GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Exercise 6.1

Question 1. જ્યારે r = 3 સેમી તથા r = 4 સેમી હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં તેની ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ થતા ફેરફારનો દર શોધો.
(a) r = 3 સેમી
(b) r = 4 સેમી
Answer:
(a) \( r = 3 \) સેમી
\( r \) ત્રિજ્યાવાળા ગોળાકારનું ક્ષેત્રફળ \( A = \pi r^2 \) છે.
તેનું વિકલન કરતાં, \( \frac{dA}{dr} = 2\pi r \) મળે છે.
જ્યારે \( r = 3 \) સેમી, ત્યારે \( \left.\frac{dA}{dr}\right|_{r=3} = 2\pi(3) = 6\pi \) થશે.
આથી, જ્યારે ત્રિજ્યા \( r = 3 \) સેમી હોય, ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ બદલાવ દર \( 6\pi \) સેમી²/સેમી છે.
(b) \( r = 4 \) સેમી
\( r \) ત્રિજ્યાવાળા ગોળાકારનું ક્ષેત્રફળ \( A = \pi r^2 \) છે.
તેનું વિકલન કરતાં, \( \frac{dA}{dr} = 2\pi r \) મળે છે.
જ્યારે \( r = 4 \) સેમી, ત્યારે \( \left.\frac{dA}{dr}\right|_{r=4} = 2\pi(4) = 8\pi \) થશે.
આથી, જ્યારે ત્રિજ્યા \( r = 4 \) સેમી હોય, ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ બદલાવ દર \( 8\pi \) સેમી²/સેમી છે.
In simple words: વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર \( A = \pi r^2 \) છે. આપણે ક્ષેત્રફળના બદલાવનો દર ત્રિજ્યાની સાપેક્ષમાં શોધવા માટે, \( A \) નું \( r \) ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ. પછી, આપેલ ત્રિજ્યાનું મૂલ્ય મૂકીએ છીએ.

Exam Tip: વિકલન કરતી વખતે, હંમેશાં યોગ્ય એકમો લખવાનું યાદ રાખો. ક્ષેત્રફળના દર માટે એકમ સેમી²/સેમી હશે.

Question 2. એક સમઘનનું કદ 8 સેમી³/સે ના દરથી વધે છે. જ્યારે સમઘનની ધારની લંબાઈ 12 સેમી હોય ત્યારે તેનું પૃષ્ઠફળ કેટલી ઝડપથી વધે ?
Answer:
ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ \( x \) સેમી છે.
તો તેનું ઘનફળ \( V = x^3 \) અને તેની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( S = 6x^2 \) છે. અહીં \( x \) એ \( t \) નું ફંક્શન છે.
આપણને આપેલું છે કે, \( \frac{dV}{dt} = 8 \) સેમી³/સેકન્ડ
\( V = x^3 \)
\( \frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt} \)
આથી, \( 8 = 3x^2 \frac{dx}{dt} \)
\( \frac{dx}{dt} = \frac{8}{3x^2} \) .......(i)
હવે, \( S = 6x^2 \)
\( \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6x^2) \)
\( = \frac{d}{dx}(6x^2) \frac{dx}{dt} \)
\( = 12x \frac{dx}{dt} \)
સમીકરણ (i) પરથી \( \frac{dx}{dt} \) ની કિંમત મૂકતાં,
\( = 12x \times \frac{8}{3x^2} \)
\( = \frac{32}{x} \)
જ્યારે \( x = 12 \) સેમી,
\( \left.\frac{dS}{dt}\right|_{x=12} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \) સેમી²/સેકન્ડ
આથી, સમઘનની સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં વધવાનો દર \( \frac{8}{3} \) સેમી²/સેકન્ડ છે.
In simple words: સમઘનનું કદ વધવાની ગતિ આપવામાં આવી છે. આપણે પહેલાં ધારની લંબાઈના વધવાનો દર શોધીએ છીએ, પછી તેનો ઉપયોગ કરીને સમઘનની સપાટીના ક્ષેત્રફળના વધવાનો દર શોધીએ છીએ.

Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં સાંકળના નિયમ (ચેઇન રૂલ)નો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરવાનું યાદ રાખો. એકમોને યોગ્ય રીતે લખો.

