GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Exercise 5.5

GSEB Solutions

પ્રશ્ન 1 થી 11 માં આપેલ વિધેયોના x ને સાપેક્ષ વિકલિત મેળવી.

Question 1. \( \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x \)
Answer: Let \( y = \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x \)
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log y = \log(\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x) \)
\( \log y = \log(\cos x) + \log(\cos 2x) + \log(\cos 3x) \)
બંને બાજુ x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx } (\log(\cos x)) + \frac { d }{ dx } (\log(\cos 2x)) + \frac { d }{ dx } (\log(\cos 3x)) \)
\( \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } = \frac { 1 }{ \cos x } (-\sin x) + \frac { 1 }{ \cos 2x } (-\sin 2x) \cdot 2 + \frac { 1 }{ \cos 3x } (-\sin 3x) \cdot 3 \)
(શૃંખલા નિયમનો ઉપયોગ કરીને)
\( \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } = -\tan x - 2\tan 2x - 3\tan 3x \)
\( \frac { dy }{ dx } = y[-\tan x - 2\tan 2x - 3\tan 3x] \)
\( \frac { dy }{ dx } = \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x [-\tan x - 2\tan 2x - 3\tan 3x] \)
\( \frac { dy }{ dx } = -[\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x][\tan x + 2\tan 2x + 3\tan 3x] \)
In simple words: આ વિધેયનું x ના સંદર્ભમાં ફેરફાર દર શોધવા માટે, આપણે લઘુગણકીય વિકલનનો ઉપયોગ કર્યો. આ પદ્ધતિ જટિલ ગુણાકારવાળા વિધેયોને સરળ બનાવે છે.

Exam Tip: જ્યારે ગુણાકારમાં ઘણા વિધેયો હોય, ત્યારે લઘુગણકીય વિકલનનો ઉપયોગ ગણતરીને ઘણી સરળ બનાવી શકે છે. શૃંખલા નિયમ કાળજીપૂર્વક લાગુ કરો.

Question 2. \( \sqrt { \frac { (x-1)(x-2) }{ (x-3)(x-4)(x-5) } } \)
Answer: Let \( y = \sqrt { \frac { (x-1)(x-2) }{ (x-3)(x-4)(x-5) } } \)
\( y = \left( \frac { (x-1)(x-2) }{ (x-3)(x-4)(x-5) } \right)^{\frac { 1 }{ 2 }} \)
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log y = \log \left[ \left( \frac { (x-1)(x-2) }{ (x-3)(x-4)(x-5) } \right)^{\frac { 1 }{ 2 }} \right] \)
\( \log y = \frac { 1 }{ 2 } \log \left( \frac { (x-1)(x-2) }{ (x-3)(x-4)(x-5) } \right) \)
\( \log y = \frac { 1 }{ 2 } [\log((x-1)(x-2)) - \log((x-3)(x-4)(x-5))] \)
\( \log y = \frac { 1 }{ 2 } [\log(x-1) + \log(x-2) - \log(x-3) - \log(x-4) - \log(x-5)] \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } = \frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 1 }{ x-1 } + \frac { 1 }{ x-2 } - \frac { 1 }{ x-3 } - \frac { 1 }{ x-4 } - \frac { 1 }{ x-5 } \right] \)
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { y }{ 2 } \left[ \frac { 1 }{ x-1 } + \frac { 1 }{ x-2 } - \frac { 1 }{ x-3 } - \frac { 1 }{ x-4 } - \frac { 1 }{ x-5 } \right] \)
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \frac { (x-1)(x-2) }{ (x-3)(x-4)(x-5) } } \left[ \frac { 1 }{ x-1 } + \frac { 1 }{ x-2 } - \frac { 1 }{ x-3 } - \frac { 1 }{ x-4 } - \frac { 1 }{ x-5 } \right] \)
In simple words: વર્ગમૂળ અને ભિન્ન સ્વરૂપના જટિલ વિધેયનું વિકલન કરવા માટે લોગનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આનાથી ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમો સીધા લાગુ કરવા કરતાં કામ સરળ બને છે.

Exam Tip: લોગના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને જટિલ અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવી એ વિકલનમાં સમય બચાવે છે. ખાસ કરીને વર્ગમૂળ અને ઘાતવાળા પદો માટે આ ખૂબ ઉપયોગી છે.

Question 3. \( (\log x)^{\cos x} \)
Answer: Let \( y = (\log x)^{\cos x} \)
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log y = \log [(\log x)^{\cos x}] \)
\( \log y = \cos x \cdot \log(\log x) \)
બંને બાજુ x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx } [\cos x \cdot \log(\log x)] \)
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,
\( \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } = \cos x \cdot \frac { d }{ dx } (\log(\log x)) + \log(\log x) \cdot \frac { d }{ dx } (\cos x) \)
\( \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } = \cos x \cdot \frac { 1 }{ \log x } \cdot \frac { 1 }{ x } + \log(\log x) \cdot (-\sin x) \)
\( \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } = \frac { \cos x }{ x \log x } - \sin x \cdot \log(\log x) \)
\( \frac { dy }{ dx } = y \left[ \frac { \cos x }{ x \log x } - \sin x \cdot \log(\log x) \right] \)
\( \frac { dy }{ dx } = (\log x)^{\cos x} \left[ \frac { \cos x }{ x \log x } - \sin x \cdot \log(\log x) \right] \)
In simple words: ઘાતાંકમાં પણ વિધેય હોય ત્યારે, વિકલન માટે લોગનો ઉપયોગ કરવો શ્રેષ્ઠ માર્ગ છે. લોગ લેવાથી પાવર નીચે આવે છે, જે ગણતરીને સરળ બનાવે છે.

Exam Tip: \( f(x)^{g(x)} \) પ્રકારના વિધેયો માટે હંમેશા લઘુગણકીય વિકલનનો ઉપયોગ કરો. ગુણાકારનો નિયમ અને શૃંખલા નિયમ યોગ્ય રીતે લાગુ કરો.

