GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Exercise 5.4

નીચેના વિધેયોના x ને સાપેક્ષ વિકલિત મેળવો :

Question 1. \( \frac{e^x}{\sin x} \)
Answer: અહીં, આપણને વિધેય \( y = \frac{e^x}{\sin x} \) આપેલું છે.
x ના સાપેક્ષમાં બંને બાજુએ વિકલન કરવાથી, આપણને આ મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^x}{\sin x} \right) \)
ભાગાકાર નિયમ વાપરતા, આપણને મળે છે:
\( = \frac{\sin x \frac{d}{dx}(e^x) - e^x \frac{d}{dx}(\sin x)}{\sin^2 x} \)
\( = \frac{\sin x \cdot e^x - e^x \cdot \cos x}{\sin^2 x} \)
\( = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{\sin^2 x} \), જ્યાં \( x \neq n\pi, n \in I \).
In simple words: આ દાખલામાં, આપણે \( \frac{e^x}{\sin x} \) નું વિકલન કરીએ છીએ. આપણે ભાગાકાર નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જેમાં ઉપરના અને નીચેના પદના વિકલનનો ગુણોત્તર લેવાય છે. અંતે, \( e^x (\sin x - \cos x) \) ને \( \sin^2 x \) વડે ભાગવાથી પરિણામ મળે છે.

Exam Tip: ભાગાકાર નિયમ (\( \frac{u}{v} \)'નું વિકલન \( \frac{v u' - u v'}{v^2} \)) યાદ રાખવું મહત્વપૂર્ણ છે અને તેને યોગ્ય રીતે લાગુ કરવું જોઈએ.

Question 3. \( e^{\sin^{-1}x} \)
Answer: અહીં, આપણને વિધેય \( y = e^{\sin^{-1}x} \) આપેલું છે.
x ના સાપેક્ષમાં બંને બાજુએ વિકલન કરવાથી, આપણને આ મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (e^{\sin^{-1}x}) \)
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
\( = e^{\sin^{-1}x} \frac{d}{dx} (\sin^{-1}x) \)
\( = e^{\sin^{-1}x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( = \frac{e^{\sin^{-1}x}}{\sqrt{1-x^2}} \), જ્યાં \( x \in (-1, 1) \).
In simple words: આ વિધેય \( e^{\sin^{-1}x} \) નું વિકલન કરવા માટે, આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. સૌપ્રથમ, \( e^{u} \) નું વિકલન \( e^{u} \) થાય, પછી \( u \) એટલે કે \( \sin^{-1}x \) નું વિકલન \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) થાય. આ બંનેના ગુણાકારથી અંતિમ જવાબ મળે છે.

Exam Tip: \( \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) અને \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \) જેવા મૂળભૂત વિકલનના સૂત્રો યાદ રાખવા અગત્યના છે.

Question 4. \( \sin(\tan^{-1}e^{-x}) \)
Answer: અહીં, આપણને વિધેય \( y = \sin(\tan^{-1}e^{-x}) \) આપેલું છે.
x ના સાપેક્ષમાં બંને બાજુએ વિકલન કરવાથી, આપણને આ મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\sin(\tan^{-1}e^{-x})] \)
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
\( = \cos(\tan^{-1}e^{-x}) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1}e^{-x}) \)
\( = \cos(\tan^{-1}e^{-x}) \cdot \frac{1}{1+(e^{-x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) \)
\( = \cos(\tan^{-1}e^{-x}) \cdot \frac{1}{1+e^{-2x}} \cdot e^{-x} \frac{d}{dx}(-x) \)
\( = \frac{-e^{-x} \cos(\tan^{-1}e^{-x})}{1+e^{-2x}} \).
In simple words: આ દાખલામાં, આપણે \( \sin(\tan^{-1}e^{-x}) \) નું વિકલન કરીએ છીએ. આ માટે, આપણે ચેઈન રૂલનો વારંવાર ઉપયોગ કરીએ છીએ, કારણ કે વિધેયની અંદર બીજું વિધેય છે. પહેલાં \( \sin \) નું વિકલન, પછી \( \tan^{-1} \) નું, અને પછી \( e^{-x} \) નું. બધા વિકલનનો ગુણાકાર કરતા અંતિમ જવાબ મળે છે.