Question 3. એક વર્તુળની ત્રિજ્યા એકધારી 3 સેમી/સેના દરથી વધે છે. જ્યારે વર્તુળની ત્રિજ્યા 10 સેમી હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં થતા વધારાનો દર શોધો.
Answer:
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( A = \pi r^2 \) છે, જ્યાં \( r \) વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા વધવાનો દર \( \frac{dr}{dt} = 3 \) સેમી/સેકન્ડ આપેલ છે.
આપણે \( \frac{dA}{dt} \) શોધવાનું છે.
\( \frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) \)
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\( = \frac{d}{dr}(\pi r^2) \cdot \frac{dr}{dt} \)
\( = 2\pi r \frac{dr}{dt} \)
જ્યારે \( r = 10 \) સેમી, ત્યારે
\( = 2\pi(10)(3) \)
\( = 60\pi \) સેમી²/સેકન્ડ
આથી, વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં વધવાનો દર \( 60\pi \) સેમી²/સેકન્ડ છે.
In simple words: આપણે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં ત્રિજ્યાના વધારાને કારણે થતો બદલાવ શોધી રહ્યા છીએ. આપણે પહેલાં ક્ષેત્રફળના સૂત્રનું વિકલન કરીએ છીએ અને પછી આપેલા દરને ગુણીએ છીએ.

Exam Tip: ખાતરી કરો કે તમે બધા ડેટાને યોગ્ય એકમોમાં રૂપાંતરિત કરો છો અને જ્યારે દર સમયની સાપેક્ષમાં હોય ત્યારે ચેઇન રૂલનો ઉપયોગ કરો છો.

Question 4. એક સમઘનની ધાર 3 સેમી/સે.ના દરથી વધે છે. જ્યારે સમઘનની ધારની લંબાઈ 10 સેમી હોય ત્યારે તે સમઘનનું ઘનફળ કેટલી ઝડપથી વધે ?
Answer:
ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ \( x \) સેમી છે.
તો સમઘનનું ઘનફળ \( V = x^3 \) છે.
આપણને આપેલું છે કે, \( \frac{dx}{dt} = 3 \) સેમી/સેકન્ડ
આપણે \( \frac{dV}{dt} \) શોધવાનું છે.
\( V = x^3 \)
\( \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(x^3) \)
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\( = \frac{d}{dx}(x^3) \cdot \frac{dx}{dt} \)
\( = 3x^2 \times 3 \)
\( = 9x^2 \)
જ્યારે \( x = 10 \) સેમી,
\( = 9(10)^2 \)
\( = 9(100) \)
\( = 900 \) સેમી³/સેકન્ડ
આથી, સમઘનનું ઘનફળ વધવાનો દર \( 900 \) સેમી³/સેકન્ડ છે.
In simple words: સમઘનની ધાર કેવી રીતે વધી રહી છે તે આપણને કહેવામાં આવ્યું છે. આપણે આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને સમઘનના કુલ કદમાં કેટલી ઝડપથી વધારો થઈ રહ્યો છે તે શોધીએ છીએ.

Exam Tip: યાદ રાખો કે ઘનફળનો એકમ હંમેશાં ઘન એકમો (જેમ કે સેમી³) માં હોય છે અને સમયની સાપેક્ષમાં દર માટે ચેઇન રૂલનો ઉપયોગ કરો.

Question 5. શાંત સરોવરમાં એક પથ્થર નાંખવામાં આવે છે અને પાણીમાં વર્તુળાકાર વમળો સર્જાય છે. વર્તુળાકાર વમળોની ત્રિજ્યા 5 સેમી/સે.ની ઝડપે વધે છે. જ્યારે વર્તુળાકાર વમળની ત્રિજ્યા 8 સેમી. હોય, ત્યારે આ વર્તુળાકાર વમળોનું ક્ષેત્રફળ કેટલી ઝડપે વધે છે ?
Answer:
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r \) સેમી છે.
તો તેનું ક્ષેત્રફળ \( A = \pi r^2 \) છે.
આપણને આપેલું છે કે, \( \frac{dr}{dt} = 5 \) સેમી/સેકન્ડ
આપણે \( \frac{dA}{dt} \) શોધવાનું છે.
\( A = \pi r^2 \)
\( \frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) \)
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\( = \frac{d}{dr}(\pi r^2) \cdot \frac{dr}{dt} \)
\( = 2\pi r \cdot (5) \)
\( = 10\pi r \)
જ્યારે \( r = 8 \) સેમી,
\( = 10\pi(8) \)
\( = 80\pi \) સેમી²/સેકન્ડ
આથી, ક્ષેત્રફળ વધવાનો દર \( 80\pi \) સેમી²/સેકન્ડ છે.
In simple words: એક વર્તુળાકાર તરંગના કદમાં વધારો થાય છે. આપણે તરંગની ત્રિજ્યામાં વધારાને કારણે તેના ક્ષેત્રફળમાં કેટલો ઝડપી બદલાવ આવે છે તે શોધીએ છીએ.

Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં, હંમેશાં પહેલાં યોગ્ય ભૌમિતિક સૂત્ર (જેમ કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ) લખો, પછી સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો અને આપેલ મૂલ્યો દાખલ કરો.

Question 6. એક વર્તુળની ત્રિજ્યા 0.7 સેમી/સે.ના દરે વધે છે, તો વર્તુળના પરિઘના વધવાનો દર કેટલો હશે ?
Answer:
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r \) સેમી છે.
તો વર્તુળનો પરિઘ \( C = 2\pi r \) છે.
આપણને આપેલું છે કે, \( \frac{dr}{dt} = 0.7 \) સેમી/સેકન્ડ
આપણે \( \frac{dC}{dt} \) શોધવાનું છે.
\( C = 2\pi r \)
\( \frac{dC}{dt} = \frac{d}{dt}(2\pi r) \)
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\( = \frac{d}{dr}(2\pi r) \cdot \frac{dr}{dt} \)
\( = 2\pi(0.7) \)
\( = 1.4\pi \) સેમી/સેકન્ડ
આથી, પરિઘમાં વધવાનો દર \( 1.4\pi \) સેમી/સેકન્ડ છે.
In simple words: આપણને વર્તુળની ત્રિજ્યા કેટલી ઝડપથી વધી રહી છે તે જાણવા મળે છે. આપણે તેના આધારે વર્તુળના પરિઘમાં કેટલી ઝડપથી વધારો થઈ રહ્યો છે તે ગણીએ છીએ.

Exam Tip: ભૂલશો નહીં કે પરિઘનો એકમ લંબાઈનો એકમ છે (જેમ કે સેમી), તેથી તેનો દર સેમી/સેકન્ડમાં હશે.

Question 7. એક લંબચોરસની લંબાઈ x, 5 સેમી/મિનિટના દરે ઘટે છે અને તેની પહોળાઈ 4 સેમી/મિનિટના દરે વધે છે. જ્યારે x = 8 સેમી અને y = 6 સેમી હોય, ત્યારે (a) લંબચોરસની પરિમિતિ અને (b) લંબચોરસના ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર શોધો.
Answer:
ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ \( x \) સેમી અને તેની પહોળાઈ \( y \) સેમી છે.
આપણને આપેલું છે કે,
\( \frac{dx}{dt} = -5 \) સેમી/મિનિટ (ઋણ નિશાની લંબાઈ ઘટવાનો દર દર્શાવે છે.)
\( \frac{dy}{dt} = 4 \) સેમી/મિનિટ
જ્યારે \( x = 8 \) સેમી અને \( y = 6 \) સેમી.

(a) લંબચોરસની પરિમિતિ \( P = 2x + 2y \)
\( \frac{dP}{dt} = \frac{d}{dt}(2x + 2y) \)
\( = 2\frac{dx}{dt} + 2\frac{dy}{dt} \)
આપેલ કિંમતો મૂકતાં,
\( = 2(-5) + 2(4) \)
\( = -10 + 8 \)
\( = -2 \) સેમી/મિનિટ
આથી, લંબચોરસની પરિમિતિ \( 2 \) સેમી/મિનિટનાં દરથી ઘટે છે.

(b) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( A = xy \)
\( \frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(xy) \)
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\( = x\frac{dy}{dt} + y\frac{dx}{dt} \)
આપેલ કિંમતો મૂકતાં,
\( = 8(4) + 6(-5) \)
\( = 32 - 30 \)
\( = 2 \) સેમી²/મિનિટ
આથી, લંબચોરસના ક્ષેત્રફળમાં વધવાનો દર \( 2 \) સેમી² પ્રતિ મિનિટ છે.
In simple words: લંબચોરસની લંબાઈ ઘટી રહી છે અને પહોળાઈ વધી રહી છે. આપણે આ બદલાવને કારણે તેની કુલ પરિમિતિ અને કુલ ક્ષેત્રફળમાં કેટલો ફેરફાર થાય છે તે ગણીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે લંબાઈ ઘટતી હોય ત્યારે ઋણ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવાનું યાદ રાખો. ક્ષેત્રફળના દર માટે ગુણાકારનો નિયમ (પ્રોડક્ટ રૂલ) વાપરો.