Question 4. \( x^x - 2^{\sin x} \)
Answer: Let \( y = x^x - 2^{\sin x} \)
ધારો કે \( u = x^x \) અને \( v = 2^{\sin x} \).
તો \( y = u - v \)
\(\implies \frac { dy }{ dx } = \frac { du }{ dx } - \frac { dv }{ dx } \)
For \( u = x^x \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log u = \log(x^x) \)
\( \log u = x \cdot \log x \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \frac { d }{ dx } (x \cdot \log x) \)
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \cdot \frac { 1 }{ x } + \log x \cdot 1 \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = 1 + \log x \)
\( \frac { du }{ dx } = u(1 + \log x) \)
\( \frac { du }{ dx } = x^x(1 + \log x) \) ...(i)
For \( v = 2^{\sin x} \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log v = \log(2^{\sin x}) \)
\( \log v = \sin x \cdot \log 2 \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \frac { d }{ dx } (\sin x \cdot \log 2) \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \cos x \cdot \log 2 \)
\( \frac { dv }{ dx } = v(\cos x \cdot \log 2) \)
\( \frac { dv }{ dx } = 2^{\sin x}(\cos x \cdot \log 2) \) ...(ii)
પરિણામ (i) અને (ii) નો ઉપયોગ કરતા,
\( \frac { dy }{ dx } = x^x(1 + \log x) - 2^{\sin x}(\cos x \cdot \log 2) \)
In simple words: જ્યારે વિધેય બાદબાકીમાં હોય અને દરેક પદનું વિકલન જટિલ હોય, ત્યારે આપણે તેમને અલગ અલગ \( u \) અને \( v \) ધારીને વિકલન કરીએ છીએ. પછી અંતે, \( \frac { du }{ dx } \) માંથી \( \frac { dv }{ dx } \) બાદ કરીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે બે જટિલ વિધેયોનો સરવાળો કે બાદબાકી કરવાની હોય, ત્યારે દરેક વિધેયને અલગથી ધારીને (દા.ત., \( u \) અને \( v \)) વિકલન કરો અને પછી પરિણામોનો સરવાળો કે બાદબાકી કરો. આ ગણતરીને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.

Question 5. \( (x+3)^2 \cdot (x+4)^3 \cdot (x+5)^4 \)
Answer: Let \( y = (x+3)^2 \cdot (x+4)^3 \cdot (x+5)^4 \)
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log y = \log[(x+3)^2 \cdot (x+4)^3 \cdot (x+5)^4] \)
\( \log y = 2\log(x+3) + 3\log(x+4) + 4\log(x+5) \)
બંને બાજુ x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } = 2\frac { 1 }{ x+3 } + 3\frac { 1 }{ x+4 } + 4\frac { 1 }{ x+5 } \)
\( \frac { dy }{ dx } = y \left[ \frac { 2 }{ x+3 } + \frac { 3 }{ x+4 } + \frac { 4 }{ x+5 } \right] \)
\( \frac { dy }{ dx } = (x+3)^2 \cdot (x+4)^3 \cdot (x+5)^4 \left[ \frac { 2(x+4)(x+5) + 3(x+3)(x+5) + 4(x+3)(x+4) }{ (x+3)(x+4)(x+5) } \right] \)
\( \frac { dy }{ dx } = (x+3)^2 \cdot (x+4)^3 \cdot (x+5)^4 \left[ \frac { 2(x^2+9x+20) + 3(x^2+8x+15) + 4(x^2+7x+12) }{ (x+3)(x+4)(x+5) } \right] \)
\( \frac { dy }{ dx } = (x+3)^2 \cdot (x+4)^3 \cdot (x+5)^4 \left[ \frac { 2x^2+18x+40 + 3x^2+24x+45 + 4x^2+28x+48 }{ (x+3)(x+4)(x+5) } \right] \)
\( \frac { dy }{ dx } = (x+3)^2 \cdot (x+4)^3 \cdot (x+5)^4 \left[ \frac { 9x^2 + 70x + 133 }{ (x+3)(x+4)(x+5) } \right] \)
\( \frac { dy }{ dx } = (x+3)(x+4)^2(x+5)^3 (9x^2+70x+133) \)
બીજી રીત:
Let \( y = (x+3)^2 \cdot (x+4)^3 \cdot (x+5)^4 \)
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { dy }{ dx } = (x+4)^3(x+5)^4 \frac { d }{ dx }(x+3)^2 + (x+3)^2(x+5)^4 \frac { d }{ dx }(x+4)^3 + (x+3)^2(x+4)^3 \frac { d }{ dx }(x+5)^4 \)
\( \frac { dy }{ dx } = (x+4)^3(x+5)^4 \cdot 2(x+3) + (x+3)^2(x+5)^4 \cdot 3(x+4)^2 + (x+3)^2(x+4)^3 \cdot 4(x+5)^3 \)
\( \frac { dy }{ dx } = (x+3)(x+4)^2(x+5)^3 [2(x+4)(x+5) + 3(x+3)(x+5) + 4(x+3)(x+4)] \)
\( \frac { dy }{ dx } = (x+3)(x+4)^2(x+5)^3 [2(x^2+9x+20) + 3(x^2+8x+15) + 4(x^2+7x+12)] \)
\( \frac { dy }{ dx } = (x+3)(x+4)^2(x+5)^3 [2x^2+18x+40 + 3x^2+24x+45 + 4x^2+28x+48] \)
\( \frac { dy }{ dx } = (x+3)(x+4)^2(x+5)^3 [9x^2+70x+133] \)
In simple words: ઘણા પદોના ગુણાકારવાળા વિધેયોનું વિકલન કરવા માટે લઘુગણકીય રીત સૌથી સરળ પડે છે. ગુણાકારના નિયમનો સીધો ઉપયોગ પણ કરી શકાય છે, પરંતુ તે વધુ લાંબો હોય છે.

Exam Tip: જ્યારે બહુપદીય વિધેયો ગુણાકારમાં હોય અને ઘાત ઊંચી હોય, ત્યારે લઘુગણકીય વિકલન ગણતરીને વધુ સુવ્યવસ્થિત અને ઓછી ભૂલવાળી બનાવે છે.

Question 6. \( \left(x+\frac{1}{x}\right)^x+x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \)
Answer: Let \( y = \left(x+\frac{1}{x}\right)^x+x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \)
ધારો કે \( u = \left(x+\frac{1}{x}\right)^x \) અને \( v = x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \).
તો \( y = u+v \)
\(\implies \frac { dy }{ dx } = \frac { du }{ dx } + \frac { dv }{ dx } \)
For \( u = \left(x+\frac{1}{x}\right)^x \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log u = \log \left(x+\frac{1}{x}\right)^x \)
\( \log u = x \log \left(x+\frac{1}{x}\right) \)
બંને બાજુ x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \frac { d }{ dx } \left( \log \left(x+\frac{1}{x}\right) \right) + \log \left(x+\frac{1}{x}\right) \frac { d }{ dx } (x) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \frac { 1 }{ x+\frac{1}{x} } \frac { d }{ dx } \left(x+\frac{1}{x}\right) + \log \left(x+\frac{1}{x}\right) \cdot 1 \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \frac { 1 }{ \frac{x^2+1}{x} } \left(1-\frac{1}{x^2}\right) + \log \left(x+\frac{1}{x}\right) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \frac { x }{ x^2+1 } \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right) + \log \left(x+\frac{1}{x}\right) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \frac { x^2-1 }{ x^2+1 } + \log \left(x+\frac{1}{x}\right) \)
\( \frac { du }{ dx } = u \left[ \frac { x^2-1 }{ x^2+1 } + \log \left(x+\frac{1}{x}\right) \right] \)
\( \frac { du }{ dx } = \left(x+\frac{1}{x}\right)^x \left[ \frac { x^2-1 }{ x^2+1 } + \log \left(x+\frac{1}{x}\right) \right] \) ...(i)
For \( v = x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log v = \log x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \)
\( \log v = \left(1+\frac{1}{x}\right) \log x \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \left(1+\frac{1}{x}\right) \frac { d }{ dx } (\log x) + \log x \frac { d }{ dx } \left(1+\frac{1}{x}\right) \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \left(1+\frac{1}{x}\right) \frac { 1 }{ x } + \log x \left(0-\frac{1}{x^2}\right) \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \frac { x+1 }{ x } \cdot \frac { 1 }{ x } - \frac { \log x }{ x^2 } \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \frac { x+1-\log x }{ x^2 } \)
\( \frac { dv }{ dx } = v \left[ \frac { x+1-\log x }{ x^2 } \right] \)
\( \frac { dv }{ dx } = x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \left[ \frac { x+1-\log x }{ x^2 } \right] \) ...(ii)
પરિણામ (i) અને (ii) નો ઉપયોગ કરતા,
\( \frac { dy }{ dx } = \left(x+\frac{1}{x}\right)^x \left[ \frac { x^2-1 }{ x^2+1 } + \log \left(x+\frac{1}{x}\right) \right] + x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \left[ \frac { x+1-\log x }{ x^2 } \right] \)
In simple words: જ્યારે બે જટિલ ઘાતાંકવાળા વિધેયોનો સરવાળો કરવાનો હોય, ત્યારે દરેક વિધેયને અલગથી ધારીને લોગ વિકલન પદ્ધતિથી વિકલન કરીએ છીએ. આનાથી જટિલ ગણતરીઓ સરળ બને છે.

