GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Exercise 5.6

જો પ્રશ્ન 1 થી 10 માં x અને y પ્રચલ સમીકરણ સ્વરૂપે આપેલા હોય, તો પ્રચલનો લોપ કર્યા વગર \( \frac{dy}{dx} \) શોધો.

Question 1. \( x = 2at^2 \), \( y = at^4 \)
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( x = 2at^2 \).
t પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2at^2) \)
\( \frac{dx}{dt} = 2a \cdot 2t \)
\( \frac{dx}{dt} = 4at \)

હવે, આપણને આપેલું છે કે \( y = at^4 \).
t પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(at^4) \)
\( \frac{dy}{dt} = a \cdot 4t^3 \)
\( \frac{dy}{dt} = 4at^3 \)

આપણે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવાનું છે. તે માટે આપણે \( \frac{dy}{dt} \) અને \( \frac{dx}{dt} \) નો ગુણોત્તર લઈશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4at^3}{4at} \)
\( \frac{dy}{dx} = t^2 \)
In simple words: પહેલા x અને y બંનેનું t પ્રત્યે અલગ-અલગ વિકલન કરો. પછી dy/dt ને dx/dt વડે ભાગી દો. સામાન્ય પદો રદ થઈ જશે અને તમને t ના સ્વરૂપમાં જવાબ મળશે.

Exam Tip: જ્યારે x અને y બંને ત્રીજા ચલ (અહીં t) ના કાર્ય તરીકે આપવામાં આવે, ત્યારે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવા માટે \( \frac{dy}{dt} \) અને \( \frac{dx}{dt} \) નો ગુણોત્તર લો.

Question 2. \( x = a \cos \theta \), \( y = b \cos \theta \)
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( x = a \cos \theta \).
\( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(a \cos \theta) \)
\( \frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta \)

હવે, આપણને આપેલું છે કે \( y = b \cos \theta \).
\( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(b \cos \theta) \)
\( \frac{dy}{d\theta} = -b \sin \theta \)

આપણે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવાનું છે. તે માટે આપણે \( \frac{dy}{d\theta} \) અને \( \frac{dx}{d\theta} \) નો ગુણોત્તર લઈશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-b \sin \theta}{-a \sin \theta} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \)
In simple words: પહેલા x અને y બંનેનું \( \theta \) પ્રત્યે અલગ-અલગ વિકલન કરો. પછી dy/d\( \theta \) ને dx/d\( \theta \) વડે ભાગી દો. સમાન પદો રદ થઈ જશે અને તમને સ્થિર જવાબ મળશે.

Exam Tip: \( \frac{d}{d\theta}(\cos \theta) = -\sin \theta \) અને \( \frac{d}{d\theta}(\sin \theta) = \cos \theta \) જેવા મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ વિકલન સૂત્રો યાદ રાખો.

Question 3. \( x = \sin t \), \( y = \cos 2t \)
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( x = \sin t \).
t પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t) \)
\( \frac{dx}{dt} = \cos t \)

હવે, આપણને આપેલું છે કે \( y = \cos 2t \).
t પ્રત્યે વિકલન કરતા, સાંકળનો નિયમ લાગુ કરતા:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos 2t) \)
\( \frac{dy}{dt} = -\sin(2t) \cdot \frac{d}{dt}(2t) \)
\( \frac{dy}{dt} = -\sin(2t) \cdot 2 \)
\( \frac{dy}{dt} = -2 \sin 2t \)

આપણે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવાનું છે. તે માટે આપણે \( \frac{dy}{dt} \) અને \( \frac{dx}{dt} \) નો ગુણોત્તર લઈશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-2 \sin 2t}{\cos t} \)

હવે, આપણે ત્રિકોણમિતિ સર્વસમતા \( \sin 2t = 2 \sin t \cos t \) નો ઉપયોગ કરીશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-2 (2 \sin t \cos t)}{\cos t} \)
\( \frac{dy}{dx} = -4 \sin t \)
In simple words: x અને y નું t પ્રત્યે અલગ-અલગ વિકલન કરો. પછી dy/dt ને dx/dt વડે ભાગી દો. જો જરૂરી હોય, તો \( \sin 2t \) જેવા પદોને \( 2 \sin t \cos t \) જેવા સરળ સ્વરૂપમાં ફેરવીને ગણતરી આગળ વધારો.