Exam Tip: ચેઈન રૂલને યોગ્ય રીતે લાગુ કરવા માટે, બહારના વિધેયથી અંદરના વિધેય તરફ ક્રમિક રીતે વિકલન કરતા જવું જોઈએ અને દરેક પગલાંના ગુણાકાર કરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 5. \( \log(\cos e^x) \)
Answer: અહીં, આપણને વિધેય \( y = \log(\cos e^x) \) આપેલું છે.
x ના સાપેક્ષમાં બંને બાજુએ વિકલન કરવાથી, આપણને આ મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log(\cos e^x)) \)
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
\( = \frac{1}{\cos e^x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos e^x) \)
\( = \frac{1}{\cos e^x} \cdot (-\sin e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x) \)
\( = \frac{-\sin e^x}{\cos e^x} \cdot e^x \)
\( = -e^x \cdot \tan(e^x) \), જ્યાં \( e^x \neq (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in I \).
In simple words: \( \log(\cos e^x) \) ના વિકલન માટે, આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પહેલાં \( \log \) નું વિકલન, પછી \( \cos \) નું, અને છેલ્લે \( e^x \) નું વિકલન કરીએ છીએ. દરેક વિકલનના પરિણામોનો ગુણાકાર કરતા આપણને જવાબ મળે છે.

Exam Tip: \( \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x} \), \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \), અને \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \) જેવા પ્રમાણભૂત વિકલન સૂત્રોની સ્પષ્ટ સમજ હોવી જરૂરી છે.

Question 6. \( e^x + e^{x^2} + \dots + e^{x^5} \)
Answer: અહીં, આપણને વિધેય \( y = e^x + e^{x^2} + e^{x^3} + e^{x^4} + e^{x^5} \) આપેલું છે.
x ના સાપેક્ષમાં બંને બાજુએ વિકલન કરવાથી, આપણને આ મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [e^x + e^{x^2} + e^{x^3} + e^{x^4} + e^{x^5}] \)
દરેક પદનું અલગથી વિકલન કરતા:
\( = \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(e^{x^2}) + \frac{d}{dx}(e^{x^3}) + \frac{d}{dx}(e^{x^4}) + \frac{d}{dx}(e^{x^5}) \)
\( = e^x + e^{x^2} \frac{d}{dx}(x^2) + e^{x^3} \frac{d}{dx}(x^3) + e^{x^4} \frac{d}{dx}(x^4) + e^{x^5} \frac{d}{dx}(x^5) \)
\( = e^x + 2x \cdot e^{x^2} + 3x^2 \cdot e^{x^3} + 4x^3 \cdot e^{x^4} + 5x^4 \cdot e^{x^5} \).
In simple words: આ દાખલામાં, આપણે પાંચ અલગ-અલગ \( e \) ના ઘાતાંક વાળા પદોનો સરવાળો આપ્યો છે. દરેક પદનું વિકલન અલગથી કરીએ છીએ. \( e^{x^n} \) ના વિકલન માટે, આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જેમાં \( e^{x^n} \) નું વિકલન \( e^{x^n} \) અને પછી \( x^n \) નું વિકલન \( n x^{n-1} \) થાય છે.

Exam Tip: સરવાળાના નિયમ મુજબ, દરેક પદનું વિકલન અલગથી કરીને તેનો સરવાળો કરી શકાય છે. \( e^{f(x)} \) નું વિકલન \( e^{f(x)} \cdot f'(x) \) થાય છે.

Question 7. \( \sqrt{e^{\sqrt{x}}}, x > 0 \)
Answer: અહીં, આપણને વિધેય \( y = \sqrt{e^{\sqrt{x}}} \) આપેલું છે. આપણે તેને \( y = (e^{\sqrt{x}})^{\frac{1}{2}} \) તરીકે પણ લખી શકીએ.
x ના સાપેક્ષમાં બંને બાજુએ વિકલન કરવાથી, આપણને આ મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\sqrt{x}})^{\frac{1}{2}} \)
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
\( = \frac{1}{2} (e^{\sqrt{x}})^{\frac{1}{2}-1} \cdot \frac{d}{dx}(e^{\sqrt{x}}) \)
\( = \frac{1}{2} (e^{\sqrt{x}})^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \)
\( = \frac{1}{2\sqrt{e^{\sqrt{x}}}} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( = \frac{e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\sqrt{e^{\sqrt{x}}}} \)
\( = \frac{\sqrt{e^{\sqrt{x}}}}{4\sqrt{x}} \), જ્યાં \( x > 0 \).
In simple words: \( \sqrt{e^{\sqrt{x}}} \) નું વિકલન કરવા માટે, આપણે ચેઈન રૂલને ત્રણ વખત લાગુ પાડીએ છીએ. પહેલાં વર્ગમૂળનું, પછી \( e \) ના ઘાતાંકનું, અને છેલ્લે ફરી વર્ગમૂળનું વિકલન થાય છે. બધા પગલાંના ગુણાકારથી અંતિમ જવાબ મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: \( \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) અને \( \frac{d}{dx}(e^{f(x)}) = e^{f(x)} \cdot f'(x) \) જેવા નિયમોનો અહીં વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.