Exam Tip: \( (f(x))^{g(x)} + (h(x))^{k(x)} \) જેવા વિધેયો માટે, તેમને અલગ \( u \) અને \( v \) માં વિભાજિત કરો. દરેકનું લઘુગણકીય વિકલન કરો અને પછી \( \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \) મેળવવા માટે પરિણામોને ઉમેરો.

Question 7. \( (\log x)^x + x^{\log x} \)
Answer: Let \( y = (\log x)^x + x^{\log x} \)
ધારો કે \( u = (\log x)^x \) અને \( v = x^{\log x} \).
તો \( y = u+v \)
\(\implies \frac { dy }{ dx } = \frac { du }{ dx } + \frac { dv }{ dx } \)
For \( u = (\log x)^x \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log u = \log((\log x)^x) \)
\( \log u = x \log(\log x) \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \frac { d }{ dx } (\log(\log x)) + \log(\log x) \frac { d }{ dx } (x) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \frac { 1 }{ \log x } \cdot \frac { 1 }{ x } + \log(\log x) \cdot 1 \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \frac { 1 }{ \log x } + \log(\log x) \)
\( \frac { du }{ dx } = u \left[ \frac { 1 }{ \log x } + \log(\log x) \right] \)
\( \frac { du }{ dx } = (\log x)^x \left[ \frac { 1 }{ \log x } + \log(\log x) \right] \) ...(i)
For \( v = x^{\log x} \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log v = \log(x^{\log x}) \)
\( \log v = \log x \cdot \log x \)
\( \log v = (\log x)^2 \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = 2(\log x) \frac { d }{ dx } (\log x) \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = 2(\log x) \frac { 1 }{ x } \)
\( \frac { dv }{ dx } = v \left[ \frac { 2\log x }{ x } \right] \)
\( \frac { dv }{ dx } = x^{\log x} \left[ \frac { 2\log x }{ x } \right] \)
\( \frac { dv }{ dx } = 2 x^{\log x - 1} \log x \) ...(ii)
પરિણામ (i) અને (ii) નો ઉપયોગ કરતા,
\( \frac { dy }{ dx } = (\log x)^x \left[ \frac { 1 }{ \log x } + \log(\log x) \right] + 2 x^{\log x - 1} \log x \)
\( \frac { dy }{ dx } = (\log x)^{x-1} [1 + x \log x \cdot \log(\log x)] + 2 x^{\log x - 1} \log x \)
In simple words: બે જુદા જુદા ઘાતાંક વિધેયોના સરવાળાનું વિકલન કરવા માટે, આપણે દરેક પદને અલગથી \( u \) અને \( v \) ધારીને લોગ વિકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પછી અંતિમ પરિણામ મેળવવા માટે બંનેના વિકલનો ઉમેરીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે બે વિધેયો વચ્ચે સરવાળા કે બાદબાકીનો સંબંધ હોય, ત્યારે તેમને \( u \) અને \( v \) જેવા સ્વતંત્ર પદોમાં વિભાજીત કરો. દરેક પદનું વિકલન કરો અને પછી તેમને ફરીથી ભેગા કરો.

Question 8. \( (\sin x)^x + \sin^{-1}\sqrt{x} \)
Answer: Let \( y = (\sin x)^x + \sin^{-1}\sqrt{x} \)
ધારો કે \( u = (\sin x)^x \) અને \( v = \sin^{-1}\sqrt{x} \).
તો \( y = u+v \)
\(\implies \frac { dy }{ dx } = \frac { du }{ dx } + \frac { dv }{ dx } \)
For \( u = (\sin x)^x \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log u = \log((\sin x)^x) \)
\( \log u = x \log(\sin x) \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \frac { d }{ dx } (\log(\sin x)) + \log(\sin x) \frac { d }{ dx } (x) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \frac { 1 }{ \sin x } (\cos x) + \log(\sin x) \cdot 1 \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \cot x + \log(\sin x) \)
\( \frac { du }{ dx } = u[x \cot x + \log(\sin x)] \)
\( \frac { du }{ dx } = (\sin x)^x [x \cot x + \log(\sin x)] \) ...(1)
For \( v = \sin^{-1}\sqrt{x} \):
\( \frac { dv }{ dx } = \frac { d }{ dx } (\sin^{-1}\sqrt{x}) \)
\( \frac { dv }{ dx } = \frac { 1 }{ \sqrt{1-(\sqrt{x})^2} } \frac { d }{ dx } (\sqrt{x}) \)
\( \frac { dv }{ dx } = \frac { 1 }{ \sqrt{1-x} } \cdot \frac { 1 }{ 2\sqrt{x} } \)
\( \frac { dv }{ dx } = \frac { 1 }{ 2\sqrt{x}\sqrt{1-x} } = \frac { 1 }{ 2\sqrt{x-x^2} } \) ...(2)
પરિણામ (1) અને (2) નો ઉપયોગ કરતા,
\( \frac { dy }{ dx } = (\sin x)^x [x \cot x + \log(\sin x)] + \frac { 1 }{ 2\sqrt{x-x^2} } \)
In simple words: અહીં, એક પદ ઘાતાંક સ્વરૂપમાં છે અને બીજું પદ પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતિ વિધેય છે. આવા કિસ્સામાં, દરેક પદનું વિકલન અલગથી કરીને પછી તેને ઉમેરવું પડે છે.

Exam Tip: \( (\text{function})^{\text{variable}} \) પ્રકારના પદો માટે લઘુગણકીય વિકલન અનિવાર્ય છે, જ્યારે \( \sin^{-1}(\text{function}) \) માટે સીધા સૂત્ર અને શૃંખલા નિયમનો ઉપયોગ કરો.