Question 8. ફુગ્ગામાં તેનું કદ 900 સેમી³/સે ના દરે વધે એવી રીતે હવા ભરવામાં આવે છે. જ્યારે ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા 15 સેમી હોય ત્યારે ત્રિજ્યાના વધવાનો દર શોધો. ફુગ્ગો ગોળાકાર જ રહે છે.
Answer:
ધારો કે ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા \( r \) સેમી છે.
તો તેનું ઘનફળ (ગોળાનું ઘનફળ) \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) છે.
આપણને આપેલું છે કે, \( \frac{dV}{dt} = 900 \) સેમી³/સેકન્ડ અને \( r = 15 \) સેમી.
આપણે \( \frac{dr}{dt} \) શોધવાનું છે.
\( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)
\( \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) \)
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\( = \frac{d}{dr}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) \cdot \frac{dr}{dt} \)
\( = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \)
આપેલ કિંમતો મૂકતાં,
\( 900 = 4\pi (15)^2 \frac{dr}{dt} \)
\( 900 = 4\pi (225) \frac{dr}{dt} \)
\( 900 = 900\pi \frac{dr}{dt} \)
\( \frac{dr}{dt} = \frac{900}{900\pi} \)
\( \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi} \) સેમી/સેકન્ડ
આથી, ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા વધવાનો દર \( \frac{1}{\pi} \) સેમી/સેકન્ડ છે.
In simple words: ફુગ્ગામાં હવા ભરવાથી તેનું કદ વધી રહ્યું છે. જ્યારે ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા 15 સેમી હોય ત્યારે આપણે એ શોધીએ છીએ કે તેની ત્રિજ્યા કેટલી ઝડપથી વધી રહી છે.

Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં, આપેલ દર (જેમ કે \( \frac{dV}{dt} \)) અને શોધવાનો દર (જેમ કે \( \frac{dr}{dt} \)) વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવવા માટે ચેઇન રૂલનો ઉપયોગ કરો.

Question 9. એક ગોળાકાર ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા ચલિત થાય છે અને તે ફુગ્ગો ગોળાકાર જ રહે છે. જ્યારે તેની ત્રિજ્યા 10 સેમી હોય ત્યારે તેના ઘનફળમાં ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ ફેરફારનો દર શોધો.
Answer:
ધારો કે ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા \( r \) સેમી છે.
તો ગોળાનું ઘનફળ \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) છે.
આપણે ઘનફળનો ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ ફેરફારનો દર એટલે કે \( \frac{dV}{dr} \) શોધવાનું છે.
\( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)
\( \frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) \)
\( = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \)
\( = 4\pi r^2 \)
જ્યારે \( r = 10 \) સેમી,
\( = 4\pi (10)^2 \)
\( = 4\pi (100) \)
\( = 400\pi \) સેમી³/સેમી
આથી, ઘનફળનો ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ દર \( 400\pi \) સેમી³/સેમી છે.
In simple words: આપણે ગોળાકાર ફુગ્ગાના કદમાં તેની ત્રિજ્યા બદલાવવાથી કેટલો ઝડપી ફેરફાર થાય છે તે શોધીએ છીએ. આપણે ફક્ત ઘનફળના સૂત્રનું ત્રિજ્યાની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે દર એક ચલની સાપેક્ષમાં હોય (જેમ કે \( \frac{dV}{dr} \)) ત્યારે ચેઇન રૂલની જરૂર પડતી નથી. ફક્ત સીધું વિકલન કરો.

