નથી, પરંતુ સીમા \( -2 \) છે). પ્રશ્નનો અર્થ ‘a’ ની લઘુત્તમ શક્ય વાસ્તવિક કિંમત શું છે તે છે.
In simple words: To make the function always increase between x=1 and x=2, its slope must always be positive. We found that 'a' must be greater than -2 for this to happen. The smallest value for 'a' that allows this behavior is just above -2.

Exam Tip: For a function to be strictly increasing on an interval, its derivative must be strictly positive on that interval. When the derivative involves a parameter, find the range of the parameter that satisfies this condition.

 

Question 15. જો I કોઈ વિવૃત્ત અંતરાલ હોય અને \( I \cap [−1, 1] = \emptyset \) હોય, તો સાબિત કરો કે, \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
Answer: આપણી પાસે કાર્ય \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} \) મળે છે.
શરત મુજબ, I એક વિવૃત્ત અંતરાલ છે જ્યાં \( I \cap [−1, 1] = \emptyset \). આનો અર્થ એ થાય છે કે અંતરાલ I માં x ની બધી કિંમતો \( x < -1 \) અથવા \( x > 1 \) હશે. આ કિંમતો માટે \( x^2 > 1 \) હોય છે.
જો \( x^2 > 1 \) હોય, તો \( x^2 - 1 > 0 \) થાય છે. વળી, \( x^2 \) હંમેશાં ધન હોય છે. તેથી, \( f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2} > 0 \) થાય છે.
આમ, \( f'(x) > 0 \) હોવાથી, કાર્ય \( f(x) \) એ I માટે ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
In simple words: When the interval I does not include numbers between -1 and 1, the slope of the function \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) is always positive. This means the function is always increasing in that interval.

Exam Tip: Pay close attention to the domain or interval provided. The condition \( I \cap [−1, 1] = \emptyset \) implies that the interval I must lie entirely outside \([−1, 1]\), meaning \( x < -1 \) or \( x > 1 \), which is key to determining the sign of the derivative.

 

Question 16. સાબિત કરો કે વિધેય \( f(x) = \log (\sin x) \) એ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે તથા \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \) પર ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
Answer: આપણી પાસે કાર્ય \( f(x) = \log (\sin x) \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x \) મળે છે.
પ્રથમ અંતરાલ: \( (0, \frac{\pi}{2}) \)
આ અંતરાલ પ્રથમ ચરણમાં આવેલ છે. પ્રથમ ચરણમાં \( \cot x > 0 \) હોય છે. તેથી, \( f'(x) > 0 \).
આથી, \( f(x) \) એ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) પર ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
બીજો અંતરાલ: \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \)
આ અંતરાલ દ્વિતીય ચરણમાં આવેલ છે. દ્વિતીય ચરણમાં \( \cot x < 0 \) હોય છે. તેથી, \( f'(x) < 0 \).
આથી, \( f(x) \) એ \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \) પર ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે.
In simple words: The function \( f(x) = \log(\sin x) \) increases in the first part of the circle (0 to 90 degrees) because its slope (cot x) is positive there. It decreases in the second part of the circle (90 to 180 degrees) because its slope (cot x) is negative there.

Exam Tip: For functions involving logarithms of trigonometric expressions, apply the chain rule carefully. Remember the signs of trigonometric functions (like \( \sin x \) and \( \cot x \)) in different quadrants to determine the sign of the derivative.

 

Question 17. સાબિત કરો કે વિધેય \( f(x) = \log|\cos x| \) એ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) પર ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે તથા \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \) પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
Answer: આપણી પાસે કાર્ય \( f(x) = \log|\cos x| \) છે. અહીં \( |\cos x| \) ધન હોવું જોઈએ જેથી લોગ વ્યાખ્યાયિત રહે. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = \frac{1}{\cos x} (-\sin x) = -\tan x \) મળે છે.
પ્રથમ અંતરાલ: \( (0, \frac{\pi}{2}) \)
આ અંતરાલ પ્રથમ ચરણમાં આવેલ છે. પ્રથમ ચરણમાં \( \tan x > 0 \) હોય છે. તેથી, \( -\tan x < 0 \). આમ, \( f'(x) < 0 \).
આથી, \( f(x) \) એ \( (0, \frac{\pi}{2}) \) પર ચુસ્તપણે ઘટતું કાર્ય છે.
બીજો અંતરાલ: \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \)
આ અંતરાલ ચતુર્થ ચરણમાં આવેલ છે. ચતુર્થ ચરણમાં \( \tan x < 0 \) હોય છે. તેથી, \( -\tan x > 0 \). આમ, \( f'(x) > 0 \).
આથી, \( f(x) \) એ \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \) પર ચુસ્તપણે વધતું કાર્ય છે.
In simple words: The function \( f(x) = \log|\cos x| \) decreases in the first part of the circle (0 to 90 degrees) because its slope (negative tan x) is negative. It increases in the fourth part of the circle (270 to 360 degrees) because its slope (negative tan x) is positive there.