Question 9. \( x^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x} \)
Answer: Let \( y = x^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x} \)
ધારો કે \( u = x^{\sin x} \) અને \( v = (\sin x)^{\cos x} \).
તો \( y = u+v \)
\(\implies \frac { dy }{ dx } = \frac { du }{ dx } + \frac { dv }{ dx } \)
For \( u = x^{\sin x} \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log u = \log(x^{\sin x}) \)
\( \log u = \sin x \cdot \log x \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \sin x \frac { d }{ dx } (\log x) + \log x \frac { d }{ dx } (\sin x) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \sin x \cdot \frac { 1 }{ x } + \log x \cdot \cos x \)
\( \frac { du }{ dx } = u \left[ \frac { \sin x }{ x } + \cos x \log x \right] \)
\( \frac { du }{ dx } = x^{\sin x} \left[ \frac { \sin x }{ x } + \cos x \log x \right] \) ...(i)
For \( v = (\sin x)^{\cos x} \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log v = \log((\sin x)^{\cos x}) \)
\( \log v = \cos x \cdot \log(\sin x) \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \cos x \frac { d }{ dx } (\log(\sin x)) + \log(\sin x) \frac { d }{ dx } (\cos x) \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \cos x \cdot \frac { 1 }{ \sin x } (\cos x) + \log(\sin x) \cdot (-\sin x) \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \cot x \cos x - \sin x \log(\sin x) \)
\( \frac { dv }{ dx } = v [\cot x \cos x - \sin x \log(\sin x)] \)
\( \frac { dv }{ dx } = (\sin x)^{\cos x} [\cot x \cos x - \sin x \log(\sin x)] \) ...(ii)
પરિણામ (i) અને (ii) નો ઉપયોગ કરતા,
\( \frac { dy }{ dx } = x^{\sin x} \left[ \frac { \sin x }{ x } + \cos x \log x \right] + (\sin x)^{\cos x} [\cot x \cos x - \sin x \log(\sin x)] \)
In simple words: આ પ્રશ્નમાં બે ઘાતાંકવાળા પદોનો સરવાળો છે, તેથી આપણે દરેક પદને અલગથી લોગ પદ્ધતિથી વિકલન કરીએ છીએ. આનાથી ગણતરી કરવી સરળ બને છે.

Exam Tip: \( f(x)^{g(x)} \) પ્રકારના દરેક પદ માટે લઘુગણકીય વિકલનનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. ગુણાકારના નિયમ અને શૃંખલા નિયમનો યોગ્ય રીતે અમલ કરો.

Question 10. \( x^{x \cos x} + \frac{x^2+1}{x^2-1} \)
Answer: Let \( y = x^{x \cos x} + \frac{x^2+1}{x^2-1} \)
ધારો કે \( u = x^{x \cos x} \) અને \( v = \frac{x^2+1}{x^2-1} \).
તો \( y = u+v \)
\(\implies \frac { dy }{ dx } = \frac { du }{ dx } + \frac { dv }{ dx } \)
For \( u = x^{x \cos x} \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log u = \log(x^{x \cos x}) \)
\( \log u = x \cos x \cdot \log x \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \frac { d }{ dx } (x \cos x \cdot \log x) \)
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \frac { d }{ dx } (x) \cdot \cos x \log x + x \frac { d }{ dx } (\cos x) \cdot \log x + x \cos x \frac { d }{ dx } (\log x) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = 1 \cdot \cos x \log x + x (-\sin x) \log x + x \cos x \cdot \frac { 1 }{ x } \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \cos x \log x - x \sin x \log x + \cos x \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \cos x (1 + \log x) - x \sin x \log x \)
\( \frac { du }{ dx } = u[\cos x (1 + \log x) - x \sin x \log x] \)
\( \frac { du }{ dx } = x^{x \cos x} [\cos x (1 + \log x) - x \sin x \log x] \) ...(i)
For \( v = \frac{x^2+1}{x^2-1} \):
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { dv }{ dx } = \frac { d }{ dx } \left( \frac { x^2+1 }{ x^2-1 } \right) \)
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,
\( \frac { dv }{ dx } = \frac { (x^2-1) \frac { d }{ dx } (x^2+1) - (x^2+1) \frac { d }{ dx } (x^2-1) }{ (x^2-1)^2 } \)
\( \frac { dv }{ dx } = \frac { (x^2-1)(2x) - (x^2+1)(2x) }{ (x^2-1)^2 } \)
\( \frac { dv }{ dx } = \frac { 2x(x^2-1-x^2-1) }{ (x^2-1)^2 } \)
\( \frac { dv }{ dx } = \frac { 2x(-2) }{ (x^2-1)^2 } \)
\( \frac { dv }{ dx } = \frac { -4x }{ (x^2-1)^2 } \) ...(ii)
પરિણામ (i) અને (ii) નો ઉપયોગ કરતા,
\( \frac { dy }{ dx } = x^{x \cos x} [\cos x (1 + \log x) - x \sin x \log x] - \frac { 4x }{ (x^2-1)^2 } \)
In simple words: અહીં એક પદ ઘાતાંક સ્વરૂપનું છે અને બીજું પદ ભિન્ન સ્વરૂપનું છે. ઘાતાંક પદ માટે લોગ વિકલન અને ભિન્ન પદ માટે ભાગાકારનો નિયમ વાપરવામાં આવ્યો.

Exam Tip: \( f(x)^{g(x)} \) પ્રકારના પદો માટે લઘુગણકીય વિકલન કરો અને \( \frac{f(x)}{g(x)} \) પ્રકારના પદો માટે ભાગાકારનો નિયમનો ઉપયોગ કરો. બંનેને યોગ્ય રીતે લાગુ કરો.