Exam Tip: સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરતી વખતે સાવચેત રહો, ખાસ કરીને જ્યારે \( \cos 2t \) જેવા કાર્યનું વિકલન કરતા હોવ. તેમજ, સરળ બનાવવા માટે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 4. \( x = 4t \), \( y = \frac{4}{t} \)
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( x = 4t \).
t પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t) \)
\( \frac{dx}{dt} = 4 \)

હવે, આપણને આપેલું છે કે \( y = \frac{4}{t} = 4t^{-1} \).
t પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^{-1}) \)
\( \frac{dy}{dt} = 4(-1)t^{-1-1} \)
\( \frac{dy}{dt} = -4t^{-2} \)
\( \frac{dy}{dt} = -\frac{4}{t^2} \)

આપણે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવાનું છે. તે માટે આપણે \( \frac{dy}{dt} \) અને \( \frac{dx}{dt} \) નો ગુણોત્તર લઈશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{4}{t^2}}{4} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{4}{t^2} \cdot \frac{1}{4} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{t^2} \)
In simple words: પહેલા x અને y નું t પ્રત્યે અલગ-અલગ વિકલન કરો. પછી dy/dt ને dx/dt વડે ભાગી દો. અપૂર્ણાંકવાળા પદોનું વિકલન કરતી વખતે ઘાતાંકના નિયમો કાળજીપૂર્વક લાગુ કરો.

Exam Tip: \( \frac{d}{dt}(\frac{1}{t}) = -\frac{1}{t^2} \) જેવા મૂળભૂત વિકલન સૂત્રો યાદ રાખો. ઋણ ઘાતાંક સાથે કામ કરતી વખતે ભૂલો ટાળવા માટે \( \frac{1}{t} = t^{-1} \) તરીકે લખવાની ટેવ રાખો.

Question 5. \( x = \cos \theta - \cos 2\theta \), \( y = \sin \theta - \sin 2\theta \)
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( x = \cos \theta - \cos 2\theta \).
\( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\cos \theta - \cos 2\theta) \)
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\cos \theta) - \frac{d}{d\theta}(\cos 2\theta) \)
\( \frac{dx}{d\theta} = -\sin \theta - (-\sin 2\theta \cdot 2) \)
\( \frac{dx}{d\theta} = -\sin \theta + 2\sin 2\theta \)

હવે, આપણને આપેલું છે કે \( y = \sin \theta - \sin 2\theta \).
\( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\sin \theta - \sin 2\theta) \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\sin \theta) - \frac{d}{d\theta}(\sin 2\theta) \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \cos \theta - (\cos 2\theta \cdot 2) \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \cos \theta - 2\cos 2\theta \)

આપણે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવાનું છે. તે માટે આપણે \( \frac{dy}{d\theta} \) અને \( \frac{dx}{d\theta} \) નો ગુણોત્તર લઈશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\cos \theta - 2\cos 2\theta}{-\sin \theta + 2\sin 2\theta} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\cos \theta - 2\cos 2\theta}{2\sin 2\theta - \sin \theta} \)
In simple words: x અને y ના બંને પદોનું \( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરો, સાંકળ નિયમ લાગુ કરવાની જરૂર હોય ત્યાં કરો. પછી dy/d\( \theta \) ને dx/d\( \theta \) વડે ભાગીને છેલ્લો જવાબ મેળવો.

Exam Tip: યાદ રાખો કે \( \frac{d}{d\theta}(\cos k\theta) = -k\sin k\theta \) અને \( \frac{d}{d\theta}(\sin k\theta) = k\cos k\theta \). આ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સાંકળ નિયમ કાળજીપૂર્વક લાગુ કરો.

Question 6. \( x = a(\theta - \sin \theta) \), \( y = a(1 + \cos \theta) \)
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( x = a(\theta - \sin \theta) \).
\( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}[a(\theta - \sin \theta)] \)
\( \frac{dx}{d\theta} = a \frac{d}{d\theta}(\theta - \sin \theta) \)
\( \frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta) \)

હવે, આપણને આપેલું છે કે \( y = a(1 + \cos \theta) \).
\( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}[a(1 + \cos \theta)] \)
\( \frac{dy}{d\theta} = a \frac{d}{d\theta}(1 + \cos \theta) \)
\( \frac{dy}{d\theta} = a(0 - \sin \theta) \)
\( \frac{dy}{d\theta} = -a \sin \theta \)

આપણે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવાનું છે. તે માટે આપણે \( \frac{dy}{d\theta} \) અને \( \frac{dx}{d\theta} \) નો ગુણોત્તર લઈશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-a \sin \theta}{a(1 - \cos \theta)} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-\sin \theta}{1 - \cos \theta} \)

હવે, આપણે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને તેને સરળ બનાવીશું:
\( \sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \)
\( 1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \)

સૂત્રો બદલતા:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\cot \frac{\theta}{2} \)
In simple words: x અને y નું \( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરો. પછી dy/d\( \theta \) ને dx/d\( \theta \) વડે ભાગી દો. જવાબને વધુ સરળ બનાવવા માટે \( \sin \theta \) અને \( 1 - \cos \theta \) માટેના અડધા-કોણના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો.

