GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Exercise 6.5

Question 1. નીચે આપેલાં વિધેયોને મહત્તમ તથા ન્યૂનતમ મૂલ્યો હોય, તો તે શોધો.
(i) \( f(x) = (2x - 1)^2 + 3 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = (2x - 1)^2 + 3 \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = 2(2x - 1)(2) = 4(2x - 1) = 8x - 4 \)
બીજી વાર ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f''(x) = 8 \)
મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ વેલ્યુ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 8x - 4 = 0 \)
\( 8x = 4 \)
\( x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
હવે, \( f''(\frac{1}{2}) = 8 \) છે. કારણ કે \( f''(\frac{1}{2}) = 8 > 0 \), ફંક્શન \( x = \frac{1}{2} \) પર ન્યૂનતમ વેલ્યુ ધરાવે છે.
ફંક્શનની ન્યૂનતમ વેલ્યુ \( f(\frac{1}{2}) \) છે:
\( f(\frac{1}{2}) = (2(\frac{1}{2}) - 1)^2 + 3 \)
\( = (1 - 1)^2 + 3 \)
\( = 0^2 + 3 \)
\( = 3 \)
સ્પષ્ટ છે કે, ફંક્શન મહત્તમ વેલ્યુ ધરાવતું નથી.
In simple words: First, find the derivative of the given function. Set it to zero to get the value of x. Then, check the second derivative at that x value. If it's positive, you have a minimum value. Calculate the function at that x to find the minimum. This function does not have a maximum.

Exam Tip: For quadratic functions like this, which represent a parabola opening upwards, the vertex will give the minimum value. Always remember to check the second derivative test for confirmation.

Question 1. (ii) \( f(x) = 9x^2 + 12x + 2 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = 9x^2 + 12x + 2 \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = 18x + 12 \)
બીજી વાર ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f''(x) = 18 \)
મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ વેલ્યુ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 18x + 12 = 0 \)
\( 18x = -12 \)
\( x = -\frac{12}{18} = -\frac{2}{3} \)
હવે, \( f''(-\frac{2}{3}) = 18 \) છે. કારણ કે \( f''(-\frac{2}{3}) = 18 > 0 \), ફંક્શન \( x = -\frac{2}{3} \) પર ન્યૂનતમ વેલ્યુ ધરાવે છે.
ફંક્શનની ન્યૂનતમ વેલ્યુ \( f(-\frac{2}{3}) \) છે:
\( f(-\frac{2}{3}) = 9(-\frac{2}{3})^2 + 12(-\frac{2}{3}) + 2 \)
\( = 9(\frac{4}{9}) - 8 + 2 \)
\( = 4 - 8 + 2 \)
\( = -2 \)
સ્પષ્ટ છે કે, ફંક્શન મહત્તમ વેલ્યુ ધરાવતું નથી.
In simple words: We find the first and second derivatives. Setting the first derivative to zero gives x = -2/3. Since the second derivative is 18 (which is positive), the function has a minimum value at x = -2/3. Plugging this back into the original function gives the minimum value of -2. This function has no maximum value.

Exam Tip: For quadratic equations, the sign of the leading coefficient (positive for 9x²) determines if it's a parabola opening upwards (minimum) or downwards (maximum). Use this as a quick check for your derivative results.

Question 1. (iii) \( f(x) = (x - 1)^2 + 10 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = -(x-1)^2 + 10 \) છે. (આનાથી ડેરિવેટિવ્સ મેળવી શકાય છે: \( -x^2+2x+9 \)).
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = -2(x - 1)(1) = -2x + 2 \)
બીજી વાર ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f''(x) = -2 \)
મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ વેલ્યુ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( -2x + 2 = 0 \)
\( -2x = -2 \)
\( x = 1 \)
હવે, \( f''(1) = -2 \) છે. કારણ કે \( f''(1) = -2 < 0 \), ફંક્શન \( x = 1 \) પર મહત્તમ વેલ્યુ ધરાવે છે.
ફંક્શનની મહત્તમ વેલ્યુ \( f(1) \) છે:
\( f(1) = -(1 - 1)^2 + 10 \)
\( = -0^2 + 10 \)
\( = 10 \)
સ્પષ્ટ છે કે, ફંક્શન ન્યૂનતમ વેલ્યુ ધરાવતું નથી.
In simple words: We find the first and second derivatives. Setting the first derivative to zero gives x = 1. Since the second derivative is -2 (which is negative), the function has a maximum value at x = 1. Plugging this back into the original function gives the maximum value of 10. This function has no minimum value.

Exam Tip: Be careful with signs. A negative sign before a squared term \( (x-a)^2 \) makes the parabola open downwards, leading to a maximum value, not a minimum.

Question 1. (iv) \( g(x) = x^3 + 1 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( g(x) = x^3 + 1 \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( g'(x) = 3x^2 \)
બીજી વાર ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( g''(x) = 6x \)
મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ વેલ્યુ શોધવા માટે, \( g'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 3x^2 = 0 \)
\( x = 0 \)
હવે, \( g''(0) = 6(0) = 0 \) છે. બીજી ડેરિવેટિવ ટેસ્ટ અહીં કામ કરતી નથી.
આપણે \( g'(x) \) ના ચિહ્નો જોઈએ છીએ. \( g'(x) = 3x^2 \) હોવાથી, \( x \) ના કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્ય માટે \( 3x^2 \ge 0 \) થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શન હંમેશા વધતું જાય છે, તે સ્ટ્રીક્ટલી ઇન્ક્રીઝિંગ ફંક્શન છે.
તેથી, ફંક્શન \( g(x) \) મહત્તમ કે ન્યૂનતમ વેલ્યુ ધરાવતું નથી.
In simple words: After finding the derivatives, the second derivative test gives zero, so it doesn't tell us if there's a max or min. Since the first derivative is always positive (3x²), the function is always increasing and never turns around, so there's no highest or lowest point.

Exam Tip: When the second derivative test yields zero, use the first derivative test (checking the sign of \( f'(x) \) around the critical point) to determine if it's an inflection point, maximum, or minimum.

Question 2. નીચેનાં વિધેયોને મહત્તમ તથા ન્યૂનતમ મૂલ્યો હોય, તો તે શોધો.
(i) \( f(x) = |x + 2| - 1 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = |x + 2| - 1 \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા \( x \) માટે,
\( |x + 2| \ge 0 \)
બંને બાજુથી 1 બાદ કરીએ:
\( |x + 2| - 1 \ge 0 - 1 \)
\( f(x) \ge -1 \)
તેથી, ફંક્શનની ન્યૂનતમ વેલ્યુ -1 છે.
આ ન્યૂનતમ વેલ્યુ ત્યારે મળે છે જ્યારે \( |x + 2| = 0 \), જેનો અર્થ છે \( x = -2 \).
\( f(-2) = |-2 + 2| - 1 = |0| - 1 = -1 \).
ફંક્શન \( f(x) \) મહત્તમ વેલ્યુ ધરાવતું નથી કારણ કે \( |x + 2| \) અમર્યાદિત રીતે વધતું જાય છે.
In simple words: An absolute value is always zero or positive. So, |x+2|-1 will always be -1 or higher. This means the lowest value the function can reach is -1, and it happens when x is -2. It has no highest value because the absolute value can get infinitely large.

Exam Tip: For functions involving absolute values, remember that \( |u| \ge 0 \). Use this property to find the minimum or maximum bounds directly, rather than using derivatives.

Question 2. (ii) \( g(x) = -|x + 1| + 3 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( g(x) = -|x + 1| + 3 \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા \( x \) માટે,
\( |x + 1| \ge 0 \)
માઈનસ નિશાન વડે ગુણવાથી અસમાનતા ઉલટાઈ જાય છે:
\( -|x + 1| \le 0 \)
બંને બાજુ 3 ઉમેરીએ:
\( -|x + 1| + 3 \le 0 + 3 \)
\( g(x) \le 3 \)
તેથી, ફંક્શનની મહત્તમ વેલ્યુ 3 છે.
આ મહત્તમ વેલ્યુ ત્યારે મળે છે જ્યારે \( -|x + 1| + 3 = 3 \), જેનો અર્થ છે \( -|x + 1| = 0 \), અને તેથી \( x = -1 \).
\( g(-1) = -|-1 + 1| + 3 = -|0| + 3 = 3 \).
ફંક્શન \( g(x) \) ન્યૂનતમ વેલ્યુ ધરાવતું નથી કારણ કે \( -|x + 1| \) અમર્યાદિત રીતે ઘટતું જાય છે.
In simple words: The negative absolute value is always zero or negative. So, -|x+1|+3 will always be 3 or lower. This means the highest value is 3, and it happens when x is -1. There's no lowest value because the negative absolute value can get infinitely small.

Exam Tip: When an absolute value function is multiplied by a negative sign, its properties reverse. \( -|u| \) has a maximum value of 0 and no minimum, which then shifts when constants are added.

Question 2. (iii) \( h(x) = \sin(2x) + 5 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( h(x) = \sin(2x) + 5 \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin \theta \) નું રેન્જ હંમેશા \( -1 \le \sin \theta \le 1 \) હોય છે.
તેથી, \( -1 \le \sin(2x) \le 1 \).
હવે, સમીકરણના દરેક ભાગમાં 5 ઉમેરીએ:
\( -1 + 5 \le \sin(2x) + 5 \le 1 + 5 \)
\( 4 \le h(x) \le 6 \)
આથી, ફંક્શન \( h(x) \) ની મહત્તમ વેલ્યુ 6 છે અને ન્યૂનતમ વેલ્યુ 4 છે.
In simple words: The 'sin' function always stays between -1 and 1. When you add 5 to it, the range shifts. So, the lowest point becomes -1+5=4, and the highest point becomes 1+5=6.

Exam Tip: For trigonometric functions like sine or cosine, recall their fundamental range (usually [-1, 1]). Then, apply any additions or multiplications to find the new range and thus the absolute maximum and minimum values.

Question 2. (iv) \( f(x) = |\sin 4x + 3| \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = |\sin 4x + 3| \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin \theta \) નું રેન્જ હંમેશા \( -1 \le \sin \theta \le 1 \) હોય છે.
તેથી, \( -1 \le \sin 4x \le 1 \).
હવે, સમીકરણના દરેક ભાગમાં 3 ઉમેરીએ:
\( -1 + 3 \le \sin 4x + 3 \le 1 + 3 \)
\( 2 \le \sin 4x + 3 \le 4 \)
જેમ કે \( \sin 4x + 3 \) હંમેશા પોઝિટિવ છે (2 અને 4 વચ્ચે), મોડ્યુલસ ઓપરેશન વેલ્યુ બદલશે નહીં.
તેથી, \( |2| \le |\sin 4x + 3| \le |4| \)
\( 2 \le f(x) \le 4 \)
આથી, ફંક્શન \( f(x) \) ની મહત્તમ વેલ્યુ 4 છે અને ન્યૂનતમ વેલ્યુ 2 છે.
In simple words: The 'sin' function is between -1 and 1. Adding 3 means the inside part is between 2 and 4. Since these numbers are already positive, taking the absolute value doesn't change anything. So, the lowest value is 2, and the highest is 4.

Exam Tip: For expressions like \( |A+B| \), first determine the range of \( A+B \). If the entire range is positive or negative, then \( |A+B| \) simply becomes \( A+B \) or \( -(A+B) \) respectively. If the range spans zero, special care is needed.

Question 2. (v) \( h(x) = x + 1, x \in (-1, 1) \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( h(x) = x + 1 \) છે અને તેનો ડોમેન \( (-1, 1) \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( h'(x) = 1 \)
બીજી વાર ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( h''(x) = 0 \)
જેમ કે \( h'(x) = 1 \) છે, જે હંમેશા પોઝિટિવ છે. આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શન \( h(x) \) હંમેશા સ્ટ્રીક્ટલી ઇન્ક્રીઝિંગ છે.
કારણ કે ડોમેન \( (-1, 1) \) એક ઓપન ઇન્ટરવલ છે, ફંક્શન તેની બાઉન્ડ્રી વેલ્યુઝ સુધી પહોંચી શકતું નથી.
જેમ કે \( x \to -1 \), \( h(x) \to -1+1 = 0 \), પરંતુ \( h(x) \) ક્યારેય 0 સુધી પહોંચતું નથી.
જેમ કે \( x \to 1 \), \( h(x) \to 1+1 = 2 \), પરંતુ \( h(x) \) ક્યારેય 2 સુધી પહોંચતું નથી.
તેથી, ફંક્શન \( h(x) \) પાસે મહત્તમ કે ન્યૂનતમ વેલ્યુઝ નથી.
In simple words: This function is always going up (increasing) because its derivative is always positive. Since the given interval is open (not including the ends), the function gets very close to certain values but never actually touches them. So, it doesn't have a true highest or lowest point.

Exam Tip: For continuous functions on open intervals, if the function is strictly monotonic (always increasing or always decreasing), it will not have absolute maximum or minimum values within that open interval, as it never reaches its theoretical bounds.

Question 3. નીચે આપેલાં વિધેયોને સ્થાનીય મહત્તમ તથા સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્યો હોય, તો તે શોધો :
(i) \( f(x) = x^2 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = x^2 \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = 2x \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 2x = 0 \)
\( x = 0 \)
ફર્સ્ટ ડેરિવેટિવ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીએ:
જ્યારે \( x < 0 \), \( f'(x) = 2x < 0 \) થાય છે. આનો અર્થ છે કે ફંક્શન ઘટતું જાય છે.
જ્યારે \( x > 0 \), \( f'(x) = 2x > 0 \) થાય છે. આનો અર્થ છે કે ફંક્શન વધતું જાય છે.
તેથી, \( x = 0 \) પર \( f'(x) \) નું ચિહ્ન નેગેટિવ થી પોઝિટિવ માં બદલાય છે. આનો અર્થ છે કે \( x = 0 \) પર ફંક્શનને સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ છે.
સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ \( f(0) \) છે:
\( f(0) = (0)^2 = 0 \).
આ ફંક્શનમાં કોઈ સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ નથી.
In simple words: We find where the slope (derivative) is zero, which is at x=0. Before x=0, the slope is negative, meaning the function is going down. After x=0, the slope is positive, meaning it's going up. So, at x=0, the function hits its lowest local point, which is 0. There's no local highest point.