Question 11. \( (x \cos x)^x + (x \sin x)^{\frac{1}{x}} \)
Answer: Let \( y = (x \cos x)^x + (x \sin x)^{\frac{1}{x}} \)
ધારો કે \( u = (x \cos x)^x \) અને \( v = (x \sin x)^{\frac{1}{x}} \).
તો \( y = u+v \)
\(\implies \frac { dy }{ dx } = \frac { du }{ dx } + \frac { dv }{ dx } \)
For \( u = (x \cos x)^x \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log u = \log((x \cos x)^x) \)
\( \log u = x \log(x \cos x) \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \frac { d }{ dx } (\log(x \cos x)) + \log(x \cos x) \frac { d }{ dx } (x) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = x \frac { 1 }{ x \cos x } \frac { d }{ dx } (x \cos x) + \log(x \cos x) \cdot 1 \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \frac { 1 }{ \cos x } \left( \frac { d }{ dx } (x) \cos x + x \frac { d }{ dx } (\cos x) \right) + \log(x \cos x) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \frac { 1 }{ \cos x } (1 \cdot \cos x + x (-\sin x)) + \log(x \cos x) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = \frac { \cos x - x \sin x }{ \cos x } + \log(x \cos x) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = 1 - x \tan x + \log(x \cos x) \)
\( \frac { du }{ dx } = u[1 - x \tan x + \log(x \cos x)] \)
\( \frac { du }{ dx } = (x \cos x)^x [1 - x \tan x + \log(x \cos x)] \) ...(i)
For \( v = (x \sin x)^{\frac{1}{x}} \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log v = \log((x \sin x)^{\frac{1}{x}}) \)
\( \log v = \frac { 1 }{ x } \log(x \sin x) \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \frac { 1 }{ x } \frac { d }{ dx } (\log(x \sin x)) + \log(x \sin x) \frac { d }{ dx } \left(\frac{1}{x}\right) \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \frac { 1 }{ x } \frac { 1 }{ x \sin x } \frac { d }{ dx } (x \sin x) + \log(x \sin x) \left(-\frac{1}{x^2}\right) \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \frac { 1 }{ x^2 \sin x } (1 \cdot \sin x + x \cos x) - \frac { \log(x \sin x) }{ x^2 } \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \frac { \sin x + x \cos x }{ x^2 \sin x } - \frac { \log(x \sin x) }{ x^2 } \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \frac { 1 }{ x^2 } \left[ \frac { \sin x + x \cos x }{ \sin x } - \log(x \sin x) \right] \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = \frac { 1 }{ x^2 } [1 + x \cot x - \log(x \sin x)] \)
\( \frac { dv }{ dx } = v \frac { 1 }{ x^2 } [1 + x \cot x - \log(x \sin x)] \)
\( \frac { dv }{ dx } = (x \sin x)^{\frac{1}{x}} \frac { 1 }{ x^2 } [1 + x \cot x - \log(x \sin x)] \) ...(ii)
પરિણામ (i) અને (ii) નો ઉપયોગ કરતા,
\( \frac { dy }{ dx } = (x \cos x)^x [1 - x \tan x + \log(x \cos x)] + (x \sin x)^{\frac{1}{x}} \frac { 1 }{ x^2 } [1 + x \cot x - \log(x \sin x)] \)
In simple words: અહીં બંને પદ ઘાતાંક વિધેયના છે, તેથી દરેક પદને \( u \) અને \( v \) ધારીને લોગ વિકલનનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. આ પદ્ધતિ જટિલ ઘાતાંક વિધેયોનું વિકલન સરળતાથી કરવામાં મદદ કરે છે.

Exam Tip: જ્યારે આધાર અને ઘાતાંક બંનેમાં x ના વિધેયો હોય, ત્યારે લઘુગણકીય વિકલન એ શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ છે. શૃંખલા નિયમ અને ગુણાકારના નિયમનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

પ્રશ્નો 12 થી 15 માં આપેલ વિધેયો માટે વિકલિત મેળવી.

Question 12. \( x^y + y^x = 1 \)
Answer: Let \( u = x^y \) and \( v = y^x \).
તો \( u+v = 1 \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { du }{ dx } + \frac { dv }{ dx } = 0 \)
For \( u = x^y \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log u = \log(x^y) \)
\( \log u = y \log x \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = y \frac { d }{ dx } (\log x) + \log x \frac { d }{ dx } (y) \)
\( \frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } = y \frac { 1 }{ x } + \log x \frac { dy }{ dx } \)
\( \frac { du }{ dx } = u \left[ \frac { y }{ x } + \log x \frac { dy }{ dx } \right] \)
\( \frac { du }{ dx } = x^y \left[ \frac { y }{ x } + \log x \frac { dy }{ dx } \right] \)
\( \frac { du }{ dx } = x^y \frac { y }{ x } + x^y \log x \frac { dy }{ dx } \)
\( \frac { du }{ dx } = y x^{y-1} + x^y \log x \frac { dy }{ dx } \) ...(i)
For \( v = y^x \):
બંને બાજુ લોગ લેતા,
\( \log v = \log(y^x) \)
\( \log v = x \log y \)
x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = x \frac { d }{ dx } (\log y) + \log y \frac { d }{ dx } (x) \)
\( \frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } = x \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } + \log y \cdot 1 \)
\( \frac { dv }{ dx } = v \left[ \frac { x }{ y } \frac { dy }{ dx } + \log y \right] \)
\( \frac { dv }{ dx } = y^x \left[ \frac { x }{ y } \frac { dy }{ dx } + \log y \right] \)
\( \frac { dv }{ dx } = y^x \frac { x }{ y } \frac { dy }{ dx } + y^x \log y \)
\( \frac { dv }{ dx } = x y^{x-1} \frac { dy }{ dx } + y^x \log y \) ...(ii)
પરિણામ (i) અને (ii) નો ઉપયોગ કરતા,
\( y x^{y-1} + x^y \log x \frac { dy }{ dx } + x y^{x-1} \frac { dy }{ dx } + y^x \log y = 0 \)
\( \frac { dy }{ dx } (x^y \log x + x y^{x-1}) = -(y x^{y-1} + y^x \log y) \)
\( \frac { dy }{ dx } = - \frac { y x^{y-1} + y^x \log y }{ x^y \log x + x y^{x-1} } \)
In simple words: જ્યારે સમીકરણમાં \( x^y \) અને \( y^x \) જેવા પદો હોય, ત્યારે આપણે તેમને \( u \) અને \( v \) ધારીને લોગ વિકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અંતે, \( \frac{dy}{dx} \) ને અલગ કરીને જવાબ શોધીએ છીએ.

Exam Tip: \( x^y = y^x \) જેવા અવ્યક્ત વિધેયોના વિકલન માટે, લઘુગણકીય વિકલનનો ઉપયોગ કરો અને \( \frac{dy}{dx} \) વાળા પદોને એકસાથે લાવો. ભૂલશો નહીં કે \( y \) એ \( x \) નું વિધેય છે, તેથી \( \frac{dy}{dx} \) શામેલ કરવું જોઈએ.

પ્રશ્નો 12 થી 15 માં આપેલ વિધેયો માટે

Question 12. \(x^y + y^x = 1\)
Answer: Let the given equation be \(u + v = 1\), where \(u = x^y\) and \(v = y^x\).
We need to find \( \frac{dy}{dx} \). We will find \( \frac{du}{dx} \) and \( \frac{dv}{dx} \) separately.