Exam Tip: \( 1-\cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \) અને \( \sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \) જેવા અડધા-કોણના સૂત્રો યાદ રાખો. આ સૂત્રોનો ઉપયોગ ઘણીવાર અંતિમ જવાબને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.

Question 7. \( x = \frac{\sin ^3 t}{\sqrt{\cos 2 t}}, y = \frac{\cos ^3 t}{\sqrt{\cos 2 t}} \)
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( x = \frac{\sin^3 t}{\sqrt{\cos 2t}} \).
t પ્રત્યે વિકલન કરતા, ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} \frac{d}{dt}(\sin^3 t) - \sin^3 t \frac{d}{dt}(\sqrt{\cos 2t})}{(\sqrt{\cos 2t})^2} \)
\( \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} (3\sin^2 t \cos t) - \sin^3 t (\frac{1}{2\sqrt{\cos 2t}} \cdot (-2\sin 2t))}{\cos 2t} \)
\( \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} (3\sin^2 t \cos t) + \frac{\sin^3 t \sin 2t}{\sqrt{\cos 2t}}}{\cos 2t} \)
અંશમાં \( \sqrt{\cos 2t} \) વડે ગુણીને ભાગતા:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{3\sin^2 t \cos t \cos 2t + \sin^3 t \sin 2t}{(\cos 2t)^{3/2}} \) ...(i)

હવે, આપણને આપેલું છે કે \( y = \frac{\cos^3 t}{\sqrt{\cos 2t}} \).
t પ્રત્યે વિકલન કરતા, ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} \frac{d}{dt}(\cos^3 t) - \cos^3 t \frac{d}{dt}(\sqrt{\cos 2t})}{(\sqrt{\cos 2t})^2} \)
\( \frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} (3\cos^2 t (-\sin t)) - \cos^3 t (\frac{1}{2\sqrt{\cos 2t}} \cdot (-2\sin 2t))}{\cos 2t} \)
\( \frac{dy}{dt} = \frac{-3\cos^2 t \sin t \sqrt{\cos 2t} + \frac{\cos^3 t \sin 2t}{\sqrt{\cos 2t}}}{\cos 2t} \)
અંશમાં \( \sqrt{\cos 2t} \) વડે ગુણીને ભાગતા:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{-3\cos^2 t \sin t \cos 2t + \cos^3 t \sin 2t}{(\cos 2t)^{3/2}} \) ...(ii)

આપણે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવાનું છે. તે માટે આપણે \( \frac{dy}{dt} \) અને \( \frac{dx}{dt} \) નો ગુણોત્તર લઈશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
સમીકરણ (i) અને (ii) માંથી મૂલ્યો મુકતા, છેદ (\( (\cos 2t)^{3/2} \)) રદ થઈ જશે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-3\cos^2 t \sin t \cos 2t + \cos^3 t \sin 2t}{3\sin^2 t \cos t \cos 2t + \sin^3 t \sin 2t} \)

અંશ અને છેદ બંનેમાંથી \( \sin t \cos t \) સામાન્ય કાઢતા અને \( \sin 2t = 2 \sin t \cos t \) નો ઉપયોગ કરતા:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\cos t (-3\cos t \cos 2t + \cos^2 t (2 \sin t))}{\sin t (3\sin t \cos 2t + \sin^2 t (2 \cos t))} \)
જો આપણે \( \sin 2t = 2 \sin t \cos t \) મૂકીએ તો:
અંશ: \( \cos^3 t (2 \sin t) - 3 \cos^2 t \sin t \cos 2t \)
છેદ: \( 3 \sin^2 t \cos t \cos 2t + \sin^3 t (2 \sin t \cos t) \)
અંશ અને છેદમાંથી \( \sin t \cos t \) સામાન્ય કાઢતા:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin t \cos t (2 \cos^2 t - 3 \cos t \cos 2t)}{\sin t \cos t (3 \sin t \cos 2t + 2 \sin^2 t)} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos^2 t - 3 \cos t \cos 2t}{3 \sin t \cos 2t + 2 \sin^2 t} \)