Exam Tip: For simple polynomial functions, visualize the graph. A parabola \( y=x^2 \) clearly has a minimum at its vertex (0,0) and no maximum. The first derivative test helps confirm this mathematically.

Question 3. (ii) \( g(x) = x^3 - 3x \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( g(x) = x^3 - 3x \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( g'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 3(x - 1)(x + 1) = 0 \)
આથી, \( x = 1 \) અથવા \( x = -1 \).
ફર્સ્ટ ડેરિવેટિવ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીએ:
1. જ્યારે \( x < -1 \) (દા.ત., \( x = -2 \)): \( g'(x) = 3(-2-1)(-2+1) = 3(-3)(-1) = 9 > 0 \). ફંક્શન વધતું જાય છે.
2. જ્યારે \( -1 < x < 1 \) (દા.ત., \( x = 0 \)): \( g'(x) = 3(0-1)(0+1) = 3(-1)(1) = -3 < 0 \). ફંક્શન ઘટતું જાય છે.
3. જ્યારે \( x > 1 \) (દા.ત., \( x = 2 \)): \( g'(x) = 3(2-1)(2+1) = 3(1)(3) = 9 > 0 \). ફંક્શન વધતું જાય છે.
તેથી, \( x = -1 \) પર \( g'(x) \) નું ચિહ્ન પોઝિટિવ થી નેગેટિવ માં બદલાય છે. આનો અર્થ છે કે \( x = -1 \) પર ફંક્શનને સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ છે.
સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ \( g(-1) \) છે:
\( g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \).
અને, \( x = 1 \) પર \( g'(x) \) નું ચિહ્ન નેગેટિવ થી પોઝિટિવ માં બદલાય છે. આનો અર્થ છે કે \( x = 1 \) પર ફંક્શનને સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ છે.
સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ \( g(1) \) છે:
\( g(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \).
In simple words: We found two points where the slope is zero: x= -1 and x=1. At x=-1, the function goes from increasing to decreasing, meaning it's a local maximum (value 2). At x=1, the function goes from decreasing to increasing, meaning it's a local minimum (value -2).

Exam Tip: Always factorize the derivative if possible to easily identify critical points. When applying the first derivative test, pick test points within each interval to determine the sign change correctly.

Question 3. (iv) \( f(x) = \sin x - \cos x; 0 < x < 2\pi \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = \sin x - \cos x \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = \cos x + \sin x \)
બીજી વાર ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f''(x) = -\sin x + \cos x \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( \cos x + \sin x = 0 \)
\( \sin x = -\cos x \)
\( \tan x = -1 \)
\( 0 < x < 2\pi \) ના ઇન્ટરવલમાં, \( \tan x = -1 \) ના સોલ્યુશન્સ છે:
\( x = \frac{3\pi}{4} \) અને \( x = \frac{7\pi}{4} \).
બીજી ડેરિવેટિવ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીએ:
1. \( x = \frac{3\pi}{4} \) માટે:
\( f''(\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) + \cos(\frac{3\pi}{4}) \)
\( = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \).
કારણ કે \( f''(\frac{3\pi}{4}) < 0 \), \( x = \frac{3\pi}{4} \) પર સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ છે.
સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ \( f(\frac{3\pi}{4}) \) છે:
\( f(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \).
2. \( x = \frac{7\pi}{4} \) માટે:
\( f''(\frac{7\pi}{4}) = -\sin(\frac{7\pi}{4}) + \cos(\frac{7\pi}{4}) \)
\( = -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \).
કારણ કે \( f''(\frac{7\pi}{4}) > 0 \), \( x = \frac{7\pi}{4} \) પર સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ છે.
સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ \( f(\frac{7\pi}{4}) \) છે:
\( f(\frac{7\pi}{4}) = \sin(\frac{7\pi}{4}) - \cos(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \).
In simple words: First, find the points where the function's slope is zero by setting the first derivative to zero (tan x = -1). Then use the second derivative test. At 3π/4, the second derivative is negative, so it's a local maximum (value √2). At 7π/4, the second derivative is positive, so it's a local minimum (value -√2).

Exam Tip: When solving trigonometric equations for critical points, always remember to consider all solutions within the given interval. Also, be careful with signs of sine and cosine in different quadrants when applying the second derivative test.

Question 3. (v) \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)
બીજી વાર ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f''(x) = 6x - 12 \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \)
ડિવાઇડ બાય 3 કરીએ:
\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
ફેક્ટર કરીએ:
\( (x - 1)(x - 3) = 0 \)
આથી, \( x = 1 \) અથવા \( x = 3 \).
બીજી ડેરિવેટિવ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીએ:
1. \( x = 1 \) માટે:
\( f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 \).
કારણ કે \( f''(1) < 0 \), \( x = 1 \) પર સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ છે.
સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ \( f(1) \) છે:
\( f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 15 = 1 - 6 + 9 + 15 = 19 \).
2. \( x = 3 \) માટે:
\( f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \).
કારણ કે \( f''(3) > 0 \), \( x = 3 \) પર સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ છે.
સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ \( f(3) \) છે:
\( f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 15 = 27 - 54 + 27 + 15 = 15 \).
In simple words: We find the first and second derivatives. Setting the first derivative to zero gives x=1 and x=3. Using the second derivative test: at x=1, it's a local maximum (value 19), and at x=3, it's a local minimum (value 15).

Exam Tip: Factoring quadratic equations for critical points is faster than using the quadratic formula when possible. Always evaluate the function at the critical points to find the actual maximum or minimum values.

Question 3. (vi) \( g(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}; x > 0 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( g(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \) છે, અને \( x > 0 \).
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( g'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} \)
બીજી વાર ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( g''(x) = -2(-\frac{2}{x^3}) = \frac{4}{x^3} \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( g'(x) = 0 \) લઈએ.
\( \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0 \)
\( \frac{1}{2} = \frac{2}{x^2} \)
\( x^2 = 4 \)
\( x = \pm 2 \)
જેમ કે \( x > 0 \) છે, આપણે \( x = 2 \) લઈએ છીએ.
બીજી ડેરિવેટિવ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીએ:
\( g''(2) = \frac{4}{(2)^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).
કારણ કે \( g''(2) > 0 \), \( x = 2 \) પર સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ છે.
સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ \( g(2) \) છે:
\( g(2) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2 \).
In simple words: We get the first and second derivatives. Setting the first derivative to zero gives x = 2 (since x must be positive). Because the second derivative at x=2 is positive, this means we have a local minimum. The minimum value is found by putting x=2 back into the original function, which gives 2.

Exam Tip: Always remember to consider the domain of the function, especially for rational expressions or square roots, as it can restrict valid critical points.

Question 3. (vii) \( g(x) = \frac{1}{x^2+2} \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( g(x) = \frac{1}{x^2+2} \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ (quotient rule નો ઉપયોગ કરીને):
\( g'(x) = \frac{0 \cdot (x^2+2) - 1 \cdot (2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{-2x}{(x^2+2)^2} \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( g'(x) = 0 \) લઈએ.
\( \frac{-2x}{(x^2+2)^2} = 0 \)
\( -2x = 0 \)
\( x = 0 \)
બીજી વાર ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( g''(x) = \frac{(-2)(x^2+2)^2 - (-2x)[2(x^2+2)(2x)]}{(x^2+2)^4} \)
\( = \frac{-2(x^2+2) + 8x^2}{(x^2+2)^3} = \frac{-2x^2 - 4 + 8x^2}{(x^2+2)^3} = \frac{6x^2 - 4}{(x^2+2)^3} = \frac{-2(2-3x^2)}{(x^2+2)^3} \)
બીજી ડેરિવેટિવ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીએ:
\( g''(0) = \frac{-2(2 - 3(0)^2)}{(0^2+2)^3} = \frac{-2(2)}{2^3} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \).
કારણ કે \( g''(0) < 0 \), \( x = 0 \) પર સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ છે.
સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ \( g(0) \) છે:
\( g(0) = \frac{1}{0^2+2} = \frac{1}{2} \).
In simple words: We find the critical point by setting the first derivative to zero, which gives x=0. Then we use the second derivative test. Since the second derivative at x=0 is negative, it's a local maximum. The maximum value is 1/2.

Exam Tip: For rational functions, simplify the second derivative before evaluating it at critical points to reduce calculation errors. Remember to use the quotient rule for differentiation correctly.

Question 3. (viii) \( f(x) = x\sqrt{1-x}, 0 < x < 1 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = x\sqrt{1-x} \) છે, અને \( 0 < x < 1 \).
ડેરિવેટિવ શોધીએ (પ્રોડક્ટ રુલનો ઉપયોગ કરીને):
\( f'(x) = 1 \cdot \sqrt{1-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}}(-1) \)
\( = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}} \)
\( = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2 - 2x - x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}} \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}} = 0 \)
\( 2 - 3x = 0 \)
\( 3x = 2 \)
\( x = \frac{2}{3} \)
જેમ કે \( \frac{2}{3} \in (0, 1) \), આ એક માન્ય ક્રિટિકલ પોઈન્ટ છે.
બીજી વાર ડેરિવેટિવ શોધીએ (quotient rule નો ઉપયોગ કરીને):
\( f''(x) = \frac{(-3)(2\sqrt{1-x}) - (2-3x)(2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}}(-1))}{(2\sqrt{1-x})^2} \)
\( = \frac{-6\sqrt{1-x} + (2-3x)(\frac{1}{\sqrt{1-x}})}{4(1-x)} \)
\( = \frac{-6(1-x) + (2-3x)}{4(1-x)\sqrt{1-x}} = \frac{-6+6x+2-3x}{4(1-x)^{3/2}} = \frac{3x-4}{4(1-x)^{3/2}} \)
બીજી ડેરિવેટિવ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીએ:
\( f''(\frac{2}{3}) = \frac{3(\frac{2}{3}) - 4}{4(1 - \frac{2}{3})^{3/2}} = \frac{2 - 4}{4(\frac{1}{3})^{3/2}} = \frac{-2}{4 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}}} = \frac{-2 \cdot 3\sqrt{3}}{4} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \).
કારણ કે \( f''(\frac{2}{3}) < 0 \), \( x = \frac{2}{3} \) પર સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ છે.
સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ \( f(\frac{2}{3}) \) છે:
\( f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}\sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9} \).
In simple words: We find the derivative and set it to zero, getting x=2/3. Then, using the second derivative test, we find that the second derivative at x=2/3 is negative, indicating a local maximum. The maximum value of the function at x=2/3 is 2√3/9.

Exam Tip: For functions involving square roots, differentiate carefully using the chain rule. Rationalize the denominator in your final answer if required. Always verify if the critical point is within the given domain.

Question 4. સાબિત કરો કે નીચે આપેલાં વિધેયોને મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્યો નથી :
(i) \( f(x) = e^x \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = e^x \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = e^x \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( e^x = 0 \)
આ સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી, કારણ કે \( e^x \) હંમેશા પોઝિટિવ હોય છે અને ક્યારેય શૂન્ય થતો નથી.
આથી, ફંક્શન \( f(x) = e^x \) પાસે કોઈ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ નથી.
જે ફંક્શન પાસે કોઈ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ નથી, તેને મહત્તમ કે ન્યૂનતમ વેલ્યુઝ હોઈ શકતી નથી (ઓપન ડોમેન પર).
તેથી, સાબિત થાય છે કે ફંક્શન \( f(x) = e^x \) ને મહત્તમ કે ન્યૂનતમ વેલ્યુઝ નથી.
In simple words: The derivative of e^x is e^x itself. Since e^x is never zero, there are no points where the slope is flat. This means the function keeps going in one direction (always increasing), so it doesn't have any highest or lowest points.

Exam Tip: Remember that the exponential function \( e^x \) is strictly increasing and always positive, hence it has no local extrema on its domain (all real numbers).

Question 4. (ii) \( g(x) = \log x \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( g(x) = \log x \) છે.
ફંક્શન \( g(x) = \log x \) ફક્ત \( x > 0 \) માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( g'(x) = \frac{1}{x} \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( g'(x) = 0 \) લઈએ.
\( \frac{1}{x} = 0 \)
આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે \( x > 0 \) માટે \( \frac{1}{x} \) ક્યારેય શૂન્ય થતો નથી.
આથી, ફંક્શન \( g(x) = \log x \) પાસે કોઈ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ નથી.
જે ફંક્શન પાસે કોઈ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ નથી, તેને મહત્તમ કે ન્યૂનતમ વેલ્યુઝ હોઈ શકતી નથી (ઓપન ડોમેન પર).
તેથી, સાબિત થાય છે કે ફંક્શન \( g(x) = \log x \) ને મહત્તમ કે ન્યૂનતમ વેલ્યુઝ નથી.
In simple words: The function log x is only defined for positive numbers. Its derivative is 1/x. Since 1/x is never zero for any positive x, there are no points where the slope is flat. This means the function always increases, so it has no highest or lowest points.

Exam Tip: Understand the domain and fundamental behavior of logarithmic functions. The natural logarithm \( \ln x \) is always increasing for \( x > 0 \), similar to \( e^x \) being always increasing.