Exam Tip: The absolute value in \( \log|\cos x| \) means \( \cos x \) can be negative, but its absolute value must be positive. The derivative, however, simplifies to \( -\tan x \), so the sign of \( -\tan x \) directly determines the function's behavior.

 

Question 18. સાબિત કરો કે \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 3x − 100 \) એ R પર વધતું વિધેય છે.
Answer: આપણી પાસે કાર્ય \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 3x − 100 \) છે. તેનું વિકલન કરતાં, આપણને \( f'(x) = 3x^2 – 6x + 3 \) મળે છે. આપણે તેને \( f'(x) = 3(x^2 – 2x + 1) = 3(x – 1)^2 \) તરીકે પણ લખી શકીએ છીએ.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા \( x \in R \) માટે, \( (x – 1)^2 \) હંમેશાં શૂન્ય અથવા શૂન્ય કરતાં મોટો હોય છે, એટલે કે \( (x – 1)^2 \ge 0 \).
તેથી, \( 3(x – 1)^2 \ge 0 \) થશે. આમ, \( f'(x) \ge 0 \) છે.
કારણ કે \( f'(x) \ge 0 \) એ R પર છે, કાર્ય \( f(x) \) એ R પર વધતું કાર્ય છે.
In simple words: We find the slope of the function \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 100 \). The slope is always positive or zero, which means the function never decreases and always goes up or stays flat for a moment. So, it's an increasing function over all real numbers.

Exam Tip: For a function to be increasing, its derivative must be greater than or equal to zero. If the derivative is a perfect square (like \( (x-1)^2 \)), it will always be non-negative, proving the function is increasing.

 

Question 19. નીચે આપેલાં અંતરાલો પૈકી કયા અંતરાલમાં \( y = x^2 e^{-x} \) વધતું વિધેય છે ?
(A) \( (-\infty, \infty) \)
(B) \( (-2, 0) \)
(C) \( (2, \infty) \)
(D) \( (0, 2) \)
Answer: (D) \( (0, 2) \)
આપણી પાસે કાર્ય \( y = x^2 e^{-x} \) છે. x પ્રત્યે વિકલન કરતાં, આપણને \( \frac{dy}{dx} \) મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = (2x)e^{-x} + x^2(-e^{-x}) \)
\( = xe^{-x}(2 – x) \)
વધતાં કે ઘટતાં કાર્યો માટે, આપણે \( \frac{dy}{dx} = 0 \) લઈએ છીએ. તેથી,
\( xe^{-x}(2 – x) = 0 \)
\( \implies x = 0 \) અથવા \( e^{-x} = 0 \) (જે શક્ય નથી) અથવા \( 2 - x = 0 \implies x = 2 \).
આથી, આપણને \( x = 0 \) અને \( x = 2 \) બિંદુઓ મળે છે. આ બિંદુઓ સંખ્યા રેખાને ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \) અને \( (2, \infty) \).


અંતરાલ \( (-\infty, 0) \): જો \( x \in (-\infty, 0) \) હોય, તો \( x < 0 \), \( e^{-x} > 0 \), અને \( 2 - x > 0 \). તેથી, \( xe^{-x}(2 – x) < 0 \). આમ, \( \frac{dy}{dx} < 0 \). તેથી, \( y \) એ ઘટતું કાર્ય છે.
અંતરાલ \( (0, 2) \): જો \( x \in (0, 2) \) હોય, તો \( x > 0 \), \( e^{-x} > 0 \), અને \( 2 - x > 0 \). તેથી, \( xe^{-x}(2 – x) > 0 \). આમ, \( \frac{dy}{dx} > 0 \). તેથી, \( y \) એ વધતું કાર્ય છે.
અંતરાલ \( (2, \infty) \): જો \( x \in (2, \infty) \) હોય, તો \( x > 0 \), \( e^{-x} > 0 \), અને \( 2 - x < 0 \). તેથી, \( xe^{-x}(2 – x) < 0 \). આમ, \( \frac{dy}{dx} < 0 \). તેથી, \( y \) એ ઘટતું કાર્ય છે.
આપેલ વિકલ્પો પૈકી, વિકલ્પ (D) \( (0, 2) \) માં કાર્ય \( f(x) \) એ વધતું કાર્ય છે.
In simple words: To find where the function \( y = x^2 e^{-x} \) increases, we checked its slope. The slope is positive only when x is between 0 and 2. So, the function goes up in the interval (0, 2).