For \(u = x^y\):
Taking logarithm on both sides, we get:
\( \log u = \log(x^y) \)
\( \log u = y \log x \)
Now, differentiating both sides with respect to x:
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(y \log x) \)
Using the product rule on the right side:
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = y \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \frac{d}{dx}(y) \)
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = y \left( \frac{1}{x} \right) + \log x \frac{dy}{dx} \)
So, \( \frac{du}{dx} = u \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) \)
Substitute \(u = x^y\) back into the expression:
\( \frac{du}{dx} = x^y \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) \)
\( \frac{du}{dx} = x^y \frac{y}{x} + x^y \log x \frac{dy}{dx} \)
\( \frac{du}{dx} = y x^{y-1} + x^y \log x \frac{dy}{dx} \) .......(i)

For \(v = y^x\):
Taking logarithm on both sides, we get:
\( \log v = \log(y^x) \)
\( \log v = x \log y \)
Now, differentiating both sides with respect to x:
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x \log y) \)
Using the product rule on the right side:
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \frac{d}{dx}(\log y) + \log y \frac{d}{dx}(x) \)
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \left( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \right) + \log y (1) \)
So, \( \frac{dv}{dx} = v \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) \)
Substitute \(v = y^x\) back into the expression:
\( \frac{dv}{dx} = y^x \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) \)
\( \frac{dv}{dx} = y^x \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + y^x \log y \)
\( \frac{dv}{dx} = x y^{x-1} \frac{dy}{dx} + y^x \log y \) ........(ii)

Since \(u + v = 1\), differentiating both sides with respect to x gives:
\( \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(1) \)
\( \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0 \)
Substitute equations (i) and (ii) into this equation:
\( y x^{y-1} + x^y \log x \frac{dy}{dx} + x y^{x-1} \frac{dy}{dx} + y^x \log y = 0 \)
Group all terms containing \( \frac{dy}{dx} \) on one side and the remaining terms on the other side:
\( x^y \log x \frac{dy}{dx} + x y^{x-1} \frac{dy}{dx} = -(y x^{y-1} + y^x \log y) \)
Factor out \( \frac{dy}{dx} \) from the left side:
\( (x^y \log x + x y^{x-1}) \frac{dy}{dx} = -(y x^{y-1} + y^x \log y) \)
Finally, solve for \( \frac{dy}{dx} \):
\( \frac{dy}{dx} = - \frac{y x^{y-1} + y^x \log y}{x^y \log x + x y^{x-1}} \)
In simple words: આ સમીકરણને આપણે બે ભાગમાં વહેંચીને વિકલિત શોધીએ. દરેક ભાગમાં લોગ લઈને વિકલન કરવાથી, તે dy/dx શોધવામાં મદદ કરે છે. અંતે, બંને ભાગોના વિકલનોને શૂન્યની બરાબર કરીને dy/dx શોધીએ છીએ.

Exam Tip: When terms with different variables raised to variable powers are added, use logarithmic differentiation for each term separately. Then, combine these derivatives and solve for \( \frac{dy}{dx} \).

Question 13. \(y^x = x^y\)
Answer: Given the equation \(y^x = x^y\).
Taking logarithm on both sides, we get:
\( \log(y^x) = \log(x^y) \)
Using logarithm properties, the powers become coefficients:
\( x \log y = y \log x \)
Now, differentiate both sides with respect to x:
\( \frac{d}{dx}(x \log y) = \frac{d}{dx}(y \log x) \)
Applying the product rule on both sides \( \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \):
\( x \frac{d}{dx}(\log y) + \log y \frac{d}{dx}(x) = y \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \frac{d}{dx}(y) \)
\( x \left( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \right) + \log y (1) = y \left( \frac{1}{x} \right) + \log x \frac{dy}{dx} \)
\( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y = \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \)
Group all terms containing \( \frac{dy}{dx} \) on one side and other terms on the other side:
\( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} - \log x \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \log y \)
Factor out \( \frac{dy}{dx} \):
\( \frac{dy}{dx} \left( \frac{x}{y} - \log x \right) = \frac{y}{x} - \log y \)
Find a common denominator for the terms inside the parentheses:
\( \frac{dy}{dx} \left( \frac{x - y \log x}{y} \right) = \frac{y - x \log y}{x} \)
Finally, solve for \( \frac{dy}{dx} \):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \left( \frac{y - x \log y}{x - y \log x} \right) \)
In simple words: પહેલા આપણે બંને બાજુ લોગ લઈએ. પછી બંને બાજુ x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ. dy/dx વાળા બધા પદોને એક બાજુ ભેગા કરીને અને બાકીના પદોને બીજી બાજુ રાખીને dy/dx મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: Remember to use the product rule carefully on both sides when differentiating the terms \( x \log y \) and \( y \log x \). Be precise when collecting terms to isolate \( \frac{dy}{dx} \).

Question 14. \((\cos x)^y = (\cos y)^x\)
Answer: We are given the equation \((\cos x)^y = (\cos y)^x\).
Taking logarithm on both sides, we get:
\( \log((\cos x)^y) = \log((\cos y)^x) \)
Using logarithm properties to bring down the powers:
\( y \log(\cos x) = x \log(\cos y) \)
Now, differentiate both sides with respect to x:
\( \frac{d}{dx}(y \log(\cos x)) = \frac{d}{dx}(x \log(\cos y)) \)
Applying the product rule on both sides:
\( y \frac{d}{dx}(\log(\cos x)) + \log(\cos x) \frac{d}{dx}(y) = x \frac{d}{dx}(\log(\cos y)) + \log(\cos y) \frac{d}{dx}(x) \)
Applying the chain rule for the log terms (e.g., \( \frac{d}{dx}(\log(\cos x)) = \frac{1}{\cos x}(-\sin x) = -\tan x \)):
\( y \left( \frac{1}{\cos x} (-\sin x) \right) + \log(\cos x) \frac{dy}{dx} = x \left( \frac{1}{\cos y} (-\sin y) \frac{dy}{dx} \right) + \log(\cos y) (1) \)
\( -y \tan x + \log(\cos x) \frac{dy}{dx} = -x \tan y \frac{dy}{dx} + \log(\cos y) \)
Group all terms containing \( \frac{dy}{dx} \) on one side and other terms on the other side:
\( \log(\cos x) \frac{dy}{dx} + x \tan y \frac{dy}{dx} = \log(\cos y) + y \tan x \)
Factor out \( \frac{dy}{dx} \):
\( (\log(\cos x) + x \tan y) \frac{dy}{dx} = \log(\cos y) + y \tan x \)
Finally, solve for \( \frac{dy}{dx} \):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\log(\cos y) + y \tan x}{\log(\cos x) + x \tan y} \)
In simple words: આ પ્રકારના સમીકરણમાં, પહેલા બંને બાજુ લોગ લઈએ. પછી x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ. વિકલન કરતી વખતે ગુણાકારનો નિયમ વાપરવાનું ભૂલશો નહીં. અંતે, dy/dx ને અલગ પાડીને જવાબ મેળવીએ.

Exam Tip: Pay careful attention to the chain rule when differentiating \( \log(\cos x) \) and \( \log(\cos y) \). Also, remember that \( \frac{d}{dx}(y) \) is \( \frac{dy}{dx} \), while \( \frac{d}{dx}(x) \) is 1.