Question 4. (iii) \( h(x) = x^3 + x^2 + x + 1 \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( h(x) = x^3 + x^2 + x + 1 \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( h'(x) = 3x^2 + 2x + 1 \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( h'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 3x^2 + 2x + 1 = 0 \)
આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે. તેના ડિસ્ક્રિમિનન્ટ (વિવેચક) \( D = b^2 - 4ac \) શોધીએ.
\( D = (2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8 \).
કારણ કે ડિસ્ક્રિમિનન્ટ \( D < 0 \) છે, દ્વિઘાત સમીકરણ \( 3x^2 + 2x + 1 = 0 \) ને કોઈ વાસ્તવિક મૂલ્યો નથી. આનો અર્થ છે કે \( h'(x) \) ક્યારેય શૂન્ય થતો નથી.
વધુમાં, \( h'(x) \) નો અગ્ર સહગુણાંક (leading coefficient) 3 છે, જે પોઝિટિવ છે. તેથી, \( h'(x) \) હંમેશા પોઝિટિવ રહે છે (એટલે કે \( h'(x) > 0 \) બધા વાસ્તવિક \( x \) માટે).
આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શન \( h(x) \) હંમેશા સ્ટ્રીક્ટલી ઇન્ક્રીઝિંગ છે.
તેથી, સાબિત થાય છે કે ફંક્શન \( h(x) \) ને મહત્તમ કે ન્યૂનતમ વેલ્યુઝ નથી.
In simple words: We calculate the derivative of the function. When we try to find points where this derivative is zero, we get a quadratic equation. The 'discriminant' of this equation is negative, which means there are no real solutions for x. So, the slope is never zero, and the function keeps increasing without any peaks or valleys.

Exam Tip: When \( f'(x) \) is a quadratic expression, always check its discriminant. If the discriminant is negative and the leading coefficient is positive, then \( f'(x) \) is always positive, indicating a strictly increasing function with no extrema.

Question 5. આપેલ અંતરાલમાં નીચેનાં વિધેયોનાં વૈશ્વિક મહત્તમ તથા વૈશ્વિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધો :
(i) \( f(x) = x^3, x \in [-2, 2] \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = x^3 \) છે અને ઇન્ટરવલ \( [-2, 2] \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = 3x^2 \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 3x^2 = 0 \)
\( x = 0 \)
આ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ આપેલ ઇન્ટરવલ \( [-2, 2] \) માં આવે છે.
વૈશ્વિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ વેલ્યુઝ શોધવા માટે, આપણે ફંક્શનને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને ઇન્ટરવલના એન્ડપોઈન્ટ્સ પર ઇવેલ્યુએટ કરીએ છીએ:
1. \( x = -2 \) (એન્ડપોઈન્ટ): \( f(-2) = (-2)^3 = -8 \)
2. \( x = 0 \) (ક્રિટિકલ પોઈન્ટ): \( f(0) = (0)^3 = 0 \)
3. \( x = 2 \) (એન્ડપોઈન્ટ): \( f(2) = (2)^3 = 8 \)
આપણી પાસે વેલ્યુઝનો સેટ \( \{-8, 0, 8\} \) છે.
આ વેલ્યુઝમાંથી, સૌથી મોટી વેલ્યુ 8 છે અને સૌથી નાની વેલ્યુ -8 છે.
તેથી, ફંક્શનની વૈશ્વિક મહત્તમ વેલ્યુ 8 છે, જે \( x = 2 \) પર મળે છે.
અને, ફંક્શનની વૈશ્વિક ન્યૂનતમ વેલ્યુ -8 છે, જે \( x = -2 \) પર મળે છે.
In simple words: We find points where the derivative is zero (critical points) and check the function's value at these points, plus at the ends of the given range. For x^3 in [-2, 2], the critical point is x=0. Checking f(-2), f(0), and f(2), we find the highest value is 8 and the lowest is -8.

Exam Tip: For absolute extrema on a closed interval, always check the function values at both the critical points *within* the interval and at the endpoints of the interval. The largest and smallest of these values will be the absolute maximum and minimum.

Question 5. (ii) \( f(x) = \sin x + \cos x, x \in [0, \pi] \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = \sin x + \cos x \) છે અને ઇન્ટરવલ \( [0, \pi] \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = \cos x - \sin x \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( \cos x - \sin x = 0 \)
\( \cos x = \sin x \)
\( \tan x = 1 \)
આપેલ ઇન્ટરવલ \( [0, \pi] \) માં, \( \tan x = 1 \) માટે એક જ સોલ્યુશન છે:
\( x = \frac{\pi}{4} \)
આ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ આપેલ ઇન્ટરવલ \( [0, \pi] \) માં આવે છે.
વૈશ્વિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ વેલ્યુઝ શોધવા માટે, આપણે ફંક્શનને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને ઇન્ટરવલના એન્ડપોઈન્ટ્સ પર ઇવેલ્યુએટ કરીએ છીએ:
1. \( x = 0 \) (એન્ડપોઈન્ટ): \( f(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 \)
2. \( x = \frac{\pi}{4} \) (ક્રિટિકલ પોઈન્ટ): \( f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)
3. \( x = \pi \) (એન્ડપોઈન્ટ): \( f(\pi) = \sin \pi + \cos \pi = 0 - 1 = -1 \)
આપણી પાસે વેલ્યુઝનો સેટ \( \{1, \sqrt{2}, -1\} \) છે.
\( \sqrt{2} \approx 1.414 \).
આ વેલ્યુઝમાંથી, સૌથી મોટી વેલ્યુ \( \sqrt{2} \) છે અને સૌથી નાની વેલ્યુ -1 છે.
તેથી, ફંક્શનની વૈશ્વિક મહત્તમ વેલ્યુ \( \sqrt{2} \) છે, જે \( x = \frac{\pi}{4} \) પર મળે છે.
અને, ફંક્શનની વૈશ્વિક ન્યૂનતમ વેલ્યુ -1 છે, જે \( x = \pi \) પર મળે છે.
In simple words: We find the point in the range [0, π] where the slope is zero (x=π/4). Then we check the function's value at this point and at the ends of the range (x=0, x=π). The highest value found is √2, and the lowest is -1.

Exam Tip: For trigonometric functions, know the exact values for common angles (0, \( \pi/4 \), \( \pi/2 \), \( \pi \), etc.). Convert \( \sqrt{2} \) to its decimal equivalent for easy comparison with other numerical values.

Question 5. (iii) \( f(x) = 4x - \frac{1}{2} x^2, x \in [-2, \frac{9}{2}] \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = 4x - \frac{1}{2} x^2 \) છે અને ઇન્ટરવલ \( [-2, \frac{9}{2}] \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = 4 - x \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 4 - x = 0 \)
\( x = 4 \)
આ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ આપેલ ઇન્ટરવલ \( [-2, \frac{9}{2}] \) માં આવે છે, કારણ કે \( -2 \le 4 \le 4.5 \).
વૈશ્વિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ વેલ્યુઝ શોધવા માટે, આપણે ફંક્શનને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને ઇન્ટરવલના એન્ડપોઈન્ટ્સ પર ઇવેલ્યુએટ કરીએ છીએ:
1. \( x = -2 \) (એન્ડપોઈન્ટ): \( f(-2) = 4(-2) - \frac{1}{2}(-2)^2 = -8 - \frac{1}{2}(4) = -8 - 2 = -10 \)
2. \( x = 4 \) (ક્રિટિકલ પોઈન્ટ): \( f(4) = 4(4) - \frac{1}{2}(4)^2 = 16 - \frac{1}{2}(16) = 16 - 8 = 8 \)
3. \( x = \frac{9}{2} \) (એન્ડપોઈન્ટ): \( f(\frac{9}{2}) = 4(\frac{9}{2}) - \frac{1}{2}(\frac{9}{2})^2 = 18 - \frac{1}{2}(\frac{81}{4}) = 18 - \frac{81}{8} = 18 - 10.125 = 7.875 \)
આપણી પાસે વેલ્યુઝનો સેટ \( \{-10, 8, 7.875\} \) છે.
આ વેલ્યુઝમાંથી, સૌથી મોટી વેલ્યુ 8 છે અને સૌથી નાની વેલ્યુ -10 છે.
તેથી, ફંક્શનની વૈશ્વિક મહત્તમ વેલ્યુ 8 છે, જે \( x = 4 \) પર મળે છે.
અને, ફંક્શનની વૈશ્વિક ન્યૂનતમ વેલ્યુ -10 છે, જે \( x = -2 \) પર મળે છે.
In simple words: We find the critical point (where slope is zero) within the given interval. Here, it's x=4. Then we calculate the function's value at this point and at the interval's ends (x=-2 and x=9/2). Comparing all these values, the highest is 8 and the lowest is -10.

Exam Tip: For problems with fractions in the interval or function, perform calculations carefully to avoid arithmetic errors. Always verify that critical points fall within the given closed interval.

Question 5. (iv) \( f(x) = (x - 1)^2 + 3, x \in [-3, 1] \)
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = (x - 1)^2 + 3 \) છે અને ઇન્ટરવલ \( [-3, 1] \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = 2(x - 1) \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 2(x - 1) = 0 \)
\( x - 1 = 0 \)
\( x = 1 \)
આ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ આપેલ ઇન્ટરવલ \( [-3, 1] \) માં આવે છે, કારણ કે \( x=1 \) એ ઇન્ટરવલનો એન્ડપોઈન્ટ પણ છે.
વૈશ્વિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ વેલ્યુઝ શોધવા માટે, આપણે ફંક્શનને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને ઇન્ટરવલના એન્ડપોઈન્ટ્સ પર ઇવેલ્યુએટ કરીએ છીએ:
1. \( x = -3 \) (એન્ડપોઈન્ટ): \( f(-3) = (-3 - 1)^2 + 3 = (-4)^2 + 3 = 16 + 3 = 19 \)
2. \( x = 1 \) (ક્રિટિકલ પોઈન્ટ અને એન્ડપોઈન્ટ): \( f(1) = (1 - 1)^2 + 3 = 0^2 + 3 = 3 \)
આપણી પાસે વેલ્યુઝનો સેટ \( \{19, 3\} \) છે.
આ વેલ્યુઝમાંથી, સૌથી મોટી વેલ્યુ 19 છે અને સૌથી નાની વેલ્યુ 3 છે.
તેથી, ફંક્શનની વૈશ્વિક મહત્તમ વેલ્યુ 19 છે, જે \( x = -3 \) પર મળે છે.
અને, ફંક્શનની વૈશ્વિક ન્યૂનતમ વેલ્યુ 3 છે, જે \( x = 1 \) પર મળે છે.
In simple words: We find the critical point by setting the derivative to zero, which is x=1. Then we check the function's value at this point and at the interval's ends (x=-3 and x=1). The biggest value we find is 19, and the smallest is 3.

Exam Tip: Notice that for a parabola opening upwards like this, the critical point is the vertex. If the vertex is an endpoint of the interval, it will be one of the extrema; the other extremum will be at the other endpoint.

Question 6. જો કંપનીએ પ્રાપ્ત કરેલ નફાનું વિધેય, \( p(x) = 41 - 72x - 18x^2 \) હોય, તો કંપનીને પ્રાપ્ત થતો મહત્તમ નફો શોધો.
Answer: કંપનીને પ્રાપ્ત થયેલા નફાનું ફંક્શન \( p(x) = 41 - 72x - 18x^2 \) છે.
મહત્તમ નફો શોધવા માટે, આપણે \( p(x) \) નું ડેરિવેટિવ શોધીએ અને તેને શૂન્ય સેટ કરીએ.
\( p'(x) = \frac{d}{dx}(41 - 72x - 18x^2) = -72 - 36x \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( p'(x) = 0 \) લઈએ.
\( -72 - 36x = 0 \)
\( 36x = -72 \)
\( x = -\frac{72}{36} = -2 \)
હવે, બીજી ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( p''(x) = \frac{d}{dx}(-72 - 36x) = -36 \)
કારણ કે \( p''(-2) = -36 < 0 \), ફંક્શન \( x = -2 \) પર મહત્તમ વેલ્યુ ધરાવે છે.
મહત્તમ નફો શોધવા માટે, \( x = -2 \) વેલ્યુને મૂળ નફાના ફંક્શનમાં મૂકીએ:
\( p(-2) = 41 - 72(-2) - 18(-2)^2 \)
\( = 41 + 144 - 18(4) \)
\( = 41 + 144 - 72 \)
\( = 185 - 72 \)
\( = 113 \)
તેથી, કંપનીને પ્રાપ્ત થતો મહત્તમ નફો 113 એકમ છે.
In simple words: To find the maximum profit, we take the derivative of the profit function and set it to zero to find the 'x' value. We then check the second derivative, which is negative, confirming it's a maximum. Plugging this 'x' value back into the profit function gives the maximum profit, which is 113 units.

Exam Tip: For application problems involving maximization or minimization, clearly define the function to be optimized and its domain. The second derivative test is efficient for confirming maxima or minima.