Exam Tip: When differentiating products of functions, use the product rule. Always factorize the derivative to easily identify the critical points and determine the sign of the derivative in the resulting intervals. Remember that \( e^{-x} \) is always positive.

 

Question 19. નીચે આપેલાં અંતરાલો પૈકી કયા અંતરાલમાં \( y = x^2 e^{-x} \) વધતું વિધેય છે ?
(A) \( (-\infty, \infty) \)
(B) \( (-2, 0) \)
(C) \( (2, \infty) \)
(D) \( (0, 2) \)
Answer: (D) (0, 2)
આપેલું વિધેય છે: \( y = x^2 e^{-x} \)
\( x \) પ્રત્યે વિકલન કરતા, આપણને મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = 2xe^{-x} - x^2 e^{-x} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = xe^{-x}(2 - x) \)
વિધેય વધે છે કે ઘટે છે તે નક્કી કરવા માટે, આપણે \( \frac{dy}{dx} = 0 \) લઈએ છીએ.
\( \implies xe^{-x}(2 - x) = 0 \)
\( \implies x = 0 \) અથવા \( 2 - x = 0 \)
\( \implies x = 0 \) અથવા \( x = 2 \) (કારણ કે \( e^{-x} \) હંમેશા ધન હોવાથી તે શૂન્ય ક્યારેય થતું નથી).
આ \( x = 0 \) અને \( x = 2 \) બિંદુઓ સંખ્યા રેખાને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજીત કરે છે: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \) અને \( (2, \infty) \).
**અંતરાલ \( (-\infty, 0) \) માટે:**
જો \( x \in (-\infty, 0) \) હોય, તો \( x \) ઋણ છે, \( e^{-x} \) ધન છે, અને \( (2-x) \) પણ ધન છે.
તેથી, \( xe^{-x}(2 - x) < 0 \)
\( \implies \frac{dy}{dx} < 0 \)
આ અંતરાલમાં વિધેય \( y \) ઘટતું જોવા મળે છે.
**અંતરાલ \( (0, 2) \) માટે:**
જો \( x \in (0, 2) \) હોય, તો \( x \) ધન છે, \( e^{-x} \) ધન છે, અને \( (2-x) \) પણ ધન છે.
તેથી, \( xe^{-x}(2 - x) > 0 \)
\( \implies \frac{dy}{dx} > 0 \)
આ અંતરાલમાં વિધેય \( y \) વધતું જોવા મળે છે.
**અંતરાલ \( (2, \infty) \) માટે:**
જો \( x \in (2, \infty) \) હોય, તો \( x \) ધન છે, \( e^{-x} \) ધન છે, અને \( (2-x) \) ઋણ છે.
તેથી, \( xe^{-x}(2 - x) < 0 \)
\( \implies \frac{dy}{dx} < 0 \)
આ અંતરાલમાં વિધેય \( y \) ઘટતું જોવા મળે છે.
આમ, આપેલા વિકલ્પોમાંથી, વિકલ્પ (D) યોગ્ય છે કારણ કે \( x \in (0, 2) \) માટે વિધેય \( f(x) \) વધતું વિધેય છે.
In simple words: પહેલા ફંક્શનનું વિકલન શોધો. પછી તેને શૂન્ય બરાબર મૂકીને \( x \) ની કિંમતો મેળવો. આ કિંમતો સંખ્યા રેખાને અલગ અલગ ભાગમાં વહેંચે છે. દરેક ભાગમાં વિકલનનું ચિહ્ન (ધન કે ઋણ) તપાસો. જ્યાં વિકલન ધન હોય, ત્યાં ફંક્શન વધે છે.

Exam Tip: વધતા કે ઘટતા વિધેયોના અંતરાલો શોધવા માટે, હંમેશા પ્રથમ વિકલન ગણો, તેને શૂન્ય બરાબર રાખીને નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો, અને પછી મળતા અંતરાલોમાં વિકલનનું ચિહ્ન ચકાસો.