Question 10. એક 5 મીટર લાંબી નિસરણી દીવાલે ટેકવી છે. સીડીનો નીચેનો છેડો જમીન પર 2 સેમી/સેના દરે દીવાલથી દૂર લઈ જવામાં આવે છે. જ્યારે સીડીનો નીચેનો છેડો દીવાલથી 4 મીટર દૂર હોય, ત્યારે દીવાલ પર નિસરણીની ઊંચાઈ કેટલી ઝડપથી ઘટે છે ?
Answer:
ધારો કે દીવાલથી નિસરણીના નીચેના છેડાનું અંતર \( x \) મીટર છે અને દીવાલ પર નિસરણીના ઉપરના છેડાની ઊંચાઈ \( y \) મીટર છે.
નિસરણીની લંબાઈ \( L = 5 \) મીટર છે.
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ: \( x^2 + y^2 = L^2 \)
\( x^2 + y^2 = 5^2 \)
\( x^2 + y^2 = 25 \)
સમય \( t \) ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં,
\( \frac{d}{dt}(x^2) + \frac{d}{dt}(y^2) = \frac{d}{dt}(25) \)
\( 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \)
આપેલું છે કે, \( \frac{dx}{dt} = 2 \) સેમી/સેકન્ડ \( = 0.02 \) મીટર/સેકન્ડ.
આપણને \( \frac{dy}{dt} \) શોધવાનું છે જ્યારે \( x = 4 \) મીટર.
જ્યારે \( x = 4 \) મીટર, ત્યારે \( y \) શોધવા માટે \( x^2 + y^2 = 25 \) માં કિંમત મૂકતાં:
\( 4^2 + y^2 = 25 \)
\( 16 + y^2 = 25 \)
\( y^2 = 9 \)
\( y = 3 \) મીટર (ઊંચાઈ ઋણ હોઈ શકે નહીં)
હવે, \( 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \) માં કિંમતો મૂકતાં:
\( 2(4)(0.02) + 2(3)\frac{dy}{dt} = 0 \)
\( 0.16 + 6\frac{dy}{dt} = 0 \)
\( 6\frac{dy}{dt} = -0.16 \)
\( \frac{dy}{dt} = -\frac{0.16}{6} = -\frac{16}{600} = -\frac{4}{150} = -\frac{2}{75} \) મીટર/સેકન્ડ
સેમી/સેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરતાં:
\( \frac{dy}{dt} = -\frac{2}{75} \times 100 = -\frac{200}{75} = -\frac{8}{3} \) સેમી/સેકન્ડ
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે નિસરણીની ઊંચાઈ ઘટે છે.
આથી, નિસરણીની ઊંચાઈ ઘટવાનો દર \( \frac{8}{3} \) સેમી/સેકન્ડ છે.
In simple words: નિસરણી દીવાલથી સરકી રહી છે. આપણે દીવાલ પર તેની ઊંચાઈ કેટલી ઝડપથી ઘટી રહી છે તે શોધવા માટે પાયથાગોરસ પ્રમેય અને વિકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

Exam Tip: આવા "સંબંધિત દર" (રિલેટેડ રેટ્સ) ના દાખલાઓમાં, હંમેશાં પહેલાં એકમને સુસંગત રાખો (બધાને મીટર અથવા બધાને સેમીમાં રૂપાંતરિત કરો) અને પાયથાગોરસ પ્રમેયનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

Question 11. એક પદાર્થ, વક્ર \( 6y = x^3 + 2 \) પર ગતિ કરે છે. વક્ર પરનાં જે બિંદુઓએ તેમના y-યામમાં તેમના x-યામ કરતાં 8 ગણી ઝડપે ફેરફાર થાય, તે બિંદુઓ શોધો.
Answer:
પદાર્થકણની ગતિનું સમીકરણ: \( 6y = x^3 + 2 \)
\( x \) ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં,
\( 6\frac{dy}{dx} = 3x^2 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{6} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{2} \)
આપણને આપેલું છે કે વક્ર પરનાં બિંદુઓના y-યામમાં બદલાવનો દર x-યામના બદલાવના દર કરતાં 8 ગણો છે.
એટલે કે, \( \frac{dy}{dt} = 8\frac{dx}{dt} \)
તો \( \frac{dy}{dx} = 8 \)
આથી,
\( \frac{x^2}{2} = 8 \)
\( x^2 = 16 \)
\( x = \pm 4 \)
વક્રનું સમીકરણ \( 6y = x^3 + 2 \) માં \( x \) ની કિંમતો મૂકતાં:
જ્યારે \( x = 4 \) હોય ત્યારે,
\( 6y = (4)^3 + 2 \)
\( 6y = 64 + 2 \)
\( 6y = 66 \)
\( y = 11 \)
જ્યારે \( x = -4 \) હોય ત્યારે,
\( 6y = (-4)^3 + 2 \)
\( 6y = -64 + 2 \)
\( 6y = -62 \)
\( y = -\frac{62}{6} \)
\( y = -\frac{31}{3} \)
આથી, માગેલ બિંદુઓ \( (4, 11) \) અને \( (-4, -\frac{31}{3}) \) છે.
In simple words: આપણને એક વક્રનું સમીકરણ આપેલું છે. આપણે એવા બિંદુઓ શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં y-અક્ષ પરનો બદલાવ x-અક્ષ પરના બદલાવ કરતાં આઠ ગણો ઝડપી હોય.