Question 7. વિધેય \( f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 48x + 25, x \in [0, 3] \)નાં મહત્તમ તથા ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધો.
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 48x + 25 \) છે અને ઇન્ટરવલ \( [0, 3] \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 24x - 48 \)
ફેક્ટર કરીએ:
\( f'(x) = 12(x^3 - 2x^2 + 2x - 4) \)
\( = 12(x^2(x - 2) + 2(x - 2)) \)
\( = 12(x^2 + 2)(x - 2) \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 12(x^2 + 2)(x - 2) = 0 \)
આ સમીકરણમાંથી, \( x - 2 = 0 \) અથવા \( x^2 + 2 = 0 \).
\( x - 2 = 0 \implies x = 2 \).
\( x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = -2 \), જેનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી, એકમાત્ર ક્રિટિકલ પોઈન્ટ \( x = 2 \) છે.
આ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ આપેલ ઇન્ટરવલ \( [0, 3] \) માં આવે છે.
વૈશ્વિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ વેલ્યુઝ શોધવા માટે, આપણે ફંક્શનને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને ઇન્ટરવલના એન્ડપોઈન્ટ્સ પર ઇવેલ્યુએટ કરીએ છીએ:
1. \( x = 0 \) (એન્ડપોઈન્ટ): \( f(0) = 3(0)^4 - 8(0)^3 + 12(0)^2 - 48(0) + 25 = 25 \)
2. \( x = 2 \) (ક્રિટિકલ પોઈન્ટ): \( f(2) = 3(2)^4 - 8(2)^3 + 12(2)^2 - 48(2) + 25 \)
\( = 3(16) - 8(8) + 12(4) - 96 + 25 \)
\( = 48 - 64 + 48 - 96 + 25 = -39 \)
3. \( x = 3 \) (એન્ડપોઈન્ટ): \( f(3) = 3(3)^4 - 8(3)^3 + 12(3)^2 - 48(3) + 25 \)
\( = 3(81) - 8(27) + 12(9) - 144 + 25 \)
\( = 243 - 216 + 108 - 144 + 25 = 16 \)
આપણી પાસે વેલ્યુઝનો સેટ \( \{25, -39, 16\} \) છે.
આ વેલ્યુઝમાંથી, સૌથી મોટી વેલ્યુ 25 છે અને સૌથી નાની વેલ્યુ -39 છે.
તેથી, ફંક્શનની વૈશ્વિક મહત્તમ વેલ્યુ 25 છે, જે \( x = 0 \) પર મળે છે.
અને, ફંક્શનની વૈશ્વિક ન્યૂનતમ વેલ્યુ -39 છે, જે \( x = 2 \) પર મળે છે.
In simple words: We find the derivative, factor it to get critical points (x=2). Then we check the function's value at this critical point and at the ends of the given range (x=0, x=3). Comparing all values, the highest is 25 and the lowest is -39.

Exam Tip: Factoring higher-degree polynomials can sometimes be tricky. Look for common factors or use grouping methods to simplify the derivative and find critical points more easily.

Question 8. વિધેય \( f(x) = \sin 2x, x \in [0, 2\pi] \) એ x ની કઈ કિંમતો આગળ મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરશે ?
Answer: અહીં, આપેલ ફંક્શન \( f(x) = \sin 2x \) છે અને ઇન્ટરવલ \( [0, 2\pi] \) છે.
ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f'(x) = 2\cos 2x \)
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે, \( f'(x) = 0 \) લઈએ.
\( 2\cos 2x = 0 \)
\( \cos 2x = 0 \)
જેમ કે \( x \in [0, 2\pi] \), \( 2x \in [0, 4\pi] \) થાય છે.
આ ઇન્ટરવલમાં, \( \cos \theta = 0 \) ના સોલ્યુશન્સ છે:
\( 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \)
આથી, \( x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \).
બીજી વાર ડેરિવેટિવ શોધીએ:
\( f''(x) = -4\sin 2x \)
બીજી ડેરિવેટિવ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીએ:
1. \( x = \frac{\pi}{4} \) માટે:
\( f''(\frac{\pi}{4}) = -4\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -4\sin(\frac{\pi}{2}) = -4(1) = -4 \).
કારણ કે \( f''(\frac{\pi}{4}) < 0 \), \( x = \frac{\pi}{4} \) પર સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ મળે છે.
2. \( x = \frac{3\pi}{4} \) માટે:
\( f''(\frac{3\pi}{4}) = -4\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = -4\sin(\frac{3\pi}{2}) = -4(-1) = 4 \).
કારણ કે \( f''(\frac{3\pi}{4}) > 0 \), \( x = \frac{3\pi}{4} \) પર સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ મળે છે.
3. \( x = \frac{5\pi}{4} \) માટે:
\( f''(\frac{5\pi}{4}) = -4\sin(2 \cdot \frac{5\pi}{4}) = -4\sin(\frac{5\pi}{2}) = -4(1) = -4 \).
કારણ કે \( f''(\frac{5\pi}{4}) < 0 \), \( x = \frac{5\pi}{4} \) પર સ્થાનીય મહત્તમ વેલ્યુ મળે છે.
4. \( x = \frac{7\pi}{4} \) માટે:
\( f''(\frac{7\pi}{4}) = -4\sin(2 \cdot \frac{7\pi}{4}) = -4\sin(\frac{7\pi}{2}) = -4(-1) = 4 \).
કારણ કે \( f''(\frac{7\pi}{4}) > 0 \), \( x = \frac{7\pi}{4} \) પર સ્થાનીય ન્યૂનતમ વેલ્યુ મળે છે.
હવે, આપણે એન્ડપોઈન્ટ્સ પર ફંક્શનની વેલ્યુઝ પણ તપાસીએ:
\( f(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin 0 = 0 \).
\( f(2\pi) = \sin(2 \cdot 2\pi) = \sin(4\pi) = 0 \).
મહત્તમ વેલ્યુ માટે, આપણે \( f(\frac{\pi}{4}) \) અને \( f(\frac{5\pi}{4}) \) પર જોઈએ:
\( f(\frac{\pi}{4}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \).
\( f(\frac{5\pi}{4}) = \sin(2 \cdot \frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = 1 \).
તેથી, ફંક્શન \( f(x) = \sin 2x \) \( x = \frac{\pi}{4} \) અને \( x = \frac{5\pi}{4} \) કિંમતો આગળ મહત્તમ મૂલ્ય (1) પ્રાપ્ત કરશે.
In simple words: We find the critical points by setting the derivative to zero. Then, we use the second derivative test to see if these points are maximums or minimums. For this function, maximums occur at x=π/4 and x=5π/4, where the value of the function is 1.

Exam Tip: For trigonometric functions with altered periods (like \( \sin 2x \)), remember to adjust the interval for \( 2x \) accordingly (e.g., \( [0, 4\pi] \) for \( 2x \) if \( x \in [0, 2\pi] \)). This ensures all critical points are found.

Question 9. f(x) = sin x + cos x ની મહત્તમ કિંમત શોધો.
Answer:
વિધેય \(f(x) = \sin x + \cos x\)
\(f'(x) = \cos x - \sin x\)
\(f''(x) = - \sin x - \cos x\)
મહત્તમ મૂલ્ય માટે \(f'(x) = 0\)
\( \implies \cos x - \sin x = 0 \)
\( \implies \tan x = 1 \)
\( \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \)
હવે, \(f''(\frac{\pi}{4}) = - \sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = - \frac{2}{\sqrt{2}} = - \sqrt{2} < 0 \)
આનો અર્થ થાય છે કે \(x = \frac{\pi}{4}\) આગળ વિધેય \(f(x)\) ને મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
વિધેય \(f(x)\) નું મહત્તમ મૂલ્ય \( = f(\frac{\pi}{4}) \)
\( = \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4}) \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( = \frac{2}{\sqrt{2}} \)
\( = \sqrt{2} \)
\(f''(\frac{5\pi}{4}) = - \sin(\frac{5\pi}{4}) - \cos(\frac{5\pi}{4}) \)
\( = - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0 \)
આનો અર્થ થાય છે કે \(x = \frac{5\pi}{4}\) આગળ વિધેય \(f(x)\) ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
વળી, \(f(0) = \sin 0 + \cos 0 = 1\)
અને \(f(2\pi) = \sin 2\pi + \cos 2\pi = 1\)
અહીં, વિધેય \(f(x)\) ને \(x = \frac{\pi}{4}\) આગળ મહત્તમ મૂલ્ય \(\sqrt{2}\) મળે છે.
In simple words: આપેલ ફંક્શનની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે, આપણે પ્રથમ અને દ્વિતીય ડેરિવેટિવ્સ શોધીએ છીએ. પ્રથમ ડેરિવેટિવને શૂન્ય સમાન કરીને મહત્તમ પોઈન્ટ મેળવીએ છીએ. પછી તે કિંમતો પર દ્વિતીય ડેરિવેટિવ નેગેટિવ છે કે નહીં તે તપાસીએ છીએ. જે પોઈન્ટ પર દ્વિતીય ડેરિવેટિવ નેગેટિવ હોય, તે મહત્તમ કિંમત આપશે.

Exam Tip: મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવા માટે, ફંક્શનના પ્રથમ ડેરિવેટિવને શૂન્ય સમાન કરો અને પછી દ્વિતીય ડેરિવેટિવનું ચિહ્ન તપાસો. યાદ રાખો કે જો અંતરાલ આપેલ હોય, તો અંતરાલના છેડાના મૂલ્યો પણ તપાસવા જોઈએ.

Question 10. વિધેય f(x) = 2x³ – 24x + 107, x ∈ [1, 3] માટે, fનું આ જ વિધેય માટે, x ∈ [−3, − 1] હોય, મહત્તમ મૂલ્ય શોધો. તો fનું મહત્તમ મૂલ્ય નક્કી કરો.
Answer:
\(f(x) = 2x^3 - 24x + 107\)
\(f'(x) = 6x^2 - 24\)
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્યો માટે \(f'(x) = 0\)
\( \implies 6x^2 - 24 = 0 \)
\( \implies 6x^2 = 24 \)
\( \implies x^2 = 4 \)
\( \implies x = \pm 2 \)
પ્રથમ અંતરાલ માટે: \(x \in [1, 3]\)
અહીં \(x = 2\) એ \([1, 3]\) માં સમાયેલું છે (જ્યારે \(-2 \notin [1, 3]\)).
આપણને \(f(1), f(2)\) અને \(f(3)\) ના મૂલ્યો તપાસવા પડશે.
\(f(1) = 2(1)^3 - 24(1) + 107 = 2 - 24 + 107 = 85\)
\(f(2) = 2(2)^3 - 24(2) + 107 = 16 - 48 + 107 = 75\)
\(f(3) = 2(3)^3 - 24(3) + 107 = 54 - 72 + 107 = 89\)
તેથી, વિધેય \(f(x)\) નું મહત્તમ મૂલ્ય 89 મળે છે, જે \(x = 3\) આગળ પ્રાપ્ત થાય છે.
બીજા અંતરાલ માટે: \(x \in [-3, -1]\)
અહીં \(x = -2\) એ \([-3, -1]\) માં સમાયેલું છે (જ્યારે \(2 \notin [-3, -1]\)).
આપણને \(f(-2), f(-3)\) અને \(f(-1)\) ના મૂલ્યો તપાસવા પડશે.
\(f(-2) = 2(-2)^3 - 24(-2) + 107 = -16 + 48 + 107 = 139\)
\(f(-3) = 2(-3)^3 - 24(-3) + 107 = -54 + 72 + 107 = 125\)
\(f(-1) = 2(-1)^3 - 24(-1) + 107 = -2 + 24 + 107 = 129\)
તેથી, વિધેય \(f(x)\) નું મહત્તમ મૂલ્ય 139 મળે છે, જે \(x = -2\) આગળ પ્રાપ્ત થાય છે.
In simple words: આપેલ ફંક્શન માટે, આપણે પહેલા તેના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ શોધીએ છીએ. પછી, દરેક આપેલા અંતરાલ માટે, આપણે અંતરાલના છેડાના મૂલ્યો અને અંતરાલમાં આવતા મહત્તમ-ન્યૂનતમ પોઈન્ટ્સ પર ફંક્શનનું મૂલ્ય ગણીએ છીએ. આ બધા મૂલ્યોમાંથી જે સૌથી મોટું હોય, તે તે અંતરાલ માટેની મહત્તમ કિંમત છે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ અંતરાલમાં મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવાનું હોય, ત્યારે ક્રાંતિક બિંદુઓ (જ્યાં f'(x) = 0) તેમજ અંતરાલના છેડાના બિંદુઓ પર ફંક્શનનું મૂલ્ય શોધવાનું હંમેશા યાદ રાખો. પછી આ બધા મૂલ્યોની સરખામણી કરો.

Question 11. જો વિધેય f(x) = x4 – 62x² + ax + 9, x ∈ [0, 2] x = 1 આગળ મહત્તમ કિંમત ધારણ કરે છે તેમ આપેલ હોય, તો વની કિંમત શોધો.
Answer:
\(f(x) = x^4 - 62x^2 + ax + 9\)
\(f'(x) = 4x^3 - 124x + a\)
આપણને આપેલ છે કે વિધેય \(f(x)\) એ \(x = 1\) આગળ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી, \(f'(1) = 0\) થવું જોઈએ.
\( \implies 4(1)^3 - 124(1) + a = 0 \)
\( \implies 4 - 124 + a = 0 \)
\( \implies -120 + a = 0 \)
\( \implies a = 120 \)
In simple words: જો કોઈ ફંક્શન \(f(x)\) પાસે કોઈ ચોક્કસ બિંદુ \(x = c\) પર મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત હોય, તો તેના પ્રથમ ડેરિવેટિવ \(f'(c)\) નું મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે. આપણે આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને અજ્ઞાત 'a' ની કિંમત શોધી શકીએ.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ ફંક્શનનું મહત્તમ કે ન્યૂનતમ બિંદુ આપેલું હોય, ત્યારે તે બિંદુ પર પ્રથમ ડેરિવેટિવને શૂન્ય સમાન કરવાથી અજ્ઞાત ગુણાંકની કિંમત શોધવામાં મદદ મળે છે.

Question 12. વિધેય f(x) = x + sin 2x, x € [0, 2п] ની મહત્તમ તથા ન્યૂનતમ કિંમતો શોધો.
Answer:
\(f(x) = x + \sin 2x\), \(x \in [0, 2\pi]\)
\(f'(x) = 1 + 2\cos 2x\)
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્યો માટે \(f'(x) = 0\)
\( \implies 1 + 2\cos 2x = 0 \)
\( \implies 2\cos 2x = -1 \)
\( \implies \cos 2x = -\frac{1}{2} \)
\(0 < x < 2\pi \implies 0 < 2x < 4\pi\)
\( \implies 2x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3} \)
\( \implies x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \)
હવે, આપણે \(f(x)\) ના મૂલ્યો \(x = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\) અને \(2\pi\) આગળ મેળવીએ.
\(f(0) = 0 + \sin(0) = 0\)
\(f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} + \sin(\frac{4\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \sin(\frac{8\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(\frac{5\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} + \sin(\frac{10\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(2\pi) = 2\pi + \sin(4\pi) = 2\pi\)
બધા મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,
મહત્તમ મૂલ્ય \(f(2\pi) = 2\pi\)
ન્યૂનતમ મૂલ્ય \(f(0) = 0\)
In simple words: મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવા માટે, પહેલા ફંક્શનનું ડેરિવેટિવ શોધીએ અને તેને શૂન્ય સમાન કરીને ક્રાંતિક બિંદુઓ મેળવીએ. પછી, આપેલા અંતરાલના છેડાના બિંદુઓ અને ક્રાંતિક બિંદુઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ. આ બધા મૂલ્યોમાંથી સૌથી મોટું મૂલ્ય મહત્તમ કિંમત અને સૌથી નાનું મૂલ્ય ન્યૂનતમ કિંમત હોય છે.