Question 15. \(xy = e^{x-y}\)
Answer: We have the equation \(xy = e^{x-y}\).
Differentiate both sides of the equation with respect to x:
\( \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(e^{x-y}) \)
Using the product rule on the left side \( \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \) and the chain rule on the right side \( \frac{d}{dx}(e^f) = e^f \frac{df}{dx} \):
\( x \frac{d}{dx}(y) + y \frac{d}{dx}(x) = e^{x-y} \frac{d}{dx}(x-y) \)
\( x \frac{dy}{dx} + y(1) = e^{x-y} \left( \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(y) \right) \)
\( x \frac{dy}{dx} + y = e^{x-y} \left( 1 - \frac{dy}{dx} \right) \)
Distribute \(e^{x-y}\) on the right side:
\( x \frac{dy}{dx} + y = e^{x-y} - e^{x-y} \frac{dy}{dx} \)
Group all terms containing \( \frac{dy}{dx} \) on one side and the remaining terms on the other side:
\( x \frac{dy}{dx} + e^{x-y} \frac{dy}{dx} = e^{x-y} - y \)
Factor out \( \frac{dy}{dx} \):
\( (x + e^{x-y}) \frac{dy}{dx} = e^{x-y} - y \)
Solve for \( \frac{dy}{dx} \):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{e^{x-y} - y}{x + e^{x-y}} \)
From the original equation, we know that \( e^{x-y} = xy \). Substitute this into the expression for \( \frac{dy}{dx} \):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{xy - y}{x + xy} \)
Factor out y from the numerator and x from the denominator:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y(x - 1)}{x(1 + y)} \)
In simple words: આ સમીકરણમાં, બંને બાજુ x ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ. ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ અને જમણી બાજુ ચેઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીએ. પછી dy/dx ને અલગ કરીને જવાબ મેળવીએ. છેલ્લે, e^(x-y) ની જગ્યાએ xy મૂકીને સમીકરણને સરળ બનાવીએ.

Exam Tip: Remember to substitute back the original relation \( e^{x-y} = xy \) at the end to simplify the final answer into a more compact form. This is a common step in implicit differentiation problems.

Question 16. \(f(x) = (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8)\) વિધેયનું વિકલિત શોધો. તે પરથી \(f'(1)\) શોધો.
Answer: The given function is \(f(x) = (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8)\).
Since this function has many terms multiplied together, logarithmic differentiation is often helpful to find its derivative.
Taking logarithm on both sides of the equation:
\( \log f(x) = \log((1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8)) \)
Using the logarithm property \( \log(abc) = \log a + \log b + \log c + \dots \):
\( \log f(x) = \log(1 + x) + \log(1 + x^2) + \log(1 + x^4) + \log(1 + x^8) \)
Now, differentiate both sides with respect to x:
\( \frac{1}{f(x)} f'(x) = \frac{d}{dx}(\log(1 + x)) + \frac{d}{dx}(\log(1 + x^2)) + \frac{d}{dx}(\log(1 + x^4)) + \frac{d}{dx}(\log(1 + x^8)) \)
Applying the chain rule for each logarithmic term \( \frac{d}{dx}(\log g(x)) = \frac{g'(x)}{g(x)} \):
\( \frac{1}{f(x)} f'(x) = \frac{1}{1 + x}(1) + \frac{1}{1 + x^2}(2x) + \frac{1}{1 + x^4}(4x^3) + \frac{1}{1 + x^8}(8x^7) \)
To find \(f'(x)\), multiply both sides by \(f(x)\):
\( f'(x) = f(x) \left[ \frac{1}{1 + x} + \frac{2x}{1 + x^2} + \frac{4x^3}{1 + x^4} + \frac{8x^7}{1 + x^8} \right] \)
Substitute the original expression for \(f(x)\) back into the equation:
\( f'(x) = (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8) \left[ \frac{1}{1 + x} + \frac{2x}{1 + x^2} + \frac{4x^3}{1 + x^4} + \frac{8x^7}{1 + x^8} \right] \)
Now, we need to find \(f'(1)\). Substitute \(x = 1\) into the expression for \(f'(x)\):
\( f'(1) = (1 + 1)(1 + 1^2)(1 + 1^4)(1 + 1^8) \left[ \frac{1}{1 + 1} + \frac{2(1)}{1 + 1^2} + \frac{4(1)^3}{1 + 1^4} + \frac{8(1)^7}{1 + 1^8} \right] \)
\( f'(1) = (2)(2)(2)(2) \left[ \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4}{2} + \frac{8}{2} \right] \)
\( f'(1) = 16 \left[ \frac{1 + 2 + 4 + 8}{2} \right] \)
\( f'(1) = 16 \left[ \frac{15}{2} \right] \)
\( f'(1) = 8 \times 15 \)
\( f'(1) = 120 \)
In simple words: પહેલા આપેલ વિધેયનું લોગેરિથમિક વિકલન કરીને f'(x) શોધીએ. તેમાં ગુણાકારના નિયમ અને ચેઇન નિયમનો ઉપયોગ થાય છે. એકવાર f'(x) મળી જાય, પછી x ની જગ્યાએ 1 મૂકીને f'(1) ની કિંમત ગણી શકાય છે.

Exam Tip: For products of many functions, logarithmic differentiation often makes the process much simpler than applying the product rule multiple times. Remember to substitute the original function back into the derivative before evaluating at a specific point.

Question 17. \((x^2 – 5x + 8)(x^3 + 7x + 9)\) નું વિકલિત ત્રણ રીતે મેળવો:
(i) ગુણાકારના નિયમથી
(ii) વિસ્તરણ કરી બહુપદીય વિધેયથી
(iii) લઘુગણકીય વિકલનથી
શું ત્રણેય જવાબ સમાન છે ?
Answer: Let the given function be \(y = (x^2 – 5x + 8)(x^3 + 7x + 9)\). We need to find its derivative using three different methods and then verify if all the results are the same.

(i) By Product Rule:
The product rule states that \( \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \). Here, let \(u = (x^2 – 5x + 8)\) and \(v = (x^3 + 7x + 9)\).
Differentiating y with respect to x:
\( \frac{dy}{dx} = (x^2 – 5x + 8) \frac{d}{dx}(x^3 + 7x + 9) + (x^3 + 7x + 9) \frac{d}{dx}(x^2 – 5x + 8) \)
\( \frac{dy}{dx} = (x^2 – 5x + 8)(3x^2 + 7) + (x^3 + 7x + 9)(2x – 5) \)
Expand the terms:
\( \frac{dy}{dx} = (3x^4 + 7x^2 – 15x^3 – 35x + 24x^2 + 56) + (2x^4 – 5x^3 + 14x^2 – 35x + 18x – 45) \)
Combine like terms:
\( \frac{dy}{dx} = (3x^4 + 2x^4) + (-15x^3 – 5x^3) + (7x^2 + 24x^2 + 14x^2) + (-35x – 35x + 18x) + (56 – 45) \)
\( \frac{dy}{dx} = 5x^4 – 20x^3 + 45x^2 – 52x + 11 \)