Exam Tip: \( \frac{dy}{dt} = k \frac{dx}{dt} \) નો અર્થ છે \( \frac{dy}{dx} = k \). આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને \( x \) ના મૂલ્યો શોધો અને પછી \( y \) ના અનુરૂપ મૂલ્યો મેળવવા માટે મૂળ સમીકરણમાં મૂકો.

Question 12. એક હવાના પરપોટાની ત્રિજ્યા \( \frac{1}{2} \) સેમી/સે ના દરથી વધે છે. જ્યારે પરપોટાની ત્રિજ્યા 1 સેમી હોય, ત્યારે તેના કદમાં થતા વધારાનો દર કેટલો હોય ?
Answer:
ધારો કે હવાના પરપોટાની ત્રિજ્યા \( r \) સેમી છે.
આપણને આપેલું છે કે, \( \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2} \) સેમી/સેકન્ડ અને \( r = 1 \) સેમી.
પરપોટાનું કદ (ગોળાનું કદ) \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) છે.
આપણે \( \frac{dV}{dt} \) શોધવાનું છે.
\( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)
\( \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) \)
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\( = \frac{d}{dr}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) \cdot \frac{dr}{dt} \)
\( = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \)
આપેલ કિંમતો મૂકતાં,
\( = 4\pi (1)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \)
\( = 4\pi \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \)
\( = 2\pi \) સેમી³/સેકન્ડ
આથી, હવાના પરપોટાના કદ વધવાનો દર \( 2\pi \) સેમી³/સેકન્ડ છે.
In simple words: એક ગોળાકાર પરપોટાની ત્રિજ્યા કેટલી ઝડપથી વધી રહી છે તે આપણને ખબર છે. આપણે આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને તેના કદમાં કેટલી ઝડપથી વધારો થઈ રહ્યો છે તે શોધીએ છીએ.

Exam Tip: ગોળાનું કદ અને ક્ષેત્રફળના સૂત્રો યાદ રાખો. વિકલન કરતી વખતે, ચેઇન રૂલનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો, ખાસ કરીને જ્યારે એક દર બીજા ચલ પર આધાર રાખતો હોય.

Question 13. એક ગોળાકાર ફુગ્ગાનો વ્યાસ \( \frac{3}{2}(2x + 1) \) છે. તો આ ફુગ્ગાના ઘનફળમાં \( x \) ને સાપેક્ષ થતા ફેરફારનો દર શોધો. ફુગ્ગો ગોળાકાર જ રહે છે.
Answer:
ધારો કે ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા \( r \) છે.
આપણને વ્યાસ આપેલો છે: \( 2r = \frac{3}{2}(2x + 1) \)
આથી, ત્રિજ્યા \( r = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}(2x + 1) = \frac{3}{4}(2x + 1) \)
ગોળાકાર ફુગ્ગાનું કદ \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) છે.
આપણે ઘનફળમાં \( x \) ને સાપેક્ષ થતા ફેરફારનો દર એટલે કે \( \frac{dV}{dx} \) શોધવાનું છે.
\( \frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) \)
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\( = \frac{d}{dr}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) \cdot \frac{dr}{dx} \)
\( = 4\pi r^2 \frac{dr}{dx} \)
પહેલાં \( \frac{dr}{dx} \) શોધીએ:
\( r = \frac{3}{4}(2x + 1) \)
\( \frac{dr}{dx} = \frac{3}{4} \cdot \frac{d}{dx}(2x + 1) \)
\( = \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{2} \)
હવે \( \frac{dV}{dx} \) માં કિંમતો મૂકતાં:
\( \frac{dV}{dx} = 4\pi r^2 \cdot \frac{3}{2} \)
\( = 6\pi r^2 \)
હવે \( r \) ની કિંમત \( x \) ના પદમાં મૂકતાં:
\( = 6\pi \left(\frac{3}{4}(2x + 1)\right)^2 \)
\( = 6\pi \cdot \frac{9}{16}(2x + 1)^2 \)
\( = \frac{54\pi}{16}(2x + 1)^2 \)
\( = \frac{27\pi}{8}(2x + 1)^2 \)
આથી, ફુગ્ગાના કદમાં \( x \) ને સાપેક્ષ બદલાવનો દર \( \frac{27\pi}{8}(2x + 1)^2 \) છે.
In simple words: આપણને ગોળાકાર ફુગ્ગાનો વ્યાસ \( x \) ના સંદર્ભમાં આપવામાં આવ્યો છે. આપણે તેના કદમાં \( x \) બદલાવવાથી કેટલો ઝડપી ફેરફાર થાય છે તે શોધવા માટે વિકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે વ્યાસ \( x \) ના પદમાં હોય, ત્યારે ત્રિજ્યાને પણ \( x \) ના પદમાં રૂપાંતરિત કરો. પછી ચેઇન રૂલનો ઉપયોગ કરીને \( \frac{dV}{dx} \) શોધો.