Exam Tip: ત્રિકોણમિતિના ફંક્શન માટે, \(2x\) ના બધા શક્ય મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લો જે આપેલા અંતરાલ \(x \in [0, 2\pi]\) માં \(x\) ના અનુરૂપ મૂલ્યો આપે છે.

Question 13. જેમનો સરવાળો 24 હોય અને જેમનો ગુણાકાર મહત્તમ હોય એવી બે ધન સંખ્યાઓ શોધો.
Answer:
ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ \(x\) અને \(y\) છે.
તેમનો સરવાળો \(x + y = 24\) છે. \( \implies y = 24 - x\)
આ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર \(p(x) = x \cdot y = x(24 - x) = 24x - x^2\)
ગુણાકારને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે \(p'(x)\) શોધીએ અને તેને શૂન્ય સમાન કરીએ.
\(p'(x) = 24 - 2x\)
\(p'(x) = 0 \implies 24 - 2x = 0 \implies 2x = 24 \implies x = 12\)
હવે, આપણે \(p''(x)\) શોધીએ.
\(p''(x) = -2\)
\(p''(12) = -2 < 0\)
જે દર્શાવે છે કે \(x = 12\) આગળ ગુણાકાર મહત્તમ છે.
જો \(x = 12\), તો \(y = 24 - 12 = 12\)
તેથી, માંગેલી સંખ્યાઓ 12 અને 12 છે.
In simple words: બે સંખ્યાઓનો સરવાળો આપેલો હોય અને તેમનો ગુણાકાર મહત્તમ કરવો હોય, તો તે સંખ્યાઓ સમાન હોય છે. આને ગણિતીય રીતે, ફંક્શનનું ડેરિવેટિવ લઈને અને તેને શૂન્ય બરાબર કરીને સાબિત કરી શકાય છે.

Exam Tip: જ્યારે બે સંખ્યાઓનો સરવાળો સ્થિર હોય અને તેમનો ગુણાકાર મહત્તમ કરવાનો હોય, ત્યારે તે સંખ્યાઓ સમાન હોય છે. આ એક સામાન્ય ઓપ્ટિમાઇઝેશન સિદ્ધાંત છે.

Question 14. x + y = 60 થાય તથા xy³ મહત્તમ થાય એવી બે ધન સંખ્યાઓ x અને y મેળવો.
Answer:
ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ \(x\) અને \(y\) છે.
આપણને આપેલ છે કે \(x + y = 60\). \( \implies x = 60 - y\)
આપણે \(xy^3\) ને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ. તેને \(f(y)\) તરીકે લઈએ.
\(f(y) = (60 - y)y^3 = 60y^3 - y^4\)
\(f'(y) = 180y^2 - 4y^3 = 4y^2(45 - y)\)
મહત્તમ મૂલ્ય માટે, \(f'(y) = 0\)
\( \implies 4y^2(45 - y) = 0\)
\( \implies y = 0\) અથવા \(y = 45\)
કારણ કે સંખ્યાઓ ધન હોવી જોઈએ, \(y = 0\) શક્ય નથી. તેથી \(y = 45\).
હવે, આપણે દ્વિતીય ડેરિવેટિવ શોધીએ.
\(f''(y) = 360y - 12y^2 = 12y(30 - y)\)
\(f''(45) = 12(45)(30 - 45) = 540(-15) = -8100 < 0\)
જે દર્શાવે છે કે \(y = 45\) આગળ \(f(y)\) મહત્તમ છે.
જો \(y = 45\), તો \(x = 60 - 45 = 15\)
તેથી, માંગેલી ધન સંખ્યાઓ 15 અને 45 છે.
In simple words: બે ધન સંખ્યાઓનો સરવાળો આપેલો હોય અને એક ફંક્શન \(xy^3\) ને મહત્તમ કરવાનું હોય, તો આપણે એક ચલને બીજા ચલના સ્વરૂપમાં લખીને ફંક્શનને એક ચલવાળું બનાવીએ છીએ. પછી ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને મહત્તમ કિંમત આપતી સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે એક કરતાં વધુ ચલવાળા ફંક્શનને મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કરવાનું હોય, ત્યારે આપેલા નિયંત્રણોનો ઉપયોગ કરીને ચલોની સંખ્યા ઘટાડવી એ પ્રથમ પગલું છે.

Question 15. જેમનો સરવાળો 35 થાય એવી બે ધન સંખ્યાઓ x અને y મેળવો જેથી ગુણાકાર \(x^2y^5\) મહત્તમ બને.
Answer:
ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ \(x\) અને \(y\) છે.
આપણને આપેલ છે કે \(x + y = 35\). \( \implies y = 35 - x\)
આપણે \(x^2y^5\) ને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ. તેને \(f(x)\) તરીકે લઈએ.
\(f(x) = x^2(35 - x)^5\)
\(f'(x) = x^2 \cdot 5(35 - x)^4(-1) + (35 - x)^5 \cdot 2x\)
\( = -5x^2(35 - x)^4 + 2x(35 - x)^5\)
\( = x(35 - x)^4 [-5x + 2(35 - x)]\)
\( = x(35 - x)^4 [-5x + 70 - 2x]\)
\( = x(35 - x)^4 [70 - 7x]\)
મહત્તમ મૂલ્ય માટે, \(f'(x) = 0\)
\( \implies x(35 - x)^4 (70 - 7x) = 0\)
\( \implies x = 0\), \(x = 35\) અથવા \(70 - 7x = 0 \implies 7x = 70 \implies x = 10\)
કારણ કે સંખ્યાઓ ધન હોવી જોઈએ, \(x = 0\) અને \(x = 35\) (જેથી \(y=0\)) શક્ય નથી. તેથી \(x = 10\).
હવે, દ્વિતીય ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને આપણે ચકાસીએ છીએ.
\(f''(x) = (35-x)^4(70 - 14x) + (70x - 7x^2) \cdot 4(35-x)^3(-1)\)
\(f''(10) = (35-10)^4(70 - 14(10)) + (70(10) - 7(10)^2) \cdot 4(35-10)^3(-1)\)
\( = (25)^4(70 - 140) + (700 - 700) \cdot 4(25)^3(-1)\)
\( = (25)^4(-70) + 0 \)
\( = -70 \cdot (25)^4 < 0\)
જે દર્શાવે છે કે \(x = 10\) આગળ \(f(x)\) મહત્તમ છે.
જો \(x = 10\), તો \(y = 35 - 10 = 25\)
તેથી, માંગેલી ધન સંખ્યાઓ 10 અને 25 છે.
In simple words: જ્યારે બે સંખ્યાઓનો સરવાળો આપેલો હોય અને તેમનું ગુણાકાર ફંક્શન \(x^2y^5\) ને મહત્તમ કરવાનું હોય, તો આપણે પહેલા એક ચલને બીજા ચલના સ્વરૂપમાં બદલીને ફંક્શનને એક ચલવાળું બનાવીએ છીએ. પછી પ્રથમ ડેરિવેટિવને શૂન્ય કરીને ક્રાંતિક બિંદુ શોધીએ છીએ અને દ્વિતીય ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને મહત્તમ કિંમત આપતી સંખ્યાઓ નક્કી કરીએ છીએ.

Exam Tip: ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ડેરિવેટિવ લેતી વખતે કાળજી રાખો. સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢવાથી ગણતરી સરળ બને છે અને ભૂલો ઘટાડે છે.

Question 16. જેમનો સરવાળો 16 હોય એવી બે ધન સંખ્યાઓ શોધો જેથી તેમના ધનનો સરવાળો ન્યૂનતમ હોય.
Answer:
ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ \(x\) અને \(y\) છે.
તેમનો સરવાળો \(x + y = 16\) છે. \( \implies y = 16 - x\)
આપણે તેમના ધનનો સરવાળો \(f(x)\) ને ન્યૂનતમ કરવા માંગીએ છીએ.
\(f(x) = x^3 + y^3 = x^3 + (16 - x)^3\)
\(f'(x) = 3x^2 + 3(16 - x)^2(-1) = 3x^2 - 3(16 - x)^2\)
ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે, \(f'(x) = 0\)
\( \implies 3x^2 - 3(16 - x)^2 = 0\)
\( \implies x^2 = (16 - x)^2\)
\( \implies x = \pm (16 - x)\)
કેસ 1: \(x = 16 - x \implies 2x = 16 \implies x = 8\)
કેસ 2: \(x = -(16 - x) \implies x = -16 + x \implies 0 = -16\), જે શક્ય નથી.
તેથી, \(x = 8\).
હવે, આપણે દ્વિતીય ડેરિવેટિવ શોધીએ.
\(f''(x) = 6x - 3 \cdot 2(16 - x)(-1) = 6x + 6(16 - x)\)
\(f''(8) = 6(8) + 6(16 - 8) = 48 + 6(8) = 48 + 48 = 96 > 0\)
જે દર્શાવે છે કે \(x = 8\) આગળ \(f(x)\) ન્યૂનતમ છે.
જો \(x = 8\), તો \(y = 16 - 8 = 8\)
તેથી, માંગેલી ધન સંખ્યાઓ 8 અને 8 છે.
In simple words: બે સંખ્યાઓનો સરવાળો આપેલો હોય અને તેમના ધનનો સરવાળો સૌથી ઓછો કરવો હોય, તો તે બંને સંખ્યાઓ સમાન હોવી જોઈએ. આને ડેરિવેટિવ્સનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: પ્રથમ ડેરિવેટિવને શૂન્ય કરીને અને દ્વિતીય ડેરિવેટિવને પોઝિટિવ છે કે નહીં તે ચકાસીને.

Exam Tip: જ્યારે \(x^2 = (a-x)^2\) સમીકરણ આવે, ત્યારે \(x = \pm (a-x)\) બંને કેસ ધ્યાનમાં લેવા. જોકે, સંદર્ભના આધારે (જેમ કે 'ધન સંખ્યાઓ'), એક કેસ રદ થઈ શકે છે.

Question 17. જેમની બાજુનું માપ 18 સેમી હોય તેવા પતરાના ચોરસ ટુકડાના દરેક ખૂણેથી ચાર એકરૂપ ચોરસ કાપીને અને બાકીના ભાગને વાળીને એક ખુલ્લી પેટી બનાવવામાં આવે છે. પેટીનું ઘનફળ મહત્તમ થાય તે માટે કાપવામાં આવતા ચોરસની બાજુની લંબાઈ શોધો.
Answer:
ધારો કે ચોરસ ટુકડાની બાજુની લંબાઈ 18 સેમી છે.
દરેક ખૂણામાંથી કાપવામાં આવતા ચોરસની બાજુની લંબાઈ \(x\) સેમી છે.
જ્યારે આપણે ખૂણા કાપીને બાકીના ભાગને વાળીએ છીએ, ત્યારે ખુલ્લી પેટીની લંબાઈ અને પહોળાઈ \(18 - 2x\) સેમી થશે, અને ઊંચાઈ \(x\) સેમી થશે.
પેટીનું ઘનફળ \(V(x) = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = (18 - 2x)(18 - 2x)x = x(18 - 2x)^2\)
ઘનફળને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે \(V'(x)\) શોધીએ અને તેને શૂન્ય સમાન કરીએ.
\(V'(x) = 1 \cdot (18 - 2x)^2 + x \cdot 2(18 - 2x)(-2)\)
\( = (18 - 2x)^2 - 4x(18 - 2x)\)
\( = (18 - 2x)[(18 - 2x) - 4x]\)
\( = (18 - 2x)[18 - 6x]\)
\(V'(x) = 0 \implies (18 - 2x)(18 - 6x) = 0\)
\( \implies 18 - 2x = 0\) અથવા \(18 - 6x = 0\)
\( \implies x = 9\) અથવા \(x = 3\)
જો \(x = 9\), તો પેટીની લંબાઈ અને પહોળાઈ \(18 - 2(9) = 0\) થઈ જાય છે, જે શક્ય નથી (પેટી બનાવી શકાય નહીં).
તેથી, \(x = 3\).
હવે, આપણે દ્વિતીય ડેરિવેટિવ શોધીએ.
\(V''(x) = \frac{d}{dx}[(18 - 2x)(18 - 6x)]\)
\( = (-2)(18 - 6x) + (18 - 2x)(-6)\)
\( = -36 + 12x - 108 + 12x\)
\( = 24x - 144\)
\(V''(3) = 24(3) - 144 = 72 - 144 = -72 < 0\)
જે દર્શાવે છે કે \(x = 3\) આગળ ઘનફળ મહત્તમ છે.
તેથી, કાપવામાં આવતા ચોરસની બાજુની લંબાઈ 3 સેમી હોવી જોઈએ.
In simple words: ચોરસ પતરામાંથી પેટી બનાવવા માટે, ખૂણામાંથી કાપેલા ચોરસની બાજુની લંબાઈ શોધવા આપણે ઘનફળનું ફોર્મ્યુલા બનાવીએ છીએ. પછી તેનું ડેરિવેટિવ લઈને શૂન્ય બરાબર કરીએ છીએ. આનાથી મળતી કિંમતમાંથી જે વાસ્તવિક હોય અને દ્વિતીય ડેરિવેટિવ નેગેટિવ આવે, તે કિંમત મહત્તમ ઘનફળ આપશે.