અંશ અને છેદને \( \cos^3 t \) વડે ભાગતા (જેમ કે મૂળ સોલ્યુશનમાં "અંશ તથા છેદને cos³t વડે ભાગતાં" કહ્યું છે):
અંશ \( \implies \frac{-3\cos^2 t \sin t \cos 2t}{\cos^3 t} + \frac{\cos^3 t \sin 2t}{\cos^3 t} = -3 \frac{\sin t}{\cos t} \cos 2t + \sin 2t = -3 \tan t \cos 2t + \sin 2t \)
છેદ \( \implies \frac{3\sin^2 t \cos t \cos 2t}{\cos^3 t} + \frac{\sin^3 t \sin 2t}{\cos^3 t} = 3 \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \cos 2t + \frac{\sin^3 t}{\cos^3 t} \sin 2t = 3 \tan^2 t \cos 2t + \tan^3 t \sin 2t \)

તેથી,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-3 \tan t \cos 2t + \sin 2t}{3 \tan^2 t \cos 2t + \tan^3 t \sin 2t} \)

આને વધુ સરળ બનાવવા માટે, \( \sin 2t = 2 \tan t / (1 + \tan^2 t) \) અને \( \cos 2t = (1 - \tan^2 t) / (1 + \tan^2 t) \) નો ઉપયોગ કરો. પરંતુ તે એક ખૂબ જ લાંબી ગણતરી બનશે.
આપેલા સોલ્યુશન મુજબ, અંશ અને છેદને \( \cos^3 t \) વડે ભાગ્યા પછીનો જવાબ સરળ સ્વરૂપમાં લાવવાનો પ્રયાસ કરીએ.
અંશ: \( -3 \frac{\sin t}{\cos t} \cos 2t + \frac{\sin 2t}{\cos t} = -3 \tan t \cos 2t + \frac{2 \sin t \cos t}{\cos t} = -3 \tan t \cos 2t + 2 \sin t \)
આ સોલ્યુશનના સ્ટેપ સાથે મેળ ખાતો નથી.

મૂળ સોલ્યુશનના સ્ટેપ્સ પર ધ્યાન આપીએ:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2t - 3\tan t \cos 2t}{3\tan^2 t \cos 2t + \tan^3 t \sin 2t} \)
ઉપરના અંશમાંથી \( \tan t \) અને છેદમાંથી \( \tan^2 t \) કાઢવાનો પ્રયાસ કરીએ.
આગળનું સ્ટેપ "અંશ તથા છેદને cos³t વડે ભાગતાં" પછી આપેલું છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{2\tan t - 3\tan t (1 - \tan^2 t)}{3\tan^2 t (1 - \tan^2 t) + \tan^3 t (2\tan t)} \)
(અહીં \( \cos 2t = 1 - 2\sin^2 t \) અને \( \sin 2t = 2\sin t \cos t \) નો ઉપયોગ થયો છે. \( \cos 2t = \frac{1-\tan^2 t}{1+\tan^2 t} \), \( \sin 2t = \frac{2\tan t}{1+\tan^2 t} \) નો ઉપયોગ કરીને પણ ગણતરી કરી શકાય છે.)

આપણે અગાઉનું સ્ટેપ ફરીથી ચકાસીએ:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-3\cos^2 t \sin t \cos 2t + \cos^3 t (2 \sin t \cos t)}{3\sin^2 t \cos t \cos 2t + \sin^3 t (2 \sin t \cos t)} \)
અંશ અને છેદમાંથી \( \sin t \cos t \) સામાન્ય કાઢતા:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-3\cos t \cos 2t + 2 \cos^3 t}{3\sin t \cos 2t + 2 \sin^3 t} \)
આના પછી, અંશ અને છેદને \( \cos^3 t \) વડે ભાગીએ (જેમ કે મૂળ સોલ્યુશનમાં કહ્યું છે):
અંશ: \( \frac{-3\cos t \cos 2t}{\cos^3 t} + \frac{2 \cos^3 t}{\cos^3 t} = \frac{-3 \cos 2t}{\cos^2 t} + 2 \)
છેદ: \( \frac{3\sin t \cos 2t}{\cos^3 t} + \frac{2 \sin^3 t}{\cos^3 t} = \frac{3 \tan t \cos 2t}{\cos^2 t} + 2 \tan^3 t \)
આ રીતે પણ મૂળ જવાબ જેવું સ્વરૂપ આવતું નથી.