Question 14. એક પાઇપ દ્વારા 12 સેમી³/સેના દરથી રેતી નાખવામાં આવે છે. આ રેતી દ્વારા જમીન પર શંકુ બને છે. તેની ઊંચાઈ હંમેશાં તેના પાયાની ત્રિજ્યા કરતાં \( \frac{1}{6} \) ગણી રહે છે. જ્યારે ઊંચાઈ 4 સેમી હોય ત્યારે રેતીના આ શંકુની ઊંચાઈના વધવાનો દર શોધો.
Answer:
ધારો કે કોઈ \( t \) સમયે શંકુની ઊંચાઈ \( h \), તેનું ઘનફળ \( V \) અને પાયાની ત્રિજ્યા \( r \) છે.
આપણને આપેલું છે કે,
રેતી નાખવાનો દર: \( \frac{dV}{dt} = 12 \) સેમી³/સેકન્ડ.
ઊંચાઈ અને ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સંબંધ: \( h = \frac{1}{6}r \implies r = 6h \)
આપણે \( \frac{dh}{dt} \) શોધવાનું છે જ્યારે \( h = 4 \) સેમી.
શંકુનું ઘનફળ \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \) છે.
\( r = 6h \) મૂકતાં,
\( V = \frac{1}{3}\pi (6h)^2 h \)
\( V = \frac{1}{3}\pi (36h^2) h \)
\( V = 12\pi h^3 \)
સમય \( t \) ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં,
\( \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(12\pi h^3) \)
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\( \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dh}(12\pi h^3) \cdot \frac{dh}{dt} \)
\( \frac{dV}{dt} = 36\pi h^2 \frac{dh}{dt} \)
આપેલ કિંમતો મૂકતાં,
\( 12 = 36\pi h^2 \frac{dh}{dt} \)
\( \frac{dh}{dt} = \frac{12}{36\pi h^2} = \frac{1}{3\pi h^2} \)
જ્યારે \( h = 4 \) સેમી,
\( \left.\frac{dh}{dt}\right|_{h=4} = \frac{1}{3\pi (4)^2} \)
\( = \frac{1}{3\pi (16)} \)
\( = \frac{1}{48\pi} \) સેમી/સેકન્ડ
આથી, રેતીના શંકુની ઊંચાઈ વધવાનો દર \( \frac{1}{48\pi} \) સેમી/સેકન્ડ છે.
In simple words: રેતી નાખવાથી એક શંકુ બની રહ્યો છે. શંકુનું કદ કેટલી ઝડપથી વધી રહ્યું છે તે આપણને ખબર છે. આપણે આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને શંકુની ઊંચાઈ કેટલી ઝડપથી વધી રહી છે તે શોધીએ છીએ.

Exam Tip: ઊંચાઈ અને ત્રિજ્યા વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને ઘનફળના સૂત્રને એક જ ચલ (આ કિસ્સામાં \( h \)) ના પદમાં વ્યક્ત કરો. આનાથી વિકલન સરળ બનશે.

Question 15. એક વસ્તુના \( x \) એકમના ઉત્પાદનનો કુલ ખર્ચ (રૂપિયામાં) \( C(x) = 0.007x^3 – 0.003x^2 + 15x + 4000 \) દ્વારા મળે છે. જ્યારે 17 એકમનું ઉત્પાદન થયેલ હોય ત્યારે સીમાંત ખર્ચ શોધો.
Answer:
ખર્ચ વિધેય \( C(x) = 0.007x^3 – 0.003x^2 + 15x + 4000 \) છે.
અહીં \( x \) એ ઉત્પાદનના એકમો છે અને \( C(x) \) કુલ ખર્ચ દર્શાવે છે.
સીમાંત ખર્ચ શોધવા માટે, આપણે \( C(x) \) નું \( x \) ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
\( \frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx}[0.007x^3 - 0.003x^2 + 15x + 4000] \)
\( = 0.007(3x^2) - 0.003(2x) + 15 + 0 \)
\( = 0.021x^2 - 0.006x + 15 \)
જ્યારે \( x = 17 \) એકમ હોય ત્યારે, સીમાંત ખર્ચ શોધવા માટે કિંમત મૂકતાં:
\( \left.\frac{dC}{dx}\right|_{x=17} = 0.021(17)^2 - 0.006(17) + 15 \)
\( = 0.021(289) - 0.102 + 15 \)
\( = 6.069 - 0.102 + 15 \)
\( = 20.967 \)
આથી, જ્યારે \( x = 17 \) એકમ હોય ત્યારે સીમાંત ખર્ચ Rs. \( 20.967 \) છે.
In simple words: કંપનીના ઉત્પાદન ખર્ચનું સૂત્ર આપવામાં આવ્યું છે. જ્યારે 17 એકમ બને છે ત્યારે એક વધુ એકમ બનાવવાનો કેટલો વધારાનો ખર્ચ થશે તે આપણે શોધીએ છીએ.