Exam Tip: ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓમાં, ચલ માટે શક્ય મૂલ્યોની શ્રેણી (ડોમેન) ધ્યાનમાં લેવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. અમુક ઉકેલો ગાણિતિક રીતે સાચા હોઈ શકે છે પરંતુ ભૌતિક રીતે અશક્ય હોય છે.

Question 18. 45 સેમી × 24 સેમી લંબચોરસ પતરાના દરેક ખૂણેથી ચાર એકરૂપ ચોરસ કાપીને તથા બાકીના ભાગને વાળીને એક ખુલ્લી પેટી બનાવવામાં આવે છે. પેટીનું ઘનફળ મહત્તમ થાય, તે માટે પતરામાંથી કાપવામાં આવતા ચોરસની લંબાઈ શોધો.
Answer:
ધારો કે લંબચોરસ પતરાની લંબાઈ 45 સેમી અને પહોળાઈ 24 સેમી છે.
દરેક ખૂણામાંથી કાપવામાં આવતા ચોરસની બાજુની લંબાઈ \(x\) સેમી છે.
જ્યારે આપણે ખૂણા કાપીને બાકીના ભાગને વાળીએ છીએ, ત્યારે ખુલ્લી પેટીની લંબાઈ \(45 - 2x\) સેમી, પહોળાઈ \(24 - 2x\) સેમી અને ઊંચાઈ \(x\) સેમી થશે.
પેટીનું ઘનફળ \(V(x) = (45 - 2x)(24 - 2x)x\)
\( = (1080 - 90x - 48x + 4x^2)x\)
\( = (1080 - 138x + 4x^2)x\)
\( = 4x^3 - 138x^2 + 1080x\)
ઘનફળને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે \(V'(x)\) શોધીએ અને તેને શૂન્ય સમાન કરીએ.
\(V'(x) = 12x^2 - 276x + 1080\)
\(V'(x) = 0 \implies 12x^2 - 276x + 1080 = 0\)
સમીકરણને 12 વડે ભાગતા:
\( \implies x^2 - 23x + 90 = 0\)
આ સમીકરણના અવયવો પાડીએ:
\( \implies (x - 5)(x - 18) = 0\)
\( \implies x = 5\) અથવા \(x = 18\)
જો \(x = 18\), તો પેટીની પહોળાઈ \(24 - 2(18) = 24 - 36 = -12\) થાય છે, જે શક્ય નથી.
તેથી, \(x = 5\).
હવે, આપણે દ્વિતીય ડેરિવેટિવ શોધીએ.
\(V''(x) = 24x - 276\)
\(V''(5) = 24(5) - 276 = 120 - 276 = -156 < 0\)
જે દર્શાવે છે કે \(x = 5\) આગળ ઘનફળ મહત્તમ છે.
તેથી, કાપવામાં આવતા ચોરસની બાજુની લંબાઈ 5 સેમી હોવી જોઈએ.
In simple words: લંબચોરસ પતરામાંથી ખુલ્લી પેટી બનાવવાની હોય ત્યારે, પેટીનું ઘનફળ મહત્તમ કરવા માટે આપણે તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈના આધારે ઘનફળનું સૂત્ર બનાવીએ છીએ. પછી પ્રથમ ડેરિવેટિવને શૂન્ય સમાન કરીને, આપણે કટ કરવાના ચોરસની બાજુની લંબાઈ શોધીએ છીએ. અવાસ્તવિક મૂલ્યોને બાકાત રાખીને અને દ્વિતીય ડેરિવેટિવ નેગેટિવ છે કે નહીં તે ચકાસીને સાચો જવાબ નક્કી કરીએ છીએ.

Exam Tip: લંબચોરસના ખૂણામાંથી ચોરસ કાપીને બોક્સ બનાવતી વખતે, કટ-ઓફ ચોરસની બાજુની લંબાઈ લંબચોરસની ટૂંકી બાજુના અડધા કરતાં ઓછી હોવી જોઈએ.

Question 19. સાબિત કરો કે નિયત વર્તુળમાં અંતર્ગત તમામ લંબચોરસોમાં ચોરસનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
Answer:
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા \(R\) છે.
ધારો કે વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસની બાજુઓ \(x\) અને \(y\) છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ વર્તુળનો વ્યાસ \(2R\) હશે.
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર: \(x^2 + y^2 = (2R)^2 = 4R^2\)
\( \implies y = \sqrt{4R^2 - x^2}\)
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ \(A = xy = x\sqrt{4R^2 - x^2}\)
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે \(A^2\) ને મહત્તમ કરીએ. (કારણ કે \(A > 0\), \(A\) મહત્તમ ત્યારે થશે જ્યારે \(A^2\) મહત્તમ થશે).
\(Z = A^2 = x^2(4R^2 - x^2) = 4R^2x^2 - x^4\)
\(Z'(x) = 8R^2x - 4x^3 = 4x(2R^2 - x^2)\)
મહત્તમ મૂલ્ય માટે, \(Z'(x) = 0\)
\( \implies 4x(2R^2 - x^2) = 0\)
\( \implies x = 0\) અથવા \(2R^2 - x^2 = 0\)
\( \implies x^2 = 2R^2 \implies x = \sqrt{2}R\)
કારણ કે \(x\) બાજુની લંબાઈ છે, \(x \neq 0\). તેથી \(x = \sqrt{2}R\).
હવે, આપણે દ્વિતીય ડેરિવેટિવ શોધીએ.
\(Z''(x) = 8R^2 - 12x^2\)
\(Z''(\sqrt{2}R) = 8R^2 - 12(\sqrt{2}R)^2 = 8R^2 - 12(2R^2) = 8R^2 - 24R^2 = -16R^2 < 0\)
જે દર્શાવે છે કે \(x = \sqrt{2}R\) આગળ ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
જ્યારે \(x = \sqrt{2}R\), ત્યારે \(y = \sqrt{4R^2 - (\sqrt{2}R)^2} = \sqrt{4R^2 - 2R^2} = \sqrt{2R^2} = \sqrt{2}R\)
તેથી, \(x = y = \sqrt{2}R\). આનો અર્થ એ છે કે લંબચોરસ ચોરસ છે.
આમ, સાબિત થાય છે કે નિયત વર્તુળમાં અંતર્ગત તમામ લંબચોરસોમાં ચોરસનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

Exam Tip: ભૌમિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓમાં, યોગ્ય ચલો વ્યાખ્યાયિત કરો અને પછી આપેલા નિયંત્રણોનો ઉપયોગ કરીને મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ કરવાના ફંક્શનને એક ચલમાં વ્યક્ત કરો. ઘણીવાર, ક્ષેત્રફળ અથવા ઘનફળના વર્ગને મહત્તમ કરવાથી ગણતરી સરળ બને છે.

Question 20. લંબવૃત્તીય નળાકારનું પૃષ્ઠફળ અચળ હોય, તો નળાકારના આધારનો વ્યાસ એ તેની ઊંચાઈ જેટલો હોય ત્યારે નળાકારનું ઘનફળ મહત્તમ છે તેમ સાબિત કરો.
Answer:
ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા \(r\) અને ઊંચાઈ \(h\) છે.
નળાકારનું પૃષ્ઠફળ \(S = 2\pi r^2 + 2\pi rh\) (આ અચળ છે).
આમાંથી આપણે \(h\) ને \(S\) અને \(r\) ના સ્વરૂપમાં શોધી શકીએ.
\(2\pi rh = S - 2\pi r^2 \)
\( \implies h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r} \)
નળાકારનું ઘનફળ \(V = \pi r^2 h\)
\(h\) ની કિંમતને \(V\) ના સૂત્રમાં મૂકતા:
\(V(r) = \pi r^2 \left( \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r} \right)\)
\( = \frac{r(S - 2\pi r^2)}{2} = \frac{Sr - 2\pi r^3}{2}\)
ઘનફળને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે \(V'(r)\) શોધીએ અને તેને શૂન્ય સમાન કરીએ.
\(V'(r) = \frac{1}{2}(S - 6\pi r^2)\)
\(V'(r) = 0 \implies S - 6\pi r^2 = 0 \implies S = 6\pi r^2\)
હવે, આ \(S\) ની કિંમતને \(h\) ના સૂત્રમાં મૂકતા:
\(h = \frac{6\pi r^2 - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{4\pi r^2}{2\pi r} = 2r\)
જે દર્શાવે છે કે ઊંચાઈ \(h\) એ આધારના વ્યાસ \(2r\) જેટલી છે.
હવે, આપણે દ્વિતીય ડેરિવેટિવ શોધીએ.
\(V''(r) = \frac{1}{2}(0 - 12\pi r) = -6\pi r\)
કારણ કે \(r\) એ ત્રિજ્યા છે, \(r > 0\). તેથી \(V''(r) = -6\pi r < 0\).
જે દર્શાવે છે કે જ્યારે \(h = 2r\) હોય ત્યારે ઘનફળ મહત્તમ છે.
આમ, સાબિત થાય છે કે જો નળાકારનું પૃષ્ઠફળ અચળ હોય, તો ઘનફળ મહત્તમ ત્યારે હોય છે જ્યારે આધારનો વ્યાસ તેની ઊંચાઈ જેટલો હોય છે.
In simple words: નળાકારનું પૃષ્ઠફળ સ્થિર હોય ત્યારે તેનું ઘનફળ ક્યારે મહત્તમ બને છે તે શોધવા, આપણે ઘનફળના સૂત્રને પૃષ્ઠફળના સૂત્ર સાથે જોડીને એક ચલનું ફંક્શન બનાવીએ છીએ. પછી ડેરિવેટિવ્સનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બતાવીએ છીએ કે જ્યારે ઊંચાઈ તેના વ્યાસ જેટલી હોય ત્યારે ઘનફળ સૌથી મોટું હોય છે.

Exam Tip: ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓમાં, જો કોઈ શરત અચળ (constant) હોય, તો તેમાંથી એક ચલને બીજાના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરીને સમસ્યાને સરળ બનાવો.

Question 21. આપેલ તમામ બંધ (લંબવૃત્તીય) નળાકાર કૅનમાંથી પ્રત્યેક કૅનનું કદ 100 સેમી3 હોય તો, તે કૅનનું પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે તેનાં પરિમાણ શોધો.
Answer:
ધારો કે નળાકાર કૅનની ત્રિજ્યા \(r\) અને ઊંચાઈ \(h\) છે.
આપણને આપેલ છે કે કૅનનું કદ (ઘનફળ) \(V = \pi r^2 h = 100\) સેમી\(^3\) છે.
આમાંથી આપણે \(h\) ને \(r\) ના સ્વરૂપમાં શોધી શકીએ.
\(h = \frac{100}{\pi r^2}\)
નળાકાર કૅનનું કુલ પૃષ્ઠફળ \(S = 2\pi r^2 + 2\pi rh\)
\(h\) ની કિંમતને \(S\) ના સૂત્રમાં મૂકતા:
\(S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{100}{\pi r^2} \right)\)
\( = 2\pi r^2 + \frac{200}{r}\)
પૃષ્ઠફળને ન્યૂનતમ કરવા માટે, આપણે \(S'(r)\) શોધીએ અને તેને શૂન્ય સમાન કરીએ.
\(S'(r) = 4\pi r - \frac{200}{r^2}\)
\(S'(r) = 0 \implies 4\pi r - \frac{200}{r^2} = 0\)
\( \implies 4\pi r = \frac{200}{r^2}\)
\( \implies 4\pi r^3 = 200\)
\( \implies r^3 = \frac{200}{4\pi} = \frac{50}{\pi}\)
\( \implies r = \left( \frac{50}{\pi} \right)^{1/3}\) સેમી
હવે, આપણે દ્વિતીય ડેરિવેટિવ શોધીએ.
\(S''(r) = 4\pi - 200(-2r^{-3}) = 4\pi + \frac{400}{r^3}\)
\(S''\left( \left( \frac{50}{\pi} \right)^{1/3} \right) = 4\pi + \frac{400}{50/\pi} = 4\pi + 400 \cdot \frac{\pi}{50} = 4\pi + 8\pi = 12\pi > 0\)
જે દર્શાવે છે કે \(r = \left( \frac{50}{\pi} \right)^{1/3}\) આગળ પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ છે.
આ \(r\) ની કિંમતનો ઉપયોગ કરીને \(h\) શોધીએ.
\(h = \frac{100}{\pi r^2} = \frac{100}{\pi \left( \frac{50}{\pi} \right)^{2/3}}\)
\( = \frac{100}{\pi \cdot \frac{50^{2/3}}{\pi^{2/3}}} = \frac{100}{\pi^{1/3} \cdot 50^{2/3}}\)
\( = \frac{2 \cdot 50}{\pi^{1/3} \cdot 50^{2/3}} = \frac{2 \cdot 50^{1/3}}{\pi^{1/3}} = 2 \left( \frac{50}{\pi} \right)^{1/3}\) સેમી
તેથી, કૅનના પરિમાણો છે: ત્રિજ્યા \(r = \left( \frac{50}{\pi} \right)^{1/3}\) સેમી અને ઊંચાઈ \(h = 2 \left( \frac{50}{\pi} \right)^{1/3}\) સેમી.
In simple words: નળાકાર કૅનનું ઘનફળ નિશ્ચિત હોય અને તેનું પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ કરવાનું હોય, તો આપણે પહેલા પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર બનાવીએ છીએ. પછી ઘનફળના સૂત્રમાંથી ઊંચાઈને ત્રિજ્યાના સ્વરૂપમાં મૂકીને પૃષ્ઠફળના સૂત્રને એક ચલવાળું બનાવીએ છીએ. પછી ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ આપતી ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ શોધીએ છીએ.