મૂળ સોલ્યુશનમાં \( \sin 2t \) અને \( \cos 2t \) ને \( \tan t \) ના પદમાં રૂપાંતરિત કરીને અંતિમ જવાબ મેળવ્યો છે, જે \( -\cot 3t \) છે. આ માટે \( \tan 3t \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ થશે. ચાલો, મૂળ સોલ્યુશનના સ્ટેપ્સને અનુસરીએ, જે અંશ અને છેદને \( \cos^3 t \) વડે ભાગવાની વાત કરે છે અને પછી \( \tan t \) ના પદમાં રૂપાંતરિત કરે છે.

અંશ: \( \sin 2t - 3 \tan t \cos 2t \)
\( = \frac{2 \tan t}{1 + \tan^2 t} - 3 \tan t \frac{1 - \tan^2 t}{1 + \tan^2 t} \)
\( = \frac{2 \tan t - 3 \tan t (1 - \tan^2 t)}{1 + \tan^2 t} \)
\( = \frac{2 \tan t - 3 \tan t + 3 \tan^3 t}{1 + \tan^2 t} \)
\( = \frac{-\tan t + 3 \tan^3 t}{1 + \tan^2 t} \)

છેદ: \( 3 \tan^2 t \cos 2t + \tan^3 t \sin 2t \)
\( = 3 \tan^2 t \frac{1 - \tan^2 t}{1 + \tan^2 t} + \tan^3 t \frac{2 \tan t}{1 + \tan^2 t} \)
\( = \frac{3 \tan^2 t (1 - \tan^2 t) + 2 \tan^4 t}{1 + \tan^2 t} \)
\( = \frac{3 \tan^2 t - 3 \tan^4 t + 2 \tan^4 t}{1 + \tan^2 t} \)
\( = \frac{3 \tan^2 t - \tan^4 t}{1 + \tan^2 t} \)

તેથી,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-\tan t + 3 \tan^3 t}{1 + \tan^2 t}}{\frac{3 \tan^2 t - \tan^4 t}{1 + \tan^2 t}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-\tan t + 3 \tan^3 t}{3 \tan^2 t - \tan^4 t} \)
અંશમાંથી \( -\tan t \) અને છેદમાંથી \( \tan^2 t \) સામાન્ય કાઢતા:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-\tan t (1 - 3 \tan^2 t)}{\tan^2 t (3 - \tan^2 t)} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\tan t} \cdot \frac{1 - 3 \tan^2 t}{3 - \tan^2 t} \)
અહીં \( \tan 3t = \frac{3 \tan t - \tan^3 t}{1 - 3 \tan^2 t} \) છે.
તેથી, \( \frac{1 - 3 \tan^2 t}{3 - \tan^2 t} \) ને \( \tan 3t \) સાથે સંબંધિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.
\( \frac{1 - 3 \tan^2 t}{3 - \tan^2 t} = \frac{1 - 3 \tan^2 t}{ \frac{3 \tan t - \tan^3 t}{\tan t} } = \frac{ (1 - 3 \tan^2 t) \tan t }{ 3 \tan t - \tan^3 t } = \frac{ \tan t - 3 \tan^3 t }{ 3 \tan t - \tan^3 t } \) આ \( \tan 3t \) નું વ્યસ્ત છે.

તેથી, \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\tan t} \cdot \frac{ \frac{1}{\tan t} - 3 \tan t }{ 3 - \tan^2 t } \) (આ સ્ટેપ મૂળ સોલ્યુશનમાં આપેલા સ્ટેપ સાથે સુસંગત નથી, તેથી કદાચ મૂળ સોલ્યુશનના સ્ટેપ્સ સીધા જ ઉપયોગમાં લેવા જોઈએ)

આપેલા સોલ્યુશનના સ્ટેપ્સને અનુસરીએ:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2t - 3\tan t \cos 2t}{3\tan^2 t \cos 2t + \tan^3 t \sin 2t} \)
"અંશ તથા છેદને cos³t વડે ભાગતાં" આ સ્ટેપ આપેલું છે. આનો અર્થ એવો નથી કે અંશ અને છેદને \( \cos^3 t \) વડે ભાગીને \( \tan t \) માં રૂપાંતરિત કરવું.
પરંતુ, તેનો અર્થ \( \sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \) અને \( \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \) ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સીધા જ \( \tan t \) ના પદમાં રૂપાંતરિત કરવાનો છે.
જેનાથી આપણે મેળવ્યું: \( \frac{-\tan t + 3 \tan^3 t}{3 \tan^2 t - \tan^4 t} \)
\( = \frac{-\tan t (1 - 3 \tan^2 t)}{\tan^2 t (3 - \tan^2 t)} \)
\( = -\frac{1}{\tan t} \frac{1 - 3 \tan^2 t}{3 - \tan^2 t} \)
અહીં, \( \tan 3t = \frac{3 \tan t - \tan^3 t}{1 - 3 \tan^2 t} \).
તો, \( \frac{1 - 3 \tan^2 t}{3 - \tan^2 t} = \frac{1 - 3 \tan^2 t}{\frac{3 \tan t - \tan^3 t}{\tan t}} \cdot \frac{1}{ \tan t } \) (આ ખોટું છે, કારણ કે આનાથી \( \tan 3t \) નથી બનતો)