Exam Tip: સીમાંત ખર્ચ હંમેશાં કુલ ખર્ચ વિધેયનું વિકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે. વિકલન કર્યા પછી, આપેલ ઉત્પાદન એકમોનું મૂલ્ય મૂકો.

Question 16. એક વસ્તુના \( x \) એકમના વેચાણથી મળતી કુલ આવક (રૂપિયામાં) \( R(x) = 13x^2 + 26x + 15 \) દ્વારા મળે છે. જ્યારે \( x = 7 \) હોય ત્યારે સીમાંત આવક શોધો.
Answer:
આવક વિધેય \( R(x) = 13x^2 + 26x + 15 \) છે.
અહીં \( R(x) \) કુલ આવક છે અને \( x \) ઉત્પાદિત એકમો છે.
સીમાંત આવક શોધવા માટે, આપણે \( R(x) \) નું \( x \) ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
\( \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(13x^2 + 26x + 15) \)
\( = 13(2x) + 26 + 0 \)
\( = 26x + 26 \)
જ્યારે \( x = 7 \) એકમ હોય ત્યારે, સીમાંત આવક શોધવા માટે કિંમત મૂકતાં:
\( \left.\frac{dR}{dx}\right|_{x=7} = 26(7) + 26 \)
\( = 182 + 26 \)
\( = 208 \)
આથી, જ્યારે \( x = 7 \) એકમ હોય ત્યારે સીમાંત આવક Rs. \( 208 \) છે.
In simple words: એક વસ્તુ વેચીને મળતી કુલ આવકનું સૂત્ર આપેલું છે. જ્યારે 7 એકમ વેચાયા હોય ત્યારે એક વધારાનો એકમ વેચવાથી કેટલી વધારાની આવક મળશે તે આપણે ગણીએ છીએ.

Exam Tip: સીમાંત આવક હંમેશાં કુલ આવક વિધેયનું વિકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે. આર્થિક વિભાવનાઓમાં વિકલનનો આ એક મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગ છે.

Question 17. જ્યારે ત્રિજ્યા 6 સેમી હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં તેની ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ થતા ફેરફારનો દર ........ હોય.
(A) 10π
(B) 12π
(C) 8π
(D) 11π
Answer: (B) 12π
In simple words: વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર \( A = \pi r^2 \) છે. આપણે ક્ષેત્રફળના બદલાવનો દર ત્રિજ્યાની સાપેક્ષમાં શોધીએ છીએ અને પછી \( r = 6 \) મૂકીએ છીએ.

Exam Tip: આવા MCQ માં, ગણતરી ઝડપથી કરો. વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું વિકલન \( 2\pi r \) થાય છે, જેમાં \( r = 6 \) મૂકવાથી \( 12\pi \) મળે છે.

Question 18. એક વસ્તુના \( x \) એકમના વેચાણથી મળતી કુલ આવક (રૂપિયામાં) \( R(x) = 3x^2 + 36x + 5 \) દ્વારા મળે છે. જ્યારે \( x = 15 \) હોય ત્યારે થતી સીમાંત આવક ઃ ...... હોય.
(A) 116
(B) 96
(C) 90
(D) 126
Answer: (D) 126
In simple words: કુલ આવકના સૂત્રનું વિકલન કરીને સીમાંત આવક શોધી શકાય છે. પછી, \( x = 15 \) કિંમત મૂકીએ છીએ.

Exam Tip: સીમાંત આવક શોધવા માટે, આપેલ આવક વિધેયનું \( x \) ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો અને પછી \( x \) નું આપેલ મૂલ્ય મૂકો.