Exam Tip: નળાકારની આવી ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓમાં, ઊંચાઈ ઘણીવાર વ્યાસની બરાબર હોય છે \(h = 2r\). આ નિરીક્ષણ તમારી ગણતરીઓને ચકાસવામાં મદદ કરી શકે છે.

Question 22. 28 મીટર લાંબા વાયરને કાપીને બે ટુકડા બનાવવામાં આવે છે. તેના એક ટુકડામાંથી ચોરસ અને બીજા ટુકડામાંથી વર્તુળ બનાવવામાં આવે છે. તેમાંથી એવી રચના બને કે જ્યારે બંનેનું કુલ ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે વાયરના બંને ટુકડાની લંબાઈ શોધો.
Answer:
ધારો કે વાયરની કુલ લંબાઈ 28 મીટર છે.
ધારો કે એક ટુકડાની લંબાઈ \(x\) મીટર છે, જેમાંથી વર્તુળ બનાવવામાં આવે છે.
તો બીજા ટુકડાની લંબાઈ \(28 - x\) મીટર છે, જેમાંથી ચોરસ બનાવવામાં આવે છે.
**વર્તુળ માટે:**
વર્તુળનો પરિઘ \(2\pi r = x \implies r = \frac{x}{2\pi}\)
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \(A_{\text{circle}} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{x}{2\pi} \right)^2 = \pi \frac{x^2}{4\pi^2} = \frac{x^2}{4\pi}\)
**ચોરસ માટે:**
ચોરસની પરિમિતિ \(4s = 28 - x \implies s = \frac{28 - x}{4}\)
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ \(A_{\text{square}} = s^2 = \left( \frac{28 - x}{4} \right)^2 = \frac{(28 - x)^2}{16}\)
કુલ ક્ષેત્રફળ \(A(x) = A_{\text{circle}} + A_{\text{square}} = \frac{x^2}{4\pi} + \frac{(28 - x)^2}{16}\)
કુલ ક્ષેત્રફળને ન્યૂનતમ કરવા માટે, આપણે \(A'(x)\) શોધીએ અને તેને શૂન્ય સમાન કરીએ.
\(A'(x) = \frac{2x}{4\pi} + \frac{2(28 - x)(-1)}{16}\)
\( = \frac{x}{2\pi} - \frac{28 - x}{8}\)
\(A'(x) = 0 \implies \frac{x}{2\pi} - \frac{28 - x}{8} = 0\)
\( \implies \frac{x}{2\pi} = \frac{28 - x}{8}\)
\( \implies 8x = 2\pi(28 - x)\)
\( \implies 8x = 56\pi - 2\pi x\)
\( \implies 8x + 2\pi x = 56\pi\)
\( \implies x(8 + 2\pi) = 56\pi\)
\( \implies x = \frac{56\pi}{8 + 2\pi} = \frac{28\pi}{4 + \pi}\) મીટર (વર્તુળ માટેના ટુકડાની લંબાઈ)
હવે, આપણે દ્વિતીય ડેરિવેટિવ શોધીએ.
\(A''(x) = \frac{1}{2\pi} - \frac{-1}{8} = \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{8}\)
કારણ કે \(2\pi > 0\) અને \(8 > 0\), તેથી \(A''(x) > 0\).
જે દર્શાવે છે કે કુલ ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ છે.
બીજા ટુકડાની લંબાઈ (ચોરસ માટે):
\(28 - x = 28 - \frac{28\pi}{4 + \pi} = \frac{28(4 + \pi) - 28\pi}{4 + \pi} = \frac{112 + 28\pi - 28\pi}{4 + \pi} = \frac{112}{4 + \pi}\) મીટર
તેથી, વર્તુળ માટેના ટુકડાની લંબાઈ \(\frac{28\pi}{4 + \pi}\) મીટર અને ચોરસ માટેના ટુકડાની લંબાઈ \(\frac{112}{4 + \pi}\) મીટર છે.
In simple words: 28 મીટર વાયરને બે ભાગમાં કાપીને એક વર્તુળ અને એક ચોરસ બનાવવાનું હોય ત્યારે કુલ ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ કરવા માટે, આપણે દરેક ભાગમાંથી બનતા આકારના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર બનાવીએ છીએ. પછી કુલ ક્ષેત્રફળના સૂત્રનું ડેરિવેટિવ લઈને તેને શૂન્ય સમાન કરીએ છીએ, જેનાથી બંને ટુકડાઓની લંબાઈ શોધી શકાય છે.

Exam Tip: આ પ્રકારની સમસ્યાઓમાં, ખાતરી કરો કે તમે યોગ્ય રીતે પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો છો અને સંયુક્ત ક્ષેત્રફળના ફંક્શનનું યોગ્ય રીતે ડેરિવેટિવ લો છો.

Question 23. સાબિત કરો કે નિયત વર્તુળમાં અંતર્ગત તમામ લંબચોરસોમાં ચોરસનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
Answer:ધારો કે ABCD વર્તુળમાં અંતર્ગત એક લંબચોરસ છે. આપણે માની લઈએ કે લંબચોરસની બાજુઓ AB = CD = x એકમ અને AD = BC = y એકમ છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા r છે, તેથી BD = 2r થશે. હવે, કાટકોણ ત્રિકોણ ABD માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ તો, \( \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AD}^2 = \mathrm{BD}^2 \). તેથી, \( x^2 + y^2 = (2r)^2 \). આથી, \( y = \sqrt{4r^2 - x^2} \). લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ A = xy છે.
\( \implies \) \( A = x \sqrt{4r^2 - x^2} \)
\( \implies \) \( \frac{dA}{dx} = \sqrt{4r^2 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{4r^2 - x^2}} (-2x) \)
\( \implies \) \( \frac{dA}{dx} = \sqrt{4r^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \)
\( \implies \) \( \frac{dA}{dx} = \frac{(4r^2 - x^2) - x^2}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \)
\( \implies \) \( \frac{dA}{dx} = \frac{4r^2 - 2x^2}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \)
સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધવા માટે, \( \frac{dA}{dx} = 0 \).
\( \implies \) \( \frac{4r^2 - 2x^2}{\sqrt{4r^2 - x^2}} = 0 \)
\( \implies \) \( 4r^2 - 2x^2 = 0 \)
\( \implies \) \( 4r^2 = 2x^2 \)
\( \implies \) \( x^2 = 2r^2 \)
\( \implies \) \( x = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2} \) (કારણ કે લંબાઈ ધન હોય છે)
હવે, \( y = \sqrt{4r^2 - x^2} = \sqrt{4r^2 - (r\sqrt{2})^2} = \sqrt{4r^2 - 2r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2} \)
આથી, \( x = y = r\sqrt{2} \). લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ સરખી હોવાથી તે એક ચોરસ છે.
દ્રિતીય વિકલિત કસોટી માટે,
\( \frac{d^2A}{dx^2} = \frac{\sqrt{4r^2 - x^2}(-4x) - (4r^2 - 2x^2) \frac{-2x}{2\sqrt{4r^2 - x^2}}}{ (4r^2 - x^2) } \)
\( \implies \) \( \frac{d^2A}{dx^2} = \frac{-4x(4r^2 - x^2) + x(4r^2 - 2x^2)}{(4r^2 - x^2)^{3/2}} \)
\( \implies \) \( \frac{d^2A}{dx^2} = \frac{-16r^2x + 4x^3 + 4r^2x - 2x^3}{(4r^2 - x^2)^{3/2}} \)
\( \implies \) \( \frac{d^2A}{dx^2} = \frac{2x^3 - 12r^2x}{(4r^2 - x^2)^{3/2}} \)
\( \frac{d^2A}{dx^2}|_{x=r\sqrt{2}} = \frac{2(r\sqrt{2})^3 - 12r^2(r\sqrt{2})}{(4r^2 - (r\sqrt{2})^2)^{3/2}} \)
\( \implies \) \( \frac{d^2A}{dx^2}|_{x=r\sqrt{2}} = \frac{2(2r^3\sqrt{2}) - 12r^3\sqrt{2}}{(4r^2 - 2r^2)^{3/2}} \)
\( \implies \) \( \frac{d^2A}{dx^2}|_{x=r\sqrt{2}} = \frac{4r^3\sqrt{2} - 12r^3\sqrt{2}}{(2r^2)^{3/2}} \)
\( \implies \) \( \frac{d^2A}{dx^2}|_{x=r\sqrt{2}} = \frac{-8r^3\sqrt{2}}{2r^3\sqrt{2}} = -4 < 0 \)
આથી, \( x = r\sqrt{2} \) હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ મળે છે. આ કિસ્સામાં લંબચોરસ એક ચોરસ બને છે. આમ, વર્તુળમાં અંતર્ગત બધા લંબચોરસોમાં ચોરસનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય છે.In simple words: To find the largest area for a rectangle inside a circle, we use calculus. We find that the area is largest when the rectangle's sides are equal, making it a square. This means that among all rectangles in a circle, a square covers the most space.

Exam Tip: Remember to express the area as a function of one variable using the Pythagorean theorem, then differentiate and set to zero to find the critical points. Always verify with the second derivative test.

Question 24. લંબવૃત્તીય શંકુની વક્રસપાટી ન્યૂનતમ હોય અને ધનફળ આપેલ હોય ત્યારે શંકુની ઊંચાઈ એ તેના આધારની ત્રિજ્યા કરતાં \( \sqrt{2} \) ગણી છે તેમ સાબિત કરો.
Answer:ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા r, ઊંચાઈ h અને તિર્યક ઊંચાઈ l છે. શંકુનું ઘનફળ V છે, અને તે અચળ છે.
\( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)
\( \implies \) \( h = \frac{3V}{\pi r^2} \)
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ S = \( \pi rl \).
આપણે જાણીએ છીએ કે \( l^2 = h^2 + r^2 \).
તેથી, \( S^2 = \pi^2 r^2 l^2 = \pi^2 r^2 (h^2 + r^2) \).
હવે, \( Z = S^2 \) ધારીએ તો, \( Z = \pi^2 r^2 \left( \left( \frac{3V}{\pi r^2} \right)^2 + r^2 \right) \)
\( \implies \) \( Z = \pi^2 r^2 \left( \frac{9V^2}{\pi^2 r^4} + r^2 \right) \)
\( \implies \) \( Z = \frac{9V^2}{r^2} + \pi^2 r^4 \)
Z ને ન્યૂનતમ કરવા માટે, r ને સાપેક્ષે વિકલન કરીએ.
\( \frac{dZ}{dr} = \frac{d}{dr} \left( 9V^2 r^{-2} + \pi^2 r^4 \right) \)
\( \implies \) \( \frac{dZ}{dr} = -18V^2 r^{-3} + 4\pi^2 r^3 \)
\( \implies \) \( \frac{dZ}{dr} = -\frac{18V^2}{r^3} + 4\pi^2 r^3 \)
Z ન્યૂનતમ થવા માટે, \( \frac{dZ}{dr} = 0 \).
\( \implies \) \( -\frac{18V^2}{r^3} + 4\pi^2 r^3 = 0 \)
\( \implies \) \( 4\pi^2 r^3 = \frac{18V^2}{r^3} \)
\( \implies \) \( 4\pi^2 r^6 = 18V^2 \)
\( \implies \) \( 2\pi^2 r^6 = 9V^2 \)
હવે, \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \) માંથી \( V^2 = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 h^2 \). આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ.
\( 2\pi^2 r^6 = 9 \left( \frac{1}{9}\pi^2 r^4 h^2 \right) \)
\( \implies \) \( 2\pi^2 r^6 = \pi^2 r^4 h^2 \)
\( \implies \) \( 2r^2 = h^2 \)
\( \implies \) \( h = \sqrt{2}r \)
દ્રિતીય વિકલિત કસોટી માટે:
\( \frac{d^2Z}{dr^2} = \frac{d}{dr} \left( -18V^2 r^{-3} + 4\pi^2 r^3 \right) \)
\( \implies \) \( \frac{d^2Z}{dr^2} = 54V^2 r^{-4} + 12\pi^2 r^2 \)
\( \implies \) \( \frac{d^2Z}{dr^2} = \frac{54V^2}{r^4} + 12\pi^2 r^2 \)
\( \frac{d^2Z}{dr^2}|_{h=\sqrt{2}r} = \frac{54V^2}{r^4} + 12\pi^2 r^2 > 0 \)
આથી, જ્યારે \( h = \sqrt{2}r \) હોય ત્યારે શંકુની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ થાય છે.In simple words: We want to make a cone with the smallest possible curved surface area, given a specific volume. After doing some math with derivatives, we find that the height of this cone must be \( \sqrt{2} \) times its base radius. This unique height-to-radius ratio helps to minimize the curved surface area.

Exam Tip: For optimization problems involving geometric shapes, clearly define the variables, express the quantity to be optimized as a function, and use the constraint (like constant volume or surface area) to reduce it to a single variable function before differentiating.