(ii) By Expanding the Polynomial:
First, expand the product of the two given polynomials:
\( y = (x^2 – 5x + 8)(x^3 + 7x + 9) \)
\( y = x^2(x^3 + 7x + 9) - 5x(x^3 + 7x + 9) + 8(x^3 + 7x + 9) \)
\( y = x^5 + 7x^3 + 9x^2 - 5x^4 - 35x^2 - 45x + 8x^3 + 56x + 72 \)
Combine like terms to simplify the polynomial for y:
\( y = x^5 - 5x^4 + (7x^3 + 8x^3) + (9x^2 - 35x^2) + (-45x + 56x) + 72 \)
\( y = x^5 - 5x^4 + 15x^3 - 26x^2 + 11x + 72 \)
Now, differentiate this simplified polynomial with respect to x:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^5 - 5x^4 + 15x^3 - 26x^2 + 11x + 72) \)
\( \frac{dy}{dx} = 5x^{5-1} - 5(4x^{4-1}) + 15(3x^{3-1}) - 26(2x^{2-1}) + 11(1) + 0 \)
\( \frac{dy}{dx} = 5x^4 - 20x^3 + 45x^2 - 52x + 11 \)

(iii) By Logarithmic Differentiation:
Take logarithm on both sides of the original function \( y = (x^2 – 5x + 8)(x^3 + 7x + 9) \):
\( \log y = \log((x^2 – 5x + 8)(x^3 + 7x + 9)) \)
Using the logarithm property \( \log(ab) = \log a + \log b \):
\( \log y = \log(x^2 – 5x + 8) + \log(x^3 + 7x + 9) \)
Differentiate both sides with respect to x:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log(x^2 – 5x + 8)) + \frac{d}{dx}(\log(x^3 + 7x + 9)) \)
Applying the chain rule for each logarithmic term:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2x - 5}{x^2 – 5x + 8} + \frac{3x^2 + 7}{x^3 + 7x + 9} \)
To find \( \frac{dy}{dx} \), multiply both sides by y:
\( \frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{(2x - 5)(x^3 + 7x + 9) + (3x^2 + 7)(x^2 – 5x + 8)}{(x^2 – 5x + 8)(x^3 + 7x + 9)} \right] \)
Substitute \( y = (x^2 – 5x + 8)(x^3 + 7x + 9) \) back into the equation:
\( \frac{dy}{dx} = (x^2 – 5x + 8)(x^3 + 7x + 9) \left[ \frac{(2x - 5)(x^3 + 7x + 9) + (3x^2 + 7)(x^2 – 5x + 8)}{(x^2 – 5x + 8)(x^3 + 7x + 9)} \right] \)
The terms in the denominator cancel out:
\( \frac{dy}{dx} = (2x - 5)(x^3 + 7x + 9) + (3x^2 + 7)(x^2 – 5x + 8) \)
Expanding and combining terms, as shown in method (i), will yield the same result:
\( \frac{dy}{dx} = 5x^4 – 20x^3 + 45x^2 – 52x + 11 \)

Conclusion: Yes, the derivatives obtained by all three methods are identical.
In simple words: આપણે એક જ વિધેયનું વિકલન ત્રણ અલગ-અલગ રીતોથી કરીએ છીએ: ગુણાકારનો નિયમ, વિસ્તરણ, અને લોગેરિથમિક વિકલન. ત્રણેય રીતોમાં જવાબ સમાન આવે છે, જે દર્શાવે છે કે બધી રીતો સાચી છે.

Exam Tip: This question demonstrates that different differentiation techniques can lead to the same correct answer. Choose the method that seems most efficient or straightforward for a particular problem. Always double-check calculations, especially when expanding polynomials.

Question 18. જો u, v, w એ ઝ ના વિધેય હોય તો બે રીતે, પ્રથમ પુનરાવર્તિત વિકલનના ગુણાકારના નિયમ અને બીજી લઘુગણકીય વિકલન દ્વારા બતાવો કે, \( \frac{d}{d x}(u \cdot v \cdot w) = \frac{d u}{dx}v \cdot w + u \cdot \frac{d v}{dx} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{d w}{d x} \)
Answer: We need to demonstrate that the derivative of the product of three functions \(u, v, w\) is given by \( \frac{d}{d x}(u \cdot v \cdot w) = \frac{d u}{dx}v \cdot w + u \cdot \frac{d v}{dx} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{d w}{d x} \) using two different methods.

(i) By Repeated Application of the Product Rule:
Let the function be \(y = u \cdot v \cdot w\).
We can treat \(u \cdot v\) as a single function, let's say A. So, \(y = A \cdot w\).
Applying the standard product rule \( \frac{d}{dx}(Aw) = A\frac{dw}{dx} + w\frac{dA}{dx} \):
\( \frac{dy}{dx} = (u \cdot v) \frac{dw}{dx} + w \frac{d}{dx}(u \cdot v) \)
Now, we apply the product rule again for \( \frac{d}{dx}(u \cdot v) \):
\( \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \)
Substitute this back into the expression for \( \frac{dy}{dx} \):
\( \frac{dy}{dx} = u \cdot v \frac{dw}{dx} + w \left( u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \right) \)
Distribute w to the terms inside the parenthesis:
\( \frac{dy}{dx} = u \cdot v \frac{dw}{dx} + u \cdot w \frac{dv}{dx} + v \cdot w \frac{du}{dx} \)
Rearranging the terms to match the required form:
\( \frac{d}{dx}(u \cdot v \cdot w) = \frac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \frac{dv}{dx} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{dw}{dx} \)

(ii) By Logarithmic Differentiation:
Let the function be \(y = u \cdot v \cdot w\).
Taking logarithm on both sides:
\( \log y = \log(u \cdot v \cdot w) \)
Using the logarithm property \( \log(abc) = \log a + \log b + \log c \):
\( \log y = \log u + \log v + \log w \)
Differentiate both sides with respect to x:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \frac{dw}{dx} \)
Solve for \( \frac{dy}{dx} \) by multiplying both sides by y:
\( \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \frac{dw}{dx} \right) \)
Substitute \( y = u \cdot v \cdot w \) back into the equation:
\( \frac{dy}{dx} = (u \cdot v \cdot w) \left( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \frac{dw}{dx} \right) \)
Distribute \( u \cdot v \cdot w \) to each term inside the parenthesis:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{u \cdot v \cdot w}{u} \frac{du}{dx} + \frac{u \cdot v \cdot w}{v} \frac{dv}{dx} + \frac{u \cdot v \cdot w}{w} \frac{dw}{dx} \)
\( \frac{dy}{dx} = v \cdot w \frac{du}{dx} + u \cdot w \frac{dv}{dx} + u \cdot v \frac{dw}{dx} \)
Rearranging the terms to match the required form:
\( \frac{d}{dx}(u \cdot v \cdot w) = \frac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \frac{dv}{dx} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{dw}{dx} \)
Both methods successfully yield the same result, thus proving the product rule for three functions.
In simple words: આપણે ત્રણ વિધેયોના ગુણાકારનું વિકલન બે રીતોથી સાબિત કરીએ છીએ. પ્રથમ, ગુણાકારનો નિયમ બે વાર વાપરીએ. બીજી રીતમાં, બંને બાજુ લોગ લઈને વિકલન કરીએ. બંને રીતો સમાન પરિણામ આપે છે, જે આ નિયમની સત્યતા દર્શાવે છે.

Exam Tip: This question is a proof-based problem. For the repeated product rule method, group two functions together first. For logarithmic differentiation, remember to distribute \(y\) (which is \(uvw\)) to each term after differentiating the log expression.