Question 8. \( \log(\log x), x > 1 \)
Answer: અહીં, આપણને વિધેય \( y = \log(\log x) \) આપેલું છે.
x ના સાપેક્ષમાં બંને બાજુએ વિકલન કરવાથી, આપણને આ મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\log(\log x)] \)
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
\( = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) \)
\( = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} \)
\( = \frac{1}{x \log x} \), જ્યાં \( x > 1 \).
In simple words: \( \log(\log x) \) નું વિકલન કરવા માટે, આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પહેલાં બહારના \( \log \) નું વિકલન \( \frac{1}{\log x} \) થાય, પછી અંદરના \( \log x \) નું વિકલન \( \frac{1}{x} \) થાય. આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા અંતિમ જવાબ \( \frac{1}{x \log x} \) મળે છે.

Exam Tip: લોગેરિધમિક વિધેયના વિકલનમાં ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ સામાન્ય છે. \( \frac{d}{dx}(\log(f(x))) = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) \) સૂત્ર યાદ રાખો.

Question 9. \( \frac{\cos x}{\log x}, x > 0, x \neq 1 \)
Answer: અહીં, આપણને વિધેય \( y = \frac{\cos x}{\log x} \) આપેલું છે.
x ના સાપેક્ષમાં બંને બાજુએ વિકલન કરવાથી, આપણને આ મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{\log x}\right) \)
ભાગાકાર નિયમ વાપરતા, આપણને મળે છે:
\( = \frac{\log x \frac{d}{dx}(\cos x) - \cos x \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2} \)
\( = \frac{\log x (-\sin x) - \cos x \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} \)
\( = \frac{-x \sin x \log x - \cos x}{x(\log x)^2} \)
\( = \frac{-(x \sin x \log x + \cos x)}{x(\log x)^2} \), જ્યાં \( x > 0 \).
In simple words: આ દાખલામાં, આપણે \( \frac{\cos x}{\log x} \) નું વિકલન કરીએ છીએ. આપણે ભાગાકાર નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે બે વિધેયોના ગુણોત્તરનું વિકલન શોધવા માટે વપરાય છે. આ નિયમને લાગુ કરવાથી અને સરળ બનાવવાથી અંતિમ જવાબ મળે છે.

Exam Tip: ભાગાકાર નિયમમાં અંશ અને છેદના વિકલનોની યોગ્ય ગોઠવણી અને બાદબાકીનું ધ્યાન રાખવું ખુબ જ જરૂરી છે.

Question 10. \( \cos(\log x + e^x), x > 0 \)
Answer: અહીં, આપણને વિધેય \( y = \cos(\log x + e^x) \) આપેલું છે.
x ના સાપેક્ષમાં બંને બાજુએ વિકલન કરવાથી, આપણને આ મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\cos(\log x + e^x)] \)
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
\( = -\sin(\log x + e^x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x + e^x) \)
\( = -\sin(\log x + e^x) \cdot \left[ \frac{d}{dx}(\log x) + \frac{d}{dx}(e^x) \right] \)
\( = -\sin(\log x + e^x) \cdot \left[ \frac{1}{x} + e^x \right] \).
In simple words: આ વિધેય \( \cos(\log x + e^x) \) નું વિકલન કરવા માટે, આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પહેલાં \( \cos \) નું વિકલન \( -\sin \) થાય, પછી તેની અંદરના પદ \( (\log x + e^x) \) નું વિકલન \( \frac{1}{x} + e^x \) થાય. આ બંનેના ગુણાકારથી અંતિમ જવાબ મળે છે.

Exam Tip: ચેઈન રૂલ લાગુ કરતી વખતે, અંદરના વિધેયનો સરવાળો હોય તો, દરેક પદનું વિકલન અલગથી કરીને તેનો સરવાળો કરવો જોઈએ.