Question 25. તિર્યક ઊંચાઈ (l) આપેલ હોય ત્યારે મહત્તમ ધનફળવાળા શંકુનો અર્ધશિરઃકોણ \( \tan^{-1}\sqrt{2} \) છે તેમ સાબિત કરો.
Answer:ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા r, ઊંચાઈ h અને તિર્યક ઊંચાઈ l છે. અર્ધશિરઃકોણ \( \alpha \) છે. તિર્યક ઊંચાઈ l અચળ છે.
આકૃતિ પરથી, \( \sin \alpha = \frac{r}{l} \implies r = l \sin \alpha \)
અને \( \cos \alpha = \frac{h}{l} \implies h = l \cos \alpha \)
શંકુનું ઘનફળ V = \( \frac{1}{3}\pi r^2 h \)
\( \implies \) \( V = \frac{1}{3}\pi (l \sin \alpha)^2 (l \cos \alpha) \)
\( \implies \) \( V = \frac{1}{3}\pi l^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha \)
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે, \( \alpha \) ના સાપેક્ષે V નું વિકલન કરીએ.
\( \frac{dV}{d\alpha} = \frac{1}{3}\pi l^3 [2 \sin \alpha \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \sin^2 \alpha (- \sin \alpha)] \)
\( \implies \) \( \frac{dV}{d\alpha} = \frac{1}{3}\pi l^3 [2 \sin \alpha \cos^2 \alpha - \sin^3 \alpha] \)
\( \implies \) \( \frac{dV}{d\alpha} = \frac{1}{3}\pi l^3 \sin \alpha (2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \)
મહત્તમ ઘનફળ માટે, \( \frac{dV}{d\alpha} = 0 \).
\( \implies \) \( \frac{1}{3}\pi l^3 \sin \alpha (2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0 \)
કારણ કે \( l \neq 0 \) અને \( \pi \neq 0 \), અને શંકુ માટે \( \sin \alpha \neq 0 \) (નહીં તો શંકુ બનશે નહીં).
તેથી, \( 2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 0 \)
\( \implies \) \( 2 \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \)
\( \implies \) \( \tan^2 \alpha = 2 \)
\( \implies \) \( \tan \alpha = \sqrt{2} \) (કારણ કે \( \alpha \) તીવ્ર કોણ છે)
\( \implies \) \( \alpha = \tan^{-1}\sqrt{2} \)
દ્રિતીય વિકલિત કસોટી માટે:
\( \frac{d^2V}{d\alpha^2} = \frac{1}{3}\pi l^3 [ \cos \alpha (2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + \sin \alpha ( -4 \cos \alpha \sin \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha ) ] \)
\( \implies \) \( \frac{d^2V}{d\alpha^2} = \frac{1}{3}\pi l^3 [ 2 \cos^3 \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha - 4 \sin^2 \alpha \cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha ] \)
\( \implies \) \( \frac{d^2V}{d\alpha^2} = \frac{1}{3}\pi l^3 [ 2 \cos^3 \alpha - 7 \sin^2 \alpha \cos \alpha ] \)
\( \implies \) \( \frac{d^2V}{d\alpha^2} = \frac{1}{3}\pi l^3 \cos \alpha [ 2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha ] \)
જ્યારે \( \tan^2 \alpha = 2 \) હોય, ત્યારે \( \sin^2 \alpha = \frac{\tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha} = \frac{2}{1+2} = \frac{2}{3} \) અને \( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1+\tan^2 \alpha} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3} \).
તેથી, \( \frac{d^2V}{d\alpha^2} = \frac{1}{3}\pi l^3 \cos \alpha \left[ 2\left(\frac{1}{3}\right) - 7\left(\frac{2}{3}\right) \right] \)
\( \implies \) \( \frac{d^2V}{d\alpha^2} = \frac{1}{3}\pi l^3 \cos \alpha \left[ \frac{2}{3} - \frac{14}{3} \right] \)
\( \implies \) \( \frac{d^2V}{d\alpha^2} = \frac{1}{3}\pi l^3 \cos \alpha \left[ -\frac{12}{3} \right] \)
\( \implies \) \( \frac{d^2V}{d\alpha^2} = -4\pi l^3 \cos \alpha \)
કારણ કે \( \alpha \) એ અર્ધશિરઃકોણ છે, \( \cos \alpha \) ધન હશે. તેથી, \( -4\pi l^3 \cos \alpha < 0 \).
આથી, જ્યારે \( \alpha = \tan^{-1}\sqrt{2} \) હોય ત્યારે શંકુનું ઘનફળ મહત્તમ થાય છે.In simple words: To get the biggest possible volume for a cone when its slant height is fixed, we found the best angle at the top. The math shows that this "best angle" (called the semi-vertical angle) has a tangent value of \( \sqrt{2} \). So, when the angle is \( \tan^{-1}\sqrt{2} \), the cone holds the most.

Exam Tip: When dealing with geometric optimization, relate the dimensions (radius, height, slant height) using trigonometric functions of an angle like \( \alpha \). This helps express the quantity to be optimized (e.g., volume) as a function of that angle, simplifying differentiation.

Question 26. લંબવૃત્તીય શંકુનું પૃષ્ઠફળ S આપેલ હોય ત્યારે મહત્તમ ઘનફળવાળા શંકુનો અર્ધશિરઃકોણ \( \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \) છે તેમ સાબિત કરો.
Answer:ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા r, ઊંચાઈ h, અને તિર્યક ઊંચાઈ l છે. અર્ધશિરઃકોણ \( \alpha \) છે. શંકુનું કુલ પૃષ્ઠફળ S આપેલ છે, તેથી S અચળ છે.
\( S = \pi r^2 + \pi rl \) (કુલ પૃષ્ઠફળ)
\( \implies \) \( \pi rl = S - \pi r^2 \)
\( \implies \) \( l = \frac{S - \pi r^2}{\pi r} \)
શંકુનું ઘનફળ V = \( \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
આપણે જાણીએ છીએ કે \( h^2 = l^2 - r^2 \).
તેથી, \( V^2 = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 h^2 = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 (l^2 - r^2) \).
હવે, \( Z = V^2 \) ધારીએ તો,
\( Z = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 \left[ \left( \frac{S - \pi r^2}{\pi r} \right)^2 - r^2 \right] \)
\( \implies \) \( Z = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 \left[ \frac{(S - \pi r^2)^2}{\pi^2 r^2} - r^2 \right] \)
\( \implies \) \( Z = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 \left[ \frac{S^2 - 2S\pi r^2 + \pi^2 r^4}{\pi^2 r^2} - r^2 \right] \)
\( \implies \) \( Z = \frac{1}{9} r^2 [S^2 - 2S\pi r^2 + \pi^2 r^4 - \pi^2 r^4] \)
\( \implies \) \( Z = \frac{1}{9} r^2 [S^2 - 2S\pi r^2] \)
\( \implies \) \( Z = \frac{S}{9} [S r^2 - 2\pi r^4] \)
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે, r ના સાપેક્ષે Z નું વિકલન કરીએ.
\( \frac{dZ}{dr} = \frac{S}{9} [2Sr - 8\pi r^3] \)
મહત્તમ ઘનફળ માટે, \( \frac{dZ}{dr} = 0 \).
\( \implies \) \( \frac{S}{9} [2Sr - 8\pi r^3] = 0 \)
\( \implies \) \( 2Sr - 8\pi r^3 = 0 \)
\( \implies \) \( 2Sr = 8\pi r^3 \)
\( \implies \) \( S = 4\pi r^2 \) (કારણ કે \( r \neq 0 \))
હવે, \( S = \pi r^2 + \pi rl \) માં \( S = 4\pi r^2 \) મૂકીએ.
\( \implies \) \( 4\pi r^2 = \pi r^2 + \pi rl \)
\( \implies \) \( 3\pi r^2 = \pi rl \)
\( \implies \) \( l = 3r \)
શંકુના અર્ધશિરઃકોણ \( \alpha \) માટે, \( \sin \alpha = \frac{r}{l} \).
\( \implies \) \( \sin \alpha = \frac{r}{3r} \)
\( \implies \) \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \)
\( \implies \) \( \alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \)
દ્રિતીય વિકલિત કસોટી માટે:
\( \frac{d^2Z}{dr^2} = \frac{d}{dr} \left( \frac{S}{9} [2Sr - 8\pi r^3] \right) \)
\( \implies \) \( \frac{d^2Z}{dr^2} = \frac{S}{9} [2S - 24\pi r^2] \)
જ્યારે \( S = 4\pi r^2 \) હોય, ત્યારે
\( \frac{d^2Z}{dr^2} = \frac{S}{9} [2(4\pi r^2) - 24\pi r^2] \)
\( \implies \) \( \frac{d^2Z}{dr^2} = \frac{S}{9} [8\pi r^2 - 24\pi r^2] \)
\( \implies \) \( \frac{d^2Z}{dr^2} = \frac{S}{9} [-16\pi r^2] \)
\( \implies \) \( \frac{d^2Z}{dr^2} = -\frac{16\pi S r^2}{9} < 0 \)
આથી, જ્યારે \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \) હોય ત્યારે શંકુનું ઘનફળ મહત્તમ થાય છે.In simple words: If a cone has a fixed total surface area, we want to find the angle at its tip that gives it the largest volume. After using calculus, we found that this angle (specifically, its sine) must be \( \frac{1}{3} \). So, the cone will have the biggest volume when its semi-vertical angle is \( \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \).

Exam Tip: For problems involving total surface area and volume, use the given constant (S in this case) to express one variable in terms of others, then substitute into the volume formula. Remember to use \( l^2 = h^2 + r^2 \) to relate the dimensions.

Question 27. વક્ર \( x^2 = 2y \) પરનું \( (0, 5) \) થી સૌથી નજીકનું બિંદુ ............ છે.
(A) \( (2\sqrt{2}, 4) \)
(B) \( (2\sqrt{2},0) \)
(C) \( (0, 0) \)
(D) \( (2, 2) \)
Answer: (A) \( (2\sqrt{2}, 4) \)
In simple words: We are looking for the point on the curve \( x^2 = 2y \) that is closest to the point \( (0, 5) \). The correct option is \( (2\sqrt{2}, 4) \).

Exam Tip: For questions asking for the closest point on a curve, minimize the square of the distance between the given point and a general point on the curve. This avoids square roots in differentiation.

Question 28. વિધેય \( f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}, \forall x \in R \) ની ન્યૂનતમ કિંમત............ છે.
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) \( \frac{1}{3} \)
Answer: (D) \( \frac{1}{3} \)
ધારો કે \( y = \frac{1-x+x^2}{1+x+x^2} \).
\( \implies \) \( y(1+x+x^2) = 1-x+x^2 \)
\( \implies \) \( y+yx+yx^2 = 1-x+x^2 \)
\( \implies \) \( (y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0 \)
આ x માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
કારણ કે \( x \in R \), તેથી વિવેચક \( D \ge 0 \).
\( D = (y+1)^2 - 4(y-1)(y-1) \ge 0 \)
\( \implies \) \( (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0 \)
\( \implies \) \( [(y+1) - 2(y-1)][(y+1) + 2(y-1)] \ge 0 \)
\( \implies \) \( [y+1-2y+2][y+1+2y-2] \ge 0 \)
\( \implies \) \( [3-y][3y-1] \ge 0 \)
\( \implies \) \( -(y-3)(3y-1) \ge 0 \)
\( \implies \) \( (y-3)(3y-1) \le 0 \)
આ અસમાનતા માટે, \( y \) નો અંતરાલ \( \left[ \frac{1}{3}, 3 \right] \) મળે.
તેથી, વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત \( \frac{1}{3} \) છે.In simple words: We need to find the smallest possible value of the given function. By rearranging the equation and using the discriminant condition for real roots, we found that the value of the function must be between \( \frac{1}{3} \) and 3. So, the lowest possible value is \( \frac{1}{3} \).

Exam Tip: For rational functions of the form \( \frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f} \), equate the function to y and rearrange it into a quadratic equation in x. Then, use the condition for real roots (discriminant \( \ge 0 \)) to find the range of y, which will give the minimum and maximum values.

Question 29. વિધેય \( y = [x(x-1)+1]^{\frac{1}{3}}, 0 \le x \le 1 \) નું મહત્તમ મૂલ્ય ............ છે.
(A) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} \)
(B) \( \frac{1}{2} \)
(C) 1
(D) 0
Answer: (C) 1
આપેલ વિધેય \( y = [x(x-1)+1]^{\frac{1}{3}} = [x^2 - x + 1]^{\frac{1}{3}} \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}[x^2 - x + 1]^{\frac{1}{3} - 1} (2x - 1) \)
\( \implies \) \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}[x^2 - x + 1]^{-\frac{2}{3}} (2x - 1) \)
\( \implies \) \( \frac{dy}{dx} = \frac{2x - 1}{3(x^2 - x + 1)^{\frac{2}{3}}} \)
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધવા માટે, \( \frac{dy}{dx} = 0 \).
\( \implies \) \( \frac{2x - 1}{3(x^2 - x + 1)^{\frac{2}{3}}} = 0 \)
\( \implies \) \( 2x - 1 = 0 \)
\( \implies \) \( x = \frac{1}{2} \)
આપેલ અંતરાલ \( [0, 1] \) માં, આપણે \( x=0, x=1 \) અને \( x=\frac{1}{2} \) પર વિધેયનું મૂલ્ય ચકાસીશું.
\( y(0) = [0(0-1)+1]^{\frac{1}{3}} = [0+1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1 \)
\( y(1) = [1(1-1)+1]^{\frac{1}{3}} = [0+1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1 \)
\( y\left(\frac{1}{2}\right) = \left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)+1\right]^{\frac{1}{3}} \)
\( \implies \) \( y\left(\frac{1}{2}\right) = \left[\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)+1\right]^{\frac{1}{3}} \)
\( \implies \) \( y\left(\frac{1}{2}\right) = \left[-\frac{1}{4}+1\right]^{\frac{1}{3}} \)
\( \implies \) \( y\left(\frac{1}{2}\right) = \left[\frac{3}{4}\right]^{\frac{1}{3}} \)
મૂલ્યો 1, 1, અને \( \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}} \) છે.
\( \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}} \approx (0.75)^{\frac{1}{3}} \approx 0.9 \)
આપેલ અંતરાલમાં વિધેયનું મહત્તમ મૂલ્ય 1 છે.In simple words: We are asked to find the largest value of the function \( y = [x(x-1)+1]^{\frac{1}{3}} \) within the range \( 0 \le x \le 1 \). By checking the function's value at the critical point \( x = \frac{1}{2} \) and at the endpoints \( x = 0 \) and \( x = 1 \), we find that the maximum value is 1.

Exam Tip: To find the maximum or minimum value of a function over a closed interval, always check the function's value at both the critical points (where the derivative is zero or undefined) and the endpoints of the interval.