અંશ અને છેદમાંથી \( \frac{1}{1 + \tan^2 t} \) રદ થયા પછીનું પદ \( \frac{-\tan t + 3 \tan^3 t}{3 \tan^2 t - \tan^4 t} \)
આને ફરીથી લખીએ:
\( \frac{\tan t (3 \tan^2 t - 1)}{-\tan^2 t (\tan^2 t - 3)} \)
\( = \frac{\tan t (3 \tan^2 t - 1)}{\tan^2 t (3 - \tan^2 t)} \)
\( = \frac{1}{\tan t} \frac{3 \tan^2 t - 1}{3 - \tan^2 t} \)
હવે, \( \tan 3t = \frac{3 \tan t - \tan^3 t}{1 - 3 \tan^2 t} \).
આપણી પાસે \( \frac{3 \tan^2 t - 1}{3 - \tan^2 t} \) છે.
જો આપણે \( \tan 3t \) ના સૂત્રને \( \tan t \) વડે ભાગીએ તો:
\( \frac{\tan 3t}{\tan t} = \frac{3 - \tan^2 t}{1 - 3 \tan^2 t} \)
આથી, \( \frac{1}{\tan t} \frac{3 \tan^2 t - 1}{3 - \tan^2 t} = \frac{1}{\tan t} \cdot \frac{-(1 - 3 \tan^2 t)}{(3 - \tan^2 t)} = -\frac{1}{\tan t} \cdot \frac{1}{\frac{3 - \tan^2 t}{1 - 3 \tan^2 t}} = -\frac{1}{\tan t} \cdot \frac{\tan t}{\tan 3t} = -\frac{1}{\tan 3t} = -\cot 3t \)
In simple words: x અને y નું t પ્રત્યે ભાગાકાર નિયમ અને સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરો. પછી dy/dt ને dx/dt વડે ભાગો. અંતિમ જવાબને \( \tan t \) ના પદમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે \( \sin 2t \) અને \( \cos 2t \) ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો. પછી, તેને વધુ સરળ બનાવવા માટે \( \tan 3t \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( -\cot 3t \) મેળવો.

Exam Tip: જટિલ કાર્યોનું વિકલન કરતી વખતે, ભાગાકાર નિયમ અને સાંકળ નિયમનો કાળજીપૂર્વક ઉપયોગ કરો. ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો, ખાસ કરીને \( \sin 2t \), \( \cos 2t \), અને \( \tan 3t \) જેવા પદાવલિઓને સરળ બનાવવા માટે યાદ રાખવા જરૂરી છે.

Question 8. \( x = a(\cos t + \log \tan \frac{t}{2}) \), \( y = a \sin t \)
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( x = a(\cos t + \log \tan \frac{t}{2}) \).
t પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dx}{dt} = a \left[ \frac{d}{dt}(\cos t) + \frac{d}{dt}(\log \tan \frac{t}{2}) \right] \)
\( \frac{dx}{dt} = a \left[ -\sin t + \frac{1}{\tan \frac{t}{2}} \cdot \sec^2 \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2} \right] \)
\( \frac{dx}{dt} = a \left[ -\sin t + \frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2} \right] \)
\( \frac{dx}{dt} = a \left[ -\sin t + \frac{1}{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}} \right] \)
\( \frac{dx}{dt} = a \left[ -\sin t + \frac{1}{\sin t} \right] \)
\( \frac{dx}{dt} = a \left[ \frac{-\sin^2 t + 1}{\sin t} \right] \)
\( \frac{dx}{dt} = a \left[ \frac{\cos^2 t}{\sin t} \right] \) ...(i)

હવે, આપણને આપેલું છે કે \( y = a \sin t \).
t પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(a \sin t) \)
\( \frac{dy}{dt} = a \cos t \) ...(ii)

આપણે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવાનું છે. તે માટે આપણે \( \frac{dy}{dt} \) અને \( \frac{dx}{dt} \) નો ગુણોત્તર લઈશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{a \cos t}{a \left[ \frac{\cos^2 t}{\sin t} \right]} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{\frac{\cos^2 t}{\sin t}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos^2 t} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{\cos t} \)
\( \frac{dy}{dx} = \tan t \)
In simple words: x અને y નું t પ્રત્યે વિકલન કરો. x ના વિકલનમાં લૉગેરિથમિક અને ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના નિયમો કાળજીપૂર્વક લાગુ કરો. પછી dy/dt ને dx/dt વડે ભાગીને છેલ્લો જવાબ મેળવો.

Exam Tip: \( \frac{d}{dx}(\log f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)} \) અને \( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \) જેવા વિકલન સૂત્રો યાદ રાખો. ઉપરાંત, \( \sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} \) જેવા ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો પદોને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.

Question 9. \( x = a \sec \theta \), \( y = b \tan \theta \)
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( x = a \sec \theta \).
\( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(a \sec \theta) \)
\( \frac{dx}{d\theta} = a \sec \theta \tan \theta \)

હવે, આપણને આપેલું છે કે \( y = b \tan \theta \).
\( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(b \tan \theta) \)
\( \frac{dy}{d\theta} = b \sec^2 \theta \)

આપણે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવાનું છે. તે માટે આપણે \( \frac{dy}{d\theta} \) અને \( \frac{dx}{d\theta} \) નો ગુણોત્તર લઈશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{b \sec^2 \theta}{a \sec \theta \tan \theta} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \cdot \frac{\sec \theta}{\tan \theta} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \cdot \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{\sin \theta} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \operatorname{cosec} \theta \)
In simple words: x અને y નું \( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરો. \( \sec \theta \) અને \( \tan \theta \) ના વિકલન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો. પછી dy/d\( \theta \) ને dx/d\( \theta \) વડે ભાગી દો અને ત્રિકોણમિતિ પદોને સરળ બનાવો.

Exam Tip: \( \frac{d}{d\theta}(\sec \theta) = \sec \theta \tan \theta \) અને \( \frac{d}{d\theta}(\tan \theta) = \sec^2 \theta \) જેવા ત્રિકોણમિતિ વિકલન સૂત્રો યાદ રાખો. જવાબને \( \sin \theta \) અને \( \cos \theta \) ના પદમાં રૂપાંતરિત કરીને સરળ બનાવવાની પ્રેક્ટિસ કરો.

Question 10. \( x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta) \), \( y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta) \)
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta) \).
\( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dx}{d\theta} = a \left[ \frac{d}{d\theta}(\cos \theta) + \frac{d}{d\theta}(\theta \sin \theta) \right] \)
ઉત્પાદન નિયમનો ઉપયોગ કરતા, \( \frac{d}{d\theta}(\theta \sin \theta) = 1 \cdot \sin \theta + \theta \cdot \cos \theta = \sin \theta + \theta \cos \theta \).
તેથી,
\( \frac{dx}{d\theta} = a [-\sin \theta + (\sin \theta + \theta \cos \theta)] \)
\( \frac{dx}{d\theta} = a [-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta] \)
\( \frac{dx}{d\theta} = a \theta \cos \theta \) ...(i)

હવે, આપણને આપેલું છે કે \( y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta) \).
\( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dy}{d\theta} = a \left[ \frac{d}{d\theta}(\sin \theta) - \frac{d}{d\theta}(\theta \cos \theta) \right] \)
ઉત્પાદન નિયમનો ઉપયોગ કરતા, \( \frac{d}{d\theta}(\theta \cos \theta) = 1 \cdot \cos \theta + \theta \cdot (-\sin \theta) = \cos \theta - \theta \sin \theta \).
તેથી,
\( \frac{dy}{d\theta} = a [\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)] \)
\( \frac{dy}{d\theta} = a [\cos \theta - \cos \theta + \theta \sin \theta] \)
\( \frac{dy}{d\theta} = a \theta \sin \theta \) ...(ii)

આપણે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવાનું છે. તે માટે આપણે સમીકરણ (i) અને (ii) નો ઉપયોગ કરીને \( \frac{dy}{d\theta} \) અને \( \frac{dx}{d\theta} \) નો ગુણોત્તર લઈશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
\( \frac{dy}{dx} = \tan \theta \)
In simple words: x અને y નું \( \theta \) પ્રત્યે વિકલન કરવા માટે ઉત્પાદન નિયમનો ઉપયોગ કરો. કૌંસ ખોલતી વખતે ચિહ્નોની કાળજી રાખો. પછી dy/d\( \theta \) ને dx/d\( \theta \) વડે ભાગો. સમાન પદો રદ થશે અને તમને છેલ્લો જવાબ મળશે.

Exam Tip: જ્યારે વિધેય ગુણાકારના સ્વરૂપમાં હોય (જેમ કે \( \theta \sin \theta \) કે \( \theta \cos \theta \)), ત્યારે વિકલન કરવા માટે ઉત્પાદન નિયમ (\( (uv)' = u'v + uv' \)) નો ઉપયોગ કરવાનું યાદ રાખો. ચિહ્નોની ભૂલ ટાળવા માટે કૌંસનો યોગ્ય ઉપયોગ કરો.

Question 11. જો \( x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}} \), \( y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \) હોય, તો સાબિત કરો કે, \( \frac{dy}{dx} = \frac{-y}{x} \)
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}} \).
આને \( x = (a^{\sin^{-1} t})^{\frac{1}{2}} \) તરીકે પણ લખી શકાય છે.
t પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} (a^{\sin^{-1} t})^{\frac{1}{2}-1} \cdot \frac{d}{dt}(a^{\sin^{-1} t}) \)
\( \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} (a^{\sin^{-1} t})^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\sin^{-1} t} \log a \cdot \frac{d}{dt}(\sin^{-1} t) \)
\( \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{a^{\sin^{-1} t}}} \cdot a^{\sin^{-1} t} \log a \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \)
\( \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{a^{\sin^{-1} t}} \log a}{2\sqrt{1 - t^2}} \) (અહીં \( a^{\sin^{-1} t} = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}} \cdot \sqrt{a^{\sin^{-1} t}} \) નો ઉપયોગ થયો છે, અને એક \( \sqrt{a^{\sin^{-1} t}} \) રદ થયો છે)
\( \frac{dx}{dt} = \frac{x \log a}{2\sqrt{1 - t^2}} \) ...(i) (કારણ કે \( x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}} \))

હવે, આપણને આપેલું છે કે \( y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \).
આને \( y = (a^{\cos^{-1} t})^{\frac{1}{2}} \) તરીકે પણ લખી શકાય છે.
t પ્રત્યે વિકલન કરતા:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} (a^{\cos^{-1} t})^{\frac{1}{2}-1} \cdot \frac{d}{dt}(a^{\cos^{-1} t}) \)
\( \frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} (a^{\cos^{-1} t})^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\cos^{-1} t} \log a \cdot \frac{d}{dt}(\cos^{-1} t) \)
\( \frac{dy}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{a^{\cos^{-1} t}}} \cdot a^{\cos^{-1} t} \log a \cdot \frac{-1}{\sqrt{1 - t^2}} \)
\( \frac{dy}{dt} = \frac{-\sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \log a}{2\sqrt{1 - t^2}} \) (અહીં \( a^{\cos^{-1} t} = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \cdot \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \) નો ઉપયોગ થયો છે, અને એક \( \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \) રદ થયો છે)
\( \frac{dy}{dt} = \frac{-y \log a}{2\sqrt{1 - t^2}} \) ...(ii) (કારણ કે \( y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \))

આપણે \( \frac{dy}{dx} \) શોધવાનું છે. તે માટે આપણે સમીકરણ (i) અને (ii) નો ઉપયોગ કરીને \( \frac{dy}{d\theta} \) અને \( \frac{dx}{d\theta} \) નો ગુણોત્તર લઈશું:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-y \log a}{2\sqrt{1 - t^2}}}{\frac{x \log a}{2\sqrt{1 - t^2}}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-y \log a}{x \log a} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-y}{x} \)
આમ, સાબિત થાય છે.
In simple words: x અને y બંનેને t ના સંદર્ભમાં વિકલિત કરો. ઘાતાંક અને પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના વિકલન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો. પછી dy/dt ને dx/dt વડે ભાગી દો. સામાન્ય પદો રદ થશે અને તમને માંગેલું સ્વરૂપ મળશે.

Exam Tip: \( \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log a \) અને \( \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) તેમજ \( \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \) જેવા સૂત્રો યાદ રાખો. જટિલ પદોનું વિકલન કરતી વખતે સાંકળ નિયમ કાળજીપૂર્વક લાગુ કરો.